Fundamentos da Matemática Elementar - Funções Inversas

[Música] Olá sejam bem-vindos e bem-vindas a mais uma semana do nosso curso aqui nós vamos estudar um pouco sobre funções exponencial e logarítmicas né mas antes uma pequena explicação né que vocês podem estar se perguntando se esse é o tema por o título da aula é funções inversas bom se a gente lembrar um pouquinho das nossas aulas lá do ensino médio a ideia de potência e de logarítmica a gente vai eh perceber que as duas operações a potência e o logaritmo eles Na verdade são inversos um do outro né então uma potência por exemplo um

a elevado a x iG um B como temos aqui ele pode ser escrito também como o logaritmo de B na base A considerando aí nesse caso a e b números maiores que zero e o a diferente de 1 então é por isso que nós vamos partir a nossa discussão da ideia de funções inversas e depois retomamos a ideia de de função logarítmica e de função exponencial Então vamos lá eh retomando a ideia de função né Nós temos aqui dois conjuntos conjunto que eu chamei de X um conjunto que eu chamei de y eh que seria

uma função f que leva de elementos que estão no x a elementos que estão no Y ou seja ela pega um elemento Zinho ali de X passa pela f por uma regra numérica ali qualquer e vai obter uma imagem um elemento em Y que é uma imagem desse elemento de X passando pela F agora se eu fiz esse caminho que vai de X até o y será que eu não consigo obter uma função que faça o caminho contrário caminho inverso Ou seja que saia do Y até o x né que eu tenho uma função G

desse modo que pegue elementos essas minhas imagens ali produzidas no y e volte ao elemento original isso é a ideia de função inversa Então vamos dar um um exemplo vamos imaginar aqui que a minha função f seja descrita por essa regra x + 1 ou seja eu p um elemento de X somo um chego em Y então por exemplo vamos pegar um 0 0 + 1 1 então saí do zero do X cheguei em 1 do Y se eu pegar o 2 por exemplo 2 + 1 3 então saí de 2 cheguei em 3 como

que eu voltaria se eu somei para chegar em Y uma boa ideia é subtrair para voltar para X então Somei um vamos pensar em subtrair um Então vamos inventar essa função G que pegaria os y e Tiraria 1 Então vamos ver esses mesmos valores que Nós pensamos ali na F primeiro 1 1 tira 1 1 - 1 0 voltei né o 3 agora 3 tira 1 Voltei pro do então eu posso dizer que essa função G é uma inversa da função f e a A ideia é o quê pego um elemento do X passo pela

F chego em Y pego esse elemento de y passo de volta pela G chego em quem no x de novo essa é a ideia da da inversa né eu posso escrever essa função inversa da seguinte maneira né como F né elevado a -1 cuidado não é elevado falei aqui a grosso modo é é uma notação para representar a função inversa não significa que eu tô fazendo um sobre a inversa tá é uma anotação clássica da matemática para representar a inversa eh é sempre possível sempre possível eu obter eh essa função inversa esse caminho de volta

vamos pensar um pouco bom considerar aqui uma dois conjuntos o x o y e uma f aqui qualquer não mais aquela F que nós inventamos anteriormente que faz essa relação entre os elementos do do X e do Y bom para que eu tenha uma função inversa essa inversa obviamente precisa ser função né e isso significa o qu que para todo elemento do meu conjunto de chegada Y né Nós temos aqui eu preciso e obter um X aqui no meu conjunto x de tal modo que o f Dex seja Y né ou seja e para todo

elemento Y A imagens produzidas ali no conjunto Y eu preciso ter uma relação com o elemento do conjunto de partida x agora eh se a gente lembrar da aula de funções isso significa o quê significa que a minha função f ela precisa ser sobrejetora e essa daqui seria Justamente a minha definição de função sobrejetora mas ainda né e a Eu preciso de uma função de tal modo que se eu pegar dois pontos quaisquer do X diferentes né dois pontos diferentes de X eles levem a imagens também diferentes por olha aqui a o diagrama né o

x temos esses dois pontos que apontam a um único ponto no conjunto de chegada isso ok é função isso pode mas imagina a gente inverter meu conjunto Y é que vai ser a partida quando eu inverto significa que desse pontinho aqui eu vou ter duas relações eu vou me relacionar a dois pontos do meu novo conjunto de chegada e isso não é função Ou seja eu não posso ter esse tipo de relação para eu poder obter a minha inversa então isso não não pode ocorrer e significa mais ainda que a minha F para que isso

esse essa situação né ocorra ela precisa ser injetora ou seja esse tipo de relação não pode ocorrer eu poderia ter algo desse tipo aqui ó cada um elemento do X se relaciona a somente um elemento do Y todos os elementos de X são utilizados né porque senão não seria a função e toda a minha imagem produzida aqui corresponde ao meu Eh contradomínio Ou seja essa função ela é sobrejetora essa função é injetora e portanto ela é bijetora então para que eu possa ter uma função inversa de f a f precisa ser bijetora Vamos dar um

exemplo aqui de como isso poderia ocorrer na na prática né pegar uma função f que ela tem como conjunto de partida os números reais e leva até o conjunto também dos números reais ela pega elementos x transforma em elementos Y De que maneira multiplico esse X por 3 e somo 2 bom se a gente lembrar também da nossa aula de funções o gráfico dessa F né dessa Y descrita desse dessa maneira é uma reta Então vamos obter dois pontos dessa reta para esboçar um pouco o nosso gráfico e ajudar a nossa discussão e vamos supor

aqui que x seja 0 joga 0 ali nessa equação 3 x 0 0 + 2 2 né obtemos um Y Agora vamos pegar e chamar zer Y de 0 resolvendo essa equação né que vai ser 0 = 3x + 2 nós vamos obter um X que é -2 teros Ou seja a minha reta né o gráfico dessa função f ela vai passar pelo pelo ponto 0 2 e pelo ponto - 2/3 e 0 aí agora vamos nos perguntar eu posso ter uma inversa dessa função vamos relembrar aquelas condições né precisa ser bijetora ou seja precisa

ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo primeira pergunta para qualquer Y dos reais né n que é o meu conjunto de chegada existe um x no meu conjunto de partida ou seja est pensando aqui nesse eixo de tal maneira que F Dex seja Y bom eu tô partindo dos reais eu posso pegar qualquer número real multiplicar por três somar dois eu vou obter um número real Então OK eu posso essa primeira condição tá verificada a função ela é sobrejetora agora se eu pegar dois pontos de x distintos passar pela F eu vou obter também imagens

distintas justamente por ser uma reta a gente pode perceber que eu sempre vou produzir né imagens distintas então sim essa condição dois também tá satisfeita a função é injetora se ela é sobre se ela é in Então ela é bijetora se ela é bijetora essa função pode ser invertível a gente chamo né Ela pode ter uma inversa e qual seria a cara dessa né dessa função inversa bom vamos olhar para para essa regra a regra da F O que que ela me diz ela me diz que se eu multiplicar um X por 3 depois Somar

2 eu obtenho um Y se eu quero fazer o caminho contrário eu poderia escrever isso de que maneira não mais como Y igual alguma coisa x mas mais x igual alguma coisa Y então A ideia é o que é a gente isolar o x na igualdade pra obter essa expressão né como é que a gente faz isso bom primeiro a gente pode subtrair dois de ambos os lados da equação nós vamos obter essa expressão Y - 2 = 3x então quase lá precisaria que fosse x igual alguma coisa se a gente dividir ambos os lados

por 3 Então nós vamos obter essa expressão simplificando x = y - 2 so 3 e essa seria a minha função inversa da F mas percebe que antes nós estávamos falando a f em função de X Agora nós estamos falando dessa minha F inversa em função do quê do Y e a formulação aqui geral da cara dessa minha função seria essa que aparece aqui e como que seria o gráfico disso gente pensar como seria o gráfico da inversa a gente precisa fazer um pequeno artifício antes por eu gostaria de comparar duas dois gráficos no mesmo

mesmo plano ali cartesiano a f sai em função de X a minha inversa sai em função de y Isso pode atrapalhar a minha representação né então como é que a gente faz vamos usar um artifício matemático que é criar uma uma função que é chamada de simétrica em que eu simplesmente posso mudar o as variáveis eu posso mudar o nome das variáveis sem que isso altere o comportamento da minha função então eu vou chamar aquela minha F né que tem essa formulação aqui em função de y eu vou chamar ela de G só pra gente

não ficar trabalhando com a mesma letra e vou trocar simples eu tenho uma nova função que é a g todo Y transformei em x aqui mas é a mesma formulação e o comportamento dela vai ser o mesmo só que graças a esse pequeno artifício eu posso representar os gráficos no mesmo plano pra gente poder entender o que tá acontecendo Então também vai ser uma reta né e elas vão ter essa cara aqui no plano cartesiano a reta da F A gente já tinha obtido né e a reta da a função G ela é essa daqui

que nós obtivemos agora né temos aqui a f e agora aqui temos a nossa função G que é a função simétrica da inversa e se a gente perceber nós temos essa reta aqui no meio eu tracei essa reta aqui que ela é uma reta que vai funcionar como um espelho ela é um eixo de simetria entre esses dois gráficos essas duas retas essa reta ela tem uma fórmula que seria y = a x ou seja cada x que eu pegar aqui eu vou obter o mesmo Y né então o 1 leva em 1 o do

ele leva em 2 - 1 leva em -1 e ela funciona como esse eixo de simetria Então se a gente pensar cada ponto dessa minha reta F ele funciona como se fosse uma imagem espelhada depois e transforma na minha reta G da função g e vamos pensar outra outra situação que não seja reta pensar agora uma parábola né Vamos pegar essa função que é F agora que vai dos reais até os reais de modo que e eu pegue um x eleve ao quadrado e chegue no i Y na minha FX vamos tentar esboçar o que

seria esse gráfico bom obtendo as raízes né ou seja fazendo y0 Chegamos em que ela essa minha parábola vai tocar o eixo X no zer n e como a concavidade como a é maior zer a concavidade dessa minha parábola né é cima então eu vou ter esse esboço esse gráfico para essa minha função f consigo inverter vamos olhar pro gráfico antes pensar em construir uma um gráfico do que seria a inversa traçando Aquela nossa reta né o nosso eixo de simetria a y = x como é que a gente esboçaria o gráfico da inversa dessa

função aqui vamos olhar trechinho por trechinho vamos começar olhando para esse intervalo aqui entre 0 e 1 como que seria A reflexão desse desse do dessa curva nesse trechinho em relação à reta y = x seria isso aqui esse pedacinho Verde Agora vamos pegar e olhar o que seria aqui esse trechinho espelhado em relação a reta y = x nós obteríamos esse esse essa pequena curva aqui agora vamos pensar PR os valores de x aqui ó passando maiores aqui iguais a 1 Então esse pedaço aqui da minha função f quando eu espelhar aqui em relação

à função y = x eu obtenho esse trechinho fazer o mesmo aqui agora para esse outro pedaço passar a nossa nosso espelho aqui obter a nossa reflexão vamos ter esse resto aqui de curva E aí vem a pergunta Será que essa nova curva aqui que nós obtivemos ela é uma curva de uma função ela é o gráfico de uma função bom se a gente traçar essa reta aqui uma reta auxiliar só para ajudar na nossa análise chutei aqui o quatro a gente podia traçar em qualquer outro lugar mas no qu aqui eu posso perceber o

qu o qu ele pode se relacionar ao 2 pode ser elevado no 2 e o 4 também pode ser elevado aonde no -2 né Por quê Porque a minha função f era x qu né então eu significa que por exemplo - 2 qu é 4 e 2 qu também é 4 como eu tô levando aqui nessa caso dessa nova função aqui quer dizer esse novo gráfico aqui que nós obtivemos essa nova curva eu estou levando o qu em dois pontos distintos eu não tenho uma função né É E isso eh esse artifício essa ideia de

usar uma rcta para interceptar a curva pode ser interessante para avaliar se eu consigo ou não inverter uma função olhando o gráfico que se eu traçasse na função f original eu já perceberia que essa reta cruza a a curva em dois pontos distintos então quando eu inverter Quando eu fizer a reflexão ela vai continuar cruzando em dois pontos distintos e não vou obter uma função eh Então vem mais uma pergunta né Eh ótimo eu já entendi que essa função aqui que vai dos reais até os reais e que tem essa formulação fx = X quadado

ela não é invertível porque eu obtenho algo que não é uma função né o gráfico ali mostra que aquele gráfico não é um gráfico de uma função mas se eu tenho x eu posso fazer FX = 5 qu que é igual 25 eu não consigo ter uma função que volte por exemplo uma g de y que seja a raiz de Y ou seja eu não posso fazer √25 e chegar em 5 parece e que deveria ser possível né e é mas desde que eu Ajuste o domínio eu não posso pegar todo aquele meu domínio todos

os números reais porque lá eu tô pensando nos negativos né quando eu penso nos negativos eu estaria produzindo né uma função e Raiz de um número negativo o que não está definido aqui nos números reais que é onde a gente estava trabalhando né como é que eu resolvo isso resolvo isso pegando estabelecendo meu domínio como sendo os números positivos e os zer agora eu teria esse gráfico né Ou seja eu excluí aqui do meu desenho do meu gráfico toda aquela parte negativa se eu pegar somente a parte positiva e inverter usando aqui a nossa a

nossa reta né nossa eixo de simetria vamos obter essa função que é a função raiz de y e percebe que agora eu não tenho também aquela parte parte de baixo que vai ocasionar aquele problema de eu ter um mesmo ponto aqui do meu domínio levando a dois pontos na no meu cont contradomínio ou seja Agora eu tenho uma função é possível desde que a gente Tome muito cuidado e ajuste sempre o nosso domínio para produzir para verificar se é possível ou não e produzir funções inversas bom eh por hoje é só ficamos por aqui e

espero que tenham gostado até a próxima [Música] [Música] h [Música]