o olá meu aluno minha lona nesta aula nós queremos integrar escritas em coordenadas esféricas eu começo com uma revisão sobre o sistema de coordenadas esféricas um ponto p possui coordenadas ro se e tetra a questao ponto ro é a sua a distância até a origem o ângulo fi é este ângulo que mede a partir do eixo vertical até bater aqui no ponto então digamos que o ponto esteja aqui este ângulo que eu abaixei aqui é o ângulo fio ó isso é o ângulo filho para o ângulo teta eu considero a projeção ortogonal do ponto que
dá este ponto aqui embaixo aqui o fórum segmento cujo tamanho é r é isso aqui né dr o ângulo formado entre este eixo que é equivalente ao eixo do x e este segmento de reta que é o ângulo teto lembrando que esta medida é o r nós já conhecemos relações entre o sistema de coordenadas cartesianas e o sistema de coordenadas esféricas o x é o rosto onde fica o oceano detecta o y é o rosto onde filho sendo direta use é o ronco o sendo de filho também vale a relação de que vocês ao quadrado
mais y ao quadrado mas é o quadrado é o ro ao quadrado e esta medida r aqui vale rosendo de filho que é uma relação entre as coordenadas polares ou cilíndricas e as esféricas e em geral os alunos acham difícil isso daqui mas é matéria já vista ela estou apenas revisando eu vou supor que você já domina o assunto porque o que eu quero é trabalhar com integrais nesse sistema de coordenadas aqui ó e nós temos uma aula em específico então mostro a mudança de variáveis e integrais a que eu tenho uma integral tripla e
escrita em coordenadas cartesianas note a presença do x do y z e eu consigo encontrar a mesma integral só que agora em coordenadas esféricas a função agora está em ruim fim e em reta e aqui a teoria geraldo dia nos diz que temos que multiplicar pelo determinante da matriz jacobiana e o determinante da matriz jacobiana ele é discutido nessa aula em específico a de mudança de variáveis em integrais eu só preciso que para esta aula você saiba que ele vale rua o quadrado sendo de filho então existe uma conta que é o cálculo do determinante
da matriz jacobiana cujo o resultado é este de tal maneira que é o elemento de volume das coordenadas esféricas é rua ao quadrado sendo difícil de roupa de frio detecta a e tudo isto é o elemento de volume rua quadrados sendo difícil de roupa de filha reta quando você for fazer uma integral em coordenadas esféricas o elemento de volume é tudo isso tem uma função que vai aparecer aqui então aqui vai a função f e aqui vai uma outra função que esta parte aqui e essa parte faz parte de tudo isso aqui o elemento de
volume e vamos tentar montar integrais em coordenadas esféricas a primeira coisa que você deve notar é a presença de uma função genérica e aqui todo aquele elemento de volume olha o rual quadrados sendo difícil de definir reta não tem sempre essa coisa aqui na frente porque aqui tem essa coisa sempre por causa dessa teoria geral vista em outra aula e aí é a região está abaixo do plano z = um esse plano aqui e acima deste ícone aqui então estou falando disso daqui uma casquinha de sorvete eu quero descrever a integral de uma função f
que está definida neste o sólido aqui como é que se monta uma integral em coordenadas esféricas eu vou começar a fazer integral de dentro integral um ro-ro é um corte radial norte o que eu vou fazer a partir da origem um corte radial 1 quarto em raio por onde é que eu andei eu comecei na origem e parei aqui ó fui até o plano dá origem ao plano da origem que é ruim igual a zero até o plano só que eu preciso trabalhar um pouco do plano porque o plano veio aqui em corda nada cartesianas
eu vou passar esta expressão para coordenadas esféricas a z = 1 e aí eu tenho que lembrar que o zé é o ronco o sendo de filho a rua cosseno de pi = 1 isolando-o um sobre cosseno de fim estudar aqui ó é a equação em coordenadas esféricas ver se o plano o corte radial em ro pai de zero ao plano de zero ao plano e o ângulo fim já estão cone de abertura 45 graus e aqui está o eixo vertical e o baixo 45 graus até encostar aqui estão corri de abertura a 45 graus
ou seja este ângulo que eu baixei começou em fim igual a zero e acabou enfim = 45 graus e quartos de radianos então aqui ângulo de abertura filho ângulo teta o seu olhar essa figura por cima eu vou em ver um círculo para descrever um círculo eu toda a volta eu dou toda a volta o ângulo teta de 0 a 2 x 1 oi rô você vai fazer um corte radial se esse ângulo de descida reta o quanto que eu tirei assim e vamos tentar mais um exemplo e agora a minha região está abaixo daquele
cone dentro do cilindro e acima disso é igual a zero e a questao cone aqui eu encaixo um cilindro e ilimitado em baixo por ser igual a zero o sólido é o que está aqui dentro a parte de baixo eu vou montar a integral é a função f é genérica rua quadrados and fique bem rosbife dieta tudo isso é o elemento de volume e começa o corte radial norte como é que é o corte radial ele começa na origem e sai aqui ele bate no cilindro esse é o corte radial de zero de rua igual
a zero que a origem até o cilindro de zero ao cilindro só que eu vou ter que trabalhar nesse cilindro aí ó é porque o cilindro veio em coordenadas cartesianas eu sei que junto ao quadrado mais y ao quadrado é real quadrado lá das coordenadas polares de tal maneira que eu era igual a um o r é uma medida r = um só que aqui tá em polares ou cilíndricas eu quero em esféricas oi e o r é horror sendo de fim oi e o r é o rosto e no difícil de tal maneira que
horror é um sobre o sangue fim quando eu uso esse rolo aqui um sobre sendo de filho o burro vai dar origem ao cilindro corte radial da origem ao cilindro então você vai rodando a dificuldade dessa matéria em que você tem que dominar assuntos como essa mudança de variáveis e aqui eu também fiz o humano então muita dificuldade dos alunos é saber isso daqui o ângulo f é o angulo que começa na vertical você tem que montar o seguinte tudo isso aqui que eu estou baixando não conta o meu sólido ele começa aqui o sólido
ele é daqui para cá o ângulo fique interessa só conta daqui que a 45 graus até aqui que é 90 graus não tem sólido aqui ó estou baixando o fim e ainda não estou pegando a região agora quando eu chego aqui e começa a contar o sólido de 45 graus até 90 graus então deep quartos até primeiros radianos e o fio igual a zero iguape 4 e iguape mês esse aqui é o cone do ângulo de abertura a 45 graus por isso que eu disse que isso daqui 45 graus até 90 graus o ângulo tem
essa é fácil quando você olha por cima enxerga um círculo tem um círculo completo aqui então eu dei toda a volta de 0 a 2 fiz então aqui eu coloquei os extremos e integração de uma certa função f definida neste sólido aqui ó e agora eu vou fazer contas é a minha pergunta qual o volume da esfera de raio a o volume o volume é a integral tripla da função um e o integrando oficialmente é apenas a função um todo esse resto é o elemento de volume então eu fiquei com um de ver tudo isso
aqui é o dever volume é integral tripla da função um dever em que o dever é tudo isso o colocando os extremos de integração tá começando pelo ro corte radial a partir da origem eu faço um corte radial ele vai dar origem até a esfera a esfera de raio a é o objeto ruim igual a é a qualquer ponto na esfera satisfaz o fato de que a sua distância até origem é o raio da esfera e dá origem a esfera corte radial da origem a esfera ângulo fi o ângulo fi e nós sabemos que ele
começa apontando para cima e tudo que ele pode fazer é baixar 180 graus vamos separar de contar aqui ele faz este movimento o seu domínio é de 0 a 180 graus e na esfera eu faço tudo isso o ângulo fi de 0 a pi radianos o ângulo teta é aquele quer tranquilo quando eu olho por cima eu espero um círculo de tal maneira que eu dei toda a volta no círculo de 0 a 2 fiz o meu grande interesse dessa aula é que você seja capaz de fazer isso tudo aqui ó montar a integral tripla
em coordenadas esféricas o que segue daqui são contas bom então eu começo integrando irru tem um rock'n roll ao quadrado a integral de vó quadrado é rua ao cubo sobre três esse sendo de fia constante ele continua aqui ó oi e o rota ainda de 0 até a de 0 até então e integrei errou começando por dentro né integral tripled dentro para fora vocês verem roubos m3u e esse a vai ser colocado aqui no lugar do vô - agora o zero colocado no lugar do vô teorema fundamental do cálculo extremo de cima - extremo de
baixo aqui de 10 a minha integral enfim esse ao cubo sobre três é constante veio aqui para fora o álcool sobre teresa constante a integral do seno de fi - cosseno de filho integral do seno ao menos cosseno de 0 a pe quiser up esse menos eu quis colocar aqui fora teorema fundamental do cálculo de novo cosseno de pi pi - cosseno de 0 o cosseno de pi é menos um cosseno de 0 é um aqui deu menos dois tenho menos aqui na frente tá ficou mais dois fiquei com dois terços do ao cubo da
integral da função um agora da função um e tetra e olha a presença do teto aqui teorema fundamental do cálculo substitui o extremo de cima subtraio substitui extremo de baixo fiquei com quatro pe álcool sobre três a fórmula que nós já conhecemos quatro pe terços do raio ao cubo volume de uma esfera o que foi calculado em coordenadas esféricas eu espero que tenham gostado se inscreva no canal e é isso daí
