3ª SÉRIE - ENSINO MÉDIO - FASE 1 - DESAFIO CRESCER - MATEMÁTICA

[Música] [Aplausos] [Música] E aí pessoal tudo bem com vocês olha vocês sabem que a matemática está presente em todos os Ramos da nossa vida não é mesmo então eu vim aqui à papelaria já vim aqui à fila e eu vou pagar este caderno e esta caneta vou pagar R 37 por esses dois itens tá E olha mais cedo meu amigo já pagou por quatro canetas dessas R 8 eu te pergunto bonitão será que com esses dados você consegue saber o valor individual de um caderno e de uma caneta é a matemática nos ajuda a resolver

esse problema hein Tá bom Pensa aí viu eu vou aqui aguardar para ser atendido um abraço para vocês aí galera E aí pessoal você vai descobrir o preço de cada caneta e de cada caderno Pois é bonitão o tema da nossa aula vai nos ajudar a pensar nisso aí hein vamos lá gatão bonitão toma nota Aí ó ó o tema da nossa aula sistemas lineares e matrizes tá bom pessoal vamos falar desse assunto maravilhoso Isso aqui vai nos ajudar a resolver problemas tais como aconteceu lá na papelaria e outras situações hein primeiramente Vamos aprender vamos

revisar o que é uma equação linear Olha que nome maravilhoso né equação linear isso é uma delícia meus amados pra gente aprender olha aí ó é uma equação matemática formada com uma ou mais variáveis todas com o expoente igual a 1 vou trazer dois exemplos para vocês aqui de equações lineares essa primeira equação linear aqui meu amado Repare bem você está identificando três letras né portanto três variáveis e o expoente de cada uma das Letras é expoente 1 tá então a gente pode falar que Esso aqui é uma equação linear a + 2B - 3c

= 15 beleza outra equação linear um pouquinho menor só que agora com apenas duas letras x + 2Y = -1 veja que o expoente do X e o expoente do Y é o número 1 porque a gente não colocou nenhum expoente ali né se aparecesse x qu né se aparecesse a elevado CBO ou se aparecesse raiz quadrada de C isso aí já descaracteriza equação linear tá meu amado o expoente das Letras precisa ser o um limpinho viu certo vamos lá hein V Ah eu vou falar para você sobre a solução de uma equação linear O

que é isso né É é é isso aqui ó é um conjunto de números de números que satisfaz a igualdade da equação tá é uma coleção de números é um conjunto de números que quando você troca no lugar das Letras valida a igualdade eu vou e pegar a primeira equação do exemplo que eu coloquei para vocês a + 2B - 3c = 15 aí eu eu puxei alguns números por tentativa tá meus amados e eu encontrei que uma solução particular é aqueles três valores ali viu o a = -1 o b = 5 e o

c = -2 eu vou pegar esses três valores eu vou substituir na equação no lugar do a eu vou colocar -1 no lugar do B vou colocar 5 e no lugar do c eu vou colocar -2 e eu vou fazer as contas associadas e após substituir e eu quero ver se vai dar 15 né E você vai ver que vai sim dar 15 você percebe nas cores azuis que eu coloquei aqui na imagem e eu troquei o a por men1 eu sub substitui o b por 5 e eu substitui o c por -2 o número

-2 eu coloquei entre parênteses porque ele é negativo tá galera e ele tá multiplicando O -3 Ali é apropriado colocar parênteses tá agora é resolver essa expressão numérica viu Primeiramente você faz as multiplicações tá vai ficar -1 + 10 porque é + 2 x 5 dá 10 e -3 x -2 dá + 6 -1 + 10 + 6 + 10 + 6 dá + 16 e + 16 com -1 dá 15 vocês viram aí eu amados esses três números que nós colocamos validaram e a igualdade aí então nós podemos de fato bater o martelo -1

5 e-2 é uma solução aí a gente pode expressar em forma de de de terna ordenada ali tá uma equação com três letras são três pontos tá -1 5 e-2 e vou adiantar vocês meu amado que uma equação linear ela possui infinitas soluções e esses três valores é apenas valores pontuais tá tá solução pontual mas você entender o que que é solução de uma equação é quando você troca a letra pelo valor e valida a igualdade certinho bom vou mais agora hein vou agora associar equações e criar um sistema de equações tal como Estamos apresentando

para vocês sistema de equações lineares é esse sistema aqui que é muito famoso a gente resolve bastante né galera Você lembra até quando você estudava lá no ensino fundamental trabalhamos muito com isso aqui não é chamamos Esse sistema de sistema 2 por2 o motivo é que ele é formado por duas equações lineares com duas incógnitas tá 2 por do muito bom associado a esse sistema a gente entra com a matéria de matrizes aí eu vou te apresentar a matriz mais importante associada ao sistema essa daqui meu amado a chamada Matriz dos coeficientes ela é o

seguinte de onde é que apareceram esses números na primeira linha 1 e 2 e na segunda linha 2 e -3 Ah esses números são os coeficientes das Letras bonitão na primeira equação o o número que tá na frente do x é 1 e que tá na frente do Y é 2 então 1 e 2 aí eles formam lá a primeira linha 1 e 2 na segunda equação o número que tá na frente do X é o 2 e na frente do Y é o -3 2 e -3 aí forma lá ó a segunda linha bonitão

você tá vendo você cria a matriz dos coeficientes olhando para os coeficientes das Letras tá bom a segunda Matriz importante é a chamada Matriz das incógnitas aí você cria uma uma matriz coluna formada pelas letras tá pelas variáveis incógnitas no caso x e y é que estão fazendo parte aqui desse sistema Aí você coloca daquele jeito e aí a última Matriz é a formada pelos e termos Independentes tá o -6 e o 16 você cria uma terceira Matriz coluna também é expressando esses números aí certo meu amado e o legal é o seguinte eu posso

pegar esse sistema de equações e associar com aquelas três matrizes Que Nós criamos na chamada da equação matricial associada ao sistema tá amados eu vou chamar o cogumelo aqui porque ele é um menino que gosta de matemática tá cogumelo vem aqui vem pra aula aqui bonitão responde pra gente cogumelo como que a gente multiplica duas matrizes tá ó a primeira com a segunda qual que é a regra bonitão acertou bonitão esse menino Esse menino é fera E aí bonitão vocês viram que o cogumelo falou o bonitão ali acertou Esse menino é bom ó bom ele

falou lá né Vocês viram no balão é a multiplicação de cada linha da primeira Matriz com cada coluna da segunda Matriz é eu vou colocar as linhas aqui ó para indicar isso hein a primeira linha da primeira Matriz é 1 e 2 Vai Multiplicar os dois elementos da da primeira coluna Aliás a única coluna né da segunda matriz e a gente vai igualar a -6 faz a conta aqui comigo bonitão 1 multiplicado por x somado com 2 mado por y igualado a -6 fica 1x + 2Y = -6 ou x + 2Y = -6 exatamente

a primeira equação aqui ó ó ó esse cogumelo esse menino é bom vou agora fazer a próxima multiplicação galera a segunda linha multiplicada aquela coluna igualado a 16 tá 2 m x somado com -3 m y igualado a 16 2 x x dá 2x -3 x y dá -3y fica 2x - 3y = 16 vou colocar lá e equivale a segunda equação executando a montagem da multiplicação matricial a gente gera o sistema de equações lineares há uma forte ligação tá Entre esses dois grandes conceitos na matemática certo aí bonitão agora vou mais hein como é

que você resolve como é que você encontra a solução de um sistema de equações eu vou te relembrar a técnica da adição Vou chamar o cogumelo de novo cogumelo vem pra aula aqui bonitão fala para mim bonitão aplicando a técnica da adição O que que tem que acontecer para que haja cancelamento na hora de somar fala pra gente aí certo bonitão cogumelo nó nó nó esse menino é fera vocês viram aí amados cogumelo é menino fera precisam acontecer que os monômios sejam opostos para que haja um cancelamento e aqui resolver olha os monômios devem ser

opostos Esse menino é bom eu vou multiplicar a primeira equação pelo n número -2 e aí a primeira equação todinha ela fica multiplicada pelo número -2 é x x -2 - 2x + 2Y x -2 - 4y = -6 x -2 + 12 Então aquela equação de azul que nós colocamos ali é a primeira equação multiplicada por -2 E agora você tá percebendo a dica do cogumelo né o -2 monômio de cima com o 2x monômio de baixo são monômios opostos agora você pega e aplica a técnica da adição que é literalmente somar as duas

equações quando você soma dois monômios opostos e eles se anulam eles se cancelam mas não vai acontecer cancelamento lá nas outras partes soma também tá bom quanto que dá o número menos o monômio -4y somado com -3y vai dar -7y igual o 12 somado com o 16 dá 28 e você agora dividindo aquela igualdade por -7 né você vai encontrar Y = -4 Ótimo então parcialmente encontrou o valor da incógnita Y falta encontrar o valor da incógnita x aí como é que você procede né você volta pro sistema original e faz assim amados escolha uma

das duas equações e troque o valor do Y = 4 na equação que você escolheu você percorrendo os olhos aqui Veja a equação que tem números mais mais fáceis de operar Eu tô percebendo que a primeira equação é um pouquinho melhor aí eu vou nela tá meu amado eu vou escolher a primeira equação é x + 2Y = -6 e eu substituo o Y por -4 foi o valor que a gente obteve ali agora tá e resolvo a equação para x Tá bom então vai ficar x + e 2 que multiplica -4 eu tô trocando

o Y por -4 = -6 multiplicando + 2 por -4 dá -8 fica x - 8 = -6 aí passando o -8 para o outro lado ele passa + 8 -6 + 8 vai 2 aí finalizamos meus amados x = 2 e y = -4 é a solução desse sistema e você pode expressar a solução daquela maneira ali E aí gostou relembrou certo vou mais hein pode acontecer casos de um sistema estar no formato escalonado Eu agora estou colocando para vocês um sistema 3x TR Por que que ele é chamado de sistema escalonado tá é

porque ele parece uma escada né é escalonado escada lembra um pouquinho né Essas duas expressões não é meus amados aí meu amado o motivo para esse sistema ser chamado de escalonado é por causa da Matriz associada a ele a matriz dos coeficientes tá aparecem zeros ali ó que parecendo uma escadinha né a formatação dos zeros dá uma olhadinha como é que ela é formada meu amado a primeira linha 1 2 e -3 é por causa dos coeficientes 1 2 positivo e três negativo a gente colocou lá aí eh na segunda equação a letra z não

tá presente isso quer dizer que o coeficiente dela vale zero tá um para o x um para o y 0 para o z aí fica 1 1 0 e na de baixo aqui somente a letra x está presente y e z estão anulados né o coeficiente do X é o 2 aí o coeficiente do Y e do Z são zeros aí fica 2 0er aí galera eu vou te mostrar agora que resolver encontrar a solução de o sistema escalonado é facinho facinho deixa eu te mostrar aqui meu amado eh no sistema escalonado que eu apresentei

para vocês faz assim ó vá na terceira equação e encontra a solução para o X dela que é só você isolar esse x tá 2x = 8 é você e e calculando para x você encontra x = 4 tá passando 2 dividindo pronto com o x valendo 4 agora você vai pra equação de cima substitui X é = 4 na segunda equação para encontrar o valor do Y faça isso tá você vai pegar X + Y = 3 vai trocar o X por 4 fica 4 + Y = 3 aí passando 4 pro lado de

lá Y vale -1 e para finalizar você pega na na equação de cima e troca o e o valor do do X e do Y que você encontrou para obter o z o X é 4 o y é -1 então você pega equação lá ó troca o X por 4 troca o Y por -1 e meus amados vai resolvendo para Z tá vou te apresentar a solução aqui agora na tela ah lá ó resolvendo passo a passo eu obtenho no final z = 1 aí nós concluímos meus amados a gente encontrou o valor do X

do Y e do Z agora apresentamos a solução tá a solução é dada por isso aí ó é é entre parênteses 4 - 1 e 1 na ordem que as letras estão na equação tá bom x y e z fechou meu amado Então vamos agora para concluir a aula apresentando a solução da problemática que e vivenciamos no início aqui viu meu amado Você se lembra eu comprei uma caneta e um caderno e paguei R 37 o Marcos comprou quatro canetas e pagou r$ 8 e aí né Quantos reais custa cada item vou te mostrar eu

posso expressar a a caneta o valor da caneta e o valor do do caderno como sendo X e Y Aí como eu comprei um uma caneta e um caderno x + y = 37 o Marcos comprou então é quatro canetas posso expressar como 4x = 8 certinho aí resolvendo a segunda equação para x passa o 4 dividindo x = 2 aí já encontrou o valor do X que é o valor da caneta substituindo esse valor na primeira equação X + Y = 37 no lugar do X você vai colocar o 2 2 + Y =

37 o valor do Y Vale 35 aí essa é a solução bonitão cada caneta custou R 2 e cada caderno custou r$ 5 acertou aí excelente galera espero que vocês tenham aprendido bastante nessa aula tenham gostado desse tema e eu recomendo vocês pesquisarem mais hein um abraço a todos galera até mais [Música]