Geometria Diferencial | 7 Aplicações do Teorema de Gauss Bonnet (Versão Local)

a complicação do da versão local né que é um caso mais mas simples o que que ilustra se você conhece transporte paralelo você tem informação sobre transporte paralelo de uma superfície Então você consegue calcular a curvatura de cálcio E aí o amor chato Qual é o qual é a ideia a ideia seguinte a lembrança vai ser aplicação número um o teorema de Gauss banheiro só você imagina que você tem uma superfície essa orientada e pega um ponto P Oi e aí você pega uma curva fechada pequenininha aqui e a ser parametrizada por uma Alpha de

ter e parametrizado de maneira positiva você já leva Fronteira de uma região simples bom e que dar uma volta em torno do pé certo e eu pego uma figura assim e aí a ideia que você vai escolher você vai pegar um vetor Escolhe um ponto da curva ser pega um vetor qualquer e se chama de w0 E aí você faz o transporte paralelo desse vetor w0 ao longo da curva certa bom então não há razão pela qual não tem porquê e o transporte paralelo conhecida com w0 quando você der volta completa pode dar muito bem

um vetor diferente e eu quero determinar exatamente o que acontece com esse vetor que eu vou pegar o transporte paralelo os dados de até e ele vai voltar aqui um WD Oi Dede digamos é que o dado de ar eu quero determinar então quanto que é esse ângulo aqui você acha quanto que há quanto quantos km de férias do vetor original certo eu como é que eu faço isso eu imagino que isso aqui com uma curva é pequena está contido na imagem é uma parametrização x ortogonal Tudo bem não tem problema na curva tá aqui

Oi e a ideia que você tem então esse esse ângulo né você quer medir então quanto que o transporte paralelo varia quando você dá uma volta você pode medir o ângulo com respeito dois vetores diferentes um deles é o vetor coordenado a chisu né e o outro Qual outra ver o que eu posso comprar e aqui outro Campo natural ao longo da curva seu tempo para usar aqui ó e o trajeto da curva não vetor velocidade esse é outro Campo e eu também tenho é o alfa linha aqui né Olá tudo bem então vamos lá

o w de ter é o transporte em paralelo e ao longo de ser e do vetor w0 eu pego é unitário e aí eu posso então medir o ângulo e eu vou chamar de é de alfa alfa alfa na boleta chamar detecta o ângulo uma função ângulo orientada que mede o ângulo entalado entre o X1 sobre nome de Jesus e o transporte paralelo a bom então esse vai ser o meu ângulo teta então a gente sabe que que eu quero calcular é exatamente a variação total de teto eu não quero calcular E aí nós queremos

calcular e o teto DP - tempo de ar que é igual a integral do de teto a b c d a b a a baixar o campo X1 existem toda toda a superfície né Então almedia essa taxa de variação do ângulo que mede de transporte paralelo faz com x o tô medindo variação total se você já deve ter uma forma então a fórmula era que o valor algébrico da derivada covariante do w O que é zero porque o campo é paralelo é igual ao valor gebco a derivada covariante do X11 E aí é mas a

derivada do ângulo e essa é a primeira forma bom mas Eu mencionei aqui que tem um terceiro Campo que a gente pode usar que é o campo ou farinha é o seu com para o campo farinha com novamente esse angustioso bom então eu vou introduzir Um Novo Ângulo aqui que o ângulo Beta que o ângulo que os isso faz um e com farinha para a gente sabe que e a valor gebco da derivada covariante do Alfa linha igual novamente a isso daqui é mas a derivada do ângulo ângulo que o ângulo Beta Ah tá certo

só que o que que é isso aqui né a curvatura geodésica é isso a farinha pego parametrizada pelo comprimento de arco aqui é exatamente a definição da corretora gs1 o seu elimino nesse sistema aqui se eu elimino esse termo eu vou concluir então que a que eu tinha 0 né e eu vou concluir então que o de teto de ter é igual a menos esse cara né você que é igual a menos curvatura geodésica menos a derivada do ângulo eu passo aí tá errado e vamos continuar para ver se dá certo né aparentemente tá certo

aí né então agora eu quero calcular variação total do ângulo reto então eu entrego essa fórmula então integrando né e a tenha Ah tá trocado e isso acho que tá cê tá certo quer mais né ou menos menos mais um tu mora para certa eu tô integrado a gente tem que a variação total do ângulo teta é igual essa integral e vai ser igual a menos a integral da curvatura geodésica E como está parametrizada pelo comprimento de arco né então o te esta sobre a cor você né é mas a variação total do Beto e

isso E aí E agora o que que é isso aqui e o Beta é o angulo que o campo condenado faz com a velocidade e esse é a fronteira de uma região simples que tá positivamente orientada não Quanto que é a variação total da tangente quando comparado com o vetor ordenado a2p Esse é o problema doente de rotação a gente comentou na aula passada pelo o teorema a doença bota só E aí e essa variação aqui é dois PE Tá certo e eu tô pegando aqui a a curva seco música no Fronteira de uma região

R1 Dr é uma região simples e a construída numa imagem e não parametrização ortogonal Oi e a fronteira tá positivamente orientada e até gente dá uma variação total de dois Picos logo conclusão é que a variação do transporte paralelo é igual a menos a integral da curvatura geodésica sobre a curva C que é a fronteira da região R mais 2p só que pelo teorema de Gauss boné nesse caso a curva é é suave porque ela não tem não tem Vert não tem ângulo externo pelo teorema de Gauss Vanessa que é exatamente igual a integral e

da curvatura de galos isso é sobre a região sobre a região Air em algum erro aí né Qual que é o erro isso e a E aí E aí eu acho que tá certo e é isso mesmo então pergunto como é que Eu determino então a curvatura de Gauss a parte do transporte paralelo eu divido pela área de Edna é uma ideia que a conclusão como é que eu posso calcular a curvatura degraus um ponto P usando esse procedimento eu pego uma curva ser muito pequena em torno de p cor um vetor ao longo da

curva faz transporte paralelo então eu vou medir essa variação total eu vou dividir pela área da região Oi e aí eu tomo o limite disso quando a região R vai para o. e pensa que é exatamente a integral da curvatura de galos e vida pela área quando a região vai para um ponto e se converge para o valor da curvatura no.pa o status e o camarão da história que o conhecimento do transporte paralelo te dar o conhecimento da curvatura de graus C G1 a minha cobertura média o que você acha E aí a minha pergunta

é se transporte paralelo pode ser usado para calcular com outra médio esses acho é sim ou não E aí 14 por baixo como E aí o acesso poder conseguir alguma coisa assim não e o valor valor preciso então do do a essa estimativa que você deu e ela ela vale mas só da Igualdade sou contra um bico né que é uma propriedade ele está em segundos E se eu quiser calcular precisamente a curvatura em média a partir do transporte paralelo é possível ou não é isso não né qual o exemplo você por mais simples a

planície lembro né lá no tem cobertura média 0 Eu já falei isso aqui né cilindro tem cobertura média no sobre E aí um pedacinho do claro e um pedacinho do cilindro tem o mesmo transporte paralelo porque eles são localmente isométricos e transporte paralelo é um conceito intenso não dá para chegar à cultura Mary por aí porque a condutora média distingue o seu dentro do plano e enquanto que o transporte paralelo não ok ok é muito bem então vamos lá vamos continuar aplicações essa é a primeira que de fato é uma aplicação do teorema local né

que eu só usei regiões muito pequenos vamos agora versão global a aplicação dois já foi mencionada aqui na aula passada ela disse que Seus perfis ISS é compacta e sem bordo e continue R3 implica que ela é orientada então a integral do cobertura de graus = 2 p vez da características horas Tá certo eu já tenho esse nada aqui e a razão né quiser beleza desse teorema não deu lado você tem a geometria do outro lado topologia da da superfície elas são exemplo de um problema global que conecta as duas coisas sabe Ou seja você

poderia imaginar Que e a curvatura do espaço como é um conceito local não deveria digamos afetado com logia toda né Mas quatro sim afeta de uma maneira Sutil mais afeta a carta por exemplo característico de Helena é a então um aplicação três que seguem direto da 2 Essa é a de que se você tem uma superfície e e do R3 novamente compactas em bordo 1 e esse você sabe que a curvatura de Gauss é extremamente positivo em todo. Então essas superfícies é o meu mal foi espera e já tem que ser uma coisa assim mas

tem que ser o meu amor foi espera bom meu desenho tá tá ruim porque eu tô supondo que a curvatura é positiva então todos os pontos deveriam ser umbilicus né você é meio intuitivo você imagina uma superfície que todos os pontos são bíblicos ela vai ter que ser uma coisa conversa assim tipo um elipsóide né O que é o meu moffa espero é só demonstração é é bom como a curvatura é positiva a integral da curvatura também positiva logo a característica de óleo é Positivo pelo teorema de Gauss boné mas a gente usa o teorema

de classificação das superfícies compactas sem bordo orientados que diz que a esfera é a única que tem característica de óleo positiva que a parte do touro é característico de olha passa a ser não positiva né uma das orientadas a única que tem característica positiva é esfera 1 E aí e aqui não né falei antes e eu falei eu falei modelos e eu falei falei errado essa Elite que você queria dizer e essa é todos os cobertura positiva empresa que todos os pontos são elétricos é a figura deve ser uma coisa tipo um o valor de

assim um elipsóide Então já era intuitivo que deveria ser o meu amor foi espero mas essa é a prova usando a Claro esse resultado de Antropologia i Oi chata e para esse tipo de aplicação na verdade é o exemplo mais simples de um de todo uma uma direção na que hoje o metrô se interessam quer entender é quer considerar o seguinte problema que você me dá a superfície ou a variedade topológica E aí eu quero saber quais são as geometrias né Quais são as curvaturas que aquele objeto pode assumir por exemplo eu pegar um toque

pode perguntar será que um touro admite uma geometria que a curvatura seja positiva resposta não né pelo teorema de que o teorema de Gauss banheiro certo só ter uma ligação redes que só só a espera pode fazer isso então é só um exemplo é de uma situação que é muito um exemplo de o resultado E aí é o que faz o seguinte você coloca se você tem uma informação sobre a curvatura nada do objeto e na variedade da superfície e você consegue determinar o tipo topológico dela E aí Ah então pode ser estendido para a

dimensão mais alta Ah e só para ilustrar que isso ainda tem muita coisa para fazer não se conhece por exemplo quais são as variedades quais são todas as variedades que tem uma geometria de curvatura positivas um problema tem toda uma área de pesquisa em torno disso caso dimensão dois as coisas são mais simples do gás banheiro diz que só só espera Oi ok um monte de comentário que de fato o plano projetivo também tem uma geometria de curvatura positivo é só que essa geometria não pode o vídeo uma superfície do r31 se você tem que

e a você tem que dar um se você pensa no plano positivo com uma superfície nela mesmo né seja como a primeira forma fundamental que portanto pelo teorema de Gauss te dar uma uma curvatura de Gauss É de fato também tem uma geometria no plano projetivo que tem curvatura positivo só que não consegue colocar ela no número três consegue no dimensão mais alta mas não e não não r13 para ler para superfícies do ambientalista e como ela tá numa represa compactas em bordo já emprego aquela orientada a o ok então essa aplicação 31 a aplicação

4 E aí e qual é a aplicação 4 e a aplicação quatro é seguinte e imagina que você tem uma superfície é assim uma superfície e e com cobertura de Gauss não positiva menor ou igual a zero certo bom então e não existe a região é simples ó a r e cuja Fronteira Essa é a união é de dois Arcos geodésicos e qual é a ideia imagina que você tem o desenho assim eu tenho uma geodésica gama um aí tem uma outra geodésica a cama dois que ligam os mesmos pontos certo Imagine que elas formem

Fronteira de uma região simples r e como desenho mostra aqui tá afirmação é que esse tipo de figura não é possível se a curvatura for menor vou usar porque o que você pode aplicar os mulher Então se aplica o e o galos boné você vai ter que a integral da curvatura sobre a região mais integral da cobertura geodésica é mas a soma dos ângulos externos que no caso são dois né ângulo externo IP mas o ângulo externo em que isso é igual a 2p vezes a característica ele olha que é um porque a região é

simples mas é isso implica que a soma dos ângulos externos e é igual a bom primeiro a fronteira é uma união de arcos geodésicos a curvatura geodésica esse caso 10 não existe tanta intimidade 2 pi - a integral da cobertura de Gauss é sobre a região Mas como eu tô supondo que a cobertura de Gauss é menor igual a zero só que fica maior igual a zero tanta essa soma é maior igual q2p só que é um ângulo externo ele varia de - Pety thata a soma de dois ângulos externos só pode ser dois PE

e se ambos forem pe pe eu concordo com Tá mas o que que acontece o ângulo externo ipe né que que tá acontecendo tá andando como a geodésica aqui a cama dois aí você vai ter a velocidade dela e pegamos um tempo um o sangue estamos epi significa que e o vetor velocidade da Gama um vai ser um menos o vetor velocidade da Gama 2 em 1 que voltou se mas não pode né porque a gente sabe que uma geodésica é determinada pelo ponto e pela velocidade isso implicaria que a jogar na cama dois ter

que ter o mesmo traço que dá não Tá certo então absurdo eu peguei a região nenhuma nesse caso só que Gama dois linha de um é menos a cama da humaninha quem quiser mesmo e a E aí e na verdade é um aqui né E aí e para melhor usar para orientação positiva né Vou Colocar assim E aí nesse caso fica zero mesmo E aí E aí É mas esse implica que eu traço me diga amadores é igual o traço diga mais um que é um absurdo né Ah tá e você pode situação não pode

acontecer e isso reflete uma intuição de que curvatura positiva faz a geodésicas convergirem quanto que curvatura negativa faz elas dvg1 a cobertura negativa ali ali ela não precisa não pode fazer isso e voltar a E aí e pode formalizar essa intenção tá e lembra de uma esfera né como controle positivo a jogar esse abre mas depois eu acaba voltando depois seja na espera aquele desenho é possível E aí o Ok mais uma aplicação a aplicação 5 e a e qual é a aplicação 5 e também para superfícies de cobertura negativa Imagine que é assim uma

superfície e agora vou colocar a cobertura de 30 minutos negativa ó e vou pedir que essa seja o meu moffa é um anel o homem almofa E aí a Rommanel o certo é uma afirmação é que existe e no máximo uma geodésica tá fechada um simples a minha simples o que significa que não tem auto-interseções Ah tá Qual é a figura intuitivamente imaginam catenoide a E aí eu nunca Tenório é uma superfície que tem curvatura negativa em todos os pontos porque uma superfície mínima né Então as coberturas principais tem sinais opostos e elas nunca são

10 no caso do catenoide então o desenho do canal hoje você vai encontrar uma já nesta fechada que na cintura é fechado e simples a Gama e aplicação 5 dias que não tem nenhum outro o certo é uma geodésica o amor porque isso bom anel é o meu mofo é um plano - A Origem não é uma maneira de ver a seguinte é só para logicamente equivalente ao plano menos a a origem Então você tem as seguintes situações imagina que e eu vou pegar uma Jéssica fechada simples Gama que tá o desenho demostração demostração e

analisar alguns desenhos né Oi gente vai usar o teorema da curva de Jordan que diz que qualquer curva fechada simples no plano é a fronteira de uma região meu amor com disco bom então Digamos que a gente tem uma geodésica fechada nessa superfícies eu tô dizendo aqui só o desenho topológico né então Existem duas possibilidades essa geodésica fechada ela pode e ela limita uma região uma Pode ser que essa região não contém a origem a ser o caso de uma curva assim aqui né a receita por causa um o ou ela pode a região delimitada

pela pela curva Pode ser que contém a origem É eu sei que o desenho de uma curva assim né e esse aqui é o caso 1 e esse é o caso 21 a nossa casa branca caso 21 eu vou no caso um a gente pode usar o boné o quê para região simples é no caso um Isso vai ser uma contradição Porque o gás burner me diz que a integral da curvatura de grau sobre r e o tema de curvatura geodésica não existe eu estou supondo que ela é uma geodésica também não tem ângulo externo

porque ela é suave então graus boné me diz que isso aqui tem que dar 12 Pina é só que é um absurdo porque eu tô supondo que a curvatura é negativo Tá certo um sonho é a ser esse exemplo' e não pode acontecer tão de fato qualquer geodésica fechada simples tem que dar a volta no ponto aqui o seja o desenho original ela tem que dar uma volta a cintura aqui da superfície e Tá bom mas esse é o enunciado de unicidade não tenho tempo isso porque tem duas e mostrar uma contradição certo e eu

já sei que aconteceria que aconteceu o caso dois né tem que acontecer o caso 21 o que que não posso ter duas então E aí você divide no caso dois ai no caso 2B o caso dois a o Digamos que eu tenho duas ao descascar uma única mais dois as duas fechadas e sempre então no caso dois lados tem uma assim ah e tem outra cena é contra o caso 2B E aí e eu tenho uma sim e seria Gama um ele vem buscar outra pode não ia aceitar o chato que bom mas se acontece

o caso 2 alças ela se intersectam então eu posso olhar para um óleo um ponto de ela sente é certo e depois eu pego o ponto descem cerca de novo e a identifica então dois Arcos é de geodésica E aí e delimitando uma região simples que eu more funds on Ah mas isso é um absurdo pelo pela aplicação número 41 G1 Ah tá certo é a tal significa que tem que acontecer isso daqui ou seja elas e limitam é uma região o r que é o meu mostra o anel Então nesse caso você aplica aos

boné vou ter que a integral da curvatura de Gauss É sobre esse anel e novamente cultura Jéssica não aparece né os ângulos externos só que é dois pisos vezes a característica de Orion Bass Quanto que é a característica de óleo de um anel sabe aqui é né Se quiser pode fazer triangulação a característica de óleo de um anel é 01 e novamente dá um absurdo porque eu tô supondo que a curvatura é estritamente negativo em todos os casos deram absurda né significa então que eu não posso ter duas geodésicas voltei no máximo uma e a

figura têm que ser como no Café Note e isso é o seu permitiu sequer cobertura fosse menor ou igual a zero que vocês acho E aí E aí G1 E aí e nesse caso que dá para dizer a fazer alguma coisa E aí bom então tem pensa nesse exemplo aqui esse exemplo aqui tem cobertura negativa né mas agora eu tô perguntando que ela ela pode ser menor ou igual a zero com motor de Gláucio O que você pode fazer com esse exemplo aqui ó um exemplo é parecido com esse dá para considerar e se lembra

né se ele não tem curvatura degraus zero né porque ele é isométrico localmente é um tanto ó e Aqui você encontra e o número infinito né geodésicas fechadas simples né Cada todo paralela uma geodésica no caso do Siena foi importante que a corretora fosse estritamente negativo onde é que a prova falharia nesse último caso aqui né quando eu chegasse último caso eu teria zero de um lado aqui e Menor igual a zero aqui não daria para concluir é exatamente o que acontece com o cilindro aqui com uma curvatura zero nesse caso é possível ok G1

E aí eu quero fazer mais uma aplicação uzinha aplicação 6 E aí como é que diz agora que se essa é uma superfície e a compacta e são bordo Oi e a curvatura estritamente positiva entrada tipo 1 o velório né Ela é o meu amor faz espero Como já vimos então e a duas geodésicas a quaisquer duas geodésicas quaisquer as duas lésbicas e fechadas um simples a minha mão ainda mais 21 e tem que sentar sentar o Jackson uma questão que já apareceu o nome do exame de qualificação pouco tempo atrás apareceu esse problema agora

imagina uma espera né se você pega uma é mais para redonda por exemplo né geodésicas são grandes círculos dois grandes círculos sempre 67 que você gostaria que isso vale mais geralmente frágil dessas fechadas uma superfície de cobertura positiva a ideia agora essa gente já sabe né já sabemos que a superfície é o meu mor uma esfera E aí se você tem uma superfície eumofa a uma esfera e duas geodésicas grama em grama dois que não se intersectam E aí e como a superfície tem topologia de uma esfera e elas têm que delimitar oh Manel certo

é uma aula 1 é isso porque eu usei que a esfera né se você tivesse uma coisa e assim por exemplo uma geodésica fechado fosse assim a outra fosse assim então isso não é verdade porque a superfície tenta Apologia de uma esfera duas dessas fechados que não 37 não tem que ter limitar o anel Oi e aí você aplica o galos maneira mais uma vez só e vai te dizer nesse caso que isso aqui é igual e a 2p desculpe 0 né 12 tive essa característica de óleo do anel que 0 só que como é

que os pontos que a curvatura estritamente positivos novamente te dá uma contração Ah tá em absoluto se você quiser considerar o caso cá maior igual a zero pode fazer uma coisa assim só um comentário você pode pegar uma fazer uma superfície de revolução que aqui você pega uma reta depois que sua Avisa a ela sim Olá aqui é o eixo de revolução é um pedacinho aqui uma reta Aí você faz o perfil revolução e talvez alguns perfis que tem curvatura maior igual a zero em todos os pontos mais um pedacinho aquilo é um cilindro né

então como ela é um cilindro você tem geodésicas fechadas que não sinto é secam aqui e novamente para importante a o fato da desigualdade 7:30 em alguma pergunta cair é uma série de aplicações do e do Teorema de ver o ideal do boné E aí e já que a gente tem há 5 minutos me deixa fazer uma última aí a aplicação 7 a peça que tem a ver com os desenvolvimentos recentes em é um aplicação aplicação 7 Essa é a seguinte né Imagine que você tem uma é se uma superfície e compacta sem bordo o

fato vou dizer mais sempre que lá ela é o meu mal foi espera o meu almoço E aí Espero Tá então não continuar mais de três e bom então o vale que você integra a curvatura média ao quadrado se você quer maior igual o que 4 pilhas AA E aí e me falou ali a igualdade que permite provar isso né porque quase demonstração ver qual a motivação desse daqui talvez não seja viram alguma das minhas palestras só que a chamada energia de humano a energia Oi meu amor se você bota cobertura média quadrado aqui porque

você quer uma uma energia que tem a propriedade que você pega uma superfície e faz um zoom e é que alergia fica igual eu quando você faz um zum na na superfície né Digamos que você multiplica em Holambra a a área aumenta por lá mudar o quadrado que a área uma coisa quadrática na distância mas a curvatura média aumenta com o inverso da distância você bota o quadrado aqui para que os dois se compensa e essa energia fique variante mais alergia.do emula tem essa propriedade que ela é Ela é o mesmo resultado se você aplicar

uma superfície s ou se você aplicar uma superfície que é duas vezes essa ou três vezes é se você já lá de certa forma ela detecta a forma da superfície e aí você a pergunta é dado um tipo topológico por exemplo Digamos que a superfície em questão seja mais fera Qual é a melhor forma de uma esfera de qual é aquela forma que economiza o máximo essa energia sistema interpretação física também temos de energia de deformação é uma resposta é é a esfera Redonda né fecha mais aquele dia wds1 e a resposta é espera Redonda

porque se quatro pia aqui exatamente energia Ilmo é de uma esfera Redonda Hair o que se espera é redondo de raio R você sabe que a área é quatro e é o quadrado nisso Oi e a curvatura média é a média é um sobre é um o que de fato Vale igualdade bom e vale a igualdade E aí e se somente ser o s é uma esfera Redonda E aí resultado aqui dá para você já consegue provar o seu lugar os boné muito simples é e a isso é uma observação do Will mas na década

de 60 e dá ideia que a integral de demonstração é é muita grau já dá o quadrado = integral que a curvatura média né a média das coberturas principais Tá certo é só que isso aqui você pode escrever assim e pode escrever com a a soma da diferença Tá mais calmo pescadores quando com isso e esse por sua vez como esse terminal negativo é maior igual o que é grau de carro verificar dois que é curvatura degraus produto desculpa atores principais e é chato né que foi que ele tinha falado né em geral Vale com

altura média quadrado é sempre maior igual que cá e vale a igualdade e se você conservar igualdade esse tempo tem que celular ou seja como as duas principais precisam ser iguais Isto é o ponto tem que ser um bico o ponto é um bíblico Tá bom mas essa pelo teorema de Gauss boné igual a dois pisos vezes a característica de olha no caso mais fera estudar 4p e claro que se vale a igualdade Então esse tema aqui tem que ser no lá em todas as superfícies seja superfície é todo um bíblica a gente já viu

aqui que tem que ser uma uma esfera redondo a igualdade e implica que essa é totalmente um bíblica todos os com são bíblicos e como ela é compacta né lá na Esfera ela tem que ser uma esfera Redonda e já começar o e o galos banner é bom na época O Wilson fez uma pergunta fez a pergunta que pareça uma observação do rio na década de 60 e aí ele perguntou bom 4p o melhor valor para uma esfera né então o que acontece se essa foi um touro Oi Tali conjecturou aqui só quero conjectura o

que se acha um Thor o meu almoço e o Antônio né bom então o melhor valor deveria ser 12 peão ao quadrado e e não pode ser quatro pipa que a gente já viu que 4p sócia se for uma esfera uma esfera Redonda é mas só que a gente conseguiu fazer né ano passado mas só mencionar então que esse problema se você coloca a pergunta para uma superfície de Janeiro G e se é o meu moffa é uma superfície assim ó e com gênero o maior nós dois lá então só quer o problema o placar

mente abertas no caso do Thor a gente conseguiu provar que realmente só que na verdade e de fato isso essa 2p quadrado é atingido por um toque você faz assim você pega um eixo de revolução aí numa distância perpendicular você média raiz quadrada de dois ver se pega um circulo de raio 1 É centrado nesse ponto aqui e faz a superfície de revolução pega um toque de revolução em que essa proposição aqui da distância pelo raio de 2 Então esse toque dá exatamente dois quadrados que já é o melhor torno da Represa mas a pergunta

qual é o melhor Victor Hugo r13 isso aí está totalmente em aberto quiser um problema aqui no caso de uma esfera uma simples consequência do Gasômetro