TOPOLOGIA DA RETA

[Música] Olá estudantes espero que vocês estejam bem Hoje nós falaremos sobre assunto topologia na reta nós trataremos sobre conjuntos abertos conjuntos fechados pontos de acumulação e conjuntos compactos então vamos conhecer um pouquinho sobre essas definições são conjuntos abertos a gente vai começar considerando um conjunto x eh contido nos reais nós chamamos um ponto X de ponto interior de x quando existe o intervalo aberto AB tal que x está dentro desse intervalo certo e esse intervalo está contido no nosso X no nosso conjunto em questão que é o X ok então o ponto interior de x

é quando eu pego aqui esse intervalo A e B aqui certo e eu vou localizar algum x aqui dentro certo então para qualquer intervalo que eu tomar a vai existir um X ali dentro Ok então a gente chama X de ponto interior de xão que é o nosso conjunto tá bom além disso X é interior a x a esse conjunto xão certo se eu consigo eh pegar outro Ponto X - Y e um x + y que também esteja dentro desse conjunto desse intervalo AB Ok então X é chamado de ponto interior de x é

o ponto que está dentro do conjunto x tá então dado um xão contido nos reais o conjunto dos pontos interiores de X desse xão que são x pertencente a x eu vou denotar por int de X ok e eu vou chamar isso de interior do conjunto x certo assim temos que o interior de X está contido no meu próprio x e claramente se x está contido em um outro conjunto Y então o interior de X está contido no interior de y Ok Então essa é a definição de interior de um conjunto aqui eu trouxe alguns

resultados sobre esse assunto um conjunto aberto definição né de conjunto aberto um conjunto aberto é formado pela interseção de um conjunto limitado de conjuntos abertos tá então se eu quero eh construir um conjunto aberto esse conjunto aberto ele pode ser formado pela interseção de um número limitado certo um número finito de conjuntos abertos Ok então a combinação de um número limitado de conjuntos abertos forma um conjunto aberto Ok então considere os abertos A1 A2 e an assim sucessivamente então a união de todos esses ais é aberto e a interseção de todos esses abertos também é

um conjunto aberto então o conjunto aberto a gente pode imaginar um círculo com a borda pontilhada tal como esse daqui e a gente vai pensar aqui quem que é esse conjunto aberto é o conjunto dos pontos interiores aqui do meu x que são esses pontos que estão aqui dentro e quais são os pontos que não são interiores ao x esses pontos que estão aqui fora claramente tá bom E se a gente tomar um pontinho aqui bem aqui em cima do pontilhado do da borda do Círculo eu consigo traçar o intervalo ó que eu vou pegar

esse intervalo aqui em torno desse meu ponto tá bom centrado nesse ponto com um raio Y tá bom tal que esses pontos aqui ó eles são interiores a x mas existe esses outros pontos aqui que não são interiores a x certo Ou seja eu exibi esse ponto aqui que ele não é interior a x por quê Porque eu consegui criar uma bola aberta certo de raio é esse é ele pode tem que ser tão pequeno quanto eu queira tal que essa nessa bola existem pontos que não são interiores a x Ok Então nesse caso esse

ponto aqui ele não é interior a x Ok bom continuando que são os conjuntos fechados vou começar falando o que que é um ponto aderente um ponto a Eu chamo ele de aderente a um conjunto x se a for o limite de uma sequências de pontos xn tal que esse xn é uma sequência de X ok Ou seja eu tenho uma sequência xn que está convergindo para a Ok a é o limite de uma sequência essa sequência xn ela pertence ao meu conjunto x certo e o a ele é aderente a x se é limite

de alguma dessas sequências de pontos de X ok então aqui por exemplo eu tenho o meu Conjunto R tá que é essa reta aqui eu tenho um subconjunto X de R que eu peguei sendo esse intervalo aqui tá bom então eu tenho aqui o meu ponto A então vai ter uma sequência convergindo para a se tem uma sequência convergindo para a eu falo que a é o ponto é um ponto aderente de X ok então todo ponto a de x é aderente a x então basta tomar uma sequência constante então se a é um ponto

interior de X vamos supor que a é igual a 2 certo e isso daqui vai ser é um subconjunto dos reais vamos supor que a ig a 2 eu tenho a sequência xn = a 2 2 2 2 etc essa sequência é uma sequência constante e ela converge para 2 certo então é uma sequência de x que converge para 2 então do no caso que é o nosso a certo no nosso exemplo então do é um ponto de aderente certo o a poderia ser -2 basta eu tomar uma sequência constante -2 -2 -2 que vai

convergir ainda pro -2 certo então qualquer ponto a de X certo é aderente ao próprio X ok então podemos ter a aderente a x tal que esse a não pertence a x por exemplo basta eu tomar o x indo dos é um X o subconjunto dos reais de zero até infinito Então vamos desenhar isso aqui eh então aqui vai do zero certo até o infinito Então vai ser essa parte aqui que eu rasurei isso daqui então é o meu conjunto x que é um subconjunto de R Ok eu vou tomar a sequência então xn =

1 so n certo então essa sequência vai ser n natural Então vai ser 1 sobre 1 que é 1 1 so 2 1 so 3 1 so 4 1 so 5 e a gente já comentou anteriormente que essa sequência aqui ela vai tender para Zero Só que Note que esse meu x olha aqui o que que ele é ele é um conjunto aberto ele é aberto em zero quer dizer que zero não faz parte da não faz parte do conjunto X então por mais que essa sequência convirja para X para zero Ok zero é um

ponto adherente mas zero não pertence zero éo nosso a não pertence a x tá bom outro exemplo aqui que eu posso dar é seguindo aquele mesmo raciocínio de criar uma bola aberta vou fazer isso aqui pontilhado aqui então Ó vou criar aqui uma bola aberta certo e dessa bola aberta aqui eu vou falar que eu tenho esse pontinho aqui eu quero ver se ele é ponto aderente tá pode existir uma sequência tá que vai estar convergindo para esse ponto aqui uma sequência de x que vai os elementos vão estar cada vez mais próximos desse ponto

aqui ok esse ponto ele não é um ponto de X por quê Porque ele não é interior a x como a gente tinha visto eu consigo criar aqui uma bola aberta com raio é certo tal que vai existir algum elemento fora que está dentro dessa bola mas não pertence a a X ok então esse ponto que a gente criou aqui do Centro dessa nossa bola ele não pertence a x ele não é um ponto interior de X ok mas ele é um ponto aderente a x certo então um ponto aderente a x não necessariamente ele

tem que estar dentro do X bom ã um ponto a ele é aderente a um conjunto x se somente si para todo Y maior que zero eu tenho que o x interseção com esse intervalo a - y e a + y é diferente de vazio Ok então o que que isso aqui quer dizer eu posso pensar em duas formas vou dar dois exemplos para tentar fazer com que vocês entendam primeiro eu vou dar o exemplo da reta tá bom e depois a gente vai pro exemplo na bola tá então aqui eu tenho que esse essa

reta aqui é a minha reta x Ok eh eu vou ter então que a está em X ok mas eu vou falar que a é aderente a um conjunto x e somente se para todo é eu tenho que a união a interseção disso daqui é diferente vazio se eu pegar esse a dentro eu vou falar na verdade que esse aqui é a minha reta real tá então ess aqui é a minha reta real vou pegar primeiramente esse conjunto x aqui ó esse intervalo certo que é um conjunto Então vou chamar ele de x é fácil

a gente notar que o a é um ponto interior a x por quê Porque eu consigo pegar o intervalo aqui a - y e a + y tal que dentro desse intervalo vai existir pelo menos um outro elemento que também pertence a X ok ã então é fácil ver que a interseção de x com esse subconjunto aqui ó esse intervalo a- e a+ então x com esse intervalo aqui é diferente de vazio tá bom Porque vai existir esse cara aqui por exemplo que pertence a esse intervalo Tá bom então é diferente de vazio mas e

se eu pegar um a que ele não está no meu que ele não está no meu x ó esse X é um conjunto aberto Então agora eu vou tomar o a bem aqui ó certo o meu X então ele é o intervalo Vamos colocar que aqui vai ser o b por exemplo então x vai ser o intervalo aberto em a e aberto em B Ok então o que que acontece eu consigo tomar agora esse subintervalo aqui que eu vou chamar de a + y e aqui então vai ser a - y Ok tal que nesse

intervalo ainda vai existir ó Note que esse cara aqui ele não pertence a x Tá mas esse cara aqui ele está em x Tá bom então independente da onde eu pegar a independente se a está é interior ao x ou não é interior ao X Ele vai ser ponto adherente se somente se a interseção for diferente de vazio Ok Note que se eu tomar um a aqui agora ó a eu consigo pegar uma um um intervalo a - y e o intervalo a + y tal que existe esse cara aqui no meio que ele não

vai est em X então a interseção do X que é esse intervalo aqui com esse outro intervalo aqui a - y a + y vai ser igual ao vazio Então quer dizer que esse a que a gente Tomou aqui não é um ponto aderente de X então vai ser um ponto aderente de X se somente se essa interseção é vazia Tá bom analogamente a gente pode pensar aqui na imagem dessa bola aberta Tá bom então aqui a gente tem o conjunto x se eu pegar um a aqui e uma bola de raio é eu consigo

exibir esse cara aqui que é que pertence a x se eu então esse pontinho aqui que eu chamei de a ele vai vai ser ponto aderente Tá bom então a interseção é de a- y e a + y está a interseção com x vai ser diferente vazio tá porque ó vai existir esse cara aqui que tá que está nesse intervalo de a e também está em x se eu pegar um ponto aqui nessa nesse nessa linha tracejada eu ainda consigo fazer uma bola aqui que não é bem uma bola né mas deixa eu arrumar isso

ó então ainda consigo uma bola aqui essa bola pode ser grande ou ela pode ser tão pequenininha quanto eu queira ó ainda vou conseguir exibir um elemento que está ao mesmo tempo dentro dessa bola e dentro do X então a interseção ainda continua sendo vazia mas notem que se eu pegar esse ponto aqui eu consigo uma bola que pode ser que tenha elemento de X nessa bola mas não necessariamente vai ter ó consigo exibir esse elemento aqui tal que a interseção dessa bola com o X é vazio Ok Então essas são as condições para a

ser um ponto adherente de do conjunto x tá bom definição agora de fecho o que que é o fecho de um conjunto então o conjunto formado pelos pontos adherentes de x é chamado de fecho do conjunto x ó Então até o momento a gente tem já conhece a definição de interior de X o int de x é o conjunto dos pontos interiores a x e o fecho de X vai ser o conjunto formado pelos pontos aderentes de X como que a gente denota o fecho de x x Barra tá bom naturalmente se eu tenho um

X contido em y o fecho de X também vai estar contido em no feixo de y tá bom nós temos também que x está contido no próprio fe eo dele próprio Ok então isso daqui é uma definição x está contido no seu próprio fecho para todo X para qualquer X Ele está contido no próprio fecho quando nós temos que o fecho de x é igual ao próprio x o conjunto X é chamado de fechado tá então o que que vai ser o interior de X esses pontinhos aqui dentro Ok então esses pontinhos aqui dentro interior

de X nós vimos que todo ponto de X todo interior de X Ele também é ponto aderente de X porque eu consigo definir uma sequência constante que tende para esse para esse ponto então todo ponto interior de x é aderente a x Quais são os pontos aderentes a x que não são pontos interiores são esses pontinhos aqui Opa são esses pontinhos aqui ó tá então esses pontos aqui são os pontos aderentes a x mas não são interiores a x quem é o fecho de x quando o meu conjunto dos pontos aderentes que é o fecho

do X tá que vai ser todos esses pontinhos aqui ó é o que tá na bordinha e os interiores certo quando X for igual a esse ponto a gente consegue preencher ó toda essa bola inclus a lateral Inclusive a borda certo então quando X for igual ao seu fecho tá o fecho do X então é todo esse conjunto aqui preench ok Inclusive a borda por isso que a borda não está mais pontilhada eu vou falar que o meu X Ele é fechado conjunto fechado tá bom sendo assim um conjunto x que está contido nos mas

ele é fechado se somente se todo ponto adherente a x pertence a x tá ou seja nesse caso aqui que o X é aberto a gente viu que esse ponto aderente aqui ele não pertence a x certo mas quando é fechado ó esse ponto aderente aqui ele pertence a x tá bom tá vendo que a linha já não tá mais pontilhada certo então a gente fala que X é fechado bom Considere um x e um Y conjuntos de números reais ok então x e y são conjuntos de números reais eu vou falar que o x

está contido em Y Tá bom então o conjunto X é denso em Y quando todo ponto de y for aderente a x tá então ele é denso em Y quando todo ponto de y for aderente a x ou seja eu vou ter aqui um conjunto X um conjunto x Então esse aqui é o meu conjunto X Ele está contido num conjunto Y certo todo eh ponto eh o conjunto X é denso Y quando todo ponto de y for aderente a x a gente viu que o conjunto dos pontos aderentes a x vai ser os interiores

e no máximo a fronteira que é essa parte aqui tá bom o contorno do meu X então certo então ou é interior ou tá na fronteira se todo ponto de y for aderente a x quando eu for construir aqui um Y esse Y se ele for muito maior aqui que o x eu consigo exibir esse ponto aqui ó que ele é em Y mas ele não é aderente a x certo então o que que eu vou fazer eu vou fazer o y então fazer isso aqui bem em cima aqui do X ok então todo o

ponto do Y é aderente a X ok então um exemplo de conjunto denso é o q conjunto Q ele é denso no R Ok eh todo conjunto x de números reais contém um subconjunto enumerável é denso em x certo agora nós vamos tratar sobre pontos de acumulação o que que é um ponto de acumulação consideremos um X em R então aqui eu vou falar que esse aqui vai ser o meu Conjunto R certo vou pegar um X aqui dentro ó certo então esse daqui vai ser o meu conjunto x e esse daqui é o conjunto

dos números reais então peguei x subconjunto de R eu vou chamar o número de a o número a qualquer de X vou pegar esse aqui vou chamar ele de a Ok eh eu vou chamar ele de ponto de acumulação do conjunto x quando todo o intervalo aberto ou seja se eu tomar aqui uma bola aberta em torno a vou desenhar a bola aberta pontilhada então aqui eu tenho uma bola pontilhada centrada em a com raio é Tá bom então o tamanho do raio é y então é tão pequeno quanto eu queira essa bola está centrada

em a contém algum ponto de X diferente do próprio A então nessa bola aqui vai ter essa esse ponto aqui que pertence a x e que não é o próprio a Ou seja eu consigo se eu for pensar numa reta Aqui tá o a eu consigo vir para qualquer raio que eu que eu pegue eu consigo um ponto de x que pertence a a certo diferente desse a quer dizer que existe alguma sequência que está convergindo para esse ponto A tá bom porque tão pequenininho Quanto Eu queiro eu posso pegar esse raio é Tá bom

eu posso pegar esse subintervalo que eu vou chamar de a - y e a + y Ok então eu posso pegar esse subintervalo tão pequenininho quando eu queira que ainda vai existir um ponto de X lá dentro tá bom então eu vou falar que o a ele é chamado de ponto de acumulação Tá bom então o conjunto dos pontos de acumulação de x é representado por x linha tá então ó representado por x linha e é conhecido como derivado de x tá bom conjunto derivado de x é o x linha é o conjunto de todos

os pontos de comoação então a condição a pertencente ao nosso conjunto derivado de x é expressa simbolicamente da seguinte forma então para todo é maor zer ou seja para qualquer raio que eu tomar maior que zero tão pequeno quanto eu queira existe um X pertencente a nosso conjunto xão tal que a distância de X para esse a Vai ser menor do que Y Tá bom então vai existir se eu pegar uma bola aberta vai existir esse cara aqui dentro da Bola aberta tá bom que ele pertence a x e ele é tão próximo de a

quanto eu queira porque eu posso reduzir o meu é tanto quanto eu quiser Ok bom aqui eu coloquei aí uma imagem maior para ficar um pouco mais fácil a visualização então aqui eu tenho meu conjunto x Ok eu tenho o meu centro a aqui eu tenho uma bola de raio é tá que é esse comprimento aqui é OK e eu consigo exibir um elemento x um elemento aqui dentro que ele faz parte de X ok que ele está dentro dessa bola aberta de centro é e ele também está no meu conjunto X ao mesmo tempo

tá bom E esse Y Note que se eu tomar um Y tão pequeno quanto eu queira então se eu pegar esse outro é aqui eu ainda vou conseguir exibir um elemento de X lá dentro o que que isso quer dizer quer dizer que tem alguma sequência de pontos de X ficando cada vez mais próximo de A tá bom por exemplo a gente conhece já demos vários exemplos sobre a sequência 1 sobre n então quando o n vai pro infinito a gente sabe quando o n vai pro infinito mais infinito a gente sabe que essa sequência

vai para Zero Certo então essa sequência xn ela tende a zero a gente sabe disso certo então se eu for pegar um n tão grande quanto eu quiser eu consigo exibir um é muito pequenininho tal que esse 1 sobre n vamos supor que isso aqui é igual a um o n é igual a esse número aqui ó muito muito muito muito grande isso daqui é muito perto de zero muito perto de zero mesmo então eu consigo exibir um é muito pequenininho tal que entre zero e esse número aqui ainda vai existir alguma coisa tá então

é isso aqui que a definição de ponto de acumulação fala pra gente bom alguns resultados consideramos x consideremos x um subconjunto de R e há um ponto de R as seguintes eh afirmações são equivalentes Então vamos pra primeira delas eh o a ele pertence ao derivado de x certo o limite Então esse daqui é a primeira afirmação o a ele pertence ao derivado de x se ele pertence ao derivado de x o limite de xn é igual a esse a ou seja Existe alguma sequência convergindo para esse a já que a pertence ao derivado de

x Ok todo o intervalo aberto Contendo a possui infinitos elementos de X por exemplo o intervalo a - y e a mais é possui infinitos elementos de X aqui dentro tá bom então quanto menor eu for reduzindo o meu raio eu ainda sim consigo pegar um elemento de X lá dentro tá ã segundo o teorema para todo x Real eu tenho que o fecho de x é igual a união do X com o seu derivado tá bom ou seja o fecho de um conjunto X é obtendo acrescentando-se a x todos os seus pontos de acumulação

Ok X é fechado se somente se o derivado está em X por quê Vou mostrar para vocês eu sei que x o fecho de x é igual a x união com x linha mas se x linha está contido em x dessa parte aqui de baixo eu posso excluir essa segunda parte aqui vocês concordam comigo então ó se um tá contido no outro eu posso apagar essa parte aqui que que sobrou que o fecho de x é igual ao próprio x Mas essa não era a definição de conjunto fechado então por isso que esse col horário

ele existe X é fechado se somente se o derivado de x conjunto dos pontos de acumulação de X está contido dentro do próprio x tá bom fácil a gente ver por desenho lembra que a gente tinha se x é uma bola aberta assim eu consigo e o ponto os derivados de X são os pontos que estão interiores a x mas também são os pontos que estão nessa bordinha aqui então Ó eu consigo cobrir esse x tá ó com os derivados de X mas se o derivado de x tá dentro do próprio x Então esse x

aqui ele é fechado ok observação um ponto a de x que não é ponto de acumulação de x é chamado de ponto isolado de X tá então se eu tenho um ponto a ele não é ponto de acumulação de X eu vou falar que ele é um ponto isolado de X tá bom ã para que a pertença a x pertencente a x seja um ponto isolado é necessário e suficiente que exista um Delta maior que zero tá tal que a interseção desse intervalo de A - Y A + Y com o próprio conjunto x vai

ter somente o ponto a lembra que a gente falou que se a é ponto de acumulação na interseção vai existir algum outro elemento dentro desse intervalo que não seja o próprio a vai existir algum x diferente de a no caso de a ser ponto isolado não vai existir nenhum elemento de X eh diferente de a dentro dessa intersecção Tá bom então a gente vai falar que a é ponto isolado de X bom para finalizar essa aula vamos falar um pouquinho o que que são conjuntos compactos ã uma cobertura de um conjunto x contido nos reais

é uma família que eu vou denotar por C que vai ser o conjunto que vai ser os conjuntos com índice eh lambda tal que lambda pertence ao conjunto l e l a gente sabe que é um conjunto de Y de e tá bom ã Então vai ser uma C vai ser uma família é uma família C de conjuntos esse c lâ está contido nos reais tal que o x ele pertence à União desse C lâm medas ou seja para todo xinho pertencente ao nosso conjunto x vai existir algum índice lambda tá bom tal que x

pertence a esse com a a um desses eh desses conjuntos C índice lambida Tá bom então uma cobertura de c é uma família C linha Ok esse c caligráfico linha que vai ser igual a essa família aqui tal que o lambda linha ele é um subconjunto de lambda de forma que ainda se tem esse x com aqui dentro Ok então isso que a gente define por cobertura de um conjunto E a partir disso aqui eu trouxe um exemplo eu tenho esse intervalo aqui C1 C índice 1 ele é o intervalo de 0 a 23 vamos

desenhar ó então aqui eu tenho o intervalo de 0 a 2 aberto Ok vou desenhar assim aberto C2 Quem que é o C2 o C2 é 1/3 a 1 1/3 até 1 então aqui vai est o 1 1/3 ele é menor que o 2/3 então 1/3 ele vai est por aqui tá então aberto aqui vou colocar de outra cor então Ó esse C2 aqui eu coloquei de laranja esse C1 aqui eu coloquei de rosa e quem que é o C3 o C3 é de meio meio é maior que 1/3 e menor que 2/3 então o

meio vai estar aqui ok ficou muito mal desenhado isso daqui acho que esse um ele tinha que estar um pouquinho mais para cá porque se o meio tá aqui o um ele vai tá aqui e o um é Rosa Então vai ser de meio até 9 so 10 9 so 10 é alguma coisa aqui ok 0,9 aproximadamente eh e vou colocar de verde então 1io e 0,9 de verde Ok então forma uma cobertura de uma cobertura desse C aqui ok do intervalo 1/4 a 34 Ok então isso daqui é uma cobertura pro intervalo 1/4 e

3/4 por quê Porque se eu pegar a interseção desses conjuntos aqui cadê o laranja o laranja é até um e o rosa é até 2/3 Ah tá então na verdade aqui não é laranja aqui não é Rosa aqui é laranja né então Ó a interseção aqui então vai ser isso aqui que vai do meio até o 23 Ok então nessa cobertura o l que vai ser o com índice 1 2 e 3 Ok de fato o 1/4 e 3/4 está contido nessa União aqui ok que é igual ao intervalo 01 se considerarmos o L1 o

l linha 1 e 3 nós temos que a subfamília C1 e C3 é uma cobertura ainda desse intervalo aqui 1/4 e 3/4 Ok eu sei que o intervalo 1/4 e 3/4 ele tá aqui dentro desse azulzinho aqui que eu colori Tá bom então esse essa esse essa família aqui ela é uma cobertura para esse intervalo aqui mas Além disso se eu restringir um subconjunto l linha do meu conjunto de índice L eu ainda consigo uma cobertura para esse cara aqui que vai ser o que vai ser a união dessa desses dois subconjuntos aqui desses dois

intervalos tá bom bom continuando nós temos agora o teorema de borelas bag que toda a cobertura desse intervalo aqui por meio de intervalos abertos admite uma subcobertura infinita tá então se eu tenho uma cobertura para esse intervalo aqui eu consigo subcoberturas que também vai cobrir esse intervalo tá bom eh e essa subcobertura ela é finita Ok ã nesse teorema aqui eu coloquei uma estrela porque eu vou mencionar ele daqui a pouquinho tá bom então se a gente considerar k é um subconjunto de R as segas as seguintes afirmações são equivalentes k é fechado e limitado

e se isso aqui acontece toda a cobertura aberta de k possui Infinit subcoberturas finitas então isso daqui vem do fato desse primeiro teorema aqui de bor elas bag Ok três então então se um e dois ocorre tá bom todo subconjunto infinito de k subconjunto infinito de k possui ponto de acumulação que também pertence a k por quê Porque k é fechado fechado ilimitado tá eh toda sequência de ponto de k possui uma subsequência que converge para um ponto de k então se eu tenho uma sequência convergente a subsequência dessa sequência também é convergente lembra disso

então toda ências de pontos de k é convergente e possui e se é convergente possui uma subsequência converge pro ponto e para algum ponto de k Ok por fim o corolário de banas diz que todo conjunto Infinito infinito limitado possui algum ponto de acumulação seria é limitado Ok por mais que ele seja infinito ele possui pontos de de acumulação ã definição agora de conjunto compacto finalmente Vamos definir então o que que é um conjunto compacto eu vou considerar um conjunto k subconjunto de R Ok eu vou falar que o ponto k que o conjunto k

ele é compacto quando ele cumpre uma e portanto todas as condições do teorema estrela lembra que o teorema estrela fala que todas as eh afirmações são equivalentes Então se se eu provo que vale uma automaticamente Vale todas as outras tá então se eu tenho um conjunto que tem pelo menos uma daquelas condições o teorema garante que vai ter todas então portanto esse conjunto ele se chama compacto tá bom bom era isso que eu tinha para falar sobre a unidade fiquem atentos ao cronograma qualquer dúvida entre em contato com o tutor de vocês [Música] tchau Y

[Música]