Os números reais

Olá pessoal sou professor Gustavo Adolfo bem a gente tem tratado aí dos conjuntos numéricos correto então a gente já viu conjunto dos números naturais conjunto dos números inteiros o conjunto dos números racionais bom então hoje a gente vai construir um novo a gente vai começar a construir um novo conjunto numérico que é o conjunto dos números reais então basicamente A ideia é a seguinte considera uma reta uma reta r onde nessa reta Vamos marcar um ponto o onde esse ponto o é que será a nossa origem a A ideia é associar a cada ponto dessa

reta a um número certo então considera aqui um segmento um ponto a de tal maneira que o segmento oa ele tem a medida um certo então associando o número zero ao ponto o nós temos então que associado ao ponto A A gente tem o número um perfeito bom e além de marcar esses dois pontos sobre essa reta a gente vai dar uma orientação a essa reta Então a gente vai definir da seguinte forma essa semirreta a que a gente vai chamar de semirreta positiva e a semirreta oposta a semirreta oa é o que a gente

vai chamar de semirreta negativa então basicamente o que a gente tá fazendo é o seguinte em outras palavras à direita do ponto o eu vou ter pontos Associados a números positivos e à esquerda do ponto o eu vou ter pontos Associados a números negativos Então é isso que a gente tá fazendo Beleza então tendo essa essa unidade de medida é possível construir o conjunto dos naturais aqui dentro então basta tomar pontos com essa unidade Então como essa distância é igual a essa que a gente fez com compasso então aqui é dois associado a esse ponto

eu tenho três e assim sucessivamente então continuando esse processo indefinidamente O que que a gente tem a gente tem todos os pontos que estão Associados a quem aos números 0 1 2 3 4 5 6 etc ou seja então a gente acabou de Marcar todos os pontos que representam os números naturais beleza bom da mesma maneira a gente pode pegar todos os pontos simétricos todos os pontos da semirreta Positiva simétricos em relação ao ponto o então vou ter aqui um ponto a linha onde associado a esse a linha eu vou ter quem eu vou ter

o número menos um e assim vai então vai então associado a esse ponto eu vou ter o número men2 associado a esse ponto eu vou vou ter o número os3 e assim por diante Então o que a gente acabou de fazer foi a gente pegou continuando esse processo para sempre o que que acontece a gente tá marcando todos os pontos onde associado a esses pontos a gente tem quem os simétricos em relação aos naturais positivos ou seja então todos esses pontos aqui a união desses dois pontos me dá o quê Me dá o conjunto dos

números inteiros perfeito beleza bom agora eh vamos lembrar de uma de uma de uma coisa lá de construção geométrica que é o seguinte considera aqui o segmento AB A ideia é dividir esse segmento AB em uma certa quantidade de segmentos de mesmo comprimento como isso é sempre possível e o procedimento dá da seguinte forma de uma das extremidades considera aqui uma reta qualquer certo Digamos que a gente queira dividir esse segmento AB em três segmentos de mesmo comprimento então a gente vem aqui com compasso e marca aqui três pontos então eu tenho que esse segmento

tem mesmo complimento que esse tem mesmo complimento que esse por construção a esse ponto aqui da extremidade a gente traça uma reta passando por ele e pela outra extremidade do segmento certo e a partir daqui eu traço retas paralelas certo é claro que aqui eu tô desconsiderando o Rigor né Com relação construção dessas retas paralelas certo mas o fato é que traçando essas retas paralelas o que acontece eu obt segmentos todos mesmo comprimento por que acontece pelo seguinte esse ângulo é comum a todos esses triângulos certo e eu tenho um feix de retas paralelas cortadas

por essa transversal Então o que acontece todos esses ângulos aqui tem a mesma medida porque eles são correspondente sendo assim pelo caso ângulo ângulo esse três triângulos considerando desses três triângulos eu tenho que esses triângulos são semelhantes então ignorando esse aqui o que que acontece como esse ponto é ponto médio desse segmento Então nesse triângulo aqui esse ponto aqui também será por isso que esse cara é igual a esse certo da mesma maneira considerando a semelhança entre esse e esse triângulo grande o que que vai acontecer esse segmento é é a terça parte disso logo

esse sego também vai ser a teressa parte disso então por isso que esse segmento aqui que estava faltando digamos assim ele vai ter o mesmo comprimento também certo então repare que dado um segmento qualquer é sempre possível dividir ess segmento em quantas partes você quiser tá de mesmo comprimento obviamente iso é sempre possível bom então antes de você continuar assistindo essa aula eu te recomendo assistir uma aula chamada segmentos comensuráveis tá Então assiste essa aula pausa o vídeo agora assiste essa aula tá um dos mdulos do dono ano tá dos primeiros módulos de geometria tá

porque eu vou precisar de algumas informações em relação a isso tá bom Beleza então olha só eh Então temos isso e agora eu vou pegar um ponto b onde a esse ponto b eu vou ter associado o número Bezinho tá de tal maneira que de tal maneira que o segmento OB ele é comensurável com oa certo e aí Tendo isso o que que isso significa significa que bom primeiro existe um número natural n tal que eu tenho o segmento oa igual a n vezes um segmento cuja medida seja w Ou seja eu consigo dividir o

meu segmento a em n segmento de medida w é basicamente isso Tá mas ocorre que como o segmento OB é comensurável com o segmento aa Então existe um número M também natural tal que o segmento OB ele também é igual a qu a m vees esse segmento w de medida w bom mas ocorre que o segmento oa tem medida um então juntando essas duas informações o que que nós temos nós temos então que o segmento AB Ele é igual então am vees 1 so n né isolando o w aqui e portanto a medida do segmento

OB é igual a m so n mas ocorre que a medida do segmento AB quem é é Bezinho então B é igual a m sobre n ou seja esse número B ele pertence a quem ele pertence ao conjunto dos números racionais Ah Gustavo Mas e se eu tomar um NM inteiro não há problema nenhum a única coisa que vai acontecer é que bom o que que a gente fez aqui né a gente obteve um número racional positivo só que para todo número aqui para todo ponto que sempre existe um simétrico em relação a origem certo

então se eu tomasse aqui em vez dos naturais tomasse os inteiros o que eu tá fazendo é já eu já estaria obtendo todos os Racionais né não apenas os positivos assim como também os negativos então repare que a gente obteve o conjunto dos números naturais certo marcando os pontos por construção dos números naturais a gente obteve os inteiros incluindo os ais certo e não satisfeitos a gente também construiu a gente também marcou vários pontos onde esse número aqui é um número quê é um número racional e como a gente já viu na aula passada isso

daqui funciona perfeitamente certo então o que a gente obteve até agora foram os conjuntos que a gente já conhecia perfeito mas se você teve a curiosidade de ver a aula seguinte em relação aos de segmentos comensuráveis de segmentos incomensuráveis você vai você já sabe então que nem sempre isso aqui é possível certo Ou seja que nem todo número existe uma fração que o Gere certo então na nossa próxima aula a gente vai continuar a partir daqui a gente vai continuar a partir do da seguinte situação e se o ponto b que eu tomar me gerar

um segmento que não é comensurável segmento a o que que será que isso acontece bom então isso a gente vê na nossa próxima aula