FUNÇÕES CONTÍNUAS

[Música] Olá estudantes bem-vindos de volta nós falaremos sobre funções contínuas esse termo contínuo já foi visto em outras disciplinas né Muito visto em cálculo e agora a gente vai aprofundar um pouquinho aqui e saber o que que funções contínuas tem a ver com eh o nosso assunto que é análise real vamos lá nessa unidade a gente vai conversar um pouquinho sobre funções contínuas pontos de descontinuidade funções contínuas em intervalos funções contínuas em conjuntos compactos e continuidade uniforme bom falando um pouquinho sobre funções contínuas eu vou falar que a função f que vai de R Ao

conjunto dos números reais ela é contínua no ponto a e aqui eu quero ressaltar que eu estou falando contínua no ponto a quer dizer cont Continua pontualmente em a ok quando eu posso tornar o meu F Dex habitariam próximo de A então posso pegar x tão próximo de a quanto eu queira desde que tomemos x suficientemente próximo de a Ou seja eu consigo pegar a imagem da minha função suficientemente perto da minha imagem no ponto a só tomando x suficientemente próximo de a em termos mais precisos eu vou falar que a minha função então F

que vai de x a r ela é contínua no ponto a quando para todo Y maior que 0 existir um Delta maior que zero tal que se x pertence ao nosso conjunto x e a distância de x e a é menor que o meu Delta então a minha imagem a distância entre as imagens de x e a certo então FX - f a o módulo disso vai ser menor que é OK Observe que a definição de continuidade apresentada acima é pontual Ok então portanto uma função f Dex é contínua quando for contínua é todos os

pontos do seu domínio então eu vou olhar pontualmente para a pontualmente para um outro ponto b certo e aí eu vou olhar para todos os pontos do domínio e aí eu vou afirmar se ela é ou não contínuo certo alguns resultados então aqui eu vou considerar uma função f que vai de X até R contínua no ponto a certo então o que que isso vai implicar se a pertence a y e y está contido em x g que é uma função de F restrita a y Ok então G é uma função que vai de y

a r é contínua em a certo eh essa g de F restrita a y é quando eu pego a e f indo de y até R E aí eu vou chamar essa f de G Ok então se f ela é contínua de X até R se eu pego um subconjunto Y que está em x e esse a pertencente a esse subconjunto se a f é contínua em a logicamente a g também será Ok então quando Y foi igual a i interseção x tal que i é o intervalo aberto que contém o meu ponto a essa

recíproca ela também é válida ou seja esse meu G que é a f restrita a y ela é contínua no ponto a Ok então a f de x a f que vai de x a r também é contínua no ponto A então isso aqui eu tô tomando a volta do teorema Ok esse outro teorema ele fala para mim que a minha função f que vai de x a r é contínua no ponto a Ok Então essa é a afirmação se isso acontece então F é limitada numa vizinhança de a ou seja existe um Delta maior

que zero tal que se eu considerar esse U que depende de Delta então é por isso que eu escrevo esse o índice Delta a interseção entre x e esse e essa vizinhança de a que que é a vizinhança de a é quando eu tomo a aqui a men Delta e a mais Delta Então esse intervalo aqui aberto eu chamo de Vizinhança de A então a interseção de e x com a vizinhança de A então o Conjunto F dessa interseção certo também vai ser limitado Ok ã suponhamos que f e g são funções que vão de

X até R São contínuas no ponto a de x Ok e a f de a é menor do que a minha g de a Ok então f e g são contínuas em a e a f de a é menor do que a g de A então vai existir um Delta maior que zero tal que FX é menor que G Dex para todo X com X - a menor que Delta o que que isso aqui tá falando para mim olhem aqui para esse desenho aqui eu tenho meu ponto a certo eu tô falando que nesse ponto

Ah quem que é o f de a essa daqui na casa é o G né então esse daqui vai ser o g de a vai ser menor do que quem do que o meu f de a essa aqui de baixo é a minha função f por que que é menor porque ó se eu olhar esse ponto aqui ele é maior do que esse valor aqui certo ó tô olhando esse valor e tô olhando esse outro valor aqui certo então se isso aqui acontece quer dizer que para todo x que está próximo suficientemente de a o

mesmo vai acontecer com o f desse x que eu tomar aqui tá bom então ó vai existir um Delta eh maior do que Zero Certo tal que a imagem desse x ó se eu pegar esse ponto aqui por exemplo esse x aqui por exemplo quem que vai ser a imagem dele a g Dex vai dar aqui e a f Dex vai tá aqui o mesmo vai acontecer ainda tá bom FX Vai ser menor do que a g Dex se eu pegar esse outro ponto aqui ó FX vai ser menor do que a GX que vai

est aqui em cima OK mas Observe que se eu pegar esse ponto aqui sendo X a g Dex é menor do que a FX tá bom o que eu estou garantindo é que se eu pegar x suficientemente próximo do meu a isso vai continuar acontecendo já que a minha função é contínua Ok ã o corolário ele diz pra gente que se nós considerarmos F que vai de X até R contínua em a e um conjunto e um k pertencente a r Ok k é uma constante se f de a é menor que k Então existe

algum Delta maior que zer tal que F Dex também vai ser menor do que k para todo X eh pertencente a x tal que a distância de X até a também é menor que Y Ok então Enquanto Aqui eu tô observando eh a minha função f e g nesse corolário aqui eu vou observar só a minha função f se vou apagar isso aqui se o f de a que é esse ponto aqui for menor f de a for menor do que um k certo então vai existir um Delta tal que quando eu tomar um X

suficientemente próximo de a o f desse x aqui também vai ser menor do que o k Ok e esse k é uma constante tá bom bom esse outro teorema fala para mim que se f é contínua no ponto a certo F contínua no ponto a se somente se f de A é igual o limite de F de xn para toda a sequência xn contido em x com o limite de xn = a a Ok ã aqui esse corolário fala que para F ser contínua no ponto A é necessário que exista o limite de algum do

F certo da imagem de alguma sequência em X para qualquer sequência de número xnx tal que esse limite aqui ele vá para o ponto a Ok ou seja então para F ser contínua nesse ponto a aqui é necessário que tenha alguma sequência em X convergindo para esse ponto a aqui por quê Porque daí se tem uma sequência convergindo eu vou ter imagens tão próximas da minha f de a quanto eu queira Ok continuando considerando f e g contínuas no ponto a Ok então a soma dessas duas funções é contínua a subtração é contínua e f

vez G é contínua nesse mesmo Ponto a se a g de a é diferente de zero a divisão dessas duas funções também vai ser contínua no ponto A ok mas eu preciso garantir que g de a é diferente de zero teorema consideramos F que vai de x a r e g que vai de y a r duas funções contínuas nos pontos a pertencente a x e y = a f de a pertencente a y respectivamente E além disso a imagem de F certo do conjunto eh de X em F é contínua e com eh está

contida em Y OK logo a função gof é contínua em A tá bom eh nesse caso é só só a gente só está esboçando as condições para que uma função composta seja contida em a Ok resumidamente a composta de duas funções contínuas é contínua Ok bom continuando se a gente considerar o conjunto x que é subconjunto da união de F1 e F2 onde F1 e F2 são conjuntos fechados Ok então eu tenho F1 que eu coloquei aqui em roxo certo então vai ser esse esse conjunto aqui F2 vai ser esse conjunto aqui em azul se

eu tomar a união deles eu tenho isso aqui tudo e eu tenho que o meu x tá contido nessa União Então vamos verificar aqui pelo por esse desenho se a função f ela vai de X até R ela é tal que as suas restrições F restrita a x intersecção com F1 Quem quer essa restrição eu vou achurar aqui F1 Acredito eu que vai passar por aqui então F restrita essa interseção aqui e a f restrita a essa outra interseção aqui ó que é do X com F2 são contínuas então F é contínua tá bom se

f é contínua nessas duas restrições então F ela é contínua eh de qualquer forma Ok para todo X para todo o domínio X Ok ã se seja x igual a união desse conjunto aqui Aqui eu só vou expandir mais um pouco tá então em vez de eu tomar x como sendo esse conjunto esse círculo aqui que eu tomei dentro da União eu vou falar que X é exatamente igual a interseção Então vai ser tudo isso aqui tá então eu posso fazer o mesmo tá então F restrita a F1 se é contínua F restrita F2 é

contínua então F é contínua em todo o seu domínio certo se F1 e F2 fossem abertos o que que aconteceria ã o teorema anterior ainda seria válido Pois é possível cobrir x com uma infinidade desses conjuntos Ok eh então mesmo que F1 e F2 fossem conjuntos abertos se se eh F restrita a interseção ou a própria F1 ou a própria F2 tá bom ainda assim seria cont porque eu consigo cobrir x como a infinidade desses conjuntos Tá bom então seja x que vai pertencer a essa cobertura de X por abertos a com índice em lambda

a com índice amb e amb L Ok LAMB pertencente a l se uma função f Dex in R é tal que para todo índice lambda de R de L as restrições f f restrita a interseção de a com o próprio x são contínuas então a minha F toda ela contínua em todo o domínio Ok no corolário aqui a gente tem que se e x é igual a união certo desses a lambidas certo a l aberto para todo LAMB em L cada uma das restrições a lambda é contínua então a f ela é toda contínua Ok

por exemplo se eu considerar aqui o x que é o conjunto R menos o z0 seja f uma função que vai de X até R que eu vou definir ela da seguinte forma ela é constante em men-1 tá para todo x menor que 0 então ela é esse pedacinho aqui e ela é constante em um para todo x maior do que zer em zero ela é e ela não tem um pontinho aqui então aqui por isso que eu fiz uma bolinha aberta aqui e uma bolinha aberta aqui quando X iG 0 Ok então F é

contínua eu vou afirmar que F é contínua por quê Porque o X Ele pode ser escrito como a união de a com B tal que a é igual a menos infinito até zero tá então o meu a vai ser esse conjunto aqui aberto e o b vai ser zero até mais infinito que é esse outro conjunto aqui eles são abertos com f e de restrito a a e b e f restrito A B são contínuas Ok então se isso aqui acontece F ela é contínua certo continuando a gente tem aqui eh o assunto pontos de

descontinuidade vamos ver então quando é que essa função ela é descontínua então consideramos F uma função que vai de X até os reais o ponto de descontinuidade da função ponto de descontinuidade da função f diremos a de X então eu vou falar que a é um ponto de descontinuidade é tal que f não é contínua em a certo isso significa que existe um é maior que zero tal que para todo é para todo Delta maior que zero eu posso encontrar um X delta em xão que é o nosso conjunto novamente eu ressalto que esse índice

Delta aqui significa que esse X Ele vai ser dependente desse Delta aqui tá bom então já que é para todo Delta vai existir um X eu posso encontrar esse x que vai ser dependente do Delta tá bom tal que se isso aqui acontece Ou seja a distância de X Delta com a é menor do que é eu vou ter que a distância da imagem desse x Delta com a distância do a da imagem do a vai ser maior ou igual que Zero Certo ou maior ou igual que é que seja certo então eu sei que

vai existir um é que vai ser tão pequeno quanto eu queira tá bom além disso Ou seja a distância vai ser maior do que eu gostaria que ela fosse tá bom E aqui eu trouxe um exemplo o mesmo exemplo que a gente tem ali tá Note que e aqui a gente tem a função que vai de R em R Ok o zero agora faz parte do domínio tá bom Note que o domínio dessa função é os reais antes era os reais menos o zero Tá bom então eu tenho que essa função ela vale um positivo

para x Ma Que 1 para x Ma Que 0 e x e -1 certo constante para x menor do que 0 eu tenho que zero pertence ao domínio que eu domínio é aos reais mas f de0 não está definida certo então aqui zero vai ser o meu ponto de descontinuidade naquele caso não era ponto discon continuidade porque eu tomei o conjuntos reais fora o zero Ok bom aqui a gente tem os tipos de discontinuidad eu posso falar que F possui uma discontinuidad de primeira espécie em a quando isso aqui acontece ó F é descontínua no

ponto a ok E além disso Existem os limites laterais de F Ou seja quando o X tende a a pela direita e quando o X tende a a pela esquerda Ok Então nesse caso os limites laterais existem mas a é descontínua mas a f é descontínua no meu ponto a caso a seja ponto de acumulação de X apenas de um lado certo exigimos apenas que o limite lateral correspondente exista certo ã nesse caso é quando eu vou tomar uma função por exemplo que o meu domínio começa aqui por exemplo uma função constante que começa no

Zero Certo então não faz sentido eu falar que vai tender a zero pela esquerda já que a minha função começa a partir de zero então por isso que eu vou exigir que apenas o limite lateral correspondente nesse caso aqui pela direita tá bom só vou exigir que ele exista certo agora que eu vou tomar FX até R Tá eu vou falar que essa função ela possui uma discontinuidad de segunda espécie em a quando a ele pertence ao conjunto derivado de x positivo certo pela direita e o limite pela direita ele não existe ok ou seja

ou quando o a pertence da mesma forma né analogamente pertence ao conjunto dos pontos de acumulação que derivado de x pela esquerda e o limite de F Dex quando X tende a pela esquerda não existe então quando um desses dois aqui acontecer ou um ou outro ok aqui eu tenho que uma função monótona não admite descontinuidade de segunda espécie ela pode até ser descontínua de primeira espécie mas ela nunca vai ser descontínua de segunda espécie Ok se eu considerar uma função f Dex a r uma função eh cujas descontinuidades são todas de primeira espécie pode

existir mais de um ponto Deon continuidade em uma só função Ok sendo assim o conjunto dos pontos de descontinuidade de F é enumerável então por mais que exista mais de um pontos o esse conjunto dos pontos de de descontinuidade ainda é enumerável Ok se eu supor que F é monótona o conjunto dos pontos de e de continuidade de F é enumerável Ok bom agora a gente vai falar sobre funções contínuas e intervalos até o momento a gente falou de função contínua pontualmente Tá então vamos expandir isso daqui para uma noção em intervalos aqui eu tenho

o teorema do valor intermediário que provavelmente Vocês já viram anteriormente em cálculo Mas vamos relembrar o que que ele fala pra gente então eu considero uma função que ela vai do intervalo a até o intervalo B fechado até R Tá bom uma função contínua então ela é contínua se o meu f de a for menor que um D uma constante D que for menor que um F Deb certo então existe uma constante c pertencente a esse intervalo aberto tal que F dec seja igual a d o que que eu tô falando tô falando que se

eu tenho um a esse ponto aqui é o f de a tenho um B esse ponto aqui é o f Deb eu tô falando que existe um ponto D aqui no meio entre as imagens certo então quer dizer que a imagem desse ponto D vai ser um ponto c e que esse ponto c vai pertencer ao intervalo a b Ok vai estar entre a e b tá então se se a função é contínua e d tá no meio da da imagem desses dois pontos então C também vai estar no meio do domínio A e B

Ok se eu considerar agora é uma função que ela vai de I até R certo então i é um intervalo eh então F é monótona sua imagem f de i = j é o intervalo e sua inversa é contínua muita coisa né então vamos ver o que que isso daqui significa eu tô pegando então uma F que ela é contínua uma função injetora certo definida No intervalo eu tô afirmando que ela é monótona ok sua imagem f de i é igual a j que é um outro intervalo tá então se eu tenho essa função aqui

definida nesse intervalo I aqui ó aqui é o intervalo I essa função vamos supor que ela faz isso aqui certo essa função ela vai fazer isso aqui a imagem dessa função vai está totalmente contida dentro desse intervalinho aqui acho que eu vou ter que pegar um ponto mais baixo ali então aqui a imagem dessa função vai est toda contida dentro desse intervalinho J aqui tá ó aqui ok e então J é um intervalo e a inversa quem que vai ser a inversa F a-1 que vai de y até x também é com contínua Ok Opa

perdão F que vai de J até R é contínua Ok eh se eu considerar agora dois subconjuntos de r o x e o y e uma objeção F que vai de X a y contínua as inversas também vai ser contínua Tá bom então eu chamo isso daqui de homeomorfismo entre X e Y Ou seja quando eu tenho uma objeção contínua a inversa também é contínua Ok Isso daqui é um homeomorfismo entre x e y bom então é isso que é uma função ser contínua em intervalos eh nós temos agora a definição de funções contínuas em

conjuntos compactos vou supor que uma F que vai de X até R é uma função contínua Ok se X é compacto a gente já definiu o conjunto compacto tem que cumprir todas aquelas condições daquele teorema estrela lembram disso F também é compacto Ok f a imagem de X por F também vai ser um conjunto compacto Ok ã aqui eu tenho o corolário de w estras que diz que toda a função contínua definida no conjunto compacto x ela é limitada a atinge seus extremos ou seja existe X1 X2 em x tal que f de X1 é

menor do que todos os FS dos outros x que é menor do que fx2 ou seja fx1 e fx2 são os extremos para todo x Isso aqui vai acontecer Ok ã se eu considerar um X contido nos reais um conjunto compacto então eu tenho o seguinte se f é contínua e injetora temos que a imagem de X por F que eu vou chamar de y Ok é compacto certo então se x é compacto F é contínua então a imagem também vai ser compacta e a inversa vai ser contínua ok e por fim falando um pouquinho

de continuidade uniforme eu vou ter o seguinte eh eu vou chamar de continuidade uniforme eh uma uma função ela é uniformemente contínua quando para cada é maior que zero vai existir um Delta maior que zero tal que se x y de X a distância entre eles for menor do que esse Y certo então a distância das imagens desse x e desse Y Vai ser menor do que Y tá bom Aqui eu falei errado se a distância de x y for menor do que Delta a a distância das imagens entre x e y também vai ser

menor do que Delta quando isso aqui acontece a gente fala que essa função ela é uniformemente contínua geralmente não é possível determinar a partir de um é maior que zero dado o único Delta que seja Válido para todos os pontos do domínio então eu vou ter que olhar intervalo a intervalo se de um é eu vou procurar um Delta que satisfaça para aquele intervalo ali em questão tá bom entretanto aqui eu trouxe um exemplo que a gente consegue obter um único um único é aqui eu vou pegar a função f que vai de R em

R E eu vou falar que ela tem essa lei de formação aqui x cx mais d a gente sabe que isso daqui é uma reta certo e eu vou falar que c é diferente de zer se eu pego um maior do que 0 eu posso tomar o delta igual a é sobre módulo de C Qualquer que seja o a que e nós teremos o seguinte a distância de X até a vai ser menor do que o meu Delta e isso daqui vai implicar no seguinte para mim a distância dentre as imagens dessas funções fx e

f a vai ser o quê vai ser F aplicado em x que vai ser essa parte aqui C de x+ eu vou aplicar o a na minha F que vai ser C de a + d certo só que como eu tenho o sinal negativo aqui eu vou combinar esse sinal então vai ficar - C de a - d então o módulo disso vai ser o seguinte esse D eu posso cancelar com esse D aqui um tá positivo outro tá negativo eu vou colocar o sem evidência e como a gente já viu o a multiplicação de

módulo é o módulo das multiplicações Tá bom então eu posso tirar esse esse c aqui para fora em módulo certo então vai ficar C vezes o módulo de X - a só que o módulo de X - a opa olha aqui que que é minha hipótese ele é menor do que o meu é perdão ele é menor do que o meu Delta tá então se ele é menor do que o meu Delta eu posso falar que essa parte aqui é menor do que o c então tô repetindo o c vezes o meu Delta certo só

que C vezes o meu Delta quem que foi o o Delta que eu tomei C Acho que vocês não estão vendo aqui C vezes é sobre módulo de C certo isso daqui então é igual ao próprio é certo ou seja prestem bastante atenção nessa parte aqui se isso daqui acontece o que que isso vai implicar para mim vai implicar que a distância entre a imagem de x e a é menor do que o meu é certo então aqui a gente tem um exemplo de função uniformemente contínua Então a partir de um é dado eu consegui

encontrar um Delta que serviu para todos os reais nesse caso aqui tá bom mas eu ressalto que isso nem sempre acontece bom toda função uniformemente contínua é contínua claramente Tá bom mas nem toda a função contínua é uniformemente contínua Ok f de x em R vamos ver então quanto que essa f não será uniformemente contínua tá então ela não será uniformemente contínua se somente se existir um Delta tal que para cada perdão existir um é tal que para cada Delta for possível obter um X dependente de Delta e um y dependente de Delta ambos no

meu conjunto x tal que a distância entre esses dois aqui vai ser menor do que o meu Delta Tá bom mas se isso aqui fosse menor do que o é seria uniformemente contínua aqui o que eu quero é isso daqui agora ó a distância entre as imagens de X Delta e y Delta é maior do que o meu Y Ok Então nesse caso a gente afirma que ela não é uniformemente contínua então uma função ela é chamada de de lipschitziana Aqui tá o outro conceito quando existe uma constante c Ok tal que se x y

pertence a x a distância de da imagem de x com a imagem de y vai ser menor do que essa constante c multiplicada pela distância de x e y Tá bom então sempre que essa relação aqui ocorre eu vou falar que F ela é uma função lipschitziana Ok Observe que todo toda a função lipsit Siana é uniformemente contínua ok que que eu posso fazer para provar isso eu posso falar que dado um é maior que 0 eu vou tomar um Delta igual a y sobre C Ok alguns resultados sobre continuidade uniforme pra gente finalizar essa

aula Se eu pegar uma F que ela vai de X até R uma função uniformemente contínua eu vou tomar se se existe uma sequência xn xn é uma sequência de Coxi em x Relembrando sequência de cxi em X é quando eu tenho que o meu xm - xn certo é menor do que é ou seja os elementos da minha sequência a partir de um n0 natural certo m e n maior do que esse zero maior ou igual do que esse n0 essas esses elementos da minha sequência eles vão ficando cada vez mais próximos um do

outro certo Então nesse caso se xn é uma sequência de Coxi em X então a imagem dessa minha sequência é também uma sequência de cxi Tá bom então isso eu garanto sendo se Ok se F for uniformemente contínua Tá bom então se f é uniformemente contínua a imagem de uma sequência de Coxi também é uma sequência de coi Ok se eu considerar F uma função de Xr uma função uniformemente continua que que eu tenho para todo a pertencente ao derivado de x ao conjunto dos pontos de acumulação de X o limite de FX quando X

tende a a ele existe ok por exemplo exemplo se eu pegar as funções FG que são as funções que vão do intervalo que é aberto em zero e fechado em um até o conjunto dos números reais Essas funções são dadas pelo seguinte FX iG seno de 1 so x e GX iG 1 so x Essas funções não são uniformemente contínuas uma vez que não possuem limite quando X tende a zer Ok toda função contínua com ponto com x um conjunto compacto tá o X é o domínio ela é uniformemente contínua tá então se f é

contínua o domínio é um conjunto compacto eu posso afirmar que essa função ela é uniformemente contínua Além disso toda a função f uniformemente contínua admite uma extensão essa extensão eu vou chamar ela de phi Essa phi ela vai do fecho de X até R E ela é contínua posso afirmar que ela é contínua Ok Além disso phi é a única extensão contínua de f a x ao fecho de x que é uniformemente contínua ou seja se f é uniformemente contínua a f Vai admitir uma extensão phi essa extensão ela vai do fecho de X até

R E essa extensão ela é contínua e além dela ser contínua ela é a única que é uniformemente contínua Ok se a gente considera então uma F que vai de X uma função uniformemente contínua eu posso afirmar que se x é limitado a imagem de X por F também vai ser um conjunto limitado Ok bom era isso que eu queria conversar com vocês fiquem atentos ao cronograma e qualquer dúvida entre em contato com o tutor até a próxima aula m [Música]