Como mostrar que uma sucessão é limitada? Exercícios sobre sucessões limitadas 11º ano

[Música] Olá e obrigado pores mais um vídeo aprende P online não te esqueças de subscrever e de deixar um gosto D sempre uma ajuda aqui ao projeto para hoje vamos ver se ficas a saber tudo sobre sucessões limitadas que é que vais precisar ferramentas primeiro precisas de saber bem o que é um minorante um majorante e como termos de uma sucessão olhando aqui para o lado direito vamos aproveitar estas duas definições que temos aqui para minorante e majorante aqui temos As definições aplicadas a uma sucessão em particular portanto dizemos que m é o minorante dos

termos de uma sucessão quando este este m minúsculo é menor ou igual que qualquer termo desta sucessão Mas vamos pensar primeiro num exemplo mais simples com um conjunto qualquer vamos chamar a e portanto definirmos o conjunto A aqui por exemplo vamos defini-lo entre 0 e 3 até podemos defini-lo como aberto do lado zero e fechado aqui e temos um conjunto A Vamos lá ver qual é o conjunto dos minorantes por exemplo conjunto dos minorantes de a ora será qualquer valor ou um minorante será qualquer valor que seja menor ou igual que os elementos deste conjunto

portanto Se eu escolher aqui um valor Este é um minorante mas aqui também aqui também e portanto eu tirei desde menos infinito até exatamente aqui ao zero como minorantes todos eles serão minorantes incluindo o próprio zero porque fica mesmo aqui na na fronteira Depois do Outro Lado teremos os majorantes os majorantes de a e portanto qualquer elemento Como diz aqui que pertence R será majorante de um conjunto eu vou pôr outra vez aqui um conjunto qualquer a se para todo o n perente aos naturais esse H elemento for maior ou igual que um elemento do

conjunto portanto neste caso teríamos por exemplo do lado direito qualquer elemento aqui será sempre maior ou igual a a qualquer elemento do conjunto A portanto Este é majorante este também Este também Este também e podemos defini-los como sendo desde o três incluindo o 3 a mais infinito estes são os majorantes de a com isto nós até Poderíamos dizer agora que os elementos de a estariam entre dois valores portanto qualquer elemento de a poderia estar em quadrado entre o 0 e o 3 é isso que nós vamos tentar fazer com as sucessões portanto nós vamos tentar

dizer que os elementos todos de uma sucessão vamos pôr aqui o d n vão estar entre e agora aqui poderá ser menor ou menor ou igual conforme o caso entre dois valores um será o minorante o outro o majorante vamos ver aqui com um exemplo em concreto por exemplo a sucessão udn que é bastante simples vamos começar com esta ora 1 sobre n se nós pensarmos um bocadinho nos termos temos o primeiro termo que é 1 sobre 1 Depois temos o segundo que é 1 meio e depois 1/3 e por aí fora não é para

perceber como é que isto vai evoluindo ora o que nós vemos é que eles são todos positivos não faz sentido nenhum aparecer aqui um termo negativo não é então podemos já dizer que o zero será um minorante e portanto podemos já dizer que zero é menor que o d n que é o mesmo que dizer que o d n é sempre positivo é a mesma coisa mas vamos escrever já assim porque nos vai dar jeito para o enquadramento que vamos tentar fazer que é algo assim é isto que nós queremos E como eu disse tanto

pode ser com menor ou igual como como menor H agora então e um majorante O que é que poderá ser um majorante do conjunto dos termos de udn nós conseguimos perceber que de acordo com a evolução que os termos estão a ter aqui eles cada vez vão sendo menores não é portanto um sobre à medida que o n aumenta os termos no seu total na fração toda vai diminuir e portanto isto e é uma sução decrescente nós poderíamos provar mas vamos agora só simplificar um bocadinho e percebemos que todos os termos serão inferiores ou iguais

a 1 ok porque o DN é decrescente então o primeiro termo o u de vai funcionar como majorante podemos usar este como majorante Então temos aqui já o tal enquadramento de que eu falava é isto que nós queremos obter quando nós dizemos que termos da sucessão todos todos estão entre dois valores um funciona como o minorante o outro como majorante então concluímos que o DN é uma sucessão limitada Ok portanto isto para o 1 sobre n que vai ser uma expressão ou um termo que nos vai dar muito jeito depois para outras um bocadinho mais

complicadas outras sucessões com expressões mais complicadas Então vamos avançar para o próximo então vamos deixar aqui e do lado direito o enquadramento anterior portanto udn que é 1 sobre n estava enquadrado entre estes dois valores Ok portanto isto não temos que justificar podemos usar agora e em próximas situações que e recorram a a esta expressão como base vamos ver já no vdn o vdn tem esta expressão 2n - 5 so n bom podemos fazer isto agora de duas formas por acaso até é uma expressão bastante simples de H encaminhar para esta aqui isto porquê Porque

podemos de certa forma dividir esta fração em duas ou como se partíssemos esta fração 2n so n - 5 so n e uma vez que o n é um número natural ele nunca vai ser zero podemos cortar estes dois n ficando com a expressão nesta forma portanto Esta é uma uma maneira de fazer de dar um aspecto diferente à expressão do vdn para depois conseguir o tal enquadramento que nos permite concluir ou verificar se ela é ou não limitada e este processo vai ser muito usado para este tipo de sucessões Com uma fração e um

um polinómio em n em cima e embaixo normalmente aqui com o mesmo grau para ficar com este este aspeto que está agora aqui bom esta era uma forma de fazer também poderíamos ter feito isto com uma divisão já agora fazemos aqui só para treinar 2n - 5 vai dividir por n e isto é a divisão de polinómios não é portanto aqui vamos colocar um e um termo que multiplicado por n d 2n que será 2 não é 2n e vamos passá-lo para aqui como - 2n vamos somar estes vão cancelar e vamos ficar com -5

como resto eh a partir daqui o que é que nós conseguimos retirar que o 2n - 5 sobre n esta divisão vai ser o quociente que está aqui que é 2 mais o resto sobre o divisor Portanto o resto sobre o divisor neste caso vai ficar menos porque era -5 ali no resto e portanto vamos colocar -5 sobre n portanto cá está obtemos uma expressão deste tipo Ok ou por divisão ou às vezes simplesmente separando isto em duas frações Então vamos lá agora a partir daqui vamos só criar mais espaço e vamos agora fazer o

tal enquadramento Portanto vamos partir sempre de uma expressão assim mais simples que se baseia nesta ideia um sobre n seria ainda mais simples podemos começar ou com 1 sobre n ou com 5 sobre n mas se quisermos Então vamos fazer já com 1 so n Então como já temos este enquadramento que sabemos que varia entre 0 e 1 agora vamos construindo a expressão progressivamente vamos multiplicar por 5 no centro 5 xes 1 sobre n ficamos com 5 so n aqui vai dar 0 do lado esquerdo e aqui vai dar 5 agora vamos multiplicar por os1

para criar aquele menos ali mas atenção não é multiplicando por menos um vai trocar o sentido destas desigualdades portanto aqui menos fica zero na mesma e ficaria -5 depois falta-nos juntar o 2 ora ficava 2 - 5 so n Vamos lá ver se ainda consigo aqui escrever Ainda dá eh maior aqui deste lado e fica dois não é juntamos dois do lado esquerdo e 2 do lado direito e ficamos com - 3 O que significa que nós conseguimos concluir aquela expressão que está ali esta expressão corresponde ao vdn que já foi transformado inicialmente era assim

e portanto conseguimos dizer que o vdn está entre e agora vamos virar isto ao contrário vamos pôr da esquerda para a direita por ordem crescente Portanto vamos pôr primeiro o minorante -3 menor ou igual vdn e do outro lado o majorante Só Por uma questão de leitura isto acontece sempre para todo do n pertencente aos naturais logo o que que concluímos que vdn é uma sucessão limitada Ok portanto para este tipo de expressões aqui uma fração polinómio n em cima outro em baixo com o mesmo grau normalmente Fazemos uma divisão e tendo uma forma deste

tipo conseguimos depois usar este processo de enquadramento que fizemos aqui ok vamos ao próximo agora temos o ADN que tem uma expressão um pouco diferente este n qu sugere qualquer coisa até se pensarmos nas funções uma função se fosse f x = x qu seria uma parábola e se pensarmos nessa parábola e se fizermos a variável crescer cada vez mais portanto no caso do ADN estamos a falar de uma variável é n e portanto vamos dar valores 1 2 3 4 mas no fundo os termos vão assentar numa parábola portanto eles vão crescer assim o

que significa que à medida que o n aumenta para mais infinito o que é que está a acontecer os termos cada vez serão maiores portanto será 1 2 aliás 1 depois já será 2 qu 4 9 16 25 por aí fora ora o que é que isto nos diz nós até conseguiria encontrar um minorante uma vez que este o primeiro termo seria 1 depois já seria 2 4 O problema é que não conseguimos encontrar um majorante não conseguimos dizer aão não vai crescer mais do que um certo valor vai sempre ultrapassar esse valor portanto que

é que nós concluímos como ADN aão não tem majorante porquê cresce eh infinitamente e não é limitada Ok pronto e temos aqui agora um exemplo de uma sução que não é limitada haveria outras por exemplo podíamos pensar em dois n + 1 a mesma coisa os termos vão crescer crescer crescer infinitamente bom então avançando agora para a wn a outra sucessão temos aqui um caso especial em que a sessão eh vai ter um comportamento diferente conforme o n seja par ou ímpar portanto Vamos separar isto em n ímpar vamos analisar os dois casos e n

par ora para n impar o que é que acontece wn vai dar 3S vezes e este -1 elevado se o n for ímpar n + 1 é par e portanto o -1 elevado a um expoente par vai dar positivo vai dar um então no caso do n ser ímpar Isto vai dar 3 Ok porquê Porque o n + 1 vai ser par no caso do n ser par os termos vão dar o quê esta potência o n+ 1 vai ser ímpar e portanto -1 elevado a 1 ímpar vai dar -1 -1 x 3 vai nos

dar -3 só colocar aqui porque o n+ 1 é ímpar e já agora pomos aqui também o -1 elevado n+ 1 seria sempre igual a -1 e aqui o -1 elevado n + 1 seria sempre igual a 1 pronto então nós temos estes dois valores ora o que é que acontece todos os termos da sucessão serão ou 3 ou men 3 Então o que é que nós vemos que podemos enquadrar os termos todos entre estes dois valores entre -3 e 3 Podemos dizer que a sucessão não tem termos fora deste deste intervalo deste enquadramento conclusão

wn é limitada Ok a seguir vamos já passar ao Próximo exercício bdn no bdn nós vamos agora fazer algo semelhante vamos também separar entre a situação para o n ímpar e para o n par Ok vamos fazer isso começando pelo nar e eu vou aqui or se é n considerar o n Vai ser 1 3 5 etc e o que é que temos aqui temos uma expressão do tipo uma fração temos um polinómio em cima outro em baixo Portanto vamos fazer o que já aqui fizemos vamos dividir poderíamos fazer agora aqui ou a divisão de

polinómios fazer mesmo o n + 3 a dividir por n e vamos fazer nos dois utilizando os dois processos vamos fazer aqui por exemplo vamos usar 1 x n dá n passamos para aqui e - n depois vamos somar estes cancelam e baixando aqui o 3 temos o resto Portanto o que conseguimos ver é que esta expressão n + 3 so n ficará o quê o quociente 1 mais o resto que é 3 a dividir pelo divisor portanto 1 + 3 so n Ok Este é o processo mais geral Mas neste caso em particular até

podíamos ter feito isto de maneira bastante mais simples uma vez que temos uma fração que tem aqui uma soma no numerador e portanto podemos separá-la em n so n + 3 so n n so n considerando que o n não vai e ser zero podemos cortar e ficamos com 1 + 3 so n portanto ou com um processo ou outro conseguimos chegar a uma expressão desta forma e é neste nesta forma que nós vamos trabalhar o tal enquadramento que usamos há pouco Vamos partir por exemplo neste caso de 3 so n Vamos partir daqui e

vamos construindo progressivamente a expressão então o 3 so n novamente é uma sucessão de termos positivos e portanto podemos usar já o zero como minorante por outro lado 3 so n também vai ter e um comportamento decrescente não é vai ser o primeiro termo quando o n for 1 vai dar 3 depois não esquecendo que estamos a trabalhar com n ímpar o segundo termo deste desta subs seria para n = a 3 portanto 3 so 3 que iria dar 1 e iria sempre decrescendo sem nunca chegar a zero não é portanto podemos usar o maior

destes termos que é o primeiro como majorante então será menor ou igual a 3 Ok isto para n ímpar agora ainda não está Falta só juntar-lhe e aqui o um para ter a expressão toda vamos somar o no centro e então somamos aqui nas pontas 0 mais 1 e o 1 + 3 ficamos com 4 agora sim temos o enquadramento para n ímpar agora vamos para n par e aqui atenção por isso é que eu coloquei aqui no caso do n ímpar esta indicação com o 1 3 5 porque às vezes quando chegamos ao caso

par deixamos passar aqui um pormenor importante Ora se será o n par nós vamos começar não para n = a 1 mas sim para n = a 2 obviamente portanto eu vou usar 2 4 6 etc Isto vai ter depois consequências no enquadramento então para n par até temos uma expressão mais simples que é 1 sobre n e se recordarmos O que utilizamos até agora por exemplo aqui ao lado nós vimos que o 1 so n iria ter só termos positivos e aqui vai continuar a ter portanto eu vou na mesma usar o zero como

minorante mas atenção ao majorante porque no geral se eu estiver a trabalhar com o n natural e não necessariamente n par eu vou ter como maior termo da sucessão o um não é se eu fizer o primeiro termo vai dar 1 sobre 1 e depois a partir daí vai decrescendo mas se nós temos o n par Qual será o primeiro termo desta sucessão agora já não vai ser 1 mas sim o 1/2 não é fazendo o n = a 2 para começar vamos obter 1/2 depois já seria 1 sobre 4 1 sobre 6 vai diminuindo

Então o majorante que vamos usar vai ser o 1 me Ok ora já está a expressão toda aqui vamos agora pegar nestas duas nos dois enquadramentos que temos este para n ímpar este para NP e vamos criar um enquadramento para toda a sucessão porque é isso que nós queremos queremos mostrar que ou ver ficar não é Mas neste momento está encaminhado para isso e verificar se será ou não limitada então para a sucessão toda agora o u de n todo portanto para n natural nós vamos pensar Então temos um enquadramento para n par vamos fazer

até aqui o seguinte vamos colocar aqui na reta numérica e ver os termos de H ordem impar estão aqui enquadrados entre 1 e 4 então os termos de ordem par eles estão enquadrados entre 0 e 1/2 Ok portanto algos por aqui teremos os termos de ordem par agora queremos um enquadramento para toda todos os termos da sucessão Então vamos buscar o mais à esquerda que conseguirmos para minorante vamos usar o zero Ok então este será o minorante para o conjunto de todos os termos vamos ter zero é menor e este zero nunca vai ser atingido

está aqui menor não está menor ou igual Portanto vamos continuar a usar menor que o de n e agora do lado direito podemos usar como majorante para todos todos os termos o qu ora o quatro existe um termo quatro Portanto vamos colocar igual não é Então temos menor ou igual a 4 e isto agora já acontece para todo o n Então temos aqui aqui um enquadramento para a sucessão para os os termos todos da sucessão udn então concluímos que o udn é uma sucessão limitada Ok e tá feito portanto este ée o caso já um

bocadinho mais difícil o que é que fazemos trabalhar o enquadramento para n ímpar para n par e depois então reunir tudo num só enquadramento para os termos da sucessão Ok pronto continua a PR procura no site aprend online mais vídeos e dá o máximo Ok até à próxima [Música]