5 MEF1 AULA 3 ETAPA 2

muito bem eh nós comentamos sobre a generalidade desse modelo quer dizer nós fal famos que os modelos em elementos finitos e quem olha ele pode ver um monte de quadradinho aqui né mas a Rigor isso aqui tem um significado físico concreto em cada nó eu tenho uma rigidez de umaa dada direção né então eu pego uma estrutura Eu tenho ela discretizada em elementos é claro que há uma questão central né que fala assim ah por que que você dividiu em retângulos e não em triângulos Por que que a malha é desse tamanho e não desse tamanho essa é uma questão absolutamente importante é vital uma questão de sobrevivência em elementos finitos mas nós não estamos ainda preocupados com isso primeiro nós estamos querendo entender como se monta a rigidez da estrutura a partir da rigidez de cada um dos seus elementos se os elementos estão com tamanho adequado isso não é o objeto da nossa conversa ainda vai ser e é importantíssimo esse tema a a questão é que nós falamos ainda há pouco que quando eu olho um modelo como esse isso aqui representa a a rigidez de uma estrutura que não necessariamente ela se apresenta na forma de mola é que quando você monta a rigidez no fundo são coeficientes de mola que você tem lá né então isso daqui deve ser entendido como a aplicação mais geral possível então ou seja nós temos um modelo em elementos finitos né e que nós temos aqui um elemento nós temos um outro elemento e nós temos os nós e as foras são aplicadas nos nós acho que chegou o momento de fazer uma observação porque nós vamos demonstrar isso também tudo que nós estamos falando aqui será demonstrado é que tem um momento adequado por exemplo vocês estão percebendo que as forças até agora a gente sempre aplicou nos nós todos os modelos de elementos finitos as forças são sempre aplicadas nos nós sempre há alguma possibilidade diferente não jamais aí o cara fala assim mas eu tenho um software lá que eu entro ele aplica pressão no elemento o software é muito amigável é nós no último dia deste modo calcular uma integral que é o que o software faz se você entregar pro software uma pressão aplicada no elemento ele faz uma continha e ele joga para o nó a força que você deu distribuída no elemento como uma carga nodal equivalente o que que seria a carga nodal equivalente é uma carga que quando você aplica na estrutura nos nós produziria a mesma deformada que a carga distribuída produziria dá para calcular isso aqui e nós vamos fazer então eu já tô adiantando o seguinte é que às vezes o usuário não tá vendo isso mas dentro do software o software faz isso software faz porque o método que impõe não é o software né então Aqui nós temos o modelo de elementos finitos e como dizem os advogados nós não estamos fazendo juízo de valor se esse modelo é bom ou ele é ruim ele é um modelo que é representado pelas rigidezes que estão incidindo em cada nó como eu como nós comentamos ainda há pouco isso aqui pode ser uma estrutura que tem uma viga aqui e ela tem uma rigidez que ela juridicamente é representado por uma mola tá ok então esse conceito eu espero que já está consolidado então nós temos uma estrutura nós temos forças aplicadas nos nós nós temos os elementos e nós temos os deslocamentos dos Nós queria fazer uma observação aqui inicialmente que até vou vou trazer aqui pro lado né que é uma nossa biblioteca por que que eu tô chamando isso aqui de biblioteca porque é assim que o software funciona quando você adquire um software de elementos finitos você compra uma biblioteca de elementos Aliás o que nós estamos fazendo aqui é o que o cara em 1900 antigamente fez quando desenvolveu elementos finitos é que nós desenvolvemos nós estamos desenvolvendo um software a Rigor que tá toda a metodologia que vai ser consolidada aqui depois nós vamos ter que colocar no comput essa seria a ideia né que nós não vamos fazer um programa nós somos usuários mas quando ele desenvolveu o método foi sendo desenvolvido elemento por elemento quer dizer o nosso software só tem um elemento por enquanto que é o elemento de mola Mas nós vamos expandir pros outros e no no nosso software existe um elemento de mola que eu vou fazer um desenhinho aqui né é que isso aqui é um elemento de mola isso aqui é um elemento de mola e o que que isso daqui tem na biblioteca quando você compra o software vem uma biblioteca de elementos e um dos elementos é a mola Olha só esse aqui é o famoso nó um esse aqui é o famoso nó do isso daqui é a constante elástica da mola isso daqui é a força que age aqui que é F1 isso daqui é o F2 nós já fizemos isso juntos e esse aqui aqui é o deslocamento um e esse aqui é o deslocamento 2 há duas maneiras de apresentar isso uma é a maneira compacta se você escrever F1 e F2 que é isso isso são as forças que justificam o equilíbrio deste elemento e aqui eu vou colocar os correspondentes deslocamentos que é o 1 e o do perfeito e a relação entre força e deslocamento é a famosa Matriz de rigidez k k k e k isso aqui representa a relação entre força deslocamento de qualquer elemento de mola então para essa mola vale isso para essa mola vale isso também quando eu fizer o diagrama de corpo livrea eu aplicar isso aqui uma maneir Compacta elegante de representar uma outra maneira de representar esse equilíbrio é abrindo o sistema de equação eu faço o produto linha coluna então eu posso dizer que o F1 olha só é k que multiplica o 1 e menos o k que multiplica o 2 e da mesma maneira o produto linha coluna eu posso dizer que o F2 é - k que multiplica 1 isso aqui é o + k que multiplica o 2 O que que é isso isso aqui isso daqui é o que tem na biblioteca de elementos do software que é o elemento de mola né que nós estamos tratando aqui todos os elementos finitos têm na biblioteca a sua matriz de rigidez nós vamos falar em todos aqui mas a mola ela é importante nessa estratégia agora tem um detalhe que é importante que é uma questão didática né porque o nosso grande objetivo é entender a lógica né Nós não vamos desenvolver um software de elementos finitos a nosso foco é saber usar o software de elementos finitos e tirar resultados adequados fazer bom modelo né fazer bons modelos muito bem quando você desenvolve a formulação do elemento Isso é uma nomenclatura interna 1 do 1 do 1 do isso aqui tá lá dentro do software e aqui Normalmente quando você monta uma malha você tem A nomenclatura dos Nós da estrutura esse aqui é o nó 1 o nó 2 o nó 3 o nó 4 o nó 1 milhão Então olha só imagina que o cara tá desenvolvendo um software ele não tem a menor a mais a mais longin com a preocupação de saber qual é a numeração do nó que o cara vai Us usar para fazer o modelo dele se ele for imaginar isso aqui primeiro o cara vai ficar louco e segundo o software dele só vai ter uma aplicação o que eu tô querendo dizer com isso é que essa numeração dos Nós ela surge em função do modelo tem modelos de 10. 000 nós 20. 000 nós 1 milhão de nós nós fizemos um modelo recente de um ônibus né aí no nce que tinha 1700.

000 nós e ela tem a numeração e cada nota tem vários graus de liberdade Associados Então para que a gente não faça nenhuma confusão porque o nosso objetivo é entender o conceito essa nomenclatura interna aqui imagina nó 1 nó do né esse aqui é o primeiro nó o segundo nó do elemento lá dentro quando eu formulo o elemento isoladamente na hora que eu coloco isso na estrutura Esse é o nó um esse é o nó do Esse é o nó TR na hora que eu trago esse cara para cá fala assim pô mas você tá falando do nó um da nomenclatura lá dentro da biblioteca ou o nome o no da malha el vai dar uma confusão né então vamos fazer assim por uma questão didática nós vamos chamar os nós da estrutura por letras a b c é claro que se a estrutura tivesse 1 milhão de nós o software não pode trabalhar dessa maneira né seria uma Evidente impossibilidade né 1 milhão de letras não daria Então esse aqui é o no a esse aqui é o no B esse aqui é o no C essa aqui é a força a essa força b e a força C Essas são as forças externas aplicadas na estrutura e esses são os deslocamentos da estrutura o que que nós pretendemos né aí tem uma questão que é é importantíssima porque nós vamos traçar um caminho e é importante que a gente saiba Onde quer chegar né Senão nós vamos fazer um monte de contas para abrir o raciocínio não faz sentido físico Aliás toda vez que você estuda qual qualquer problema no âmbito né do fenômeno físico você tem que saber o que que você tá perseguindo isso me faz lembrar até uma história sem querer filosofar do cara que chega num trajeto e ele tem uma bifurcação né Tem Dois caminhos e ele não sabe qual ele pega Fala uai aí tem um carinha sentado ali com aquele ar assim tranquilo ele fala Olha onde é que vai dar esse caminho aqui Aí o cara responde né fazendo outra pergunta onde é que você quer chegar o cara fala assim é Pensando bem eu não sei bem onde eu quero chegar fal Então pega qualquer um que é tudo a mesma porcaria Pô você não sabe onde você quer chegar vai por um aí é mais ou menos o problema que eu tô falando isso porque isso acontece todo dia só muda de endereço cara eu vejo o cara trabalhar com software ele importa uma geometria e ele vai fazer uma malha e o cara começa a Gerar uma malha no software eu que você tá fazendo a malha ah não vamos fazer a malha depois a gente vê cara o modelo surge em do fenômeno físico Qual é o nosso objetivo aqui Claro é determinar a rigidez da estrutura e o que é a rigidez da estrutura primeiro o que que é rigidez é relação entre força e deslocamento O que é a rigidez da estrutura é a relação entre as forças que agem na estrutura e os deslocamentos da estrutura o que que é a rigidez de um elemento é a relação entre força e deslocamento no âmbito de um elemento Então nós vamos tentar montar as nossas equações para que a gente consiga chegar numa relação que deixe de forma explícita clara como que as forças e esses deslocamentos se relacionam porque quando a gente conseguiu chegar nisso nós determinamos a rigidez da estrutura faz sentido né se não nós vamos ficar fazendo conta aqui o que que ah vamos fazer essa com quê Ah para abrir o raciocínio ah não tá na ementa tem que ser dado pô el ficou de maluco cara cara é conversa de maluco né sabe Ah se chover amanhã eu te ligo hoje à noite Pô para com isso né então nós temos um objetivo claro que é determinar a rigidez dessa estrutura o que que é a rigidez da estrutura é relação entre forças que agem na estrutura e deslocamento na estrutura que que é a rigidez de um elemento é a força que age no elemento e o deslocamento do elemento nós não podemos jamais perder isso de foco bom tudo bem agora como é que eu vou conseguir fazer isso usando só o conhecimento que a gente tem não teve nenhum congresso de estrutura em estambul que o cara falou ó define-se a rigidez da estrutura da seguinte forma Embora tenha pess há pessoas que façam isso O que é um absurdo nós conhecemos equação de Equilíbrio nós conhecemos equação de compatibilidade e nós conhecemos diagrama de Corpo Livre nós conhecemos força interna e força externa É só isso que a gente dispõe para tentar chegar aqui na relação entre as forças que agem na estrutura e os deslocamentos na estrutura senão não faz menor sentido nós vamos começar a fazer conta sem ter um objetivo é o cara da bifurcação Então vamos fazer isso essa estrutura aqui ela está em equilíbrio então este elemento também está em equilíbrio nós vamos fazer um diagrama de Corpo Livre dele eu vou trazer esse cara para cá Olha só esse é o diagrama de Corpo Livre do primeiro elemento quer dizer quando eu trago esse cara para cá e olho para ele sozinho esse aqui é o nó um dele e esse é o nó do dele por quê Porque isso aqui tá dentro disso que a gente falou aqui eu posso jurar na Bíblia que esse cara tem que atender essa equação se senão ele não é uma mola e como é que a gente faz isso aqui olha eu tenho uma força aqui eu tenho uma força aqui tá certo ou não olha só e aqui os correspondentes componentes de deslocamento essa figura aqui é a que tá na biblioteca essa aqui é a força F1 e essa aqui é a força F2 Esse é o deslocamento um e esse é o deslocamento do só que como esse aqui é o elemento a que tem k como constante elástica nós vamos apenas dar uma personalidade para ele então isso aqui é a força a 1 Só que é a força que age no a é o fa1 e esse aqui é o fa2 este cara aqui é o deslocamento um só que T tô me referindo ao elemento a então isso daqui é o a1 e esse aqui é o A2 tudo aplicado a este elemento já tá resolvido porque isso é um elemento e eu fiz o diagrama de Corpo Livre dele esse é o nó um esse é o no do o que nós vamos aplicar nós vamos aplicar isso daqui que já tá resolvido vamos fazer isso então eu vou colocar aqui o fa1 olha só é o k que multiplica o A1 menos o ka que multiplica o A2 isso aqui vale para todas as molas do mundo inclusive para essa por isso que eu tô personalizando e colocando o fa tá certo e aqui é o fa2 que é - Ka que multiplica o a1 e mais o k que multiplica o A2 que que nós estamos fazendo nós estamos fazendo exatamente o que se aplica aqui para qualquer M se esse elemento tá em equilíbrio eu posso fazer um diagrama de Corpo Livre dele e agora o que nós vamos fazer nós vamos fazer o diagrama de Corpo Livre pro segundo elemento o segundo elemento também está em equilíbrio e nós fazer a mesma coisa e se tivesse 1 milhão de elementos 1 milhão de diagramas de Corpo Livre é isso que o software faz ele é pago para isso é muito bem pago e nós não vamos interferir no trabalho dele porque você é pago para fazer o modelo você faz modelo o software faz a conta não vamos trocar isso aí Sen não é assédio moral né ou então Invasão de Privacidade exercício ilegal da profissão já viia um cara aí do do software reclamar n co então aqui nós vamos fazer a mesma coisa nós vamos colocar as forças e os deslocamentos e montar o diagrama de Corpo Livre para esse segundo elemento depois nós vamos entender o equilíbrio da estrutura Esse é o próximo passo Ok vamos fazer isso muito bem então nós Montamos o equilí do primeiro elemento fazendo um diagrama de Corpo Livre dele usando aquilo que nós já desenvolvemos juntos Nós faremos a mesma coisa pro elemento do né o elemento b ó nós vamos colocar aqui a força Esse é o famoso no e esse é o famoso no do porque quando você tem uma biblioteca de elementos o software ele el coloca na malha el depois atualiz a numeração só isso né ele esse 1 2 passou a ser AB daqui a pouco nós vamos falar sobre isso mas então Aqui nós temos uma força aqui que é a força um né De novo isso daqui é a força F2 isso daqui é o deslocamento 1 e esse é o deslocamento do só que agora nós estamos falando do elemento B que tem uma constante elástica KB Então esse F1 e F2 nós vamos colocar novamente só que esse daqui é o fb1 e esse aqui é o fb2 esse daqui é o u1 e esse aqui é o u B2 quando você faz um diagrama de Corpo Livre Essa é a mola que nós Já estudamos então aqui vai aparecer nós vamos montar as equações ó a equação aqui isso aqui vale para qualquer mola do mundo inclusive para essa então vamos adaptar aqui nós vamos colocar fb1 iG KB que multiplica o b1 né e menos KB que multiplica o b2 e Aqui nós temos o fb2 que o fb2 é - KB que multiplica o B1 e mais KB que multiplica o b2 se eu tivesse um modelo com 1 milhão de molas para cada mola essa equação é verdadeira isso aí é o diagrama de Corpo Livre o modelo com 1 milhão de elementos 1 milhão de diagramas de Corpo Livre é isso aqui só que aí tem uma outra questão se você tem essa estrutura em equilíbrio vamos dar vida para este aqui né olha aqui imagina esse cara como as for sãoas ente nos nós se eu pegar este cara e trouxer para cá se a estrutura tá em equilíbrio todos os nós do modelo estão em equilíbrio o somatório das forças tem que ser igual a zero Agora se a gente olhar para essa figura e isolar esse cara esse carinha aqui que é o b a mola a tem uma ação sobre ele deve trocar força com ele e a mola B também deve trocar ação com ele aplica uma força nele e a força externa FB também esse cara tá sendo puxado por três caras né tem a mola a tem a bola b e tem a força externa agora tem uma outra maneira de enxergar isso nin eu vou fazer um desenhinho aqui que um desenho que lá na frente nós vamos voltar nele eu vou fazer uma conta com vocês aqui aqui ó eu vou pegar uma molinha aqui e vou pegar uma outra mola aqui tá certo duas molas essa mola tem uma constante k1 e essa mola tem uma constante K2 e nós vamos aplicar uma força F aqui quando eu aplico uma força F nós vamos provocar o me mesmo deslocamento Delta aqui olha só uma força é transmitida aqui F1 e outra força aqui o F2 Tá certo ou seja se essas duas molas se deformam essa daqui deformou essa daqui deformou Qual é a força 1 a força 1 é o k1 vezes o delta e a força 2 esta daqui é o K2 vezes o mesmo Delta porque eu tô impondo o mesmo deslocamento que eu quero dizer o seguinte quando você aplica uma força F já que o delta é o mesmo a força maior é aplicada na mola que tem maior rigidez como o deslocamento é o mesmo o que eu quero dizer é assim numa estrutura as forças distribuem de acordo com a rigidez Olha o conceito de rigidez novamente se manifestando quer dizer o projetista de estrutura ele tem que entender como é que a distribuição da rigidez da estrutura é para poder saber como é que as forças caminham esse seria o projeto mais inteligente então tô dizendo isso aqui ó eu tenho uma força aqui F1 e eu tenho uma força F2 e que não é muito diferente disso né que que eu quero dizer quando você aplica uma força aqui externa uma parte vai pra mula um outra parte vai pra mula dois porque o deslocamento é o mesmo esses caras estão juntos uma mola Não tá desprendendo da outra ou seja uma parte vem para cá e outra parte vai para lá se você pegar uma mola aqui de constante 1000 k força por milímetro e uma aqui de um na hora que você faz isso aqui a maior força vai ser usada para deformar essa mola a outra só dá apoio moral né que eu quero dizer o seguinte quando você aplica essa força aqui uma parte vem para cá e outra parte vem para cá em resumo o que nós estamos dizendo é o seguinte quando eu aplico essa força aqui FB essa força FB uma parte vem para cá que é o fa2 e a outra parte vai para lá que é o fb1 essa força uma parte é jogada para cá e outra parte é para lá porque o deslocamento é comum o que eu quero dizer é que esse deslocamento é igual a esse é igual a esse Isso é uma equação de compatibilidade senão a estrutura tá abrindo no meio Tá certo e da mesma maneira eu posso dizer que o fa o fa é igual ao fa1 e da mesma maneira nós podemos dizer que o FC é igual a esse cara que é igual ao f B2 Olha só nós temos três equações a equação fa que é igual a fa A1 que é esse povo todo que tá aqui o FB que é a soma deste cara mais este cara e o FC que é este cara que tá aqui que agora vamos voltar pro cara lá da bifurcação né Onde você quer chegar eu quero chegar numa relação que tem as forças que agem na estrutura e os deslocamentos da estrutura essa relação aqui tem deslocamentos então vamos escrever essas equações e tentar enxergar isso nessas equações porque esse é o objetivo final então eu vamos copiar essas relações aqui eu vou colocar o fa é igual a fa1 Tá certo então olha só vou escrever aqui o fa agora vamos fazer isso com cuidado pra gente poder o fa é iG fa1 k A1 Men K2 confere k o A1 menos Ka o A2 o FB nós já Montamos vamos aqui ó o FB é a soma do fa2 mais o fb1 - k A1 mais k A2 vamos escrever Men k oa1 e mais o k o A2 só que eu tenho mais um termo o termo é o fb1 ó KB B1 Men KB B2 mais KB o b1 Men KB o b2 e finalmente o FC o que que é o FC o FC é o fb2 que é este cara aqui menos KB o B1 e mais KB o b2 Olha só Qual é o nosso objetivo é calcular a rigidez desta estrutura O que é a rigidez desta estrutura é a relação entre as forças que agem na estrutura e os deslocamentos da estrutura Aqui nós temos as forças que agem na estrutura nós já temos o olha aqui ó fa FB FC aqui Eu precisaria ter os deslocamentos da estrutura o a o b e o c se nós conseguimos isso nós chegamos no nosso objetivo é questão de organizar só que aí Ah mas eu não tenho o a o b e o c mas olha só olha só esse cara é u A1 Esse ua1 é exatamente o a eu vou marcar aqui ó o A1 é o a este cara aqui o A2 e o b1 são o próprio B Isso é uma equação de compatibilidade se for diferente a estrutura tá abrindo no meio e esse o c aqui é igual ao B2 Então olha só esses caras aqui isso é uma equação de compatibilidade Então nós vamos substitui na equação nós vamos pegar esses termos aqui esses termos que estão aqui e nós vamos atualizá-los de acordo com a nomenclatura da estrutura quem é o A1 é esse cara que é o a quem é o A2 é o b quem é o A1 é o a quem é o A2 é o b e quem é o ub1 olha só olha o b1 aqui ó é o próprio b e aqui é o c aqui é o b e aqui é o c nós estamos a um passo da solução do nosso problema é montar a relação entre as forças que agem na estrutura e os deslocamentos da estrutura vamos reescrever de forma melhor essa equação então agora transformado pra linguagem da estrutura fa igual a k que multiplica o a - k que multiplica o qu o B aqui entra o FB que é - K que multiplica o a só que aqui eu tenho b e o b Vamos fatorar né vai aplicar aqui k + KB que multiplica o b e aqui eu tenho - KB que multiplica o c bom aqui o c não contribuiu com nada então vou colocar zer vezes o c e finalmente Aqui nós temos o c bom nesse caso agora aqui o o a não contribui com nada né então vou colocar z0 que multiplica o a menos KB que multiplica o b e mais KB que multiplica o c Olha só isso são as forças que agem na estrutura e esses são os deslocamentos da estrutura então nós estamos chegando na relação entre as forças que agem na estrutura e os deslocamentos da estrutura então nós estamos na determinação da Matriz de rigidez da estrutura só organizar na forma matricial vamos representar isso daqui na forma de Matriz Então nós vamos colocar aqui fa a Vamos colocar FB e FC Essas são as forças que agem na estrutura e do outro lado nós vamos colocar os deslocamentos da estrutura agora o a o b e o c e a relação entre os dois vai ser a matriz de rigidez da estrutura que nós vamos colocar aqui ó Isso aqui é k isso aqui é Men k isso daqui é - k e aqui vai aparecer o k mais KB aqui vai aparecer Men B aqui vai aparecer menos KB e aqui vai aparecer o KB Olha só onde a gente chegou olha só nós chegamos nas relações entre as forças que agem na estrutura e os deslocamentos da estrutura então este cara aqui é a matriz de rigidez da estrutura montado montado olha só aqui ó Quem é esse cara aqui ó olha só e esse outro aqui ó Isso aqui é a matriz de de rigidez do elemento a e isso aqui é a matriz de rigidez do elemento b então nós estamos observando que a matriz de rigidez da estrutura ela pode ser montada a partir da Matriz de rigidez de cada um dos seus elementos Olha só se a gente conseguir entender a lógica de fazer essa montagem o software ele pode fazer essa montagem sem a aplicar as equações de equilíbrio de compatibilidade como a gente fez Tá certo simplesmente transformar as equações de Equilíbrio num procedimento de montagem onde a partir da rigidez de cada elemento você monta a rigidez da estrutura isso para montar um algoritmo é fantástico Pô o software vai fazer isso com uma rapidez imensa né o problema dele é aplicar as equações de Equilíbrio e compatibilidade aliás tem um negócio interessante aqui olha só tá vendo aqui ó esse zero aqui ele tem um sentido físico daqui a pouco nós vamos comentar sobre isso ou seja nós conseguimos por intermédio da aplicação simplesmente das equações de Equilíbrio e compatibilidade e da equação força deslocamento para um elemento que é o diagrama de Corpo Livre chegar na matriz de rigidez da estrutura a partir da Matriz de rigidez de cada um dos seus elementos E isso se a gente conseguir através de um procedimento geral estabelecer um algoritmo para fazer isso o software não raciocina pô ele vai fazer o procedimento de montagem a a Rigor quando ele faz essa montagem Ele tem um profundo desconhecimento da aplicação das leis é isso que nós vamos tentar fazer juntos a seguir Tá certo transformar isso daqui de maneira que o software faça a montagem de uma maneira automática Quem faz o modelo é o usuário o software só monta a rigidez da estrutura ele é pago para fazer isso não para fazer modelo e nem para aplicar a equação de Equilíbrio e compatibilidade Ok é o que nós vamos fazer a seguir muito bem eh nós conseguimos montar a matriz de rigidez da estrutura se uma lógica o que que é a matriz de rigidez do elemento é a relação entre força e deslocamento no âmbito do elemento o que que é matriz de rigidez da estrutura é a relação entre as forças que agem na estrutura e os deslocamentos da estrutura é o que nós estamos vendo aqui agora nós passamos por um árduo processo de aplicação de de equação de Equilíbrio e compatibilidade né quer dizer o software tem uma capacidade gigantesca de fazer operações matemáticas mas tem um problema né isso aqui com toda modéstia nós somos melhor do que ele né porque se ele for parar para pensar e considerar tudo isso que nós fizemos aqui agora imagina um modelo que tem 1 milhão de nós 2 milhões de nós que hoje é uma coisa até normal se a gente conseguir transformar isso daqui num algoritmo isso seria muito interessante Então vamos vamos pensar juntos um pouquinho nós vamos voltar no velho conceito de rigidez Olha só no velho conceito de rigidez eu vou desenhar aqui uma mola ó uma mola essa mola ela trabalha entre o nó um e o nó do e ela tem uma constante k aí você vai montar a matriz dirigidas dessa mola Olha só eu vou desenhar aqui a matriz de rigidez dessa mola que é k é k - k e - k só que tem um detalhe um pequeno detalhe Quando eu olho pra Matriz isso daqui é a coluna um e isso daqui é a coluna dois isso aqui é a linha 1 isso aqui é a linha 2 genericamente eu posso dizer que isso é o k11 e esse é o k12 esse aqui é o k21 e esse aqui é o k22 que tem um significado físico concreto o que que é o k1 é a força em um devido ao deslocamento unitário em um e o outro tá bloqueado O que que é o k1 2 é a força em um devido ao deslocamento unitário em dois e os outros estão bloqueados o que que é o K2 um é a força em dois quando eu dou o deslocamento unitário em um e o outro tá bloqueado e assim sucessivamente só que quando a gente diz isso nós fizemos a aplicação das equações de equilíbrios e Chegamos aqui isso nós já discutimos só que olha só o que nós estamos dizendo o que que é o k11 é a força em um devido ao deslocamento unitário que eu dou em um e o outro tá bloqueado O que que é o k1 2 é a força em um quando eu dou um deslocamento unitário em dois o que que é o k21 é a força em do quando eu dou o deslocamento unitário em um e o que que é o k22 é a força em dois quando eu dou um deslocamento unitário em dois e o outro tá bloqueado isso daqui é muito mais que uma linha e uma coluna isso aqui representa a localização no elemento Ou seja é o que que é o k1 é a força no local um devido ao deslocamento unitário no próprio PR local 1 o que que é o k1 2 é a força no local 1 quando eu dou um deslocamento unitário no local 2 O que que é o k21 é a força em do quando eu dou um deslocamento unitário no local um isso é um vetor de localização quando eu escrevo isso daqui isso aqui é muito mais do que uma linha uma coluna isso quer dizer que a mola trabalha entre um e dois olha só eu tô definindo a posição do elemento naquela montagem estrutural só mudou o endereço vamos representar o nosso modelo aqui esse aqui é o no a esse aqui é o nó B esse aqui é o nó C isso daqui é k isso aqui é o KB usando o conceito de Vetor de localização nós vamos representar a matriz de rigidez do elemento a o elemento a na biblioteca Ele trabalha entre um e dois quando eu coloco na estrutura Ele trabalha entre a e b então isso daqui é o k isso é o k isso é o - k isso é o menos k ou seja o um assumiu agora p personalidade do a e o do assumiu a personalidade do B quando a gente monta o segundo elemento isso aqui é o BC isso aqui é KB isso aqui é KB isso é menos KB isso é menos KB agora nós vamos montar a matriz de ridez na estrutura Qual é a ideia a ideia é isso que o software faz né o software ele o vetor de localização PR estrutura inteira a estrutura trabalha entre a b e c a b e c e aí ele começa a fazer a busca ele vai na linha a coluna a linha a coluna A aí ele vai na primeira Matriz linha a coluna A Opa tem o k eu coloco aqui ele vai na segunda Matriz tem linha a coluna A não tem ele soma com zer se tiver 1 milhão de elementos ele vai fazer 1 milhão de buscas olha só Aí ele vai na linha a coluna B ele vai na primeira linha a coluna B - Ka ele vai no segundo elemento não tem linha a coluna B ele soma com zero aí ele parte pro terceiro linha a coluna C linha a coluna C aqui não tem não tem Ac aqui e na segunda também não tem AC então ele coloca zero aqui se tiver 1 milhão de elementos ele é pago para fazer isso o software é pago para fazer isso agora olha só o que tá escrito aqui que o KC é igual a 0 como é que eu interpreto isso o que que é KC é a força em a devido ao deslocamento unitário em C e os outros estão bloqueados Você bloqueia esse cara aqui e você bloqueia aqui e dá um deslocamento unitário aqui quanto é que vale a força lá é zero linha B coluna a linha B coluna A - K mais alguém não linha B coluna B ó linha B coluna B tem esse cara que é o k só que aqui também tem linha B coluna B tem o KB então eu somo com o KB O que que significa isso fisicamente é significa que o k BB é igual a Ka + KB O que é isso é a força em B devido ao deslocamento unitário em b e os outros estão bloqueados bom se você bloque que H esse cara aqui esse cara aqui e dá um deslocamento unitário você puxa essa mola ela aplica uma força para lá se empurra aplica uma força para lá a constante elástica e a soma das duas Essa é a mola equivalente e aqui os KB aqui zer CB menos KB e aqui CC né KB ou seja nós conseguimos montar a matriz de rigidez da estrutura a partir das matrizes de rigidez de cada um dos seus elementos substituindo as equações de Equilíbrio e compatibilidade por um procedimento de montagem ou seja o software Se você perguntasse ao software o que equilíbrio e compatibilidade é falar quem ele desconhece profundamente o que é isso é que nós transformamos as equações de Equilíbrio e compatibilidade num procedimento Geral de montagem onde a partir do conhecimento da rigidez de cada elemento localizado na estrutura pelo seu vetor de localização o software monta a matriz de rigidez da estrutura inteira a partir da rigidez de cada um dos seus elementos tem um detalhe aqui que vocês estão perce sabendo que decorre do procedimento de montagem a matriz de rigidez ela é simétrica né vendo aqui isso foi consequência do procedimento de montagem Há outras maneas de se demonstrar ISO usando alguns teoremas de energia depois nós vamos comentar tanto vale para um elemento como para estrutura esse o o primeiro ponto que vale ser ressaltado né agora tem uma questão que é o próximo passo que vai ser dado e isso precisa ser feito com cuidado imenso e a mola vai ser muito importante pra gente conseguir fazer isso isso é uma coisa que nós vamos tomar um cuidado grande mas que merece uma atenção importante Olha só no fundo todo esse processo né Olha só vamos vamos com calma aqui eu tenho uma estrutura contínua quantos pontos tem na estrutura contínua infinitos eu tô falando do navio do submarino do avião de um suporte de uma prótese de um chassi de qualquer componente mecânico e que você tem dificuldades para resolver por equação diferencial O que que você faz você usa o método dos elementos finitos você se o modelo tem 200. 000 nós você não está calculando o deslocamento ou equilíbrio dos infinitos mas só daqueles 200. 000 que você elegeu para ser o representante jurídico da estrutura a partir da rigidez de cada elemento você monta a rigidez da estrutura usando as equações de Equilíbrio e compatibilidade o softw sabe disso não ele desconhece profundamente nós transformamos as equações de Equilíbrio e compatibilidade num procedimento de montagem onde a partir da rigidez de cada elemento você monta a rigidez na estrutura pode ter dois milhões de nós 500.