História da Matemática - Aula 02 - Egito e Babilônia

[Música] Olá o tema da aula de hoje é a matemática no Egito e na Babilônia no material anterior vocês trabalharam os sistemas de numeração desde o egípcio babilônio grego até o sistema indo-arábico que é utilizado atualmente a essa altura você deve estar se perguntando Poxa mas como é que o pessoal fazia contas com aqueles símbolos estranhos e é isso que a gente vai trabalhar na aula de hoje eu começo aqui com o Egito como os egípcios faziam as contas de multiplicação bom primeiro preciso fazer uma ressalva a gente tem um papiro chamado papiro de amis

ou papiro de hind tá em que são descritas eh várias formas de fazer as contas utilizadas aí pelos egípcios Por que papiro de Ames papiro de Ames em homenagem ao Escriba que copiou esse papiro em 1650 Anes de Cristo pode ser também chamado de papiro de hind em homenagem a um antiquário escocês que comprou esse papiro em 1858 numa cidadezinha lá às margens do rio Nilo vamos imaginar então aqui um egípcio que gostaria de fazer uma conta que seja 6 x 28 bom 6 x 28 o que que é 28 + 28 + 28 e

assim sucessivamente até somar isso seis vezes como é que eles faziam essa conta eu tenho aqui uma unidade ou seja se eu fosse multiplicar por um eu teria aqui se eu for multiplicar por 2 o que que eu tenho que fazer 28 + 28 que dá o nosso 56 vamos continuar vou pegar agora esse dois aqui e vou dobrar ele então agora eu tenho quatro unidades então o que que eu faço 56 mais 56 que vai dar os 12 aqui bom a nossa ideia é multiplicar 6 por 28 Então vamos olhar aqui 2 + 4

dá 6 se eu for na outra coluna aqui eu tenho se eu for na outra coluna aqui eu tenho 56 + 112 Ok de tal forma que a resposta para essa multiplicação 6 x 28 é ig a 168 vamos supor agora que eu queira multiplicar então 10 x 28 Vou colocar aqui para vocês 10 x 28 Ok como é que a gente faz essa conta bom eu teria aqui 4 + 2 mais 1 7 vamos continuar a conta aqui então 4 Vamos duplicar 8 112 duplicando 224 e aí que que eu posso fazer para chegar

no 10 eu tenho desse lado aqui 8 + 2 então para fazer a conta 224 + 56 E aí você vai ter a resposta para 10 x 28 Esse era o processo então eles começavam com uma unidade do que eu queria multiplicar e depois ia sucessivamente até achar um conjunto aqui que desse a nossa resposta se você conhece algum outro método ou descobrir algum outro método nas suas pesquisas na internet por favor compartilhe no nosso Fórum de discussão vamos ver agora como os egípcios trabalhavam com as frações Ok com os números quebrados Vamos colocar assim

e aqui a gente tem algo interessante porque eles trabalh eles gostavam de trabalhar an com o que a gente chama de frações unitárias O que são as frações unitárias são frações do tipo um sobre um número Qualquer que seja ele como é que eles escreviam as frações unitárias vamos supor que você tenha uma laranja e vai dividi-la em Cinco partes Ok você tem e você queira 3/5 dessa laranja Então temos aqui 3/5 esse 3/5 normalmente é escrito de uma forma é em termos de uma sequência de frações unitárias do tipo 1/3 + 1/5 + 1

sobre 15 um outro exemplo aqui você tem 2 so 101 E aí você você escreveria como sendo 1 so 101 + 1 so 202 + 1 so 606 E aí você deve estar se perguntando Poxa mas como é que eles chegaram nesses números 101 202 606 Ah não existe uma certa homogeneidade de métodos para poder chegar nesses valores tá mas uma vez que eles eh descobriram ou criaram algoritmo né ou pensaram especificamente para esse tipo de conta eles desenvolveram tabelas mais ou menos como aquelas tabelas de tabuadas que a gente tinha então uma vez que

você quisesse saber dois sobre 101 como é que você você poderia escrever você iria lá nessa tabela e faria essa consulta a tabela de 2 sobre n onde n é um número qualquer que vai de 1 a 101 ela é uma tabela que tava disponível eh na época e a gente tem acesso a ela um outro exemplo 2 sobre 11 como é que a gente pode escrever e aí nessas tabelas a gente percebe que eles colocaram como 1 so 6 mais 1 so 66 Poxa mas 1 so 6 e 1 sobre 66 não seria mais

fácil escrever 1 so 11 mais 1 sobre 11 não Eles não gostavam de repetir o o valor duas vezes então a A ideia era começava Com uma fração e essa fração ia diminuindo de tamanho conforme fosse ampliando essa soma então 2 so 111 escrito da forma de 1 sobre 11 + 1 sobre 11 não era aceitável na época bom pergunta agora já que para algumas frações eles faziam de uma forma e para outras frações eh existia digamos assim um outro algoritmo por trás a gente fica com a seguinte pergunta Existe algum algoritmo em que eu

possa que eu possa utilizar para escrever qualquer fração em termos de frações unitárias Dá uma pesquisada aí no nosso material a gente tem a resposta não esqueça de olhar bom como eles tinham aí Várias Vários algoritmos na verdade para Eh escrever essas frações em termos de frações unitárias fica aqui a pergunta existe aí um Existe algum algoritmo que a gente possa utilizar para escrever qualquer fração em termos das frações unitárias bom sugiro que você dê uma busca na internet em livros e da D uma olhada porque tem sim um algoritmo para escrever qualquer fração em

termos de frações unitárias mas ele só foi descoberto muito mais tarde eh apresente aí no nosso Fórum de discussão o algoritmo que você encontrar bom próxima pergunta e a divisão como é que o pessoal fazia a divisão vamos for então que nós queiramos multiplicar 139 por 16 e 139 por 16 não é uma multiplicação que de um número exato Então como que a gente pode fazer similar ao processo que a gente utilizou para fazer a multiplicação Então vamos pensar eu tenho aqui uma unidade Eu tenho 16 duas unidades eu vou ter 32 dobrando qu unidades

dobrando o 32 nós temos 64 e oito unidades dobrando nós temos 128 bom 128 tá próximo aqui do nosso 139 então se eu dobrar o próximo aqui 16 eu vou passar ou seja a solução de 139 por 16 é o e mais alguma coisinha que falta pra gente chegar no 139 bom essa mais alguma coisinha é eles não trabalhavam com números decimais Então a gente vai ter que escrever essa alguma coisinha em termos de algumas frações Então vamos lá 1 inteiro 16 metade temos aqui oo seguindo esse processo 1/4 teremos 4 1/8 2 e 1

sobre 16 teremos um bom como é que a gente vai fazer aqui esse lado que em algum momento a gente vai ter que somar o 139 Então como é que como é que a gente pode fazer para somar esse 139 128 + 8 + 2 + 1 a gente vai ter aqui o nosso 139 E aí eu vou pegar os números correspondentes do outro lado o 8 o 11 1 sobre 8 e 1 sobre desculpa o 8 me 1 so 8 e 1 sobre 16 de tal forma que a resposta de 130 19 div 16

vai ser 8 + 12 mais 1/8 mais mais 1 16 Ok nota que é trabalhoso para caramba né É muito mais fácil o nosso algoritmo para fazer a divisão a gente tem no papiro de Ames o problema 70 que é colocado da seguinte forma calcule o quociente da divisão de 100 por 7 + 1 + 1/4 + 1/8 aí você vai tá olhando para mim e falando tá de brincadeira né fazer essa conta utilizando aquele algoritmo é não vai ter jeito não como é que a gente pode fazer essa conta utilizando aquele algoritmo então seguindo

o processo Eu tenho um do número pelo qual eu quero dividir que eu vou chamar de coisa então um da coisa é esse número enorme aqui se eu for dobrar Então 7 dobrando dá 14 meio dobrando dá 1 1/4 dobrando dá meio 1/4 1/8 dobrando dá 1/4 e a gente pode reescrever dessa forma aqui 15 + me mais 1/4 vamos continuar o mesmo processo agora eu vou pegar aquele 15 + me mais 1/4 e vou dobrar então eu vou ter aqui quatro unidades Chegamos aqui em 31 mais me dobrando de novo o 8 chegamos a

63 se eu dobrar de novo eu vou passar dos dos 100 que eram número que a gente tava querendo dividir então só para lembrar era 100 dividido por essa coisa enorme aqui então se eu dobrar o 63 Agora já passou então qual que é a resposta é oito e uns quebrados e quantos que seriam esses quebrados bom uma outra fração que eles gostavam de trabalhar embora não fosse uma fração unitária é 2/3 então se eu fizer 2/3 de 7 + 12 + 1/4 + 1/8 E aí eu vou deixar para vocês fazerem a conta em

casa vai chegar em 5 + 1/4 Ok bom vamos olhar aqui se eu pegar 31 + me 31 E5 Vamos colocar assim mais 63 + 5 + 1/4 vai dar 99 34 Ou seja ainda falta 1/4 pra gente chegar no 100 que era o número que a gente queria dividir E aí Vamos pensar aqui em 2 so 63 que vai dar 1/4 então eu posso dizer que o quociente ou seja aquela divisão de 2 por esse número enorme aqui vai ser 12 + 2/3 + 2 so 63 Ok bom aqui a gente tem um problema

Por quê o 2/3 ainda era aceitável embora não fosse uma fração unitária mas os 2 sobre 63 que tá aqui não é uma fração unitária então o que que a gente faz naquela tabela que eu falei que eles tinham de 2 sobre um n qualquer você vai lá naquela tabela e consulta e descobre que 2 sobre 63 dá 1 sobre 42 + 1 sobre 26 E aí finalmente a gente escreve a nossa resposta da divisão percebeu a trabalheira que deu muito complicado não é nosso algoritmo faz facilita bastante a vida vamos agora dar um olhar

de como os babilônios faziam as suas contas só pra gente lembrar eles possuem um sistema de numeração que era que é base 60 a escrita utilizavam uma escrita coniforme e a gente tem aqui os símbolos pra unidade que é esse símbolo aqui E esse símbolo aqui pra dezena Lembrando que a gente tem também uma anotação que é chamada de notação posicional então só para recapitular como é que eles escreviam 25 eu preciso colocar duas unidades da dezena mais cinco unidades da unidade Vamos colocar assim né então eu tenho aqui os dois símbolos da dezena mostrando

20 e os outros cinco símbolos da unidade mostrando o c para somar o 25 só para lembrar se eu quisesse escrever 72 como é que eu faria como eles utilizavam base 60 para fazer essa conversão a gente precisa pensar 60 mais 12 então o que eu tenho eu tenho uma unidade de 60 mais 12 então eu vou colocar aqui ó uma unidade do 60 separado dos demais números aqui que vão compor o 12 10 11 12 OK pergunta esse número aqui quanto é que vai dar Vou deixar para você descobrir Ok quem quiser depois dá

uma olhada no nosso material que a resposta vai tá lá pergunta agora a gente já viu multiplicação divisão como é que a gente faz para extrair raiz quadrada Ou melhor como os babilônios faziam para extrair a raiz quadrada e o interessante aqui é que eles têm um algoritmo que fornece a até um certo grau de precisão no cálculo dessa raiz vamos pegar aqui como exemplo uma √10 Ok bom √10 não vai dar um número exato Então como é que a gente vai fazer essa conta vamos tentar uma aproximação √9 a gente tem 3 √ 16

4 são números inteiros Então minha √10 vai dar um número três e uns quebrados a pergunta é quanto que dão esses quebrados Então vamos vamos lá só para lembrar eu vou colocar aqui para vocês uma simbologia e uma anotação para explicar o raciocínio Lembrando que eles utilizavam aqueles símbolos da época então começamos aqui como eu quero extrair a ra 10 eu vou chamar um a de 10 e a primeira aproximação para essa raiz quadrada de 10 é 3 Porque a gente já sabe que vai dar 3 e alguma coisa então vou colocar aqui a 1

= 3 e em seguida O que que a gente vai fazer a gente vai calcular um B1 de tal forma que esse B1 é o a dividido por 3 ou seja 10 di 3 que vai dar 3,333333 Ok vou colocar aqui até até a quinta casa decimal pra gente poder comparar com a com o valor que a gente teria por exemplo numa calculadora bom o 3 3 3 3 também não é uma solução então o que que a gente faz a gente pega Aquela nossa primeira solução que era o TR e tira uma média com

o 3 3 3 3 3 lá os quebrados isso vai dar o 3 16 66 667 bom a gente já tem uma aproximação melhor será que não dá para aproximar um pouco mais descobrir e melhorar essa essa aproximação vamos pegar aqui uma outra aproximação B2 que eu vou fazer o a divido por A2 ou seja vou pegar o 10 agora e vou dividir por esse valor aqui isso deu 3 1 7895 continuando pra gente chegar na nossa aproximação eu tiro uma média agora do Cadê do A2 com o b2 que a gente acabou de calcular

E aí eu chego nesse valor bom eu poderia continuar ess esse processo indefinidamente sempre melor minha precisão vamos comparar o valor que a gente tem é 3,162 281 se você fizer esse cálculo em qualquer calculadora hoje ela dá um valor de 3,16 2278 ou seja os números estão batendo olha só até a quarta casa decimal então eles possuíam uma maneira de extrair raiz quadrada com relativa e precisão matemática eles não tinham muito interesse em continuar processo indefinidamente Então aquela noção de infinito ainda não era uma noção que como é que eu posso dizer uma noção

que as que fosse comum paraas pessoas na época tá Por quê Porque tudo se baseava em problemas práticos então e a precisão que eu preciso é a precisão que eu consigo medir Ok bom por hoje é isso nos vemos na próxima na nossa próxima videoaula [Música] k [Música] w [Música]