08 Função de 2º Grau

Olá pessoal tudo bem Estamos aqui para mais uma aula hoje a nossa aula é sobre função do segundo grau e aí já que ela é do segundo grau ela é mais difícil que a primeira né enfim e a gente vai falar muito né sobre toda a teoria da função Graal vou trazer para vocês aqui umas questões que são algumas parecidas como a w já cobrou outras com umas ideias um pouco diferentes mas a a a ideia né o intuito da nossa aula de hoje É principalmente a gente focar na toda a parte teórica que são

do segundo grau é muito importante tem sido bastante recorrente para o w tá então vamos lá olha só primeiro quando a gente fala de função do segundo grau a gente vai ter sempre esse formato y = a ax + BX + C então assim como a gente conversou na função do primeiro grau é importante a gente começar identificando muito bem quem é o a quem é o b e quem é o c gente se na função no primeiro grau isso era importante aqui ela é importante três 4 cinco vezes mais por quê Porque toda a

nossa fórmula né ela vai ser baseada justamente no a no b e no C Então vou colocar alguns exemplos pra gente poder conversar sobre então por exemplo se eu tenho essa função aqui ó 2x + 4x + 7 estamos junto então aqui eu tenho o meu a sendo 2 o meu B sendo 4 o meu cend 7 se eu tiver uma função assim y = - x + 8x essa função vai ter vamos lá o a é sempre quem tá junto com o termo ao quadrado então no caso a é isso aqui ó o nosso

a é men-1 o nosso B seria oito repara que o b ele é quem tá junto do X sozinho tem algum número sozinho não então nosso c é zero Beleza se fosse assim gente eh Y = 4x qu so 3 - 9 então aqui eu tenho o a sendo 4 so 3 o b tem alguém que multiplica o X tem x não então B é 0 e o nosso c é -9 tá essas duas funções aqui ó essa e essa nós chamamos elas de função incompleta Tá incompleta e essa função aqui ela é chamada de

função completa tá isso gente é importante porque por exemplo a função in completa ela vai ter uma uma maneira né o gráfico ela vai aparecer de uma forma a função completa ela aparece um pouco de outra tá mas o mais importante é vocês terem isso na cabeça Ah E aí é importante saber isso aqui também eh e se questão vier assim Às vezes acontece por exemplo se a questão vier assim Y iG A5 sei lá x - 8x qu repara a questão trocou a posição delas então Ó o nosso a seria -8 o nosso B

seria 5 e o nosso c é zero então independente também é uma função incompleta então independente da posição que esteja é importante guardar que o a é quem tá junto do termo ao quadrado o b quem tá junto do termo sozinho e c é o número que fica sozinho tá então assim como a gente conversou na outra na função afim o valor numérico nada mais é uma ideia de substituição tuição de valores Então vamos lá olha só o lucro de uma loja é calculada pela função L é -10t n qu + 400 em que n

é o valor botar mais um zerinho aqui 4000 é em que n é o valor é de produtos é o número de de produtos vendidos tá calule o lucro após a venda de 10 produtos então repara que ele disse que o n é o número de produtos então aqui ele tá dizendo que são 10 produtos então o nosso n é 10 eu quero saber quem é o lucro Tá então vamos lá L iG -1 que mullica 10 qu mais 4000 então 10 qu dá 100 então ficaria 10 qu D 100 + 4000 aqui vai dar

- 1000 + 4000 então o lucro vai ser de quanto o lucro vai ser de 3.000 tá E essa questão gente foi uma questão inclusive que a wer cobrou recentemente mais ou menos ali 2023 né Inclusive a primeira questão da prova uma questão fácil com Exatamente esse contexto falando de lucro falando de quantidade e era uma uma questão pra gente apenas Substituir valor tá beleza Agora vamos começar então quando a gente fala de gráfico muita coisa aqui gente então muuito atenção e a gente vai estar falando sempre de uma parábola tá parábola E aí essa

parábola vai ter funções né diretas no gráfico se a parábola tem concavidade para cima se tem para baixo e ela toca no eixo X se ela não toca no eixo X tudo isso vai acontecer olhando pro a pro B e pro C Então vamos lá e eu separei em tópicos então primeiro tópico é função né é dos coeficientes no gráfico Então qual é a função do a no gráfico o a gente ele vai ser responsável responsável pela concavidade pela concavidade Como assim Gabi o a ele que vai dizer se a concavidade vai est para cima

ou se a concavidade vai est para baixo se a concavidade tiver para cima a gente diz que o a é positivo se a concavidade tiver para baixo a gente diz que o a é negativo é muito comum vocês escutarem isso aí né se a parábola tiver feliz se a parábola tiver triste é literalmente isso ó se a parábola tiver feliz para cima é o primeiro é o primeiro caso se a parábola tiver triste aqui ó é o segundo caso ela vai tá para baixo tá é inclusive gente tem gente que fala assim ó a parábola

é crescente a parábola é decrescente aqui é a gente não fala de crescente decrescente a gente vai ver um pouquinho mais pra frente e a parábola ela vai ser os dois ela é ao mesmo tempo crescente e decrescente por isso que a gente fala de concavidade concavidade para cima ou concavidade para baixo tá o coeficiente C ele é muito importante também ele é o que toca o eo Y muito parecido com o B da função afim né então aqui vai acontecer isso ó nesse ponto ele toca o eixo Y nesse ponto esse ponto seria o

c ou ele pode tocar o eixo Y ó nesse ponto aqui também é o c repara gente que pra gente saber se ele é positivo negativo a gente vai ver se tá acima do eixo X ou abaixo do eixo X os dois casos que nós desenhamos agora os dois casos são com c Positivo tá então o que importa é se toca o eixo X Ou se toca o eixo i Y vamos lá o coeficiente B é mais é mais interessante a gente entender como ele funciona na prática Então vou desenhar pra gente poder comentar junto

então vamos lá a gente entende o o c gente da seguinte forma você vai olhar pro ponto que toca o eo Y ou seja o ponto c se nesse ponto a parábola tiver descendo a gente vai ter um B negativo é assim que a gente vê se nesse ponto a parábola tiver subindo eu vou ter um B positivo tá é importante gente deixar claro que o a o b e o c eles são independentes Ou seja eu posso ter o A positivo O B negativo o c positivo Posso ter o a negativo O B positivo

o c negativo posso ter negativo negativo negativo posso ter e positivo negativo negativo enfim não um não depende do outro então por exemplo é muito comum as pessoas falar assim ah Gabi Então se o a for positivo o b tem que ser negativo não tem nada a ver tá então é assim que a gente vê um outro ponto muito importante que vai ser muito comparado com o que nós vimos na função afim é a ideia de raiz ou zero da função que que a gente já viu lá e a mesma coisa vai acontecer aqui quando

a gente fala de raiz ou zero da função a gente tem essa função né a função do segundo grau ela é AX qu + BX + C mas a gente sabe que toda vez que a gente fala de raiz ou zero da função é porque automaticamente a função é zero ou seja ela toca o eixo X tá o eixo X ou seja esse Y Aqui é zero então ficaria assim ó AX qu + BX + C = 0 então toda vez que a gente faz esse processo a gente vai usar a famosa fórmula de máscara

eu coloquei para vocês aqui embaixo Então essa daqui é a fórmula de báscara tá bás cara então ó Delta é b qu - 4ac e X é - b mais ou menos a raiz Delta sobre sobre só consertar aqui sobre 4aa tá 2ae a gente não pode esquecer gente que isso aqui a gente só pode usar se a função tiver igualada a zero então por exemplo você tá numa questão de valor numérico você substituiu o y da função na hora de resolver tem que encontrar o X para você encontrar o X tem que pegar esse

Y mudar de lado tá e igualar essa função a zero Beleza agora eu coloquei aqui pra gente ver isso aí né as raízes no no gráfico na parábola então esse ponto e esse ponto são as raízes ah lá eu tenho raízes diferent tá eu queria deixar eh Clara aqui para vocês Que esse essa questão aqui por exemplo a gente tem uma função completa tá esse por exemplo é o gráfico de uma função completa agora aqui eu tenho o gráfico de uma função incompleta essa função incompleta gente ela vai acontecer ser sempre que o c fo

igual a zero tá sempre que o c foi igual a zer o zero é uma raiz então uma raiz é igual a zero tá e a outra raiz é essa daqui você vai calcular usando máscara da mesma forma uma outra situação que eu queria deixar para vocês é quando o c for zero Então essa função é uma função incompleta completa tá e ess daqu aqui é quando B é zero tá quando o b É zero eu tenho as raízes que nós chamamos de raízes simétricas Raízes simétricas que que são raízes simétricas Gabi se uma é

qu a outra é -4 se uma é do a outra é men2 se uma é c a outra é os5 tá essa daqui também é o gráfico de uma função incompleta beleza isso aqui é muito importante tá gente princip ente porque quando a gente fala de werge a w gosta muito dessas teorias show então Guarda aí e essas informações em cima das funções tanto né completa como nas funções incompletas Então vamos lá eu separei duas questõe zinhas pra gente conversar eh observe o gráfico e Indique sua função então repara que eu botei um gráfico ali

a gente precisa olhar o gráfico e sem fazer muita conta dizer qual é a função que diz esse gráfico tá então a gente vai fazer por eliminação isso aqui gente é pra gente trabalhar é os coeficientes o a o b e o c Então vamos lá quando eu olho pro para esse ponto aqui por exemplo eu sei que ele é cinco Mas quem é ele gente a gente não conversou e ele é o ponto c Então vamos fazer por eliminação ó não pode ser a letra B porque na letra B tá dizendo que o c

é -5 e ele não é -5 ele é C também não pode ser a letra letra D que tá dizendo que é -5 um outro ponto a gente sabe que essa função aqui a gente tem por exemplo o a sendo ne é positivo o a é positivo Então se a gente for olhar as questões que sobraram inclusive não tem alternativa correta deixa eu dar uma consertada aqui ó junto uma consertada perfeito botei um negativo Zinho na hora então só pode ser ou a letra A ou a letra C como na letra A eu tô dizendo

que o a é negativo não pode ser a letra aamos com a letra a letra C tá agora galera outra coisa que a gente podia observar quando a gente olha para esse ponto repara que nesse ponto ó a nossa função tá caindo Então se ela tá caindo o nosso B ele tem que ser negativa ó lá B tem que ser negativo por isso que a resposta certa é a letra a letra C tá outra situação pra gente conversar observe o gráfico da função y = x - 2x + 3 e calcule p e q repare

gente que p e q eles estão tocando o eixo X então o que que é p e q p e q nada mais é que são as raízes Tá então vamos lá vamos usar a fma de báscara pra gente calcular Jaí tá então quando a gente olha pra fórmula de báscara fica assim né o nosso Delta é b qu - 4ac Então quem é o nosso a o nosso a é 1 Ó gente o a o b e o c são sempre números não existe o a sendo 1 x qu não é 1 então vai

ficar o b é é 2 então ó -2 - 4 x a que é 1 vezes o c que é 3 então ficaria assim ó 4 é 2 qu dá 4 aqui é -3 gente Dea acertar é aqui é -3 então vai dar vocês vão entender por que eu vou ter que consertar aqui ó é -3 então aqui vai ficar -3 Cadê só dar uma acert aqui vocês vão entender Por que não pode famoso cabe faz ao vivo vamos consertar então vai ficar ó 4 2 qu 4 e aqui vai dar mais 16 est junto

mais 12 12 a soma que dá 16 Então vamos Então o nosso Delta dá 16 embora aqui o nosso X é - b mais ou menos a raiz de Delta divido por 2 x a Então vamos embora o nosso B é -2 Então vou botar menos da fórmula -2 mais ou menos a raiz de Delta quem é o delta a ra 16 dividido por duas vezes o a que é 1 então vai ficar assim ó menos com menos vai dar mais a ra 166 é 4 divido por 2 x 1 que é 2 Então como

é que a gente faz isso uma hora a gente puxa e usa o mais outra hora a gente puxa e usa o menos então ficaria assim ó dois + 4 di 2 2 + 4 dá 6 dividid por 2 dá 3 e o outro o outro ficaria 2 - 4 div por 2 aqui vai dar -2 dividido por 2 vai dar -1 vê se estão comigo -1 então é como se fosse o seguinte né gente ó esse cara aqui esse um que é o vai ser Men 1 e o q Vai ser 3 a questão

não quer saber quanto que é p mais q Então vamos somar p é -1 que é 3 Então essa continha vai dar do então a resposta é do tá E aí gente só uma observação né pelo que nós encontramos o eixo Y ele não pode est aqui né ele tem que est do lado de cá qualquer lugar essa parte não é importante pra questão tá só queria que a gente calculasse o a raízes perfeito Então eu tenho uma raiz sendo negativa uma raiz sendo positiva e aí como a gente viu eu quero o ponto q

e o ponto P Eles tocam no eixo X como eles tocam no eixo X a gente tem as raízes Beleza então eu vou usar essa função igualada a zero então ficou Claro só pra gente lembrar como que a gente calcula Delta né Delta e basca perfeito e aí vamos continuar agora a gente vai trabalhar gente a parte de discriminante que que é discriminante discriminante nada mais é a gente fazer uma análise do Delta Então vamos só dar uma uma observada na fórmula Então olha só vamos lá quando a gente observa a fórmula fórmula de báscara

a gente vai ter o delta aqui o delta aqui gente el vai ter uma restrição Por que que ele vai ter uma restrição porque ele tá dentro de uma raiz que é uma raiz quadrada E aí quando você tem uma raiz quadrada algumas coisas podem acontecer e outras não podem acontecer então vamos devagar nós temos sempre três situações ou esse Delta ele vai dar é positivo ou esse Delta vai dar negativo ou esse Delta vai dar zero Então vamos pensar se esse Delta dá positivo o que que acontece quando a gente joga na fórmula a

gente vai fazer exatamente o que aconteceu agora ó vamos lá o que que aconteceu eu achei o nosso Delta aqui positivo então uma hora eu usei o mais outra hora eu usei o menos quando isso acontece gente a gente faz com que a gente ache né valores diferentes paraas raízes ah lá uma raiz deu TRS a outra raiz deu men-1 automaticamente que que a gente pensou raiz é o que toca o eixo X e eu tô dizendo que esses raízes né Essas valores são diferentes ele vai tocar no eixo X em dois pontos diferentes Beleza

então era o que aconteceu lá com o ponto P e o ponto q agora vamos pensar vamos continuar pensando sempre que o meu Delta dá zero que que acontece quando o meu Delta dá zero quando o meu Delta dá zero se a gente for colocar na fórmula lá em cima vai ficar assim ó - B mais ou menos √0 gente mas a ra0 é zer então se a ra 0 é 0 eu vou est somando 0 e diminuindo zero Ou seja eu vou encontrar - B so 2 A ou seja valores iguais então anota aí

sempre que eu tenho o delta sendo zero eu tenho que X1 é igual X2 E aí gente a consequência disso no gráfico é isso aqui ó ele vai tocar num único ponto por quê Porque esses pontos são iguais tá e quando o meu Delta dá negativo o que que vai acontecer Vamos lá em cima quando o meu Delta dará negativo eu vou ficar com a raiz de um número negativo não existe raiz quadrada de um número negativo pensa o que que é raiz quadrada é quando você pega um número multiplica por ele mesmo só que

quando você multiplica por ele mesmo Gente esse número vai dar sempre positivo então não existe uma raiz quadrada de número negativo por isso que a gente vai dizer que não possui ó não tem ó eh não tem raiz real tá E essa essa palavra aqui é muito importante Tem gente que fala assim ó não tem Raizes Isso tá errado tem raiz ela só não é real tá E aí se a gente for parar a pensar Olha como a matemática faz todo o sentido gente raiz é o que toca o eixo X se eu tô dizendo

que não tem raiz é porque não toca vai acontecer o que tá acontecendo nesse gráfico aqui essa parábola ela flutua beleza por isso gente que aqui eu falei para vocês que não podia ser um c não podia ser positivo porque se ele fosse positivo daria negativo se ele desse negativo eu não ia ter a os pontos q e p tocando no eixo X tá por isso que eu Consertei Então vamos continuar peguei uma questãozinha aqui pra gente com pra gente conversar sobre essa parte de discriminante Então olha o que aconteceu um líquido contido na taça

tem 6 cm de altura e calcule a altura C considerando que a taça é representada pela parábola essa par aqui então repara gente que o ponto c é esse ponto aqui ó é esse ponto e aí o que que eu quero conversar com vocês repara gente que essa parábola ela vai fazer isso aqui ó ou seja ela toca no eixo X só uma vez e ela toca no eixo X gente só uma vez qual a informação que a gente acabou de conversar sobre esse Delta Obrigatoriamente tem que ser zero então eu vou calcular Delta Qual

é a fórmula do Delta Delta é b qu - 4 AC quem é o b gente ó o b é o -6 então vai ficar -6 qu - 4 x a quem é o a o a isso tudo aqui hein 3 sobre 2 e quem é o c o c é o que a gente tá procurando Beleza então vamos lá ó vai ficar assim - 6 qu dá 36 positivo devagar 4 x 3 D 12 12 di 2 D 6 6 isso aqui é igual a zer Por que que é igual a zer porque a

nossa parábola tá tocando uma vez no eixo X e aí acabou vai ficar assim ó joga para outro lado 6C iG 36 36 di 6 esse cara vai dar essa é a altura do líquido gente fechar gente a parte mais importante que é a parte mais cobrada Tá então vamos com muita atenção a gente vai falar agora de vértice o que que é o vértice o vértice é o ponto responsável pela mudança mudança mudança de sentido sentido da parábola táo da parábola Gabi como assim Vamos lá gente parábola Olha o que acontece Aqui nós temos

uma parábola com a positivo Aqui nós temos uma parábola com a negativo então lembra que eu falei para vocês que não existe isso de ser positivo ou negativo por essa parábola ela vem lá do infinito ela desce desce e desce quando ela chega nesse ponto que é o ponto mais baixo ela sobe ela começa a ser crescente a mesma coisa aqui ó ela vem lá de baixo quando ela chega nesse ponto ela desce Então esse ponto aqui gente vai ser o que a gente chama de vértice esse ponto aqui ele vai ser o nosso o

nosso vértice o vértice gente ele é um ponto que ele é simétrico que que é simétrico ele vai dividir a parábola exatamente no meio a metade da parábola fica para um lado a metade da parábola fica pro outro isso vai dar trazer pra gente uma informação muito importante inclusive uma uma questão da uer já foi exatamente sobre isso Tá Mas vamos continuar conversando como todo ponto eu tenho um valor de x que vai chamar x do vértice e eu tenho um Y que vai ser o y do vértice mesma coisa aqui ó esse ponto vai

ser x do vértice e esse ponto vai ser o y do vértice beleza e a fórmula do x do vértice Y do vértice gente tá escrito aqui ó o x do vértice vai ser - B so 2 A o y do vértice é - del so 4ao quei para vocês uma outra maneira de calcular o x do vértice Lembrando que essa maneira aqui ela é maneira muito específica quando a gente trabalha com gráfico e essa vai ser a informação que eu tava falando que que acontece quando o vértice divide a parábola no meio eu eu

vou ter as raízes sendo ou melhor a distância entre o x do vértice e as raízes vai ser a mesma por quê Porque o x do vértice é o ponto médio das raízes então a distância de uma raiz até o x do vértice ó que é essa distância aqui é a mesma distância do x do vértice até a outra raiz beleza e essa daqui gente é uma outra maneira de calcular o y do vértice que é o que a gente chama de F Dex do vce o que que é isso eu vou calcular o x

do vértice vou pegar o x do vértice e vou jogar lá na função tá isso aí fica a critério tem gente que gosta tem gente que não gosta isso aí não importa tá agora vamos lá como que uma questão cobra vértice é importante gente vocês entenderem que as questões de verce elas vão estar muito ligadas a uma palavra muito importante e é a palavra máximo ou mínimo Então você vai fazer x do vértice ou Y do vértice sempre que você trabalhar com a palavra máximo ou mínimo Gabi quando eu falo de máximo vai ser sempre

que eu tiver falando de uma função onde o nosso a é negativo Por quê Ela vem lá de baixo atinge o ponto mais alto e cai agora sempre que eu tiver falando de um A positivo eu tenho uma função que vai falar de mínimo então é muito comum gente as pessoas falarem assim ah se eu eu falo de x do vértice eu vou eh é quando a questão fala de máximo quando a questão fala de mínimo eu calculo x do vértice isso não tem nada a ver o fato da questão falar de máximo é porque

o nosso a é negativo o máximo o fato da questão falar de mínimo é quando nossa função é positiva tá o nosso a é positivo Então vamos lá repara gente que aqui eu tenho uma função a função é H é igual T é 10t - 5t qu Olha a pergunta calcule a altura máxima Olha a palavra máxima aparecendo se falou de máximo eu sei que vai ser ou x do vértice ou Y do vértice como que eu sei Gabi se é x ou se é y repara gente que a altura tá aqui e a altura

tá fazendo papel de Y não é Y igual a alguma coisa então se eu quero saber a altura e a altura tá fazendo papel de y eu vou calcular o y do vértice é assim que a cobre Beleza então vou calcular aqui ó Delta é b qu - 4 AC Então vamos lá quem é o nosso b o nosso B é o 10 10 qu - 4 x a o a é -5 vezes o c que é 0 então qualquer coisa vezes z0 morreu então o nosso Delta vai ser 100 então a fórmula do Y

do vértice é - Delta so 4aa vamos embora -1 dividido por 4 x a que é -5 então ficaria -1 di por -20 ó cortei cortei esse cara vai dar 5 Essa é a altura máxima beleza vamos fazer mais uma no retângulo abaix é o x ele varia entre 0 e 5 calcule o valor de X para que a a área seja máxima gente eu tenho isso aqui estamos junto isso aqui é um retângulo como é que a gente calcula a área do retângulo é base ó a base é x vezes a altura 5 -

x Então se a gente fizer isso aqui esse vezes esse esse vezes esse a gente vai encontrar a área então ó 5x - x qu Esse é a nossa fórmula da área então como é que a gente sabe se vai ser x do vértice ou Y do vértice repara que de novo a questão falou a palavra máximo ou vai ser x do vértice ou vai ser Y gente eu quero saber o valor de X se eu quero saber o valor de X eu vou calcular o x do vértice se a questão perguntasse Qual a a

área máxima a área não tá fazendo papel de y seria Y do vértice como eu quero saber o valor de X eu vou usar o x do vértice Então quem é o x do vértice - B sobre 2aa quem é o nosso é b o nosso B é o 5 então -5 dividido por duas vezes o a que é -1 ó -5 div por -2 esse cara vai dar 2,5 beleza fechamos e pra gente fechar gente queria resolver com vocês uma questão Inclusive a questão da uerg que eu tava comentando com vocês sobre aquela informação

do x do vértice é o ponto médio da jazes tá eu dei uma mudada aí no contexto mas só pra gente poder eh trabalhar e a questão ser um pouco mais rápida olha só a a função de uma das parábolas abaixo é y = - x qu so 75 + 2x so 5 cujo uma das raízes é 30 então só com essa informação aqui vamos pensar uma coisa gente essa parábola né Essa função só pode ser dessa primeira parábola por quê repara gente que não tem C que que nós conversamos quando não tem C ela

passa na na origem Então essa primeira parábola é a parábola que passa na origem então quando ela fala assim ó uma das raízes é 30 vamos lá eu tô falando ó raiz desse ponto desse ponto toa o eixo X só que esse ponto eu já sei que é zero então o 30 só pode tá aqui vê se vocês estão comigo só pode est aqui então vamos continuar ele fala assim ó se o ponto D é vértice da parábola então o ponto d o vértice da segunda parábola calcule a distância entre o ponto ponto o Né

que é o ponto zero a origem e o ponto b gente se esse 35 é o vértice que que a gente viu a gente viu que o vértice ele divide as raízes no meio Então essa daqui é a raiz da primeira da segunda parábola e essa daqui também é a raiz da da segunda parábola então a distância de 30 até 35 é C então a distância de 35 até a outra raiz também tem que ser 30 também tem que ser C então gente quem é esse ponto b esse ponto b só pode ser 40 então

acabou a questão porque a distância do zero até o ponto b só pode ser 40 famos E aí fechamos a nossa aulinha de função do segundo grau perfeito agora vocês vão anotar tudo que vocês estavam anotando e vão resolver a nossa folhinha é de função do segundo grau tá bom é isso gente até a próxima aula