Euclides: uma introdução à verdade pela matemática / Murilo Resende

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disponível em nosso canal. Primeira consideração que eu queria fazer no começo dessa palestra é que assim, talvez no começo você já tenha Aquela ogeriza matemática que é muito comum em muitas pessoas no Brasil, mesmo pessoas que têm um interesse intelectual genuíno. Muitas vezes essa ogeriza foi causada pelo nosso desastre educacional, que é particularmente terrível na matemática. Mas tentem vencer esse preconceito nesse momento e prestarem muita atenção nessa palestra, porque vocês verão que o estudo de Euclides, né, o estudo da matemática, como foi preconizado pelos Gregos, foi continuado na escolástica católica, é algo que pode trazer

muitas dádivas para o espírito humano. Então eu peço que vocês concedam aí a atenção de vocês, que vocês verão que os frutos são grandes a serem tirados disso. Sempre que eu falo desse assunto, eu costumo dizer, eu costumo me lembrar do seguinte, né? Quem eh não é fiel no pouco, não é fiel no muito. De fato, a matemática não é o estudo mais elevado do espírito humano. No entanto, é um dos primeiros lugares e um dos lugares mais fáceis onde nós podemos entender o que é o verdadeiro poder da razão e de ciência que Deus

nos deu, né? Então, embora não sejam os grandes temas, né, nós não estejamos tratando dos grandes temas da política, da ética, da religião, né, é uma base extremamente importante para toda a inteligência e toda a racionalidade do ser humano, né? Se Se quem, né, dedicar essa atenção, eu peço que se esforce para depois, principalmente a parte da que em que a gente vai trabalhar aqui, as proposições e demonstrações de Euclides, se puder depois assistir uma segunda vez com caderno, compasso e régua em mãos, me acompanhando na nas demonstrações, eu tenho certeza que essa aula, essa

palestra dará ainda mais frutos. Pois bem, queria dizer que o começo dessa palestra vai partir de uma aula do Professor Olávio de Carvalho no COF, em que ele nos relatou de uma forma bastante divertida, né, e curiosa, o momento em que ele decidiu que ele abandonaria a escola formal no Brasil, que nos traz e é foi um momento na vida dele que nos traz direto ao problema da matemática moderna. da geometria euclidiana, da geometria como ciência, né? Eh, eu não me lembro em que idade que o professor Olávio estava, mas devia ser algo ali na

Pré-adolescência e adolescência. E ele diz que estava numa aula de geometria em que o professor primeiro definiu o que era um ponto e definiu o ponto como sendo aquilo que não tem dimensão nenhuma, que é uma posição sem dimensão ou, né, talvez de forma próxima a Euclides, aquilo que não tem partes, né? E logo depois ele definiu a reta como a reta ou a linha como sendo aquilo que tem apenas uma dimensão, a dimensão do Comprimento. E logo depois o professor afirmou que a reta era composta de infinitos pontos. E o a versão juvenil ali

do professor Olavo, né, diferentemente da média do brasileiro, né, juntou uma coisa com a outra. Como é possível que algo que não tem dimensão nenhuma, né, um zero na esfera da dimensão possa, somado, mesmo que ao infinito, como é dito, gerar uma extensão. Como é possível que o mais Venha do menos, que é a proposta que estava sendo afirmada ali. É lógico que se tratava de um absurdo, mas porque esse absurdo estava ali logo no começo da educação matemática, da educação geométrica nas nossas escolas? Porque uma contradição tão flagrante como essa era ensinada pelo professor

como se fosse uma verdade absoluta e ninguém era capaz de questionar aquilo, né? Então, segundo o Professor Olaves, foi uma das coisas que o fez decidir, se decidir a abandonar a escola e partir, né, pro seu processo ali de autoeducação, né? E esse é o ponto de partida da nossa aula, porque de fato a a matemática tem um potencial muito grande pro desenvolvimento do intelecto humano e também um potencial muito grande para a sua destruição, né? A gente pode dizer que no Brasil o Ensino de matemática que nós temos hoje é um fruto completo de

puras necessidades econômicas, né? Quando o atual currículo escolar brasileiro foi ser definido ali por volta da década de 60 e 70, foi ganhar novos traços, né? O Brasil era um país em franca industrialização, num mundo em que computadores e calculadoras ainda eram bens raros e de luxo. E que então houve uma decisão no governo de que as nossas escolas deveriam estar principalmente Preocupadas em formar engenheiros para fazer contas, né? Então o que que você precisa treinar? a matemática como uma disciplina do intelecto, a matemática como ciência ou então ou a matemática meramente operativa, né? O

famoso fazer continhas, mesmo que sejam continhas de natureza muito avançada, é claro que se tratava da segunda opção, né? Só que hoje nós Estamos num país em que a indústria foi depenada, né? Em que qualquer calculadora de mão hoje é capaz de fazer contas numa numa velocidade infinitamente superior à mente humana. O que dizer, né, dos computadores super potentes hoje que estão disponíveis de forma extremamente barata, ainda mais com inteligência artificial. Então, um homem como uma máquina de calcular se tornou completamente Obsoleto. No entanto, a nossa educação matemática continua fixada no problema da continha ou

o que muitas vezes é muito pior em certos devaneios da matemática moderna, né, da como a teoria dos conjuntos, em que você quer abarcar a matemática inteira na teoria dos conjuntos, transformar a matemática numa pura lógica arbitrária, sem fundament na realidade, né? Então, o fato é que eh a matemática no Brasil, mesmo no seu nível mais Avançado, longe de ser uma disciplina do pensamento, hoje é algo que contribui para a epidemia da burrice nacional, né? é algo que longe, né, de atrair as pessoas, por exemplo, para os altos estudos de filosofia, teologia, né, ciência política,

né, faz ou afastá-lo disso ou prendê-lo em meros joguinhos matemáticos, né, enquanto, né, se a gente observar bem a antiga disciplina do trívium e do Quadrívium, né, a disciplina das universidades medievais, nós constataremos que o ensino da matemática, de forma extremamente rigorosa na aritmética e na geometria, era o pré-requisito dos altos estudos nas ciências mais elevadas da filosofia e da teologia, né? Abraham Lincoln, ele se orgulhava, por exemplo, de ter decorado, né, de saber de cabeça, não só por memória, mas pela Inteligência, de uma vez só conseguir demonstrar os seis primeiros livros de Euclides. Da

primeira proposição, eu acho que até mais de 200 proposições, né? Os colégios jesuíticos, antes da supressão da ordem jesuítica, eles tinham uma tradição de que todo aluno dos jesuítas, né, e principalmente dos níveis mais avançados, também deveria conhecer e saber demonstrar Rigorosamente os seis primeiros livros de Euclides. Inclusive, existe um episódio muito curioso, né, quando o marquês de Pombal foi fazer a reforma iluminista, né, da educação em Portugal. Qual era a propaganda do marquês de Pombal, né, como um acólito da maçonaria, né, era de que os jesuítas eram antíficos e contrários ao desenvolvimento do intelecto

humano. Mas como eles eram os maiores Propagadores de escolas, os maiores cientistas e os maiores matemáticos daquele tempo, era uma proposição um pouco estranha. E uma das coisas que os jesuítas, que segundo o Marquês de Pombau eram antcientíficos, tinham mandado eh erigir, né, na Universidade de Coimbra em Portugal, era uma série de azulejos, né, portugueses que coninham exatamente todos os Diagramas, né, das demonstrações dos seis primeiros livros de Euclist. Qual era o objetivo disso? Para que o aluno pudesse, sem precisar desenhar, com referência apenas ao intelecto e a ordem do intelecto, proceder então a todas

essas demonstrações como uma das provas ali no ensino jesuítico, né? E o marquês de Pombal, então, ordenou que esses azulejos fossem retirados exatamente para manter a Propaganda de que os jesuítas tinham um espírito antífico, né? Se eu não me engano, até hoje em relicários e museus é possível encontrar ainda eh esses azulejos desse período, né? Então, se a gente contrasta essa realidade do que que a matemática já foi, né, dentro do ensino do trívium e do quadrívium, né, das verdadeiras disciplinas científicas da escola, né, e das universidades também, e sobretudo no ensino Católico, contrastar isso,

né, com uma matemática que hoje sequer a gente Pode supor que os alunos saem com competência nas continhas à quais a escola deveria ensinar, quanto mais a gente imaginar que a matemática possa ser transmitida para jovens como uma disciplina científica. No entanto, a matemática, né, dentro aí das disciplinas da aritmética e da geometria, sempre foi Considerada a a ciência mais fácil e mais apropriada para a introdução dos jovens e também do dos adultos à a idade superior da razão, né, ao desenvolvimento das capacidades. lógicocientíficas, precisamente porque a matemática exige muito pouca experiência de mundo, né?

Se nós lembrarmos da física de Aristóteles, né, quando Aristóteles vai determinar os primeiros princípios da ciência da física, ele tem De fazer todo um preâmbulo dialético, uma um debate profundo para estabelecer os primeiros princípios da física. Na matemática existe essa etapa e nós passaremos por ela na geometria nesta aula. Porém, a partir do momento em que os primeiros princípios são bem estabelecidos, a mente humana tem uma capacidade construtiva enorme, né? Então, a matemática deveria ser um um uma espécie de preâmbulo, não só para o estudo das Outras ciências e dos altos estudos universitários como da

própria vida contemplativa. E eu posso testemunhar para vocês que no último ano que eu passei por um estudo aprofundado, né, da obra Os elementos de Euclides, eu pude perceber o imenso prazer intelectual envolvido no ato de você observar os problemas, né, e teoremas que são apresentados por Euclides nesse livro. E depois de dos primeiros estudos, de uma atividade de memorização, de repetição, depois disso, quando eu percebi que eu estava, eu era capaz já de ir da primeira proposição até a proposição 48 de Euclides, que é o fim do primeiro livro, e que tudo aquilo estava

no meu intelecto e que eu podia repousar naquele conhecimento da verdade. Eu percebi o quanto essa disciplina nos ensinava numa coisa muito simples, o que é o repouso contemplativo E um tipo de prazer que não é sensível, mas intelectual, né? E pude perceber a perda que é para todas as disciplinas intelectuais, né? que um estudo como esse de Euclides tenha sido abandonado em prol, né, de fazer continhas ou o que é pior, né, a matemática do Comoncore americano e da nossa BNCC, né, que agora já tem até a afromatemática, etnomatemática, né, a matemática Relativista, né?

Então, né, isso é um terror, né? Então, né, antes que nós entremos aí, né, no estudo, né, da propriamente dito da geometria como ciência, o que que a gente pode dizer que o que que acontece de verdade no ensino de matemática? O ensino de matemática deveria ser e ele deveria ser completamente axiomático. O que que quer dizer isso? A, ele deveria ser ciência no sentido de conhecimento pelas causas, né? Nós Deveríamos ter princípios, primeiros princípios absolutamente evidentes e óbvios e que todos reconhecem e a partir daí ir construindo todo o conhecimento como algo do qual

nós temos certeza absoluta. Então, a matemática, como eu gosto de brincar, ela deveria ser, né, a testosterona da certeza, né? na texto é é a pessoa entender. Olha, você não é um idiota relativista, né, num mundo caótico, criado aí por um demiúrgo Malvado que não consegue se localizar na realidade. Não, pelo contrário, você é capaz de conhecer a partir de coisas simples, coisas absolutamente complexas com um dom que te foi dado por Deus. Mas como nós v, como é possível ver para quem avançar no estudo de Euclides, coisas simples, como por exemplo, né, o fato

de que ângulos opostos pelos vértices são iguais, que é a proposição 16 de Euclides, que é algo que pode ser facilmente demonstrado até mesmo sem as Proposições anteriores de Euclides, que que as pessoas aprendem na escola, pessoal? ângulos opostos pelo vértice são iguais. Agora olha aqui, né? Vamos fazer o desenhinho aqui, né? Como é que isso funciona? 200 exercícios com a seguinte natureza. X 45º, né? Aí eles te pedem, né? Isso aqui é o exerciciozinho inicial. Quanto é X? Se eu disse para você que o ângulo oposto ao vértice dele é 45º. Ah, 45º. Aí

você vai aumentando um pouco a complexidade, né? Mas em geral você vai ficar girando sempre em torno do nada, em torno de fazer continha. né? Ou uma outra proposição de Euclides, como a proposição 32, em que ele demonstra a famosa propriedade dos triângulos de que os ângulos internos de um triângulo somam dois ângulos retos ou o famoso 180º, que é proibido, viu, gente, na geometria euclidiana, porque 180º é uma mensuração, não é o que a coisa é de fato, né? Então, é uma demonstração relativamente simples para quem estudou Euclides, mas a pessoa pode passar uma

vida inteira estudando matemática na Escola, na universidade, talvez até mesmo, né, em nível de mestrado e doutorado em matemática, sem que veja essa simples demonstração, possa ter esse simples deleite intelectual de ter a impressão que você está entendendo o que você faz e não sendo um macaco, né? Um macaco treinado ali para fazer contas de forma cada vez mais eficiente. Sei que parece pesado dizer isso dessa forma, mas não é. Literalmente você se submeter a essa disciplina é aceitar que tanto você quanto seus filhos sejam tratados como macaquinhos, como seres que não são dotados da

inteligência, de inteligência, mas que devem ser meramente adestrados para fazer coisinhas, mesmo que sejam coisinhas com muito valor econômico. Então eu digo que essa via do estudo de Euclides também é uma via que pode abrir Os olhos das pessoas para todo o resto do triv, do quadrívium e tudo da verdadeira educação que nos foi tirado por por uma educação que é, como eu já falei em várias palestras minhas anteriores, uma educação que é essencialmente ditada pelo sistema financeiro. para nos transformar em capital humano, né? Então, digamos que essa burrice, essa transformação que nós passamos, né,

de Seres humanos a verdadeiros macaquinhos, né, existem interesses econômicos profundos por trás disso. Pois bem, a primeira coisa que a gente precisa entender para estudar geometria e especificamente esse esse que foi possivelmente o maior livro texto da da história da humanidade, que é Os elementos de Euclides, é entender o que é ciência. Porque hoje as pessoas acham Que ciência é laboratório, né? São estudos estatísticos. São mensurações que te permite permitem construir uma maquininha, né? Embora todas essas coisas possam envolver estudos que se aproximam da ciência ou que são meramente mensurações, ciência no seu na sua

acepção mais correta, mais perfeita, não É uma coisa exterior, né? que possa ser indicada por sinais exteriores. Ciência é o aper aperfeiçoamento do intelecto humano, né? O intelecto humano se actualizando de fato, né? E adquirindo aquelas verdades que são próprias e às quais ele está destinado, né? Então, ciência é conhecimento pelas causas, né? é você conhecer os primeiros princípios, né, de uma determinada realidade, de um determinado campo da Realidade, atravessando os termos médios corretos, né, e seguindo as regras da lógica e do pensamento humano, partindo desses primeiros princípios absolutamente certos, né, ser capaz de chegar

a conclusões que são absolutamente certas, como os primeiros princípios. Então, nesse movimento, né, de actualização da ciência no espírito humano, existem dois movimentos que se Complementam, né? O primeiro movimento é o movimento de indução dos primeiros princípios. né? O que normalmente nós chamamos de dialética, né? É o momento em que pela confrontação de hipóteses, as várias hipóteses vão sendo eliminadas até que nós chegamos a um princípio absolutamente certo que pode ser fundamento de uma ciência. Então, nessa fase dialética, né, existe um teste de várias hipóteses até que são Induzidos, né, por esses testes os verdadeiros

primeiros princípios de uma ciência. E o segundo movimento do espírito humano é o movimento dedutivo, no qual de posse desses princípios, né, ele é, o espírito humano é capaz de deduzir aqueles efeitos que são próprios dessa causa, né? E para realizar, né, esse processo Científico, no caso da geometria, como é o caso em qualquer outra ciência, nós temos de entender qual é o objeto primeiro da inteligência humana e quais são, né, os graus de abstração dos quais a mente humana é capaz, né? Então, o primeiro, o objeto próprio da mente humana, né, como podemos constatar

em Aristóteles, São Tomás de Aquino, é o ser. Mas o ser do quê? O ser das Substâncias corpóreas, né? Como dizia Aristóteles, não há nada no intelecto que antes não tenha estado nos sentidos. Então, a primeira realidade que a mente humana capta, né, é a realidade dos entes corpóreos, né? Esse é o primeiro objeto e o primeiro fantasma, né, como dizia Aristóteles, que a mente humana vai ter na sua imaginação para que possa, que ela possa iniciar o processo abstrativo que vai Dar início ao conhecimento científico. Então, o primeiro grau dessa abstração, né, dá origem

a o que nós chamamos de física no sentido aristotélico. Qual é esse primeiro grau de abstração? Quando nós vamos estudar a natureza, nós não estudamos esta ou aquela pedra que está naquele lugar, que tá pintada daquele jeito, ou esta ou este ou aquele macaco, né? Ou este ou aquele movimento, Seja um movimento local, seja uma transformação qualitativa, nós sempre abstraímos do particular para o universal. né? Esse é o primeiro movimento da abstração humana, né? É extrair do particular o universal. Só há ciência do universal. E esse é o primeiro grau da abstração humana que corresponde

à primeira ciência, né, na ordem do conhecimento humano, que é a física, né? Porém, é Possível um segundo movimento da abstração, que consiste em não só abstrair da matéria sensível particular para a matéria sensível geral, universal, mas é possível também abstrair totalmente da matéria sensível né, a sede das qualidades dos entes corpóreos e ficar apenas com as substâncias determinadas pela Quantidade, né? E essas substâncias determinadas apenas pela quantidade, é isso, é exatamente o objeto da geometria, certo? Esse segundo movimento da abstração humana, né, que abstrai totalmente da matéria sensível e fica apenas com a matéria

inteligível, é o que dá origem à ciência da matemática como um gênero que tem duas espécies, a aritmética e a Geometria. Como sabemos muito bem e não é o tema da nossa palestra hoje, o terceiro movimento da abstrativo do ser humano, ele vai abstrair inclusive da determinação da quantidade, né, que permite propriamente a existência dos corpos, né, e a interação dos corpos entre si e das substâncias corpóreas. E a nós chegaremos então a partir da física, né, como foi feito em Aristóteles, a substâncias Incorpóreas imateriais, né, que são, como sabemos, o objeto da metafísica. Cabe

a nós agora investigar para entender esse essa fundamentação da geometria na realidade, investigar por que essa abstração, né, da substância determinada apenas pela extensão contínua que é possível é na geometria, porque ela é exata e Perfeita. Certo? para fazer isso, né, ou dar um esboço disso para vocês. Lembrem que isso aqui é muito mais um guia de estudo do que o fechamento da questão. A gente deve entender a estrutura dos entes corpóreos, tal como ela é determinada, né, no estudo da física. Nós podemos adquirir essas noções sem ter estudado essa disciplina ainda, mas é óbvio

que isso aqui também é mais um Ensejo para estudos futuros. Mas nós podemos dizer que as substâncias corpóreas, os entes corpóreos, que são o primeiro objeto da inteligência humana, eles são escalonados na ordem do ser no na seguinte hierarquia de determinações. A primeira determinação do ente corpóreo é a determinação da sua substância, da sua essência, do composto de matériapra e forma Substancial. É aquilo que determina o que o ente é que determina que ele existe, ele exista de forma separada de todas as outras espécies de entes, certo? e a sua unidade e a sua entidade

própria. O segundo nível de determinação dos entes corpóreos é a quantidade. O terceiro nível de determinação é a qualidade. Então, é óbvio que nós podemos dar os exemplos clássicos sobre quantidade e qualidade, né? A quantidade É a própria extensão contínua dos corpos e a figura deles, né? A extensão contínua, né? Como a matéria ali da extensão, né? Essa continuidade de um corpo e os limites, né? a figura que delimita e separa esse corpo, né, de outros corpos como sendo a forma, né, desse acidente, né, da quantidade. E a quarta determinação dos entes corpóreos são as

[Música] Ações e paixões que eles podem sofrer e praticar, né? Então aqui, certo? Olha, na ordem do conhecimento, é claro que quando nós nos deparamos com qualquer ente corpóreo, a ordem é inversa, né? Nós percebemos primeiro que é um ser que age, que se move, que recebe movimentos e determinações. Depois nós percebemos a qualidade desses entes. Depois nós percebemos que essa qualidade ela se Sustenta, né, sobre uma quantidade, uma determinada extensão, né, uma figura, uma forma desse e depois nós percebemos a por a a partir de uma reflexão maior, né, que toda essa estrutura de

ações e paixões, qualidade e quantidade tem de ser sustentada numa substância, numa essência, que é invisível, né? É aquele problema, né? Nós sabemos que cada célula do nosso corpo foi trocada desde o nosso nascimento. Então, não existe uma Continuidade estritamente material em nenhum corpo, né? Alguns mais, outros menos. Porém, o que é contínuo, né, aquilo que permanece no ente por trás de todas as mudanças acidentais desse ente é a substância. E a regra número um do processo abstrativo, do poder abstrativo do ser humano, é que uma abstração exata tem de seguir a ordem ontológica, a

ordem das coisas no ser. O que que quer dizer isso? Que é absolutamente impossível fazer uma ciência que das substâncias determinadas apenas pela qualidade, sem levar em conta que elas também são determinadas pela quantidade. Por quê? O que aconteceria com as qualidades de um corpo se ele não tivesse? Todas essas qualidades colapsariam no quê? Num único ponto e a existência dela seria absolutamente impossível. Da mesma forma, é absolutamente impossível uma pura ciência da quantidade que abstraia da substância, que elimine a noção de substância e fique apenas com os entes uma pura quantidade. Por quê? Porque

a quantidade depende da substância para sua existência, assim como a qualidade depende da quantidade. E as ações e paixões que um Ente corpóreo é capaz de agir, pr praticar e receber, dependem, por sua vez, da sua qualidade, quantidade e substância. A abstração exata que corresponde à ciência da geometria é a eliminação da determinação da qualidade das ações e paixões de um ente corpóreo para ficar com entes, né, que tenham pura uma determinação puramente acidental, que é a determinação da Quantidade, mas que não deixam de ser por isso Isso os entes matemáticos substâncias, certo? Então, é

exatamente porque os entes matemáticos são substâncias também, substâncias determinadas pela quantidade que eles que nós podemos falar de espécies, né, de que quando nós vamos estudar triângulos, círculos, quadrados, paralelogramos na geometria, nós estamos com lidando com Espécies, né, que tem ali a sua matéria e a sua forma própria, mesmo que nós estejamos observando o ente apenas sobre um aspecto acidental, certo? Então eu quero que vocês encarem isso muito mais como uma provocação para estudos posteriores no futuro, como uma apresentação da natureza do problema ontológico do que que representa uma a ciência humana dentro da estrutura

do ser. É óbvio que isso daqui tem imensas Ramificações, né? discussões aqui que vão vão adentrar todos os campos da filosofia e do ensino também. Mas aqui a gente tá dando um primeiro passo para que a gente volte a estudar a matemática, né, num projeto educativo mais amplo como algo mais dignamente científico, né? Então, nesse momento da aula, né, eu gostaria de fazer novamente a advertência que eu fiz no primeiro, no começo, né? Se você chegou até aqui, tá tendo dificuldade Até entender o que que é ente corpóreo, continue, nós vamos chegar numa parte mais

prática aí das proposições de Euclides. Leve em conta que eu estou que essa palestra é preparada tanto para os mais doutos e os que nunca ouviram falar desse assunto. E é feita para estabelecer as primeiras bases desse estudo, né, e da reflexão sobre isso daqui. é para quem vai começar a estudar o assunto e depois pode inclusive voltar Para essa palestra para poder se aprofundar nisso e nessas questões. Para quem tá tendo dificuldade em entender, pensem nisso como uma primeira notícia do problema, né? Às vezes a o primeiro avanço do conhecimento humano, como dizia o

velho Sócrates, se passa pelo reconhecimento de nada saber, né? O reconhecimento da própria ignorância já é um avanço do conhecimento. Então, não tomem isso como uma ofensa. Também lembrem-se que isso Aqui é um estudo muito raro. Hoje a maior parte das pessoas é absolutamente ignorante desse assunto como um um subproduto do nosso da nossa estrutura educacional, mas fiquem firmes que vai valer a pena. Então, nós estávamos aqui falando da abstração própria da geometria, onde nós ficamos com os ententes as substâncias corpóreas determinadas apenas pela quantidade contínua na geometria. Aqui a gente pode fazer uma Breve

reflexão sobre a distinção entre a ciência da matemática que versa sobre a quantidade discreta e a que versa sobre a quantidade contínua. No caso, a aritmética e a geometria. Nós lembramos aqui da aula que a o objeto próprio do da da do intelecto humano no princípio é o ser dos entes corpóreos. Um segundo movimento desse conhecimento sensível, depois de perceber que as coisas existem, são, quer dizer, o Desenvolvimento propriamente dito da idade da razão no ser humano, imediatamente o ser humano percebe que esses entes também existem de forma dividida, né? Eles existem separados uns dos

outros, mas como unidades em si mesmas. Então eles percebem, abstraindo dessa divisão dos entes corpóreos e que embora eles estejam divididos, cada um existe por sua própria conta, é possível abstrair disso o princípio da unidade, Que é o princípio da geometria. E lembrem-se, né, um breve comentar, o princípio da aritmética, me desculpem. Eh, e lembrem-se, o um ou unidade não é número, viu, gente? Ela é o princípio gerador dos números, porque o número, no sentido científico, é aquilo que é medido, mensurado pela unidade, certo? Então, depois que essa divisão dos entes foi percebida, também quase

que Imediatamente é percebido que esses entes não são pontos, né? Nós não percebemos pontos na realidade sensível. Nós percebemos o quê? Objetos sólidos, objetos de três dimensões que têm extensão contínua, né? O que que quer dizer? Essa extensão, essa dimensão deles tem partes, né? E é essa, é esse terceiro momento, né, em que de fato a gente tem a apreensão sensível do objeto da geometria e começa O o processo abstrativo já dentro do campo da geometria. [Música] Então, quando nós fizemos abstração completa da qualidade da matéria sensível e ficamos apenas com a matéria inteligível, qual

é o primeiro objeto abstraído a que nós temos acesso em nossa imaginação? E a nossa imaginação serve então esse objeto, a nossa Inteligência? Na ordem do conhecimento são os objetos sólidos. Hum. O acento no Ah, desculpa, eu fiz boas, né? Eh, são os objetos sólidos, os objetos tridimensionais, né? Esse é o primeiro fruto da da quando nós retiramos a qualidade sensível da imagem. Aí vocês devem se perguntar: "Professor, mas como nós chegamos então aos objetos matemáticos, aos entes matemáticos com duas dimensões? É muito simples, né? Se nós tivermos aqui dois objetos corpóreos, certo? Que estão

em condição de adjência, né? Eles estão claramente próximos um do outro, adjuntos um ao outro. E nós nos perguntarmos o Seguinte: o que divide esses entes? O que constitu, o que são os extremos divisores entre esses entes? E a única resposta que nós vamos podemos chegar, não de forma sensível, mas inteligível, é que o que divide esses dois objetos sólidos são é um plano, certo? Por que que o plano não poderia conter de forma, não poderia ter a terceira dimensão da profundidade por Definição, porque se entre esse um objeto e o outro existisse uma fronteira

que tem a dimensão da profundidade, esses objetos seriam realmente adjacentes? Não, não é verdade, existiria um terceiro objeto sólido, um terceiro corpo sólido entre eles e eles não estariam de fato adjacentes. Então, percebam, não é que o plano não exista na realidade sensível. Ele está lá, mas ele não é sensível, ele é apenas Inteligível, certo? Então, não é verdade que a gente inventa os objetos da matemática na nossa cabeça, né, num mundo paralelo, não. Nós dependemos da da realidade sensível na matemática, da mesma forma que nós dependemos dela em todas as outras ciências. Então, dos

sólidos, abstraindo a dimensão da profundidade, a terceira dimensão, nós chegamos nos objetos Planos. Vou vir aqui pra esquerda aqui para poder fazer um desenho, né? O que que a gente tem na nossa mente quando a gente pensa num plano? Algo assim, né? um objeto plano de duas dimensões. E aí, da mesma forma que nós demonstramos ou mostramos a existência do plano a partir do sólido, nós devemos pensar naquilo que divide os objetos planos entre si, daqui Naquilo que é a fronteira de uma figura plana. Vamos dizer que aqui eu fiz estabelecesse uma [Música] divisão. O

que é que divide um pljeto plano, uma figura plana da outra? É o que nós conhecemos como linha, né? é o objeto matemático que possui apenas uma Dimensão. E por que ela deve possuir na ordem do nosso conhecimento e não do ser apenas uma dimensão? Ora, se essa linha aqui é a fronteira entre dois, duas figuras planas que são adjacentes, se ela tivesse alguma largura, que é a segunda dimensão, ela também seria o quê? uma terceira figura plana que estaria entre essas duas Figuras planas e, portanto, elas não estariam em condição de adjacência, certo? Então,

novamente, da mesma forma que os planos, as figuras planas são as fronteiras dos objetos sólidos, as linhas são as fronteiras, né? aquilo que divide, separa e determina a forma dos objetos planos. Por fim, se nós chegamos às linhas e às retas, que são um tipo de linha, nós chegamos então finalmente no primeiro Princípio da geometria, que é o ponto. E na ordem do nosso conhecimento, o que é o ponto? O ponto é aquilo que divide uma linha da outra, não é? Ele é o divisor, ele é o elemento formal da linha, né? O que que

é o elemento material da linha? É a extensão contínua entre um ponto e outro. Mas o que delimita a forma, a figura de uma linha são seus extremos. Os pontos. E novamente, é possível que um ponto tenha alguma extensão? Não, porque se o ponto tivesse alguma extensão, na verdade essas duas linhas não estariam em condição de adjência. Haveria aqui o quê? uma terceira linha entre elas que impediria essa condição de adjacência e assim a gente poderia ir ao infinito, né? Então, a condição de que o ponto seja o marco formal, aquilo que Divide uma linha,

é que ele não tenha dimensão nenhuma. Da mesma forma que a condição para que uma linha seja aquilo que divide e demarca as fronteiras de uma figura plana, é que ela não tenha a segunda dimensão do espaço. Da mesma forma que o plano é o limite e delimita a estrutura formal de um sólido porque ele não tem a terceira dimensão do [Música] espaço, certo? Então, no começo da geometria euclidiana, os únicos entes obtidos por abstração, que são tomados como existentes por euclides, são o ponto, as linhas, mais especificamente retas e circunferências, e as figuras planas.

Certo? E a primeira delas é, Evidentemente, o círculo, OK? A gente, a única forma da gente mostrar, né, na ordem do ser, na ordem da gênese, né, partindo do ponto, né, como surge, né, esses primeiros entes admitidos como existentes, que são a reta e as circunferências. é a gente pensar, é pensar da seguinte forma. Se nós pensamos em um ponto, em uma pura posição sem magnitude nenhuma ou aquilo que não tem Partes, né? Então aquilo que não tem partes é exatamente aquilo que é o indivisível último da matemática. Mas a condição de ser indivisível é

não ter partes e não ter dimensão nenhuma. Se nós pensamos em dois pontos, o que é uma reta? É a menor distância entre dois pontos ou uma linha perfeitamente esticada, né? Ou aquilo que é produzido, se nós imaginássemos um demiúgo, né? Que fosse capaz de arrastar um ponto, né? Para uma posição diferente, você teria Uma reta. E como esse demiurgo daria origem ao círculo, né? Você trava um dos extremos da reta, né? Trava também a extensão dessa reta e faz um uma linha contínua que vai retornar sobre si mesma de tal modo, né, que ela

mantenha sempre essa distância do mesmo ponto. OK, professor? Então, eh, só para retomar Aqui na clareza dos termos, nós temos sólidos, planos, retas e pontos. Sólidos, planos, linhas e pontos. Linhas e pontos. Isso. E aí eles vão se distinguir eh por profundidade, depois largura. Não. Sólidos são aquilo que tem comprimento, largura e profundidade. Uhum. Os planos, as figuras planas são aquelas que têm apenas comprimento e largura. As linhas são aquilo que aquelas coisas que possuem apenas compreent Mento. E por fim nós temos o ponto que é aquilo que não tem partes, que não tem dimensão

nenhuma, que era uma pura posição sem magnitude. E aí nós voltamos ao absurdo do começo da aula. Como é possível que você diga que o ponto, que é apenas aquilo que delimita e dá forma a linha, seja que aquele zero que somado ao infinito, aquilo que não tem dimensão nenhuma, magicamente vai produzir algo que tem Dimensão, né? Então, a gente percebe de muitos sentidos o absurdo, a a a premissa absurda que, de certo modo, tá inserida em toda a matemática moderna. E precisamente por isso é uma das primeiras coisas que aparece em livros de geometria

até para criancinhas. Primeira coisa, a reta é composta de infinitos pontos. outros absurdos que aparecem, né, para para que vocês possam meditar depois. Por exemplo, raiz de dois, gente, é as Pessoas começam a dizer que existe uma coisa chamada números reais, que é um nome que você dá para coisas que não são números. Então, você pega √2, que é o nome que você dá pra diagonal do quadrado, que é incomensurável. O que que quer dizer isso? Ela não pode ser medida pela unidade. Se que que quer dizer isso? Se você chamar o lado do quadrado

de um, se você chamar o lado de um de uma associar a dimensão do lado do quadrado à Unidade, não existe um número racional. Quer dizer, não existe nenhum número inteiro, nem um número inteiro, mais uma fração própria que possa ser associado à dimensão da diagonal de um quadrado, mas as pessoas começam a chamar isso de número. E aí você várias consequências paradoxais vão surgindo disso, certo? Então aqui nós chegamos no problema da essência e da existência, né? Eu disse Que Euclides admite como existentes três entes no começo em sentido mais básico, né? O quê?

O ponto, a reta e a circunferência, o círculo, né? Que é a primeira figura plana. Falta aqui, a gente já, eu já dei a definição de ponto, aquilo que não tem partes. A definição de Euclides da reta é a que é uma linha que a linha é aquilo que tem apenas comprimento e a reta é a linha que está em que todos os seus Pontos estão por iguais com por igual com todos os outros pontos. Como é algo muito elementar, é muito difícil de definir, né? Então, às vezes é mais fácil a gente enxergar. Então,

sempre pensem na reta como a menor distância entre dois pontos ou como a linha perfeitamente esticada. E o que é um círculo? O que é a definição? O que é a essência de um círculo? Lembrando que numa boa definição, nós sempre precisamos falar Daquilo que é mais geral num ente, que ela partilha, que ele partilha com outros entes, o seu gênero e aquilo que o diferencia de todos os outros entes nesse gênero, que é a sua diferença específica. E no círculo nós já temos elementos suficientes para esse tipo de definição. Então a definição de círculo

é a figura plana. O que a gente já entendeu o que que é um plano, né? um objeto de duas dimensões. Isso é o Gênero do círculo. A figura plana que tem um ponto em si, a partir do qual todas as retas traçadas desse ponto, aliás, desculpa, voltando, descorto. Ó, o círculo é a figura plana contida por uma linha [Música] contínua que tem em si, no seu interior, um ponto a partir do qual toda a reta traçada desse ponto para a linha contínua é igual. E esse ponto é chamado de centro do círculo. A linha

contínua é chamada de circunferência. E a reta que conecta o centro à circunferência é chamada de raio, certo? Então são essas definições, essas essências e esses entes que nós temos que levar em conta no começo da geometria euclidiana. São essências que nós também já tomamos como existentes desde o princípio. Além disso, pede que nós, só completando aqui, né, para quem quiser anotar aí, Nós temos então os planos, as linhas e os pontos, certo? Então, eh, Euclides pede que nós admitamos mais alguns primeiros princípios pro começo dessa ciência. Lembrando que nenhuma ciência pode provar tudo. Ela

precisa partir de coisas indemonstráveis, né, que são de Percepção imediata, de intuição imediata para que elas possam evoluir. Então, o Euclides, ele admite ainda cinco postulados. Em geral, você pode dizer que o os postulados são aquelas co aquelas coisas, aquelas operações que podem ser feitas com esses entes, que são próprias da geometria e não da lógica em geral, das regras gerais do pensamento humano. Porque aquilo que a geometria não tem de próprio vai ser chamado de axioma por Euclides ou noções comuns. Então, os cinco postulados de Euclides são os seguintes. Primeiro postulado de Euclides, é

possível traçar uma reta, sempre é possível traçar uma reta ligando dois pontos, OK? O segundo postulado de Euclides, é possível estender uma reta indefinidamente, o quanto você quiser. É óbvio que na arte da geometria, no Desenho geométrico, a possibilidade de fazer isso nos é dado pela régua, né? Sem mensuração nenhuma, né? Só como um instrumento de construção de retas. O terceiro postulado de Euclides é: é possível construir um círculo com qualquer centro e qualquer raio, né? Óbvio que o instrumento disso na arte é o compasso. E esses são os únicos instrumentos na arte da geometria,

né? A régua, sem mensuração, Como eu disse, e o compasso, né? O quarto postulado de Euclides, que vai ser melhor compreendido ulteriormente no livro, então a gente só deve registrá-lo, é que todo o todo ângulo reto é igual a todo outro ângulo reto. O ângulo reto é aquilo que normalmente nos livros de geometria se ensina como sendo o ângulo de 90º, né? Aqui vem o exemplo do tipo de burrice que é ensinada na nos livros textos atuais, né? De onde vem a noção De um ângulo reto? Da definição de reta perpendicular em Euclides. O que

que é a reta perpendicular? É uma reta que se ergue sobre a outra, né? Então tem duas retas, uma aqui na base e uma reta se erguendo sobre essa sobre ela. E essa reta faz ângulos com essa outra reta determinando dois ângulos adjacentes que são iguais. E esses ângulos adjacentes que são iguais são chamados de ângulos retos. E essa reta é chamada de reta Perpendicular. Não existe 90º. Aí, 90º é você dividir essa dimensão do ângulo em 90 partes, chamar cada um de grau, mas isso não te diz o que é a coisa. Percebem a

diferença da gente pensar e você as coisas serem jogadas para você simplesmente como se você fosse um macaquinho? Começa a mexer as pecinhas, aprende a construir coisinhas sem que você seja, né, um ser realmente intelectual, um ser pensante, né? Então, esse é o quarto postulado de Euclides. O quinto postulado de Euclides, que é um pouquinho mais complicado e polêmico, é o famoso postulado das [Música] paralelas. É mais fácil visualizar do que pensar nisso, né? A gente, a maioria de nós ainda tem pouco treino, né? na mera visualização imaginativa. Então, se você tiver uma Reta, né,

e você tiver duas retas que interceptam essas retas, se os Eu vou falar um dos casos aqui, se os ângulos internos formados por essas retas com a terceira reta, a soma desses dois ângulos, vou chamar aqui de A e B. A chapéu e B chapéu. Normalmente, quando a gente faz notação de ângulo, a gente acrescenta esse chapeuzinho, né, para diferenciá-lo de um ponto. Então, se a Chapéu + b chapéu for menor do que dois ângulos retos, eu represento dois ângulos retos por esse desenho aqui, essas retas vão se encontrar em algum ponto, elas vão se

encontrar da sua extensão. Professor, e se a soma desses ângulos for maior do que dois ângulos retos, né? Como é que seria um exemplo? Claramente esses ângulos aqui, A soma deles vai ser maior do que dois ângulos retos. Se eu estendê-los do outro lado, essas retas, do outro lado da reta que elas estão interceptando, o somatório desses outros dos outros, dos ângulos adjacentes a esses ângulos será menor do que dois ângulos retos. E eles vão se essa reta, essas duas retas vão se encontrar desse outro lado, certo? Qual é o caso em que essas retas

serão Paralelas? Um único caso em que elas serão paralelas, isto é, elas nunca se encontrarão é o caso em que a soma dos ângulos internos, né, do encontro dessas duas retas com a terceira reta é igual a dois ângulos retos. Como é que eu poderia representar isso, ó? Não tá muito bem desenhado, né? Mas deixa eu fazer curvado aqui para ficar mais claro, ó. Assim, ó. Essas duas retas são paralelas. O que Que quer dizer isso? Que esses dois ângulos internos aqui que elas determinam com a terceira reta, a soma deles é igual quê? A

dois ângulos retos. Além disso, o Euclides também admite os axiomas, cinco axiomas ou noções comuns, que são aquilo que a geometria admite de fora de si, aquilo que ela toma da lógica, da metafísica. Exatamente por isso, Platão dizia que a que a matemática, embora seja uma ciência elevada, não é a ciência Superior, porque ela não lida com os primeiros princípios da realidade. Na verdade, ela os pressupõe como regras gerais do pensamento humano. O que que quer dizer isso, meu amigo? Se você não supor essas coisas, você não é capaz nem de pensar, né? E quais

são esses cinco axiomas ou noções comuns de Euclides? Número um, se algumas coisas são iguais a uma outra coisa, Elas também são iguais entre si ou numa formulação mais restrita. Se duas coisas são iguais a uma terceira coisa, elas também são iguais entre si, certo? O segundo axioma de Euclides, se coisas iguais são somadas a coisas iguais, o resultado também é igual, certo? Logo nós vamos colocar isso em prática, vai ficar mais fácil de Visualizar. São coisas muito evidentes, né? O terceiro axioma de Euclides, se coisas iguais forem tiradas de coisas iguais, a subtração, o

resto também é igual, né? Axioma 4 de Euclides, coisas que ocupam o mesmo espaço, caso sobrepostas, são iguais, nesse caso, em área, né? Certo? O axioma C de Euclides é o famoso axioma da parte do todo. A parte sempre tem de ser o quê? Menor do que o todo. Algum as edições posteriores de Euclides, depois do tempo lá dos gregos antigos, muitas costumam acrescentar outros axiomas. O mais comum é o axioma de que duas retas não podem conter um espaço, não podem fechar um espaço, que é uma decorrência do postulado um, que na verdade te

diz o quê? Que entre dois pontos só possível traçar uma única Reta. Porque se fosse possível traçar duas retas diferentes que ocupam um espaço diferente entre dois pontos, duas retas fechariam o espaço. Isso é impossível. Qual é a primeira figura retilínea que fecha um espaço? O triângulo, né? que é a figura retilínea, plana e retilínea composta por três retas. OK? Então, esses são os primeiros princípios da ciência da geometria. Nós estamos prontos, tendo entendido minimamente, né, e aprendido a verdade desses primeiros princípios para começar a ciência da geometria. Partindo desses primeiros princípios como causas, deduzir

a existência de novas espécies, de novos entes da geometria, como os triângulos, os os quadrados, e estudar as propriedades desses entes. Para realizar isso, Euclides Afirma aquilo que é chamado de proposição. E a existem dois tipos de proposições. Um tipo de proposição é um problema em que é proposta a construção e a prova da existência de um novo ente ou de uma nova relação entre esses entes. Enquanto a os teoremas são demonstrações de propriedades do dos entes que já foram provados como existentes. OK? Então nós vamos agora para a primeira Proposição de Euclides, que talvez

alguns já tenham alguma familiariedade com ela. É uma das poucas que ainda mesmo nas faculdades de matemática ainda são estudadas, ainda é estudada, né? Então, proposição de Euclides, né, [Música] numa reta finita [Música] dada dada. Construir um triângulo, um triângulo equilátero. Então, sempre tenham em mente que a primeira, no primeiro momento em que nós olhamos para uma proposição de Euclides, nós precisamos mentalmente separar o que é uma hipótese no sentido euclidiano, que não é o sentido mais Vulgar que nós eh costumamos falar, e o que é a conclusão pedida por Euclides. Hipótese no sentido euclidiano

é aquilo que é postulado por baixo, aquilo que é posto como subjacente, é aquilo que já é afirmado como absolutamente verdadeiro e existente desde o princípio da proposição. conclusão é aquela aquele aquela conclusão final, aquele objetivo final da proposição que partindo da hipótese e atravessando ter os termos médios Apropriados, vai chegar a uma conclusão absolutamente certa. OK? Alguma dúvida? Não. Então, a primeira etapa de Euclides é a construção do diagrama, né? Lembremos que a geometria de verdade está acontecendo na imaginação e na inteligência. Isso aqui é uma mera representação. Aqui não temos pontos, retas e

círculos de verdade. Em última Instância, toda a representação aqui é o quê? De objetos corpóreos tridimensionais. Então, sempre tenham isso em mente, porque quem acredita que uma reta é composta de infinitos pontos, pode acreditar que uma reta são vários pontinhos aqui desenhados se somando, né? Então, a primeira coisa que nós temos de desenhar no diagrama é aquilo que foi Dado. Na geometria, nós representamos pontos por letras maiúsculas. Então nós colocamos aqui uma reta finita dada com seus dois extremos A e B. E foi apenas isso que foi dado, não é isso? Então, nós já podemos

avançar agora para a construção dos termos médios apropriados à demonstração. E depois nós vamos construir uma tabelinha ali em que a gente vai Dividir a demonstração como um todo em suas partes, o que foi dado, o que foi construído e a demonstração propriamente dita, a ilação, né? Então, nós temos de levar em conta que o que que nós temos para resolver esse problema da construção de um triângulo equilátero. Nesse momento, apenas retas e círculos. A primeira etapa da construção é tomar com compasso o ponto A como Centro e a reta AB. Quando nós vamos enunciar

o nome de uma reta, nós usamos o nome dos seus dois extremos, AB, com um tracinho de uma reta por cima. Opa, vamos lá. Opa, pronto. Agora nós vamos fazer a mesma coisa do outro lado. Nós vamos tomar o ponto B como centro de um círculo e a reta AB como Raio desse segundo círculo. Deixa que que nós percebemos de imediato aqui? que o círculo azul e o círculo vermelho, nós poderíamos fazer uma experiência infinita sobre isso aqui, tentar construir dois círculos dessa forma. E nós vamos sempre, vai ficar evidente pra gente que esses círculos

vão sempre se encontrar em dois pontos. Nós podemos escolher qualquer um desses dois pontos para poder iniciar a construção do nosso triângulo equilátero. A gente constata aqui que existe um ponto C no qual os dois círculos se interceptam. Então agora nós vamos traçar duas retas. Então nós terminamos com isso a construção do diagrama, né? O que resta fazer aqui? Demonstrar que o que foi construído Corresponde à definição de triângulo equilátero dada por Euclides. Se eu não me engano, na edição que eu uso é a definição 24 de Euclides, que nos diz o seguinte: triângulo equilátero

é uma figura plana contida por três retas iguais, certo? Então, já vou enunciar aqui a conclusão a partir do diagrama. Digo que o Triângulo C é equilátero. Escrever resumido aqui. E para quem vai se habituar com essa prática de estudar Euclides, estudar as [Música] proposições, é bom se acostumar a fazer a seguinte tabelinha. como uma disciplina do pensamento para quem fosse iniciar nesses estudos, Acompanhando aí uma boa versão de Euclides, eu recomendo que usem essa tabelinha como disciplina mesmo. Faça uma tabelinha com duas colunas. Na esquerda você vai registrar cada passo da demonstração e na

direita você vai registrar a justificativa de cada um desses passos, a razão suficiente de cada um deles. Quer dizer, você vai entender que tudo aqui tem que ser justificado. Nada pode ser arbitrário. Então, o primeiro passo aqui da demonstração é aquilo que foi dado. E o que foi dado no começo da demonstração? A reta AB. E isso é a própria hipótese. Foi me dado pela hipótese. Então aqui nós temos o que foi dado. Agora nós vamos para a construção. A primeira etapa da Construção foi traçar os dois círculos, não foi isso? Então nós vamos traçar

então no no passo dois nós traçamos o círculo azul com centro em A e o círculo vermelho com centro em B. Isso é justificado pelo postulado 3 euclide, segundo o qual eu posso traçar, sempre traçar um círculo com qualquer centro e qualquer raio. O terceiro passo da construção É traçar as retas AC e BC. Por que que eu posso traçar essas retas pelo postulado um de Euclides, que me diz que eu sempre posso traçar uma reta entre dois pontos. Aqui eu terminei a [Música] construção e agora eu vou para a Demonstração propriamente dita, né? Aqui

eu já vou usar a notação de reta apropriada que eu desenhei para dar a ideia, né, como referência pictórica. Mas no ponto 4, vamos prestar atenção no círculo azul. A reta AB, essa reta branca aqui, ela claramente é um raio do círculo azul. centro em A e ela vai até o ponto da circunferência do do círculo azul em B. A reta AC também é um raio desse Círculo. Ela parte do centro A e vai até o ponto C na circunferência do círculo azul. pela definição de círculo, que é a definição 15 de Euclides, nas edições,

usualmente nas edições, eu posso dizer então que a reta AC é igual à reta AB. Por que isso é verdadeiro? pela definição de círculo, [Música] definição 15, ou seja, pela propriedade de que todos os raios de um círculo são Iguais, não é isso? Por fim, olhemos para o círculo vermelho. A reta AB, por construção, também é um raio desse círculo com centro em B e terminando no ponto A, que também é um ponto da circunferência do círculo vermelho. E a reta BC também é um raio desse círculo, centro em B e C está na circunferência

do círculo vermelho. Logo, a reta AC, aliás, desculpa, BC é igual a a reta AB. também pela definição 15. OK? Agora nós vamos chegar à conclusão final. O que nos diz o axioma um de Euclides, que na verdade é o próprio princípio de Identidade, o princípio de não contradição. Vamos aplicar nesse caso concreto aqui. duas coisas, ou seja, as retas AC e BC são iguais a uma terceira coisa, a reta AB, o que que elas são entre si? Elas são iguais entre si. Ponto 6. A reta AC será igual à reta AB pelo axioma 1

de Euclides. Vou fazer Um puxadinho aqui pra gente poder concluir, certo? O que que resta a gente concluir aqui? Olha, a gente acabou de provar que essa figura aqui, que é uma figura plana contida por três retas, os três lados dela são iguais, não é isso? Então essa existência que foi demonstrada aqui corresponde à essência triângulo equilátero, que é, como eu disse, pode variar entre as edições a definição 24 de Euclides. Logo, CAB é equilátero [Música] pela definição 24 de Euclides. Foi isso que eu escrevi ali, viu, gente? que o triângulo CAB é equilátero, segundo

a definição 24 de Euclides. E aí nós podemos escrever, no caso aqui não é o famoso QD, cod demonstrando, né, o que queria Demonstrar, o que deveria ser demonstrado que se aplica aos teoremas, mas é o qu erat fatendo, né, o que queria eh o que queria fazer, o que deveria ser feito, que se aplica aos problemas. Então, o que que a gente tem que ter entendido no final aqui em toda a simplicidade desse problema, que partindo dos primeiros princípios, que eram apenas pontos, retas e Circunferências, nós provamos agora a existência de uma nova espécie

dentro da geometria de ente, que são os triângulos. Nesse caso, o triângulo equilátero, mas com pequenas alterações, é possível demonstrar também a existência de triângulos isóceles e escalenos. E isso o Euclides deixa como tarefa de casa, porque é como que trivial, né? Então aqui está essa terceira etapa é a Demonstração propriamente dita, certo? Então agora nós vamos apagar o nosso quadro e avançar para a proposição dois. Só para quem tiver assistindo, né, tiver que tentando pensar até onde nós vamos, às vezes fazer uma parada, né, para dar uma descansada, continuar no outro dia. Minha ideia

nessa aula aqui, a gente vai concretizá-la, é chegar até a proposição seis, OK? Então a gente, eu vou fazer essa introdução chegando até lá. Então vão se preparando aí para esse estudo. Então pessoal, antes da gente avançar para proposição dois, queria fazer uma consideração aqui. Se você estiver cansado, até aqui nós terminamos a primeira parte da aula, né, que é a introdução, o estabelecimento aí das primeiras definições, dos primeiros princípios, postulados, axiomas e, né, a primeira proposição onde a gente vê porque tudo isso foi estabelecido, né, o primeiro exemplo de Uma passagem de primeiros princípios

absolutos a verdades tão absolutas quanto esses esses primeiros princípios. A partir de agora, você pode fazer uma proposição por dia, você pode assistir da dois até a seis de uma vez só, né? O mais importante é que de preferência você faça isso aqui me acompanhando com caderno, régua e compasso, fazendo a sua própria experiência. Ao final do vídeo, eu vou recomendar Aqui algumas fontes para que vocês possam continuar esse estudo, porque o ideal é que em cada lugar do Brasil que existe um grupo de estudo, uma escola, as pessoas comecem a estabelecer uma tradição do

estudo de Euclides, né? Para vocês terem uma noção, todos os colleges de liberal arts, né, católicos e protestantes nos Estados Unidos, já tem essa tradição do estudo de Euclides. Então, nós estamos muito para para trás, né? No Brasil é uma coisa praticamente Desconhecida pelas pessoas, né? E isso verdadeiramente é uma vergonha. Então, façam esse esforço porque ele vai dar muitos frutos. Posso garantir isso. Toda a tradição de ensino da humanidade demonstra isso, né? Bem provável que Euclides tenha sido o segundo livro mais publicado da história da humanidade depois da Bíblia, né? Depois que Euclides deixou

de ser o livro texto que todos os lugares em que se estudava a geometria era usado, o Ensino da geometria decaiu brutalmente, né? Então nós estamos, não, vocês não estarão seguindo uma coisa que o professor Murilo inventou da cabeça dele, mas possivelmente é a tradição científica mais antiga da história da humanidade e a fonte de muitas outras ciências, né? Dizem, alguns dizem que há uma há uma coisa apócrifa, né? Mas alguns dizem que de fato isso era dito por Platão, né? Que dizia o quê? que ninguém deveria ousar entrar na academia Platônica para o estudo

de filosofia se não tivesse estudado a geometria. Sei que hoje, né, nas nossas faculdades de filosofia, né, a turminha do Vale Tudo, né, liberou o geral, se você disser para eles que uma das premissas, uma das uma da primeiras exigências para você estudar filosofia, você ter estudado geometria euclidiana, acho que não sobraria nenhum aluno nas nossas faculdades de Filosofia, mas eu também acho que isso seria um grande bem pra humanidade, né? Então, então vamos lá para a proposição dois de Euclides, né? Colocar num ponto [Música] dado vírgula, né? Como um extremo, né? um limite, uma

extremidade, uma Reta igual a uma reta dada. Que que isso significa? Aqui já é mais difícil interpretar a proposição, né? O que que é dado como hipótese aqui, como premissa de algo que já está dado como existente? Uma reta dada e um ponto dado onde? Em qualquer lugar. Esse ponto pode estar dentro da reta, pode estar fora Dela em qualquer posição. E o algoritmo, se a gente pode dizer assim, de construção da solução que o Euclides faz é universal. Esse algoritmo que a gente vai aprender aqui para essa construção, qualquer que seja a posição do

ponto em relação à reta, ele vai funcionar e isso garante a universalidade da proposição e, digamos assim, o novo postulado ou novo poder que vai ser adquirido com ela, que é você Transferir a extensão de uma reta para qualquer ponto dado, que vai ser um elemento importantíssimo em toda a geometria euclidiana. E a conclusão pedida é o quê? Que tendo esse ponto dado como um extremo, seja transferido para esse ponto dado uma reta que tenha a mesma extensão da reta dada. Então, né? Olha só. Vou fazer aqui a reta CB. Ixe, vai ficar Pequeno aqui

o o espaço. Vou fazer mais embaixo, ó. Vou fazer aqui a reta BC e o ponto C, né? O ponto, desculpa, o ponto A. Novamente você poderia colocar esse ponto e essa reta onde você quisesse. É lógico que se você fizer algo extremamente distante, você vai ter que Comprar uma reta imensa e um compasso imenso. Então, sejam prudentes nisso, né? né? Aqui eu fiz pequeno porque é possível que o círculo fique o círculo que eu vou precisar fazer fique bem grande, né? Então isso aqui é o que foi dado. O que foi pedido para ser

concluído é estender a a partir desse ponto como uma extremidade uma reta que seja igual à Reta CB. Sim. Sim. E é sempre bom enfatizar, gente, que na geometria nós não lidamos com um espaço mensurável. Quer dizer, não foi definida uma unidade de medida aqui. Não existe reguinha com centímetros, com metros, pouco importa. Aqui a dimensão aqui, o que vai ser demonstrado aqui é que o instrumento de mensuração de extensões é o compasso. Mas pouco importa as só as relações importam aqui. As dimensões em si mesmas absolutas não importam em Nada. OK? Importante perceber isso,

o grau de abstração e o grau de universalidade dos objetos com os quais nós estamos trabalhando aqui. Porque esse é o grande domática. É você, como eu disse, é a testosterona da certeza e da capacidade de abstração. E por isso que o quadrívio sempre foi tomado e sempre disseram que o quadrívium era a preparação para contemplação, né? Novamente, se você não for fiel no pequeno, você não vai ser Fiel no que é grande, né? Que que quer dizer isso? Se você não tem paciência para contemplar um triângulo e suas propriedades, você acha que você vai

ter paciência para contemplar a prova, as cinco vias da prova da existência de Deus, de São Tomás de Aquino e os atributos de Deus que são derivados daí e juntar isso com a revelação? Porque São Tomás de Aquino fazia isso, gente. A gente deve lembrar que São Tomásquino tinha muito mais que a suma Teológica na cabeça dele. E tudo isso quase que automático. É a inteligência dele é um negócio inimaginável do nosso da nossa perspectiva. Então imagina o que era São Tomás de Aquino meditando, contemplando e subindo para contemplação, né? E as graças que Deus

não deve ter dado também a dignidade dessa obra que ele tava fazendo, né? A gente mal consegue separar em São Tomás de Aquina o que que é fruto, né, da inteligência humana subindo e o que que Foi dado pela graça para ele, né? Porque possivelmente nele as duas coisas já estavam operando perfeitamente em consonância perfeita, né? Mas a gente não tem paciência nem para contemplar o mero triângulozinho. E depois a gente vai reclamar: "Eu não consigo, eu não sei o que que é oração contemplativa, eu não consigo ficar quieto." É porque sua inteligência você vive

nos sentidos. Você quer o film? Você quer a musiquinha, você quer a sensaçãozinha, você quer o freeonzinho. Você não sabe ficar parado e contemplar algo, né? Um objeto, qualquer objeto que seja da criação divina, né? você não consegue fazer isso. Então, encarem isso por por mais que possa não parecer de imediato, como um treino da contemplação. Pessoa não consegue contemplar um triângulo e quer contemplar a trindade, Né? Exatamente. A pessoa, ela fala: "Mas Deus, eu queria ter a sabedoria da Santíssima Trindade, né? O a vida inefável de Deus, né? que óbvio que a gente só

pode receber algo disso pela graça, mas ainda assim esse essa a faculdade da inteligência em que a graça é instalada é a mesma, né? Então é esse é o problema, né? Quando parece que quando a gente começa a estudar com mais rigor o trívio e o quadrívio, a gente vai perceber que eram eh instrumentos Para o aperfeiçoamento da inteligência humana, né, que foram absolutamente destruídos e abandonados na nossa educação. artes liberais, né, para libertar inteligência, exatamente, a libertar a inteligência de modo que ela possa ascender inclusive paraas esferas intelectuais e espirituais superiores. Então, nós vamos

agora, agora nós temos um novo elemento no nosso arsenal, triângulo equilátero. Então, sem Mais, sem precisar, né, demonstrar a existência do triângulo equilátero, eu vou aqui fazer a mesma construção da proposição um, simplesmente traçando dois arcos, né? E nessa junção dos dois arcos, né? Eu terei o triângulo ABC, que como já foi Demonstrado na proposição será equilátero. É, seja naquele ponto hã ah, desculpa. D. Agora, como próximo passo da [Música] construção, pegar, eu vou estender a reta DB, certo? E o que que eu tô querendo fazer? Eu quero projetar no ponto A uma reta igual

A CB. Então, o próximo passo muito razoável é construir um círculo com centro em B e raio BC, certo? Então nós viemos viremos aqui, ó, o que que essa construção me trouxe esse ponto E aqui que determinou uma reta aqui, né? aqui tá esqueçam uma um ponto D aqui foi determinado aqui uma reta de Que eu conheço algo, eu tenho termos de comparação para as duas partes dessa reta. O que que eu sei sobre db? Que db = a de a, não é isso? E eu sei por construção que B é igual a CB porque

são raios do mesmo círculo, não é isso? O próximo passo é estender também a reta da, certo? Tendo estendido a reta Da, como a reta pedida existe dentro da reta DB, é uma parte dela, é a parte BE, pode ser uma excelente ideia eu traçar um novo círculo com centro em D. raio de para cortar a extensão da reta da. [Música] Opa. Opa. Nesse corte aqui no ponto F da reta da extensão da reta da, agora eu vou dizer que eu Obtive a reta que eu queria, que af = a bc e vou demonstrar isso.

Logo, digo que AF é igual a BC. Todo mundo me acompanhou até aqui, tá claro? Então, o primeiro passo, novamente, pode parecer tedioso às vezes repetir todos os passos, mas isso isso estabelece uma disciplina do pensamento em sempre Prestar atenção em tudo que tá sendo feito. Depois, com o tempo, você vai flexibilizando isso. Mas não tenha preguiça, faça tudo no detalhe, porque vocês vão ver que isso é um hábito positivo, né? Então, vejam só, no passo um, o que foi dado? A reta CB e o ponto A, certo? Isso me foi dado na hipótese. Então,

a justificativa é a Própria hipótese. Ponto dois, o começo da construção. A primeira coisa que eu construí foi a reta BA, ligando os dois pontos B e A. E eu posso fazer isso pelo postulado um. O terceiro passo foi construir o triângulo de [Música] BA. E por que eu posso fazer isso, gente? Aqui a gente começa a entender o título elementos. O que era uma proposição anteriormente se torna o quê? Um elemento da próxima demonstração. Então, é como se você tivesse construindo um edifício, né? Se eu não me engano, tinha um autor da arquitetura que

dizia que a Suma teológica também tinha a mesma estrutura que as catedrais medievais, Né? Porque o São Tomás ele ia construindo as suas proposições, né? Uma ia subindo em cima da outra e elas se encontravam no topo. Euclites constrói também esse mesmo tipo de estrutura. Eu posso então construir um triângulo equilátero qualquer por causa da proposição um. Agora, ponto 4, eu Estendi a reta estender DB. Posso fazer isso pelo postulado dois de Euclides, que eu sempre posso estender uma reta. Depois disso, eu tracei o círculo vermelho. Vou fazer de branco aqui, não vou, eu dei

um exemplo lá de como a gente pode usar as cores também para representar as coisas, mas a gente não precisa se apegar a isso. Então, vejam só, eu vou traçar [Música] agora o círculo vermelho ali, né, que tem centro em B. Por que que eu posso traçar esse círculo? Pelo postulado dois de Euclides, certo? Depois que eu tracei esse círculo com centro no ponto B, eu estendi Estender DA pelo postulado dois. Ah, não, desculpa. Aqui no traçar o círculo, gente, é o postulado três, que me permite traçar um círculo com qualquer centro e qualquer raio.

No seis é estender da pelo postulado 2. Ponto 7, traçar o círculo maior ali com o centro em B. Também pelo postulado 3 de Euclides. E aqui, né, a gente pode dizer que eu terminei o quê? A construção, né? Aqui, ó. E aqui eu tinha dado escrito o que foi dado, certo? Resta agora terminar o quê? A demonstração propriamente dita, né? Usar o que foi construído para provar, como eu disse aqui, que afc. Como é que eu faço Isso? Eu começo notando que DF e DE são lados de um são raios de um mesmo círculo,

não são? Se são raios de um mesmo círculo, eles são o quê? iguais pela definição 15 de Euclides. Então, de igual a DF pela eh pela Definição 15 de Euclides, que é a definição de círculo. Ali no passo sétimo, não é centro D, né? D. Desculpa. É isso mesmo. A gente vai fazendo muitas coisas, a cabeça vai enchendo, a gente erra na hora de dar nome as coisas, né? É isso mesmo. Eu enxerguei B, né? Na hora que eu olhei ali o passo nove. Ora, além de saber que DEG = a DF, eu sei que

DB é igual a DA. construção que Eu fiz anteriormente, não foi? Olha só, DB igual a DA por construção feita a partir da proposição que é lá o passo três. Depois eu vou ter que apagar, né, pra gente terminar a tabelinha. Aqui já tem algo que nós podemos concluir dessas duas afirmações, a afirmação 8 e 9. Lembram-se do axioma 3 de Euclides? Que que ele dizia? Se eu tirar coisas iguais de coisas iguais, o resto é igual. DE não é igual a DF, DB não é igual a DA. Se eu tirar DB de DE e

DA de DF, aqui vai sobrar B e aqui vai sobrar AF. Esse é o resto dessa subtração e esse resto será igual pelo axioma 3 de euclides. [Música] Então, B é igual a af pelo axioma 3 de oclides. Certo? Vamos apagar o que está aqui em cima pra gente poder continuar nossa Demonstração. Falta pouco, né, gente? Vamos lá, ó. Qual vai ser o ponto 11 aqui, gente? Ora, eu preciso, olha, eu já cheguei na conclusão que af igual a BE. Fica claro que eu vou usar BE como um termo médio para chegar na conclusão desejada.

O que que eu sabia sobre BE por construção? Que BE é igual a BC porque são raios do mesmo círculo, não é verdade? Olha só. [Música] BE é igual a BC também pela definição 15 de Euclides. Agora lembrem-se novamente do axioma 1 de Euclides. Se duas coisas são iguais a 1 terceira, o que elas são entre si iguais. Se AF e BC são iguais a BE, se AF e BC são ambos iguais a BE, qual a relação que se dá entre os dois? Eles também são iguais entre si. Esse é o ponto 12, né? Ó,

vou fazer Aqui separado, ó. Então, BE = BC, [Música] logo, né, eu terei como conclusão que BC é igual a A igual a a F. Por quê? pelo axioma um de Euclides. Terminamos nossa demonstração? Sim, né? E aqui eu posso Então escrever o quader fatendo, né? nós demonstramos e quer dizer a universalidade da demonstração depende do fato que você pode testar depois que esse algoritmo de construção de Euclides não depende do desenho. De qualquer forma que você desenhar, né, o a relação entre o ponto e a reta, ele vai funcionar. Então isso é uma demonstração

universal que me demonstra o quê? Em qualquer circunstância, eu posso transferir uma determinada extensão de reta para um ponto qualquer, não é isso? Já é uma grande conquista. Aí nós vamos para a proposição três de Euclides, que eu vou manter o desenho aqui porque ela é uma implicação da proposição dois e pressupõe a proposição dois. Então vamos para a proposição três, que como eu disse é praticamente uma extensão, uma conclusão, quase um Corolário da proposição dois, né? dadas duas retas desiguais desiguais. Cortar da maior uma reta igual a a menor. Então, olhando ali pro diagrama

da proposição dois, seria o equivalente a tomar a reta CB como dada, certo? E a Partir do ponto A, você pode novamente, você pode desenhar de qualquer forma. Aqui eu vou desenhar dessa forma só para facilitar a nossa explicação. Se eu estender uma reta aqui do ponto A indefinidamente, ó, vou chamar aqui da reta AF, o próximo a FG, né? Vocês entenderam agora o que que eu tô fazendo? Eu tô dizendo o que que é a hipótese, o que que foi dado na proposição três. Uma reta menor, duas retas desiguais, a reta CB, que é

menor Que a reta AG. Vocês entenderam que esses dois elementos foram dados? Um dos passos dessa demonstração seria estender a partir do ponto A ou do ponto G, o que geraria uma construção completamente diferente, uma reta igual a CB. Por que que é importante manter o desenho da proposição dois? Para você perceber que eu não poderia simplesmente fazer com que a extensão do triângulo Equilátero caísse sobre a reta agir. Talvez exista um desenho em que isso aconteça. Eu não consigo pensar. Mas não é imediato. O que você pode fazer a partir da proposição dois é

supor que em alguma direção aqui do ponto A você vai poder projetar uma reta AF que é igual a CB. Entenderam? OK. A isso, a Proposição três acrescenta apenas mais um passo, que é o seguinte. Depois que, usando a proposição dois, eu projetei a reta AF a partir do ponto A, o que que eu quero fazer na proposição três? Cortar essa reta menor nessa reta maior a G, não é verdade? Não é? Então, o que que eu vou fazer? Está claro aqui já. Eu vou tomar a F como Raio e fazer aqui um novo Oxe.

Ó, que que eu fiz aqui? Eu tracei um terceiro círculo para poder complementar a proposição três em que usando a F como raio, eu cortei começar de novo. Não, não. Ó, eu cortei a reta AG num ponto H, não foi isso? Agora eu digo digo Que a H é igual a CB. É igual a CB, certo? É isso aqui que eu quero demonstrar, né? Como é que eu vou? A a demonstração da proposição três é muito breve. Lembrem-se que a proposição dois já é tomada como premissa aqui. Então, o que que foi dado na proposição

três? Duas retas, não é? Desiguais. Sem perda de generalidade, eu posso supor já uma maior que a outra. Então, o que foi dado aqui foi a reta ag maior do que C. E isso é a minha hipótese, certo? Agora eu vou para a etapa da construção. O que que eu construí? O círculo com centro em A e Raio AF. Aliás, antes eu eu tracei o raio AF, né? Então, ó, traçar a F. Agora a proposição dois se transformou num elemento da proposição 3. Por que que eu posso traçar a F igual a BC? O que

que me dá esse poder? A proposição dois, ó, Proposição do O que que me resta agora? Traçar o círculo com centro em A e raio AF. Vou colocar o raio aqui para diferenciar dos outros círculos que vieram da proposição dois. Isso aqui é devido ao postulado três de Euclides. Certo? Agora resta constatar o quê? [Música] que como afal a CB por construção e A F é igual a H pela definição 15 de [Música] círculo, só resta concluir o Quê? Se duas coisas são iguais a uma terceira, o que que elas são entre si? Iguais. Então,

terminando a demonstração, CB é igual a ah pelo axioma 1 de Euclides. E então qu erat fatiendo. Que qual o poder que eu Ganhei agora? Eu sempre posso agora, dada a universalidade dessa proposição, que não depende do posicionamento do das retas, dos pontos, que eu sempre posso o quê? Usar na prática, né, na arte da geometria, eu isso justifica porque eu posso usar o compasso para medir uma reta menor e fazer o quê com essa reta? Cortar ela numa reta maior. OK? Se dois triângulos proposição qu proposição quatro. Isso. Se dois triângulos tem dois lados

respectivamente iguais, ou seja, dois lados de cada um triângulo igual a dois outros lados do outro triângulo. dois lados respectivamente iguais iguais. E os ângulos contidos por esses [Música] lados por esses lados também são iguais, são iguais. [Música] Então, esses triângulos são iguais em tudo, que é um novo conceito aqui em Euclides. iguais em tudo corresponde ao Conceito moderno de congruência. Triângulos podem ser iguais em sete coisas: três lados, três ângulos e na área iguais em tudo quer dizer que eles são iguais nesses sete elementos. Então vamos desenhar aqui o diagrama. Olha só. O que

que nós sabemos sobre esses dois triângulos que foi dado na proposição? O Que que é a hipótese da proposição? O que que foi dado? que nós temos dois triângulos que têm dois lados respectivamente iguais e os lados e os ângulos contidos por esses dois lados formados por eles também são iguais. Vamos dizer que o lado AB é igual ao lado D, certo? Posso escolher, né? Eu vou dizer também que o lado AC é igual ao lado DF, certo? Qual é o Qual é o ângulo, gente, Contido pelos lados AB e AC? Podem responder. Qual é

Quais são os ângulos contidos pelo lado Qual é o ângulo contido pelo lado AB e AC? A chapé. A chapé. Qual é o ângulo contido pelos lados de e? Chapéu. D chapéu. Esses dois ângulos também são iguais, não é isso? Isso é a hipótese, o que foi dado. Agora ele pede que nós demonstremos que se Isso for ess isso aqui for válido, esses dois triângulos serão o quê? iguais em tudo. Eu não vou fazer aqui a tabelinha porque de fato essa demonstração aqui ela fica melhor se ela for feita por extenso. Então eu vou escrever

ela aqui e vou descrevendo cada passo dela. Então sobreponha. Então você tem que imaginar mentalmente que você está transferindo o ponto A pro Ponto D. Sobreponha a AD D, certo? Os o ângulo A chapéu não é o ângulo igual ao ângulo de chapéu. Isso aqui numa sala de aula, por exemplo, você pode fazer até um trabalhinho lá de artes com as crianças, né? mandar fazer dois triângulos mensurados, você pode usar régua, não tem problema. E depois Sobrepor, né? Você só mede os dois lados iguais, com o mesmo ângulo. Você usa lá o transferidor e aí

você manda eles sobreporem e aí eles vão constatar o quê? que eles são iguais em tudo. Então isso aqui às vezes é até mais fácil mostrar dessa forma do que por esse processo aqui. Sobreponha AD. Como os ângulos são iguais, se eu sobrepor a reta AB a DE, o ponto B não vai cair exatamente no ponto E. Então, ó, sobreponha, ponha a B, [Música] A, B e E vão coincidir. OK? Se eu o mesmo vai valer para AC e DF, não é verdade? Então vou escrever assim, ó. Da Mesma forma, quer dizer, eu vou sobrepor

também AC a DF. Como os ângulos são iguais, o o ponto C vai coincidir com ponto F, não é verdade? Ó, da mesma forma, Cincide com F. O que falta demonstrar aqui inicialmente que BC é igual a EF, mas B não coincide com E por meio dessa sobreposição e C não coincide com F. Lembram daquele axioma acrescentado que não precisa, é só uma explicitação de algo, tá, que tá implícito na ideia de que entre dois pontos você só pode traçar uma reta? Um axioma que você pode explicitar a partir disso é que duas retas não

podem o quê? fechar um espaço. Se eu pudesse traçar uma segunda reta unindo o ponto B ao ponto C que Seja diferente de EF, eu teria duas retas nesse caso aqui que estão fechando o espaço, não é verdade? Seria algo semelhante a isso aqui, ó. Não é? Só que isso é evidentemente o quê? absurdo. Então, como é que eu vou concluir isso aqui? [Música] Logo, BC é Igual a EF, pois duas retas não podem fechar. [Música] um espaço. Então agora nós proposição 4. sobrepondo o ponto A ao D e as retas AB, AD e AC,

nós Concluímos que as bases também, ou seja, o lado, os lados restantes também t de ser iguais, porque com o ponto B sobreposto a E pela igualdade das retas e o CAF, se houvesse outra reta que conectasse os pontos B e C existiriam duas retas fechando o espaço, o que tá representado pelo fato óbvio que você não pode traçar essas duas retas, né? Teria que ser uma linha, um semicírculo ali, né? Ora, mas se as retas de e AB estão perfeitamente sobrepostas e BC e F também, o ângulo E chapéu também vai ser igual ao

ângulo B chapéu, não vai? Também B chapéu igual a E chapéu, não é isso? Se BC tá sobreposto a EF e AC a DF, o ângulo F chapéu também vai ser igual ao ângulo Capel, certo? E Capu igual a F chapéu. E os dois triângulos estão perfeitamente sobrepostos, não estão? Eles ocupam o mesmo espaço. Então, pelo axioma, quatro de Euclides são iguais. Iguais em quê? Em área. Então, eles são o quê? Iguais em tudo que corresponde à noção moderna de congruência. Aqui não é mais um problema, é um teorema. E a finalização dele era o

é o famoso Coderat demonstrando como queria demonstrar. O que que eu provei aqui? Uma propriedade da relação entre dois triângulos, não é isso? O triângulo já é existe. Os os triângulos já são existentes e eu tô mostrando que existe uma propriedade de congruência entre eles. Basta eles terem dois lados respectivamente iguais. e os ângulos contidos por eles para que eles sejam o quê? iguais em tudo. Agora nós vamos para uma das proposições mais bonitas do Começo de Euclides, a proposição cinco sobre triângulos isósceles. Olha só só uma dúvida. O triângulo ele já tá dado que

existe por causa daquela proposição anterior, né? É. na ele vai mostrando na proposição com uma simples extensão. Se você fizer estender aquela reta original até o a estender até o a circunferência dos dois círculos e fizer uma construção igualzinha, você vai ter dois lados iguais que são diferentes da base, Certo? Aí você prova a existência de triângulo ósceles. Triângulo caleno. Não é provando isso. Hã? Não é provando isso assim. Não, não. O cinco já toma. Como eu falei, quando o Euclides já demonstrou, ele tem uma técnica, um método assim de prova que é assim, certas

e proposições laterais fica para casa, entendeu? Aquilo que assim é tão é tão elementar depois que você fez a proposição que fica como um exercício pra casa, entendeu? Construa um Triângulo isósceles usando os mesmos princípios. construa um triângulo escaleno, certo? Mas ele já toma o triângulo isóceles aqui, que é o que o triângulo isóceles, um triângulo que tem dois lados iguais, certo? Vamos à proposição cinco então de Euclides. Pois bem, num triângulo isósceles, definição de triângulo Isósceles. Gênero e diferença específico. Figura plana contida por três lados com apenas dois lados iguais, certo? num triângulo isós

isósceles, os ângulos na base. O que que quer dizer base aqui, gente? Uma outra forma de você educar incorretamente a criança é Ensinar que, por exemplo, base num triângulo é ao lado de baixo, né? Porque isso já tá destruindo um outro patamar da abstração. Base na geometria quer dizer o terceiro lado que restou depois que você ou um lado arbitrário que você escolher chamar de base e pronto. Certo? Base é uma uma coisa relativa, não é uma coisa absoluta, né? Os ângulos na base são iguais, são iguais. É, no triângulo isós a base necessariamente é

o lado diferente. E no triângulo equilátero escaleno, qualquer lado, você pode escolher qualquer lado para ser base. Você pode chamar de base. Você escreve o diagrama, fala: "Tal lado é a base", aí você passa a chamar dessa forma. Num triângulo isósceles, os ângulos na base são iguais. E se os lados iguais forem estendidos, Forem estendidos, estendidos. os ângulos sob a base serão iguais. Isso aqui é o conceito de ângulos internos e ângulos externos, certo? Os ângulos internos na base são os primeiros ângulos descritos e os ângulos externos na base são esses que são produzidos pela

extensão dos lados Iguais, certo? Então, o que que é a hipótese dessa proposição? Um triângulo isósceles com os lados iguais estendidos. O que é a conclusão pedida? que os ângulos internos na base e os ângulos externos na base são iguais. Então vamos ao nosso [Música] diagrama. Ah. BC. Que que nós temos Aqui? O triângulo ABC original, que é isóceles, certo? E a extensão BD do lado AB e a extensão CE do lado AC. E ele quer que eu demonstre o quê? que os ângulos internos na base por enquanto aqui depois vai ter uma divisão deles

por enquanto. E aí eu vou usar a anotação de dar um número para cada pedaço desses ângulos. Mas daqui a pouco eu explico nesse caso aqui que B chapéu é igual a Cpéu, não é? Você Poderia já chamar de B chapéu 1 igual a Capé 1, porque aqui vai ter outro pedaço do ângulo completo e que os ângulos externos, ou seja, aqui inicialmente B chapéu 2 e Cap 2 também são iguais, certo? Com isso, nós temos o que foi dado nessa proposição. A gente tem que fazer uma construção agora que seja propícia à demonstração. A

primeira etapa consiste em escolher um Ponto e F arbitrário aqui e na a proposição três tinha me dado o poder do quê? De cortar uma reta menor numa reta maior. Na prática, como é que eu vou fazer isso aqui, ó? Eu vou medir aqui o lado BF, não é? E vou transferir esse lado BF para a outra [Música] Extensão, certo? Então, o que que eu acabei de construir aqui? BF e CG, que são o quê? Iguais. Próxima etapa da construção, eu vou juntar o ponto CE, o ponto B ao ponto G e o ponto C

ao ponto F. E aí eu Terminei a minha construção, OK? Só que aqui tem várias camadas que vão ter que ser reveladas. Primeiro, eu dividi o ângulo B chapéu em três partes, não foi? B chapéu 1 aqui, B chapéu 2 aqui, B chapéu 3 aqui. Certo? Dividi o ângulo Capu em três partes. Capu 1, Capu 2 e Cap 3. Além disso, eu Tenho o ângulo F chapéu, o ângulo G chapéu e o ângulo A chapéu, não é isso? Esses são todos os elementos da minha figura. Agora, né, eu vou fazer primeiro esses diagramas aqui antes

da gente partir paraa nossa tabela para fazer a a demonstração mais rigorosa ali passo a passo. Pra gente partir para uma demonstração aqui, vocês devem lembrar que em Euclides uma boa dica paraa construção e demonstração é a proposição anterior. Ela tá sendo colocada ali por um motivo para servir de elemento de base para próximo. A proposição anterior versou sobre congruência de triângulos. O que que vocês acham que eu acabei de construir aqui? Vocês conseguem enxergar um triângulo ACF aqui, ó. Vamos isolar ele aqui, ó. Um triângulo ACF, certo? Como é que tá esse triângulo ACF?

O ângulo Capu nele aqui é o Capu 1 e o Cap 2, não é? Ó. E o ângulo F chapéu só tem uma parte. Qual é o outro triângulo do outro lado? GBA, não é? Então vamos fazer ele aqui do lado, ó. O triângulo, [Música] Ó, triângulo aqui B aqui, né? B A G G chapéu aqui só tem uma parte e B chapéu no triângulo GBA tem o quê? Duas partes, não é? A parte 1 e 2. O que que eu quero verificar aqui? as condições da hipótese da proposição quatro. Vocês lembram quais eram as

condições? Se dois triângulos tiverem dois lados respectivamente iguais e os Ângulos contidos por eles também forem iguais, esses triângulos serão o quê? iguais em iguais em tudo. Vamos verificar aqui hipótese pr proposição 4. Vamos ver se ela se dá. Vamos procurar se tem um ângulo igual aqui. A chapéu não é igual a a chapéu. Então, ótimo. Vamos ver se os lados que contém esses dois ângulos se eles são iguais também. Lembrem de sempre visualizar Quando eu separei aqui também na figura original para vocês entenderem o que eu estou fazendo. Será que o ângulo A, Será

que o lado AF é igual ao lado Ag? Ó, AF é igual a Ag. Ele é igual por quê? Por causa do axioma dois deuclides, se você somar coisas iguais a coisas iguais, elas são o quê? Iguais. AB, por hipótese, é igual a AC. BF por construção é igual a CG. Logo, a soma de AB e BF é igual a soma de AC e CG. Então, nós sabemos que AF é igual a eh [Música] Ag. Isso aqui a gente sabe que é verdadeiro pela proposição eh pelo não, pela proposição não, pelo axioma dois geoclides, certo?

Então eu posso marcar aqui que esses Dois lados são iguais. AC é igual a AB. É, não é pela hipótese, não é? Então, ó, 2 aqui, ó, AC igual a ABe. E eu tinha também que a chapel é comum, não é? Não é isso? A, o ângulo A chapéu é comum aos dois triângulos. Logo, eu tenho as condições da hipótese da proposição 4, tenho, não tenho? Então eu tenho que Necessariamente, como foi demonstrado na proposição anterior, a conclusão é forçosa. Qual é a conclusão que eu chego disso aqui? Esses dois triângulos têm dois lados respectivamente

iguais e o ângulo contido e os ângulos contidos por eles também são iguais. Logo, eles são o quê? iguais emo. Tudo. Vamos tirar agora as conclusões. Conclusões. Proposição 4. Aplicando aqui o que que falta ser igual aqui a base, não é? Que é o que restou. Quais as bases aqui são o quê? O lado CF e o lado BG. Então eu vou concluir que CF é igual a BG, certo? Além disso, além dessa igualdade aqui das bases, eu sei que os ângulos respectivamente iguais também serão iguais. Quais são os ângulos restantes? Eu sei que a

chapéu é igual a a chapéu, não [Música] é? Qual é o ângulo que corresponde nesse segundo triângulo aqui ao ângulo Cap chapéu 2? Ó, esses dois lados aqui correspondem a esses dois lados, não é? Nesses dois triângulos que são perfeitamente sobrepostos. Então, o ângulo Capu 1 + Capu 2 só pode corresponder ao ângulo B chapéu 1 + B Chapéu 2. Então, ó, Capu 1 + Capu 2 é igual a O que que resta para ser igual aqui que nos interessa? Constatar que F chapéu é igual a G chapéu também, não é? Ó, F chapéu, nós

concluímos algo que foi pedido aqui, Não. A única conclusão que se aproxima do que era desejado é C1 chapéu mais C2 chapéu igual a B1 chapéu mais B2 chapéu. Nisso eu simplesmente estou dizendo que o ângulo interno, um ângulo interno mais um pedaço do ângulo externo é igual ao ângulo interno mais o outro pedaço do ângulo externo, não é verdade? Então eu preciso de mais algum termo médio aqui, mais algum termo de comparação. Vejam se vocês conseguem enxergar mais dois triângulos Comparáveis aqui, o triângulo BCF e o triângulo BGC, certo? Eu vou guardar apenas a

conclusão aqui e a gente vai agora destacar novamente. Hum. Quais são esses dois triângulos? Olha só, esse triângulo aqui é o triângulo BCF. O ângulo B chapéu nesse triângulo BCF só tá com as suas partes dois e Três, não é? Ó, 2 e 3, correto? O ângulo Capu só tá com a sua parte do Cap, não é isso? Bem aqui, ó. Certo? E o ângulo F chapéu só tem uma parte. Vamos pegar agora o o eu peguei o BCF. Agora a gente vai pegar o BCG. [Música] B C G. O ângulo B chapéu aqui só

tá com a sua parte o quê? Dois, não é? B chapéu 2. O ângulo Capas 2 e 3. E o ângulo C G G chapéu só tem o quê? Uma parte. Certo? Vamos verificar aqui as condições. Hipótese, proposição 4. Vamos procurar um ângulo que a gente sabe que é igual aqui nesses dois Triângulos. F chapéu não é igual a G [Música] chapéu. Aqui, ó, não foi o que a gente acabou de demonstrar na comparação anterior. Concordam? Todo mundo enxerga isso aqui? Então vamos, ó. F chapéu é igual a G chapéu. Vamos ver então, ó. Isso

aqui a gente já sabe, ó. F chapéu igual a G chapéu, certo? a gente sabe por construção e já foi Demonstrado. Vamos verificar agora se os se os lados que formam esses ângulos também são iguais. Será que BF é igual a CG? É, não é? por construção, pela proposição três. Então, BF é igual a CG. Então, ó, igual a C G, certo? Falta esses dois lados aqui, ó. CF E CF e BG. Nós demonstrados aqui são iguais, não é? A reta vermelha e a reta azul. Então CF igual a BG, ó. [Música] Concordam? Todo mundo

me segue até aqui, ó. CF. Ora, nós temos a condição de aplicação da Proposição eh da proposição quatro, dois lados respectivamente iguais e os ângulos contidos por eles também são iguais. Só nos resta tirar as conclusões da proposição quatro. Certo? Quais são as conclusões da proposição 4? Que eles são iguais em tudo. Isso quer dizer que o outro lado é igual, mas isso a gente já sabia porque é comum, não é? Ó, BC é igual a BC mais os ângulos correspondentes também serão iguais. B chapéu 2 + B chapéu 3 nesse triângulo corresponde a qual

ângulo desse lado? Ó, três tracinhos aqui, BC, um tracinho aqui é BF que corresponde a CG, não é? Então isso quer dizer que C B chapéu 2 + B chapéu 3 é igual a Capu 2 + Cap 3. Já concluímos uma coisa que a gente queria concluir, não [Música] É? Igual que que a gente queria concluir que os ângulos externos na base são iguais. Nós já chegamos a essa conclusão. O outro ângulo que falta, só falta o quê? Perceber que Cap 2 é igual a B chapéu 2, não é? Se a gente tá aplicando a

conclusão da proposição 4, que me diz que esses triângulos são iguais em tudo, os dois únicos ângulos que restam a comparar são esses dois. Então eles também vão ser Iguais. Então, Capu 2 = a B chapéu 2. A partir disso aqui, eu consigo concluir que os ângulos internos na base são iguais? Aqui ainda não, né? Aqui eu só disse que B chapéu 2 é igual a Cap 2. No entanto, aqui embaixo eu tinha concluído que Capu 1 + Capu 2 é igual a B chapéu 1 + B chapéu 2. Vamos deixar um espacinho aqui no

meio pra conclusão final, certo? OK. Vamos lá. A conclusão final vem desses dois elementos aqui, ó. Cap 2 = B chapéu 2 e Cap 1 + Cap 2 = A B chapéu 1 + B chapéu 2. A partir do axioma 3 de Euclides, que nos diz o quê? Que se eu tirar coisas iguais de coisas iguais, o resto será igual. Que que eu posso cortar aqui? Eu não Posso cortar CP 2 e B chapéu 2. Só me resta concluir o quê? que Capu [Música] 1 é igual a B chapéu 1 pelo axioma 3. Terminei a

demonstração. Demonstrei que os ângulos externos na base são iguais e que o ângulo interno na base também é igual. OK? Então eu faria aqui o famoso CQD. Vamos no passo a passo aqui agora, Ó, bem rápido. Vamos seguir o que que eu fiz aqui? Que que é a hipótese? Ó, a hipótese é o triângulo ABC e as extensões [Música] BD e C. Isso, isso é a Hipótese, certo? Depois que eu fiz essa hipótese, eu tracei o quê? BF = a CG pela proposição 3, não foi? Então, olha só. traçar traçar DF igual a CG pela

proposição 3. Ok? [Música] Agora, que que eu vou ter aqui no que que eu fiz depois disso? Terminei minha construção, não foi? No momento em que eu tracei essas duas retas aqui, eu já terminei a minha construção, ó. Então isso quer dizer que agora eu já vou para a demonstração. A demonstração consistiu em perceber o seguinte. Em, quer dizer, nos triângulos, deixa eu desenhar parecido ali, ó, no Triângulo A CF e GA, GBA, eu vou ter o quê? que a chapéu é comum, certo? que af é igual a ag não cf não, desculpa e que

AB igual AC C, certo? Ó, isso aqui é a hipótese da proposição quatro, não é isso? Então, agora eu vou tirar as conclusões da proposição quatro. Logo, elas estão aqui embaixo. Logo, nesses dois triângulos, CF igual a BG, C1 chapéu mais C2 Chapéu igual a B1 chapéu + B2 chapéu e F chapéu igual a G chapéu. [Música] Conclusão, proposição 4 não foi suficiente, certo? Eu tive que tomar esses dois triângulos menores. Então aqui eu venho no ponto cinco em, olha ali, ó, no Triângulo BCF e B CG, que condições que eu tenho ali? Eu sei

aqui de cima que F chapéu igual a G chapéu. Não sei. Sei também lá de cima também que CF = a BG, né? e que E BF BF isso CF = BG e BF = CG. Novamente eu tenho o quê? a hipótese da proposição quatro para esses dois triângulos. Resta concluir agora o que que eu posso tirar, né? Tá aqui na parte de cima. [Música] Logo, né? Eu vou concluir Que B chapéu 2, os ângulos restantes, né? B chapéu, B chapéu 2 + B chapéu 3 igual a Capu 2 + Cap 3 e C2 chapéu

igual a B2 chapéu. Conclusão da proposição 4. Certo? Falta o que? O que agora o último passo vou vou escrever aqui, ó. Daqui, né? daqui até aqui daqui é o dado. Isso aqui foi construído e tudo daqui para baixo é Demonstração. Vou traçar aqui para eu poder terminar a nossa demonstração. Ó, passo e justificativa. Tá pegando? Tá ótimo. Que que é o último passo aqui, gente? Eu tirei todas essas conclusões. Eu já demonstrei aqui que os ângulos externos na base são iguais, que B2 chapéu mais B3 chapéu é igual a C2 chapéu mais C3 Chapéu.

Eu sei que essas duas partes aqui de B chapéu e Capu são o quê? iguais e que essa parte dentro dessas duas partes que é B2 chapéu mais C2 chapéu também são iguais. Então eu posso aplicar o axioma três geoclides. Se eu tirar coisas iguais de coisas iguais, o resto é igual. Logo, C1 chapéu igual a B1 chapel pelo axioma 3. E está demonstrado. Ó, o tanto que isso aqui é bonito, gente. A gente acabou de demonstrar que em todo e qualquer triângulo isóceles, qualquer triângulo, isso aqui é um triângulo isóceles específico com este ou

aquele tamanho? Não. Isso aqui é o triângulo isóceles universal. Eu acabei de demonstrar uma deduzir uma propriedade universal deles. Que propriedade é essa? que em triângulos isósceres, se você estender os lados iguais, os ângulos externos na Base são iguais e também os ângulos internos na base são iguais. É simples, é pequeno, mas é muito bonito. Reforça isso aqui não da primeira vez que vocês forem fazer isso. Isso aqui é uma coisa que você tem que fazer no mínimo três, quatro vezes até que isso aqui entre em você de uma forma que você percebe a demonstração

acontecendo sozinha na sua mente. Nesse momento você tem aquela sensação Que eu descrevi no começo do curso da da aula, né, que existe um repouso da contemplação do quê? Dessa propriedade, né? Nada de paz, mas é bonito. Existe uma beleza nisso, né? você perceber que você partindo de uma coisa muito mais simples, você chegou a descobrir algo que você não conhecia antes. Partindo do conhecido, você chegou ao desconhecido, né? E você actualizou essa potência de conhecimento no seu Espírito. E ele e ela existe em ato agora. E partindo das premissas absolutamente certas, as conclusões só

podem ser o quê? Tão verdades absolutas quanto seus princípios são verdades absolutas. Por fim, agora, uma bem mais breve, que é a proposição seis, que é o primeiro exemplo de é uma é também um teorema e é uma proposição em que Euclides, pela primeira vez ele faz uma prova por contradição, que não é uma prova direta. Em vez de você ir pela prova dedutiva direta, você às vezes tem duas opções. Dois lados serem iguais ou eles serem o quê? diferentes. Você supõe o contrário do que você quer demonstrar. Se você demonstrar que supor esse contrário

leva um absurdo, o que resta dizer? Que a outra opção, a que você quer demonstrar, ela é verdadeira. Certo? Então vamos à proposição seis. Relembrando aqui, pessoal, uma coisa que me chamaram a atenção. Eu acho que eu pulei ali um pequeno passo ali na da construção na tabelinha. Aqueles dois lados que eu desenhei colorido, se vocês voltarem o vídeo aí na proposição cinco, vocês verão que eles a traçar, ou seja, unir um ponto ao outro naquelas retas que se cruzam faz parte da construção também. É a última etapa da construção, certo? Então agora nós vamos

para a proposição seis, que é o inverso parcial da proposição 5. O que que quer dizer ser o inverso parcial? Toda proposição se divide em duas partes: conclusão e hipótese e conclusão. Você inverter uma proposição quer dizer transformar o quê? O que é hipótese naquela proposição se torna conclusão na outra. E o que era conclusão na proposição anterior se torna o quê? Hipótese. Aqui é parcial Porque não vai valer pros não vai ser demonstrado pros ângulos externos, apenas para ângulos internos. Mas vamos ver do que que se trata a proposição seis. Se num triângulo, num

triângulo, dois ângulos forem iguais, forem iguais. os lados Opostos a esses ângulos também serão iguais, não é isso? Ou seja, é parcialmente dizer que eles vão ser isóceles, porque eles também poderiam ser equiláteros, né? Mas de qualquer forma é um inverso parcial. Aqui eu estou afirmando o quê? O contrário da proposição cinco. Se dois triângulos tiverem dois ângulos iguais, ele vai ter também o quê? Dois lados Iguais, que são os lados opostos a esses ângulos iguais, certo? Todo mundo entendeu? Vamos fazer o diagrama pra gente poder caminhar. Olha só, diagrama. O que que é a

hipótese aqui da proposição seis, gente? Um triângulo com dois ângulos iguais. Qual é a conclusão pedida? Se isso for verdadeiro, ele também terá os lados opostos a esses ângulos também serão iguais. Olha só, A BC. Vou dizer que B chapéu e Capu são iguais, certo? OK. Ele quer que eu demonstre que os lados opostos são iguais. Qual é o lado oposto a B chapéu? Aqui, gente, é o lado AC. Qual é o lado oposto a C, chapéu? O lado AP. A prova aqui será por contradição. Então eu vou supor o contrário da conclusão. O a

conclusão é que AB é igual a AC. Não é isso? Não é isso? Eu vou supor que eles são diferentes. Tanto faz qual lado eu supor que é maior que o outro, não é? Então eu vou supor o seguinte aqui, ó. Suponha que AB é [Música] maior do que AC, certo? Isso aqui é o contrário do que eu quero demonstrar, não é? Eu vou supor isso. Se eu chegar em algum tipo de absurdo, vai ficar claro que eles só podem ser iguais. Existe uma implicação direta disso aqui, Não existe, gente? Vocês concordam comigo que isso

aqui for verdadeiro? Vai existir um ponto D no lado AB, que é o lado maior, tal que por causa da proposição três, eu posso cortar eh o lado menor no lado maior. Entende? Esse aqui é o lado menor, não é? Isso aqui é o seguinte, ó. Então existe D tal que a gente escreve TQ tal que BD é igual a a C, não é? Não liguem para o desenho. Não, não, não. Eu tô, eu tô pensando é porque na, já na imaginação, né, se isso acontecer, é o triângulo ele entorta e o ângulo, os ângulos

ficam diferentes. É, vamos lá. Isso aqui é uma implicação desse pressuposto, não é? Isso não quer Dizer que é verdadeiro. Eu tô supondo isso aqui como uma hipótese no sentido usual que a gente fala, como uma coisa que a gente não sabe se é verdadeiro, mas se redundar num absurdo, a gente sabe que o contrário tem que ser verdadeiro. Então, o próximo passo da construção é unir o ponto D ao ponto Criando um novo triângulo DB C, não é isso? Eu vou chamar esses dois lá, duas partes agora Do ângulo Cap chapéu 1 e Cap

2. Vamos separar esses dois. Eu acho importante ter cuidado assim porque ele tá pensando no na imagem, né? Só que essa imagem ela precisa do diagrama de tá imaginando o diagrama, né? Sim. Sendo que o diagrama é só assim, existe uma abstração. Sim. E e se a gente fixar muito, depender muito do diagrama, eh ele não vai assim, ele é uma externalização da abstração, mas não É a abstração, não é a abstração provavelmente dita. É, é exatamente. É como se você concluísse uma conclusão sem a sem o raciocínio. Isso você tá não tá usando raciocínio,

tá, você tá visualizando, mas não é assim que funciona. Aqui é uma representação, tem que fazer o processo aí. É, não é sensacional. Eu tô pensando nisso. Exatamente. Ó, mas sigam aqui comigo, ó. Uma maneira da gente enxergar melhor é separar os dois triângulos, não é? Então, vamos separá-los aqui, ó. O triângulo menor é o triângulo quê? De BC, não é? Ó, aqui você vai ter o ângulo B chapéu inteiro e nele o ângulo Capu só tem a parte C C C, não é? E vamos ver aqui o outro triângulo, o triângulo maior. Triângulo ABC,

certo? Se chapéu tá inteiro aqui, né? Ele tá suas duas partes, um e dois. E a chapéu, né? Tá aqui. E de chapéu aqui também. O que que a gente sabe sobre esses dois triângulos, gente? Tem algum ângulo que é igual entre os dois aqui? B chapéu, não é? Que que falta a gente verificar para aplicar a proposição Quatro? Verificar se os lados que contém esses esse ângulo são iguais, não é? Então vamos ver o seguinte. DB ele não é igual a AC, ó. DB não é igual a AC. Não foi isso que a gente

construiu aqui? Que esse lado é igual a esse lado. Certo? Vamos agora verificar o seguinte. É porque vai ser igual Capuel e B chapéu na hipótese são iguais, né? Lembra-se Disso? Na hipótese, B chapéu é igual a Capu 1 + Cap 2. BC não é comum. E esse ângulo Cap igual ao ângulo B chapéu, não é? Então isso quer dizer que eu tenho dois lados respectivamente iguais e os ângulos contidos por eles também são iguais. Então se verifica o quê? A conclusão da proposição 4 que me diz que Esses dois triângulos são iguais em tudo.

Agora me digam, isso é possível? [Música] Não, não é. Por que que eles não podem ser iguais em tudo? Ué, esse triângulo menor não é uma parte do maior? E pelo axioma 5 de Euclides, a parte é sempre o quê? menor menor que o todo. E aqui você tá chegando na conclusão que a parte é igual ao todo. Então esse é um absurdo. Uma outra forma de você enxergar Isso é que olha só, a base aqui também vai ser igual, não vai? Não vai. Então eu vou chegar a dizer, ó, qual é o lado, qual

é o ângulo que corresponde a esse ângulo Capângulo. É o ângulo B chapéu, não é? Ó, essa reta corresponde a essa e essa reta a essa. Mas Cap 2 pode ser igual a B chapéu. Por hipótese, Capu 1 + Cap 2 é igual a B Chapéu. Se o todo é igual a uma outra coisa, a parte pode ser igual a ela também? Não, porque a parte é necessariamente menor que o todo. Para finalizarmos, então, nossa aula, vamos fazer então aqui o passo a passo bem devagar. O que que é a hipótese aqui? O triângulo, ó,

A BC com B chapéu igual a Capu, [Música] certo? Isso é a hipótese, não é? O próximo passo é suponha, suponha a B maior que AC. Não foi isso que eu fiz por contradição? Logo, [Música] Existe D em AB tal que BD é igual a AC, não é isso? Por que que Como é que eu sei disso? pela proposição três. Certo? Eu sei disso. Agora eu vou fazer a comparação dos dois Triângulos para verificar a hipótese da proposição quatro em. Vejam só, DBC e ABC, eu tenho que, como tá pressuposto aqui, BD igual AC, né?

Eh, BD DB igual a AC que tá aqui e BC BC comum comum e B chapéu igual a Capu [Música] 1 mais Cap Certo? Que que eu tô Dizendo? Que eu tenho dois lados respectivamente iguais e os ângulos contidos por eles também são iguais. Então isso aqui, hipótese da proposição 4, logo, são iguais em tudo, né? Então a gente expressa congruência, um símbolo para congruência hoje são três tracinhos em vez de dois tracinhos. Esse É o passo quatro. Hã. Ah, desculpa, passo quatro. Então, ó, então, esses dois triângulos são congruentes, quer dizer, eles são iguais

em tudo. E além deles terem a área igual, também será verdadeiro que e Capá igual a B chapéu. Absurdo. Absurdo. Pois a parte é menor que o todo, que o todo. Isso aqui é o quê? o axioma 5 de euclides. Então, tanto pelo fato de que esse triângulo menor, obviamente tá contido no triângulo maior, então ele não pode ser ter a mesma área que ele. Quanto pelo fato que, pela hipótese o ângulo B chapéu é igual a Capu 1 + Cap 2, então ele não pode ser igual também a Cap 2, que é uma parte

desse ângulo, certo? Então nós podemos dizer o que nós se essa se essa tese aqui de que AB é maior que AC leva um absurdo, o que que eu tenho que concluir necessariamente? Logo, ó, minha conclusão óbvia é logo, AB igual A AC, ou seja, C que D, como queria demonstrar, né, em português, ou qu erat demonstrando em latim, né? Então, o que que a gente aprendeu aqui? Que essa propriedade dos ângulos internos do triângulo é conversível. Se um triângulo isós sempre tem os ângulos internos na base iguais. E se um triângulo tiver dois ângulos

iguais, ele é o quê? Isóceles. Os lados opostos também são iguais. Então era isso, gente, que eu queria passar para vocês novamente, para quem tiver em casa assistindo posteriormente. A primeira parte dessa aula vai até a proposição um. É importante ver continuamente essa aula, certo? e assistir duas, três vezes, se preciso. Depois as outras proposições, Vocês podem inclusive assistir uma por dia para ir adquirindo esse hábito da demonstração. Depois, obviamente, vocês precisam aprender a estudar esse assunto sozinhos e criar essa cultura de estudo. De que forma? Idealmente, no máximo, uma ou duas proposições por dia.

Não vai tomar muito tempo, muitas vezes é 15, 20 minutos. Como você pode fazer esse estudo? Infelizmente, o melhor material Disponível está em inglês. Então, a primeira etapa para estudar as novas demonstrações deveria ser ir num site chamado Oilers Academy. Deixa eu apagar aqui e escrever, ó. Ó, olha só referências. [Música] Um Oilers Academy [Música] novo Pai dos Burros, o YouTube, certo? lá deve ter uma opção de legenda, talvez que ajude e ele vai seguir essa mesma metodologia que eu mostrei aqui. Então vocês já vão estar acostumados. Número dois, vocês vão digitar no Google Barnes.

Essa aqui, ó, [Música] Barns Euclit. É, é um, é o nome de um rapaz francês que aparece junto. Vai aparecer um site que tem os seis primeiros livros de Euclides dispostos de forma virtual ali, inclusive porque você pode manipular, marcar uma reta, marcar a outra. É um site excelente e que dá para usar o tradutor do browser também de uma IA para traduzir e funciona. Esse site, esse livro é excelente, essa versão do Euclides para ler, certo? Eu recomendo esses dois pontos aqui como ponto de Apoio para estudar no começo. Depois disso, para quem quiser

ir mais a fundo e ver uma edição comentada de Euclides, que fala dos comentadores, dos problemas, das discussões, define o que que é teorema, define o que que é axioma, discute tudo, conta a história da da do dos elementos de Euclides, vocês podem estudar, né, por esse livro. livro aqui, Euclid, né, que foi traduzido, né, e comentado por Thomas Rif. Essas três fontes são excelentes para quem quiser ter uma edição do Euclides em português. Existe a edição roxinha da Unespa, mais com atenção à filologia lá do grego. Então, é um pouco complicada de se ler,

mas não é impossível, né? é uma edição em português do Euclides, pode ser um Acompanhamento também, mas é isso, gente. Eh, isso aqui se torna extremamente fácil, eu digo, não extremamente, assim, sempre vai ter uma dificuldade, um obstáculo, mas depois de que você se acostuma com o hábito da demonstração, da definição, vai se tornando cada vez mais fácil e você percebe que isso vai se transplantando para outros estudos, né? paraa sua capacidade de raciocínio, né? E vejam bem, né? Se Deus Quiser, as pessoas consigam estudar mais isso, completar os seis primeiros livros de Euclides, quem

sabe os todos os 13 livros de Euclides, em que ele chega lá na estereometria, né, que é o estudo dos sólidos, de fato, isso significa a posse de uma ciência acabada, né? Basicamente todo o assunto ali da geometria plana é coberto em Euclides. E claro que ele não cobre tudo sobre sólidos, mas um ele cobre coisas bem Interessantes. Também tem a parte de aritmética. Então, acho que isso é um excelente começo para o estudo do quadrívio, especialmente para adultos. Mas já pensando que esses adultos possam ser professores e treinar professores, especialmente para adolescentes, né, e

pré-adolescentes, fica claro aqui que a idade mínima pro começo do estudo de Euclides é por volta de 12, 13 anos, provavelmente com resultados maiores a partir de 13, 14. O Que deveria vir antes nesse tipo de estudo? provavelmente dos 8 até os 11, 12 anos, um estudo bem tranquilo e gradual de desenho geométrico, que não vai incluir o elemento demonstrativo, mas vai incluir inclusive muito mais construções geométricas do que tá presente, por exemplo, no primeiro livro do Euclides. Então isso aqui eu não tenho a menor dúvida, né, que faz parte do estudo do quadrívio, né,

e é um elemento Central do resgate das artes liberais, mas temos aí muito trabalho a ser feito. Então, obrigado aí pela atenção de todos. Assim terminamos a nossa última aula aí, nosso a parte da última parte aí do da nossa aula sobre os elementos de Euclides. É isso aí. เฮ