Geometria Diferencial - Prof. Fernando Codá Marques - Aula 12

o objetivo então dá aula de hoje O que é classificar e as superfícies em compactos R3 em quais quais são as propriedades o caso um é o caso em que a gente vai pedir que a curvatura degraus Seja Constante em constante ou cobertura média constante e os perfis é é compacta né e a priori ela pode ir de repente ter-te gênero e aí pergunta é quais são as superfícies compactos vai três tem cobertura de Gauss constante por exemplo a gente já conhece de uma esfera ou curvatura média constante novamente a gente conhece uma que é

que a espera de fato o teorema que a esfera é a única seja são 22 teremos a o primeiro e o teorema do lehman O que diz que e se você tem uma superfície compacta o Sr e esse você sabe que a cobertura de Gauss é constante Então é se é uma esfera Redonda e a máscara de ir o que raio é para algum r e o segundo teorema que é muito famoso bom e deu origem à todo o mar uma linha de investigação investigação até hoje forte chamado teorema de aleksandrov que Deus que se

você tem uma superfície compacta e do R3 com curvatura média constante é e novamente é se é uma esfera Redonda 1 Ou seja a única única superfície com essas coberturas cortinas é chato então como é que estão geral região metros procuram responder é tentar classificar as superfícies que tem propriedade de curvatura especiais por exemplo aqui no curso a gente a classificou aquelas que são totalmente um bíblicas nos vimos que é um gás perfeito Tem que ser uma esfera um plano de um brilho que tem a ver com as coberturas com pedir que a curvatura degrau

Seja Constante mais digamos assim não é não é uma condição tão forte quanto umbilical porque se fala só sobre o produto quanto que h fala sobre a média up horas coberturas principais poderiam variar de fato não coberturas principais tem que ser constante é uma pergunta então vou tentar a indicar a prova desses dois os dois temos o primeiro teorema o teorema do Lima ele pode ser motivado também como um problema de rigidez você pode colocar a seguinte pergunta imagina que você tem uma uma superfície e do em 3D e ela tem uma primeiro forma fundamental

para o certamente você consegue se você aplica o movimento rígido né Essa superfície você vai ter uma deformação e da superfície S que preserva a primeira forma fundamental o movimento rígido restrito a superfície S tem que ser uma uma sorveteria da superfície é fácil criar deformações né que preservam que preserva uma a primeira forma fundamental que consiste em aplicar um movimento rígido a uma superfície S Então pergunta agora imagina que você tem uma deformação que preserva a primeira forma fundamental Será que ela vende um movimento rígido certo se Será que é possível pegar uma superfície

no espaço fechada e deformar de tal maneira que todas as distâncias são preservadas mas como a deformação que não seja trivial nesse sentido que não seja o movimento resto Então isso é uma conjectura como se sabe ainda e na verdade você sabe nem se sim Se não eu vou anunciar aqui da seguinte forma a conjectura que se você tem um Colocar assim Digamos que é se é uma superfície compacta tudo aqui assim borda tá Olá tudo aqui assim ó a encosta e a Digamos que tem uma superfície compacta e tu R3 e a e digamos

que você crê então mar manda informação em colocar uma ginar o seguinte e a imagina que você tem agora uma família de aplicações que vão da superfície S tinha e três vou ter aqui tá entre - Epson Epson você vai mexer um pouquinho na superfície você quer que isso seja uma variação da original Então você pede que o f-zero seja e a identidade né Ah tá então Digamos que a essa FT ela vai ter uma vai ter uma imagem que a FT o Gerson vamos supor que FP é como uma aplicação que vai da superfície

na sua imagem é uma isometria de superfícies e a passar essa é uma pergunta é conjectura de esquentam e vai existir uma família de movimentos rígidos e a o ats o g31 E aí preço os movimentos rígidos e compra o pedágio aqui e essa deformação é dado de fato pelo movimento resto é E aí Tá certo é a coisa que todo aqui toda a superfície é regida serviço diria assim toda a superfície fechada ou compacta a compacta um dois três e é Ride e onde Rios daqui no sentido isométrico ele não é possível então de

formar uma superfície de uma maneira não trivial e ao mesmo tempo preservar todas as instâncias eles são conjectura não se sabe ainda a afirmação é que segue imediatamente do teorema do clima é que a esfera Redonda assim é rico e esse se a superfície é se fosse uma uma esfera de raio R é imagina agora que você quer fazer formar a esfera é uma maneira estranha aí mas preservando as distâncias se isso acontece que que você sabe sobre essa nova superfície s t u e como e vai ter cobertura constante porque você está supondo que

a superfície s t a imagem isométrica da esfera Redonda Portanto tem que ter a mesma cobertura de Gauss isso implicaria que a curvatura e graus da ST é igual curvatura degraus da essa que a constante autorama do Lima Diz que SP é uma esfera Redonda 1 o que tem o mesmo raio claro que a conversa é mesmo então não tenho não existe e não tem como deformar a esfera preservando distâncias a não ser por uma translação e rotação E aí então o livro é encrenca é a chamada rigidez o isométrica me espera o que falta

é possível provar que toda a superfície de curvatura de Gauss positiva também é rígida nesse sentido mas na aula de hoje vai mostrar isso só para baixar a e vai ser um grande problema tá que ninguém tem nenhuma ideia de como como resolver a é muito bem estou nessa explicar Qual é a ideia então da demonstração do teorema do Lima demonstração que eu vou dar aqui vai fazer o uso de um resultado do ryllberth que é o seguinte é um lema do Rio bertin o que diz o seguinte quando você tá olhando as suas PCs

aí você vai analisar as duas corretoras principais k1 e K2 em pó Digamos que eu escolho com a única dois ou até fazer essa conversão antes de anunciar o e o teorema bom então vou escrever as coberturas principais de maneira que o k1 seja sempre menor igual a 2 sobre ficar dois vai ser a maior cobertura principal e o carro vai ser a menor a gente sabe aqui aqui se eu faço essa essa escolha Essas funções talvez não sejam diferenciáveis mas certamente são contínuas k1 K2 e funções a os continentes são diferenciáveis exceto se realmente

nos pontos umbilicus a gente já viu isso aqui no curso Então lembra do Rio 2013 seguinte e imagina que você tem então os PCs aí você encontra um ponto P da superfície s com a propriedade que é a maior curvatura principal assumir o máximo o K2 DP é o máximo o italki a menor curvatura principal assumir o mínimo ao mesmo tempo no mesmo. Pé e E aí E aí no ponto P simultaneamente você tem aqui a maior cobertura principal são no seu valor máximo e a menor que o ator principal some seu valor mínimo E

aí suponhamos também que a curvatura degraus em.pa estritamente positivo você vai ficar claro com a prova bom então conclusão é que é O que é um ponto de bico o médico e o seu um cão IP = 2 1 E aí e já profissão Beleza então vamos fazer aqui a demonstração é a demonstração digamos assim vai ser a meio que fazer um os acusa cálculo não vou deixar indicado que a demonstração a ideia que você tem esse ponto P né E aí você supõe que a no ponto P A sua superfície o Digamos que o

ponto P é origem Então posso por o que o pé origem eu vou desenhar isso aqui e a superfície passa por aqui e vou supor também que ela tem como plano tangente o plano é um e dois aqui tá vetor é um Tô fazendo uma rotação do espaço e eu posso Outro. P A Origem que o plano tangente à superfície sem p é o plano Geraldo pelo 1 e 2 e o vídeo mas é a e posso escolher também posso porque o erro e a2 são as direções principais um e também fazendo uma rotação é

minha dois são direções os principais em pé se eu faço isso então a gente pode usar uma parametrização gráfica da superfície sobre o plano horizontal então escrevemos para tomarmos a parametrização a gráfica Ou seja a superfície essa então vai ser descrita pelo gráfico de uma função f o x juve vai ter utf-16 OK e agora a ideia olhar para efe e explorar a hipótese sobre o cão e sobre o Cardoso e vamos lembrar como é que ele faz isso né como é que a gente Analisa uma superfície que é dada por um gráfico você começa

calculando se você tem uma série de forma os né Oxe isso por exemplo e vai ser 10 derivada de época com respeito a uh uh o XV vai ser o 01 F derivado com respeito a ver é anormal vai ser uma normal no ponto P vou pegar como sendo a direção vertical é 31 1001 se eu quiser escrever então normal agora apontando para cima do gráfico é fácil analisar fazendo o produto vetorial desses dois vetores isso vai dar vetor que assim menos é fio - FV, um esse vetores reparem que ele é ortogonal ao x

Will XV e se divertir pela Norma meu nome é isso aqui é bom Então essa é esse é o criado não é Jesus XV n põe a gente quer calcular a segunda forma fundamental Então você calcula o chi soo vai ser o 00 f u c calcule o x uv100 s eu vou ver E aí xv1000 a viver e aí lembra aqui primeiro com a essência da segunda forma fundamental era justamente o x ou, e nem ufsx Uber vergonha ele e o gelo é e o XV de vergonha eu quero encontrar os coelhos em sua

segunda forma fundamental porque isso aqui é um enunciado sobre a segunda fundamental falando sobre as coberturas sobre as corretoras principais e vocês fazem a conta aí deixa eu escrever o resultado e a e não deixa eu escrever o e o resultado e a gente fica como é mais fácil fazer a conta não ué vai ser justamente o f oo / essa raiz quadrada e analogamente Oeste foi desculpa com esse Desce aqui tá são dois apps diferentes UEFI da função e o efe que aparece aqui tá Talvez seja um pouco tarde demais para pagar a o

pé e a deixa eu dar uma referência para isso e para esse setor é uma treino tem nós tem no livro de uma freada mas também tem no livro do motel e rosa e E aí eu acho que acordo sensor sono eu quero no livro do Montiel e do e do Ross também tem a demonstração que eu vou esboça aqui pelo menos Vitória aleksandrov 18 anos e a bom então essa vai ser o FV sobre essa raiz quadrada em um só para não confundir esse fsf aqui tá vou botar um chapéu aqui tá E aí

o que o último coexistência FGV sobre essa raiz quadrada de E aí E aí bom Então essas são as formas e por outro lado se você faz análise no ponto P como a superfície é dada pelo gráfico de F E como a superfície passa pelo. P E tem plano tangente dado pelo vetor vertical é fácil ver que e a gente tem o seguinte é UEFI na origem a 01 que passa pelo. P as derivadas DF também são 10 origem e aqui simplesmente está dizendo que o plano tem gente é gerado pelo é muito gorduroso Oi

e a derivada segundas na origem se você olha para essas fórmulas aqui e vamos dar os com incenso da segunda forma fundamental só que eu já fiz a hipótese de que o é ruim ou é dois são as direções principais oshizu e na origem é um e o XV na origem ao é dois então significa que o UF olá uh e na origem vai ser o é chapéu né que é o tema da segunda forma fundamental para quieta também era - n para que escrito assim Eu acho que eu peguei um é dois como direções

principais eu tenho que o - BN de um é calmo é um e menos de n Bom dia dois ficar dois é 21 é chato então isso aqui vai me dá exatamente o k11 a uf de uv na origem vai ser zero oi lá o que novamente isso é o menos dnx1, XV mas a origem esses vetores são ou é dois que estão autovetores né como são ortogonais aqui da série A Oi e o FV na origem é o Cardoso Oi tudo bem Oi agora que a gente faz a tentação seria fazer o seguinte o

como eu sei aqui no ponto P A curvatura principal somos seu valor máximo a tentação seria derivar gordura no ponto que tem alguma curva quando ele vale a pena que 0 no ponto que ela tem um ponto de Março EA segunda derivada tem que ser menor igual a zero também porque por ali passa um ponto de Março e explorar as relações que sai daí mesma coisa por calma em conta que o Cauã com a dois nem sempre são diferenciados Então você trabalhar com calma direto não vai funcionar então o que você faz o seguinte eu

explicar aqui vamos fazer com um cá dois primeiro e a gente sabe que no ponto poe2 ele é e a direção principal é mas é o que eu posso fazer o seguinte eu vou estender esse esse campo é dois para o campo o XV sobrenome XV é a minha observação e seguinte por hipótese né E se eu pegar a segunda forma fundamental o e avaliar no vetor XV sobre Norma de XV e em qualquer ponto da superfície o Digamos que eu vale isso aqui num certo. O que mas só que por um lado é menor

igual que a maior cobertura principal ela tem um vetor unitário né lembra que a maior curvatura principal Era exatamente a maior curvatura é normal né e o Cauã na menor então isso aqui é sempre menor igual o que que a maior curvatura principal naquele. o que por hipótese é menor igual o que a maior curvatura principal IP certo Oi e aí analogamente agora observa em que a curvatura segunda curvatura principal Ipê ela é Exatamente exatamente aquilo ali ó E aí e em pé G1 é porque em pé eu XV ou é dois então A ideia

é ao invés de trabalhar com a curvatura principal K2 Você trabalha com essa função aqui o que ela ainda vai ter o máximo em pé não ter vantagem agora que ser diferenciado o sexo é que os carros são diferenciáveis os conhecimentos a segunda forma fundamental são diferenciáveis certo e para o carro você você olha para segunda forma fundamental aplicar o X11 é isso aqui é sempre em qualquer ponto é maior igual quer menor curvatura principal por e pode ser maior igual que é a curvatura principal IP e é aquela função hyper-v E aí E aí

bom então vantagem que agora essas essas duas funções são funções diferenciadas certo bom então vou agora dele vai suas funções Oi e aí vou fazer o seguinte a a do é dois eu vou derivar só o longo da curva a ao longo da curva V = 0 a escrever isso aqui alguma alguma tá claro isso aí ou não E aí eu estou usando o que a o K2 é o sup a segunda forma fundamental sobre todos os vetores Norma um e o Cauã a única e o ok então agora a ideia que eu vou pegar

uma curva vou restringir aquelas funções a certas curvas vou derivar e vou calcular a segunda derivada e ver que relação e sai daí então vamos vamos dá nome aqui e os bois né isso aqui eu vou chamar de H2 Essa vai ser H1 bom então foi Vou definir h2tuga ser Então aquela pe XV sobrenome de XV e XV sobre nova XV calculado na curva 1,0 porque eu tô olhando as coordenadas a curva 1,0 queria e a culpa que né Ah tá o e o e aí eu vou trocar os papéis o H1 o dever vai

ser igual a essa função x um sub Norma de x 1 x o sobrenome de x100v tem a superfície que tem planta gente horizontal ela tem essas duas sessões a 10 a 0 V1 Ah tá e é suficiente olhar para essas duas funções então gente conclui que e a pela análise né que a gente fez ali pega aqui e a pagar dois linha de 0 a 0 e o H2 duas linhas de zero é menor igual a zero que a função H2 vai ter o máximo na origem a a&h um alongamento para entender várias zero

e segunda derivada maior gozar um gráfico da H2 assim e o gráfico da onça Tá bom vou fazer só pagar dois aqui depois a gente adivinha um resultado para pagar um H2 tem uma fórmula o que sinto de ver né eu posso tirar a norma do XV o quadrado aqui para fora e aí eu fico com segunda forma fundamental na direção XV você é justamente o o g chapéu G1 bom então se olha para as expressões que aparecem ali já chapéu tá ali eu vou ficar então com o seguinte expressão a norma do XV da

Lei também é um + FV o quadrado E aí Não fica assim não é um + FV quadrado que vem daqui depois eu tenho FGV raiz de um mais Ah tá certo isso E aí Ah tá vovô vou escrever essa forma aqui para ficar mais simples de fazer a conta e a gente tem isso RDV Oi gente vai calcular a derivada a primeira derivada Vai dar vai ser a forma vai ficar um pouquinho longa mas a segunda vai ser sempre porque a gente vai restringir a origem não deveria ter apagado aqui a Peppa a sua

primeira vai ser um pouco longa porque eu tenho que derivarem em qualquer um né é a segunda a gente segunda vai ser mais simples vamos fazer a primeira que bem rápido você deriva Isso aqui vai ficar o que ficar menos um mais ver o quadrado ou menos dois duas vezes efe o derivando com respeito ao né não aparece o OK aí vem o resto se eu errar aqui por favor me dá eu corrijo tá acho que é isso aí primeiro termo agora vou derivar essa expressão aqui e você com menos um meio disso aqui e

a menos três velhos e vai sair aqui duas vezes f u f u c levando com respeito ao lembrem f v f d u Eu repito os outros e G1 e finalmente o deriva aqui é mas e deu quadrado menos um meio a FGV o o Ah tá e a gente cálculo agora a segunda derivada mas antes que você se assustem lembrem que a gente vai precisar nesse modelo nada só na origem se dá conta vai ser muito mais simples é porque eu sei que na origem às primeiras derivadas da herpes se anulam eu tô

todo termo tem que sobrar uma primeira derivada de F vai desaparecer por isso que a conta vai ficar mais simples poderemos novamente com respeito ao seu olho para essa expressão aqui e tem mais se ver aqui né bom então derivada tem que entrar aqui qualquer outra derivada que eu tomar vai sobrar o FV que vai ser no lá na na origem que entrar aqui fica FV ou mais aí eu aqui vai ser zero então isso aqui é menos um tem 12 ali que com FV o o quadrado e é isso Ah tá desculpa eu não

tá certo mas vai se ver eu lembrei que a 0 né eu falei precisa fazer esse tempo derivada tem que entrar aqui mas o five-0 Hoje Eu Não Preciso olhar poder tempo agora por segundo a primeira derivadas estão aqui né então quando ele vá com respeito ou vou ter que levar aqui eu vou ficar com menos um só que é um f1oo ao quadrado A Origem e aqui eu tenho um também fico com FGV A Origem E aí o deriva aqui fico com menos um F e a quando ele vai aqui com respeito a um

né vai aparecer novamente vai chover o que 0 sistema também não existe um a sobra o último né para na hora que eu de levar o último aqui E como eu tenho esse quadrado eu não preciso diferenciar nenhum deles né porque quando a diferenciar vai sobrar uma derivada primeira então só precisa dele vai esse último tema aqui isso aqui dá um eu fico é ver G1 Oi e aí agora a gente adivinha o resultado para praga um analogamente e na longamento a primeira a segunda derivada do H1 vai ser a basta trocar os papéis de

viver o - FV ver o quadrado é fio é mas f u u a viver E aí o placar de 2 a 0 sei que é menor igual a zero e o H1 duas linhas eu sei que é maior Boza bom Então pergunta vocês que a gente faz agora E aí E aí o que a gente faz com essa aqui ó e as derivadas segundas são exatamente as coberturas principais é o Kauan Cardoso que eu quero mostrar que são iguais objetivo era mostrar que o ponto é um bico mas eu tenho esse termo aqui eu

não sobre o Paulo que nenhuma informação o que é que eu faço a entrar manda outra né para que eles cancelam dessa derivada é igual a essa aqui conversando tá significa que isso implica traindo que o H2 duas linhas de 10 - só colocar um menos aqui fica menor igual também vendo vai dar um dos meus 10 é só que é menor igual a zero as habilidades para que implica aqui pela fórmula ou menos f u ao quadrado é ver mais FV ao quadrado f u o menor gozar só que na origem é em Tokyo

fuel 1 e vai viver o K2 Ah tá dois é colocar um e eu posso escrever isso que forma se eu colocar a cobertura de Gauss ga e em evidência como é que eu fico com K2 - k11 Olá seja cobertura de Gauss x essa diferença o menor igual a zero Mas lembre das hipóteses você pode disseram que a curvatura de galos em P era maior que zero O que é o rio Batman o tio k2nb era o máximo a ekika um em pé é um minuto e eu queria mostrar aqui ó um Descontão bíblicos

e como a cobertura de galo assentamento positivas implica que o CO2 é menor igual que o carro mas vou conversar um K2 era o maior vamos conhecer iguais a o que é que eu vou te mostrar o e a cursos podem ver a demonstração não é lá muito geométrica né mas não tem nada sofisticado só fazer análise usar e o saco é muito bem então que aquela coincidência né só pode acontecer em Pontos públicos Ah tá vamos agora fazer a prova do teorema do Líbano o produtor a ideia usar o lema do rilber o ponto

Agora que como a superfície é é compacta e as coberturas principais a maior EA menor são funções conte-nos a cada 8 por exemplo assumir o máximo em algum lugar não vai existir um ponto P em expe tá o que ficar 12p é o máximo um bocado dois viés e tá certo mas observa em que por hipótese a cobertura de Gauss é constante e e sonhamos o que o carro é uma constante c como o carro produto das coberturas principais e significa que com a menor cobertura principal tem que ser cê sobre sobre K2 ao como

Cardoso assumiu o máximo a gente está invertendo aqui o calma sumiu mesmo São Paulo o k1 em pé é o mínimo o que está faltando para aplicar o rilber G1 o que a curvatura maior quiser por quê que isso acontece E aí e tem que ter em algum lugar exatamente a gente sabe que todos os perfis e tem que ter um político nisso um ponto de cobertura de Gauss é estritamente positivos só que como por hipótese estou supondo que ela é constante né e essa quantidade tem que ser positivo certo então como o s tem

o ponto é ético essa constante ser é positivo on Oi e aí o ryllberth implica o que no ponto P as coberturas principais conhecido em certo no ponto tem um bico aí a gente ainda não mostrou que é mais fera e eu para mostrar que amanhã eu vou mostrar que ela é totalmente umbilical E aí você usa faz um sanduíche aqui seja é mas dado dado qualquer querem essa e agora diferente você sabe que vão calmo de que com certeza menor igual tocador de que convenção mas o K2 de que é menor igual colocar 2mp

porque aquele assumiu o máximo e o carro de que maior igual que o Cauã emprego que aquele assumiu mesmo só que eu já mostrei que esses números são iguais a e logo quem sabe que o k1 de quer é igual ao K2 o que em todo o ponto da superfície seja superfície é totalmente um bíblica isso implica que eu mais quero e ela é compacta não pode ser que o outro positiva não pode ser um plano E aí E aí bom Então essa é a demonstração o teorema do Líbano II em alguma pergunta sobre isso

E aí E aí E aí E aí é doida não o Ok então vamos falar um pouquinho sobre o aleksandrov deixa eu ver o que que dá para dá para falar aqui novamente a minha demonstração vai ser inspirado naquela que tá no monte ao rosa e G1 o ok deixou planejar porque eu vou fazer aqui é a demonstração é baseada nas nas formas chamadas formas de minkowski que eu vou escrever aqui o teorema e não é demonstração do aleksandrov demonstração Alexandro ao no final eu posso comentar como é que era é foi totalmente inovadora na

época que era completamente diferente e depois foi usada para muitos outros problemas mas ela precisa um pouquinho de é um pouco mais conhecimento de análise equações diferenciais então vou fazer essa outra aqui que é mais acessível para esse curso depois eu comento Qual foi a ideia do aleksandrov é tão as formas de minkowski para seguinte que se você tem uma superfície S A o compacto e a continuar a bom hein aí três então Digamos que e eu tenho uma superfície assim o s E aí vamos simplificar isso porque não há como é que eu escrevo

isso Oi Flávia pode ser porque a origem está em qualquer lugar enfim você pega esse campo aqui que é o campo e o campeonato pelo vetor posição Ah tá Oi e aí as identidades são os seguintes bom então a primeira diz que a integral é sobre a superfície aqui novamente a compacta se engordo que a gente chama de fechada o integral de um mais produto escalar x anormal desde a curvatura média = 0 o segundo e a integral sobre a superfície DH mais xn vezes cá Barbosa e sabe tão umas formas chamadas identidade de minkowski

em toda a superfície obedece isso aí e por exemplo se você pega uma vamo fazer uma um exemplo aqui pega uma esfera Redonda né e aqui você pode pegar normal para fora ou para dentro porque Lembra que você troca o sinal doendo troca o final do H também um produto é o batom com altura média fica bem definido Só se eu pegar por exemplo normal para dentro Oi aqui é uma esfera de raio é um por exemplo cobertura média vai ser um Oi passa aqui tá me dizendo que cobertor posição por outro lado se eu

pegar um ponto x aqui E aí e o x interno ele vai ser menos um que o x aqui o próprio menos isso aqui é - 1h é um mal tá me dando que integral já era só Ah mas geralmente isso vale em qualquer superfície e tem uma versão trocando um pelo h e o HP do teu carro Oi ok e a gente vai usar essas identidades e E aí eu vou colocar os ingredientes eu vou fazer a prova do aleksandrov usando esses ingredientes e depois com o tempo que sobrar eu falo um pouco sobre

a a demonstração do dos ingredientes né então o primeiro são as formas de minkowski e o segundo eu te pegar aqui a constante certa fica 3 em Santarém mas também do aleksandrov Digamos que você tem uma superfície compacta é contida e não é 3 e sem bordo eu vou pedir que a curvatura média dela seja estritamente positivo e aqui eu tenho que dizer qual é a convenção eu tava conversando aqui e eu vou escolher e normal para dentro nessa renunciado o quê O que significa então que em cada ponto da superfície o vetor com o

autor a médio vai apontar portanto para dentro para dentro da superfície S A a pergunta você Será que poderia acontecer de uma superfície O que é propriedades que bateu com altura média aponta sempre para a forma E aí E aí é uma novamente Não porque toda a superfície compacta tem um ponto um bico aquele. Umbilico ler eu tô com uma altura média tem que apontar para dentro ó E aí então se eu quiser que a cultura melhor seja Positivo eu tenho que escolher normal dentro tá bom essa condição aqui ela é digamos assim mais flexível

porque a sua superfície não precisa ser um o valor de como nesse desenho eu dar um outro exemplo de uma superfície de cobertura média positiva se você pega é um tal de revolução E aí o quanto é calcula as coberturas principais um torno de evolução né você vai ter dois tipos de curvatura uma que aquela a curvatura principal do paralelo né E a outra e a curvatura principal do meridiano e a curvatura média média das duas tanto fez escolher esse raio muito muito pequeno né como a curvatura principal que vem daqui a um sobre ela

vai dominar e e portanto um Thor muito fino tem cobertura média Positiva em todos os pontos ok Oi ok e a cobertura média positiva permite que as superfícies sejam em Thor enquanto que curvatura positivo implicava que ela era uma eu vou espera pelo teorema de Gauss Bonner e não tem mais tipos topológicos que aparecem aqui e enfim mas essa superfície vai ver limitar um domínio ou Mega Então vou pegar aquela região limitada do r31 e cuja Fronteira é essa e eu teorema diz o seguinte disse que o volume dessa região e é sempre menor igual

que um terço da integral de um sobre a curvatura médica bom e Vale igualdade e vale a igualdade e só ser e essa é uma esfera adora e essa otária amador do aleksandrov o geômetras adoram esse tipo de desigualdade né que é uma desigualdade que compara duas quantidades geométricas de natureza diferente o volume da região em roubada a outra é a integral dessa curvatura e sobre a superfície Oi e o ponto importante dessa dessa desigualdade que ela não é uma desigualdade qualquer ela mande igualdade aí que a gente encontrou exatamente o melhor constante poderia colocar

no lugar de um texto 1 milhão aqui e ainda seria a verdadeira certamente 1 milhão não é o melhor possível um terço a melhor possível porque é a constante da esfera Redonda você pega uma é uma esfera de raio R você sabe que o volume vamos lembrar é quatro terços de Pi é o cubo a curvatura médium é um sobre r e a área da superfície é quatro pi R ao quadrado vocês podem ver que dá exatamente o caso da da igualdade em quanto tempo a desigualdade geométrica em que a constante é melhor possível você

já é realizada em alguma superfície você disse que a desigualdade é ótimo E aí e o Shar Pei em inglês e O que é e em alguma palestra aí vocês verem se alguém dizendo alguém perguntando se essa desigualdade é Sharp E aí o que significa manda igualdade que você encontrou exatamente já a melhor constante O que significa que você realmente entendeu problema não bom então esse é o segundo ingrediente vamos fazer agora a prova do aleksandrov on a prova do e do aleksandrov consiste em combinar então esses dois extremos Oi e a essa altura vai

ser simples porque que você vai fazer aqui vamos lá e você vai supor Então o que curvatura média quantidade a h constante e estragar constante que eu posso fazer então lá E aí é uma dificuldade do Alexandro envolvem integral de um sobre Agar né mas o h constante Então agora eu posso manipular posso tirar da integral particular posso colocar ele na integral aqui se você tem que como H constante se você usa a forma do mikovski número um e você vai implicar que a integral de um sobre h e na superfície é menos a integral

e da função xm Tá certo é só dividir por a Gália em qualquer pessoa que lembra você tem uma superfície S que a fronteira de um domínio Ômega aí tem um campo x aqui é o menos e nem exatamente a normal para fora O que é que se lembra eu quero mandar divergência isso aqui é exatamente o termo de bordo do teorema da divergência Eu quero uma divergência disso e você pega um campo qualquer a integral da divergência e do campo e o mega e é igual a integral o produto interno do campo pela normal

para fora e a fronteira geométrica Oi de novo é normal forma certo E então como menos ele é normal para fora isso aqui é exatamente igual a integral sobre a região a divergência do campo x 1 é só que o campo x era o campo posição né Campo muito simples analisar e é isso aqui é o X1 X2 X10 enquanto que a divergência de x 1 e é 3 lá o tratamento Traz logo Oi gente concluiu que a integral de um sobre h e é igual e a três vezes o volume do Mega o Ou

seja a gente tá exatamente no caso de igualdade do Trono anterior e o caso a igualdade dizia que essa mais fera redor e acabou demonstração é bom então pela Danone aqui chamado de problema uma cama 2 E aí bom então aqui eu usei o teorema um né a e agora vou usar o teorema 2 é só que diz que s e é uma esfera Redonda ah tá ah tá é uma dúvida a o ok então essa é a prova do aleksandrov usando essas formas demikovski essa desigualdade aí como que tá fazer a prova do teorema

2 agora tá em qualquer ideia a prova do teorema 10 e uma pergunta até agora tô indo é a seguinte a gente tem a nossa a superfície s o que a fronteira de uma região um para cada. P aqui nos perfis eu tenho uma normal Oi e aí que eu vou fazer eu vou considerar a aplicação efe que vai pegar um ponto P é uma distância até eu vou andar partindo DP na direção da normal distância até esse aqui vai ser o p mas ter ele de pé a minha represa só você tá andando então

uma distância constante na direção da normal ó é aquela tempo texto produz uma outra superfície aqui O que é chamada de superfície paralela original uma superfície que tá distância constante os perfis original talvez ief aqui ele vai estar definido então no produto que mora na superfície e o te vai morar num o intervalo do tipo zero a E aí e eu vou dizer quem é o ar e eu pergunto para vocês eu quero pegar um lá O que passa com que a imagem da F cubra todo o momento você quanto que eu tenho que que

andar a direção da normal para ter certeza de que eu vou chegar em todos os pontos aqui da região Oi como é que você encontra se a e agora pergunta é se existe alguma a natural que vai me dar essa segurança de que eu estou passando por tudo E aí E aí pode pegar diâmetro Sim vamos fazer uma coisa em termos das contas coberturas o diâmetro funcionaria também mas eu quero resolver as escovas duras é a ideia seguinte imagina que eu tenho um ponto que aqui e eu quero ver se ele é a imagem de

alguém por esse processo o que que eu faço se alguém tem alguma ideia de como fazer isso tô com meu ponto que aqui como é que eu sei da onde ele tá vindo e de maneira geométrica E aí é uma oportunidade essa que está sugerindo de pegar a distância mínima né como é que eu chego nessa distância de maneira geométrica o outro lado mais férias né você pega uma esfera pequenininha aqui em torno do que você vai inflando essa esfera aqui e até que ela toque pela primeira vez na fronteira da superfície é pega então

a menor esferas entrada a maior esfera centrada em que que tá contínua mega essa esfera vai ser então a tangente aqui no ponto de interseção da e quando você faz isso você vai ter andado uma distância D a e agora eu pergunto qual é a relação de de com as corretoras a esse. e eu tenho quando eu tenho duas superfícies e uma tá do lado da outra né que é que eu posso falar sobre sobre a segunda forma fundamental por exemplo de um e de outro a cobertura de cima é menor vocês devem ter feito

algum exercício e sentido a curvatura da da esfera eu sei calcular ela é totalmente um bíblica escova atores principais são uns o bebé é tão conclusão que essa curvatura principal aqui tem que ser maior ou igual que todas as coberturas principais naquele ponto x aqui em questão em particular tem que ser maior igual que é maior Ou seja que eu provei por aqui essa distância dei aqui ela é sempre menor igual o que um sobre a 21 Ah tá Se eu considerar o seguinte subconjunto é a chamada Lander e vai ser um subconjunto disso daqui

tá bom qual seria o ar voltando Aquela minha pergunta O a tem que ser o maior desses números aqui né é isso e a E aí é para me confundir como é que é Tá certo isso e enfim sobre o conjunto que eu quero colocar o seguinte você pega o conjunto de todos os p eu te acho que vai ter o pé e te faz que o te tentar entre 0 hein E aí Oi e aí eu boto um sobre K2 de pé Tá certo concordo com isso aí Oi e aí o fêmur que a

imagem e o argumento que eu fiz emprego que a imagem desse conjunto contém o mega Tá certo e a Clara só já aumento aí E aí é muito bem bom então aqui teria que ser o você quisesse dar um lá tem que ser o maior que todos esses números né teria que seu máximo de um sobre Cardoso Filho Ah mas então eu sei que se eu pegar se eu me restringi a ter nesse intervalo aqui agora eu tenho a certeza de que eu vou cobrir todo mundo já é tão simples que é o seguinte eu

vou apagar seu filhos não fazer aqui bom então esse emprego aqui e o volume de um mega e tchau que eu quero estimular né e é menor igual que o volume a imagem de lama Tá certo Oi e aí o que vocês precisam saber né de integração de superfícies é que o volume da imagem de um conjunto é sempre menor igual estou usando uma F né que vai daqui não é três mas sempre menor igual que a integral sobre Holanda é que é um subconjunto do S cartesiano 0 a e do jacobiano DF ó e

aqui você integrem essa dia inteiro E aí e não dá exatamente igual porque você poderia ter um ponto aqui que vem de duas dois lugares na verdade essa isso aqui pode tá dando mais área do que você espera não precisa ser injetiva né mas com certeza é maior igual que o volume da da imagem a e agora então pergunto qual é o jacobiano da EF a Efa explícita e como é que a gente cálculo jacobiano DF E você faz o seguinte você escolhe uma base ortonormal do tangente da superfície e pegar é um e dois

o contido no tangente à superfície base ortonormal E aí Oi e aí você tem a É ué três vai ser então a direção dada pelo e a variável T né é mas aí você pode pegar esse é um é dois também de tal maneira que eles que eles sejam virar são as principais Então você vai saber que o - DN do é um vai ser o Cauã é um e o - BL é do é dois vai ser o cadarço um é dois agora quando olhar para derivada da da F é aplicada ao vetor é

um Oi eu queria ver sua aqui né na direção tá variando o P na direção é um você vai ter é um o Master vezes a derivada de n na direção é um só que vai me dar um menos cá um ter é um e a derivada de F na direção é do é dois vai ser na longamente o é dois mais ter TNG 2 O que é um - K2 t2i E você tá pensando então a eu tenho superfície S vezes o intervalo 0 a né e eu escolhi a base a1 e a2 aqui

o que você pode pensar não é três como sendo o vetor que corresponde a variar o que é é chato é mas se você deriva com o espírito a a terça depressão aqui o que você tenha o seu ele a derivada de f e na direção dia três Esse é o Enem é uma ela transforma essa base ortonormal na base formada por derivada de F transforma essa base aqui na base que é o 1 - k1t é 11 - k2t é dois n e o jacobiano exatamente o é o valor do solta do volume desse

paralelepípedo é importante quanto que dá E aí e o jacobiano DF é exatamente bom essa base ortogonal você simplesmente multiplicar os comprimentos eu fico com um menos k1t vezes 1 - cadastro e e esse é o eu já coberto e vamos voltar aqui para para desigualdade portanto a gente sabe que o volume de um mega e vai ser menor igual que a integral sobre Holambra desse jacobiano é que eu dependo de X né é a lembra quem é o lâmpada não posso agora usar o e o Billy né e você lembra quem é o quem

é Holanda né para cada Ponto Frio ter vai até esse valor aqui eu posso primeiro integrar em ter você para que integral na nos perfis ó e aqui agora vou entregar em ter onde o tempo varia de 0 a 1 sobre a 2 X 1 a expressão aqui ó tá pegando inteira depois encher a Tá certo é bom agora a gente expande isso daí né só que é igual a G1 E se eu fizer a expansão e eu vou ter um menos até aparecer a soma do Cauã com a dois que duas vezes a cobertura

média vezes ter Ah que pena mas o produto que é exatamente a curvatura de Gauss é E aí E se eu quiser agora escrever isso só em termos a cobertura média que que a gente faz E aí E aí E aí é essa cabeça aqui é pagar o quadrado a maior igual que cara e isso eu vou por causa disso você vai ter que ir e como e aqui tá bom e vai ficar menos k1 - K2 né e fica menos lá e vai ficar menos a soma dos dois Tá certo é mas a gente

tem que pagar o quadrado é maior igual a carne e isso acho que eu posso usar essa aqui direto né então estão portanto é menor igual que é bom né no mesmo sentido é isso daqui se coloca no lugar de carro ao quadrado eu posso escrever isso tudo como um quadrado é o quadrado de um menos ter vezes cobertura média do X1 eu concordo com isso aí ó eu acho que vai nascer vantagem escrever com quadrado mas tudo bem mas só que ainda não tá escrito só em termos de cobertura média por quê a caducar

dois né eu faço novamente a pergunta se eu quiser escrever isso em termos a com outra médica que eu faço Eu lembro que o K2 era maior cobertura principal essa aqui é maior igual que é médico que lugar Ah tá é portanto um sobre k2x é sempre menor igual que um sobre HD e com certeza eu posso aumentar o intervalo ou tem um Mundo Maior o canal sobre essa é que fica integral de 0 a 1 sobre hdx é que eu vou explodir de novo tá - 2T x mais T2 E H 2 X 1

G1 que estão acompanhando aqui ó E agora tem que calcular isso aí lembra que o HIV positivo tá essa foi a hipócrita aleksandrov né ela cobertura média Positiva em todos os pontos agora expandindo isso eu tô usando só dois quadros aqui né E aí e já tá terminando que eu vou apagar aqui E aí é tão expandindo aquilo ali que a gente mostrou foi aqui É sim e o volume de um mega é menor igual e quanto que dá tô integrado em S A e agora vou calcular aquela integral é o primeiro tempo integral da

função um você vai me dar um sobre h e depois tem o integral da função pena O que é o teu quadrado sobre dois permite o teu quadrado sobre dois então fico com a 1 sobre 2 h u Quadrada Oi Tatinha ou menos dois com multiplicar 1 sobre 2 ao quadrado eu vejo vejo a galera tem uma Galina a e por último e o teu quadrado primitivo até o cubo sobre 3 bom então fico com uns u3h ao cubo se multiplica a pagar o quadrado né E aí o ok vocês fazem conta esse tempo Cancelar

esse que exatamente um terço a integral de um sobre h a taxa de igualdade do e do aleksandrov Oi e aí o importante é analisar o caso da Igualdade que a gente vai usar né que acontece a gente vai igualdade se tiver igualdade que vai ter que ter igualdade em toda a cadeia de desigualdade a gente usou na prova em particular a gente vai ter igualdade por exemplo aonde é e aqui por exemplo a nossa E qual é o passeio do capô o h o quadrado né eu usei essa desigualdade e se vale a igualdade

no final É sim e vale a igualdade no final [Aplausos] nós temos que tem que valer igualdade aqui também a todos os pontos Ah mas isso significa que ela é totalmente um Bilica e o lobo é se é totalmente Cumbica a importância o + Fera Redonda 1 E aí Isso aqui é fácil ver que vai te implica que O Cauã é igual Cardoso Ah tá já acabou a a demonstração é uma pergunta é só ficou faltando justificar essas duas formas aqui podem não vai dar tempo de fazer elas podem ver isso novo no livro do

motel Rossi O E aí daí usar o teorema da divergência Será que são identidades a prova pode olhar no livro é o oral teorema da divergência é G1 E aí é bom pra finalizada que eu só comentar Então qual foi a ideia do aleksandrov para provar esse teorema O que é uma ideia lá extremamente importante geometria diferencial e é chamado à reflexão de aleksandr onde é é isso aqui tá baseado chamado princípio do Márcio o princípio do máximo diz que se você tem a duas superfícies PS1 e PS2 e é uma do lado da outra

no ponto P E se a curvatura média da f-1 ou constante mesmo a Constância do cobertura média tá esse dois então o S1 = X2 que o princípio do máximo e eu já tinha comentado aqui que esse princípio valia para a superfície os mínimos que é o caso em que o h0 você tem duas pessoas mínimos uma do lado da outra bom então elas têm que ser iguais como funções harmônicas de Deus mas também para você lembra que se você tem uma coisa assim né um S1 S2 em geral cobertura média da S2 vai ser

estritamente maior cobertura média da esse uma o princípio do máximo diz que quando você tem igualdade aqui você tem uma superfície tem são iguais então Alexandro a seguinte pega uma superfície a de curvatura média constante que eu não sei qual é eu posso porque positiva né porque tem um ponto crítico e eu que ele fez foi e foi seguinte e você pega um ponto aqui da superfície tem uns pega um plano e lá longe me infinito aí você começa a trazer esse esse plano e maneira paralela continuamente até que o plano toque e a superfície

em questão no ponto é seu primeiro ponto de contato e aí agora você vai passar nesse ponto passa um pouquinho o plano e quando você passar o que você vai fazer é você vai pegar o pedacinho de superfície que ficou aqui e vai refletir com espeto esse plano é mas a reflexão e você continua fazendo isso continuar trazendo o plano pegando aqui o pedaço que fica e refletindo em tempo trazendo isso e quando você é flash você vai ter uma superfície aqui que tem cobertura média constante novamente E aí ela aleksandrov é bom a posso

fazer isso até que essas superfícies refletivas troque a superfície original então determinados planos aqui Ah e quando eu fizer a reflexão da metade direita da superfície essa é a primeira vez que a metade direita refletida vai tocar é a metade esquerda e quando isso acontece o princípio do máximo diz que a metade direita é assimétrica da metade esquerda essas duas perfeição iguais ou seja o que você encontrou foi um plano com respeito ao qual a superfície é simétrico Ah tá mas agora se você faz isso com todos os planos né você vai ter que você

vai encontrar planos de simetria Qualquer que seja o plano que você começou a única superfície aqui que faz isso E essa era agora Qualquer que seja o plano vai ter um momento aqui em que superfície é uma simétrica da outra máscara ideia do e do Alexandro é de encontrar planos de simetria usando essa reflexão