Séries Geométricas: Soma e convergência | Cálculo

como a gente encontra a soma de uma série geométrica Oi gente meu nome é Ester Velasquez e sejam bem-vindos a mais um vídeo do canal matemateka na aula de hoje a gente vai começar a falar sobre séries geométricas e como a gente encontra a soma desse tipo de série Tá bom então antes de começar Já curte aí embaixo se inscreve no canal e vamos lá gente para a gente começar a falar sobre séries geométricas vamos imaginar essa situação aqui a gente tem um cachorro que tá a dois passos de uma fatia de pizza então ó

um passo e dois passos e ele chega lá na fatia de pizza aí para o cachorro chegar lá que ele tá com fome ele quer essa pizza né primeiro ele dá um passo então ele dá um passo longo aqui e agora ele tá só a um passo da pizza então até o momento ele andou um passo e falta um outro passo só que ao invés de dar um outro passo aqui para chegar até a fatia de pizza ele vai dar metade do que falta então ele dá metade de um passo Então até o momento o

cachorro andou um passo mas metade de um passo e ao invés de andar a outra metade ele vai andar metade do que falta de novo então o cachorro tá fazendo ali um jeito diferente de chegar no pedaço de pizza então agora ó ele anda mais metade até o momento ele andou um passo que é o passo grande que ele deu aqui primeiro mas metade de um passo que é esse segundo passo que ele deu aqui e depois ele andou metade do que faltava entendeu mais um quarto de um passo ele ainda não chegou na pizza

né ainda falta essa parte aqui que também é um quarto só que ao invés de ele andar um quarto ele andou metade de um quarto de novo então ele tá sempre andando em metades ele andou metade de novo então ele deu um mais metade de um passo mais a metade meio passo mas a metade de um quarto de Passo então ele tá sempre caminhando em metades aqui e se a gente for desconsiderar a limitação de ele andando infinitos Passos sempre de metade metade a quantidade de passos do cachorro vai funcionar desse jeito aqui ó um

oitavo mais um sobre 16 mais um sobre 32 tá sempre diminuindo pela metade o passo que ele dá aqui e concorda comigo que se ele for seguir dessa forma aqui desconsiderando mais uma vez a limitação que ele tem da passinhos cada vez menores concordo que ele vai dar infinitos Passos porque isso aqui nunca vai acabar ele vai para um sobre 64 depois para um sobre 128 para um sobre 256 então ele vai sempre dando passinhos cada vez menores e isso nunca vai ter fim ele tá seguindo esse padrão aqui ó mais meio mais meio ao

quadrado mais meio ao cubo mais meio a quarta então a quantidade de passos que o cachorro tá dando vai de acordo com isso aqui ó a quantidade de Passos é a soma de n = 1 até infinito de meio elevado a n - 1 então isso aqui significa meio elevado a 1 - 1 que é zero mais meio elevado a 2 menos 1 que é um mas elevado a 3 menos 1 que é 2 e assim vai infinitamente ele vai sempre caminhando de metade em metade mas concorda comigo o que no final das contas essa

soma aqui infinita de várias metades tem que dar dois porque o cachorro tava dois passos do pedaço de pizza Se ele for andando infinitamente aqui de metadinha metadinha no final das contas isso tá indo para dois né gente porque ele tava dois passos não tem como dar algo diferente disso aqui então embora a gente tem uma soma infinita aqui ela vai convertir para dois porque o cachorro tava dois passos da pizza é algo finito ali né embora ele esteja andando infinitamente de metade metade a gente tá atendendo a dois passos ó Gente vou pegar uma

calculadora aqui e eu vou somar um mais meio mas meio ao quadrado mais meio ao cubo mas meio elevado a quarta então eu tô cinco primeiros termos dessa série e olha só o número que a gente já tem 1,00 e olha só o número que a gente já tem aqui 1,93 já é um número muito próximo de dois né gente então agora eu vou somar mais ainda eu vou colocar mais 0,5 elevado a quinta mais meio elevado a 6 mais meio elevado a 7 vamos ver para onde a gente vai agora olha só gente 1,99

que ainda mais próximo de dois então se você ficar infinitamente somando 0,5 elevado a n - 1 para n crescendo cada vez mais e mais você vai ficar cada vez mais próximo de dois porque o cachorro tava dois passos ali da pizza né então conforme o cachorro tá andando ali de metadinho metadinho em direção a pizza ele não vai andar mais que dois passos né ele vai estar sempre se aproximando de dois então a soma dessa série aqui é igual a dois agora vamos entender o que é esse tipo de série como a gente calcula

o valor dessa soma algébricamente mas antes da gente continuar Não esquece de Já curtir o vídeo embaixo se inscreve no canal E compartilhe com seus amigos que tem muito vídeo legal de séries e sequências vindo por aí tá bom E se você tiver interesse em aula particular clica aí no link da descrição gente essa série que a gente acabou de ver que era do cachorro caminhando de metade metade é o que a gente chama de séries geométrica Qual é o padrão desse tipo de série A gente vai ter uma soma de 0 até Infinito ou

então você também pode encontrar higiene igual a 1 até infinito de uma constante a vezes uma razão elevado a n ou então é levado a n - 1 no caso dessa série de baixo Mas o que importa é que essa série vai ter o seguinte comportamento a gente vai ter a constante vezes é elevado a zero mais a constante vezes é elevado a 1 mas a constante vezes é elevado a 2 então a cada termo que a gente está somando a gente tem exatamente o termo anterior só que multiplicado por R então sei que era

a XR elevado a 1 agora vai ser a vezes R elevado a 1 x r aí a próxima vai ser a x r x r x r então a cada termo que a gente soma a gente está acrescentando uma razão ali multiplicando então por exemplo na série geométrica que a gente estava trabalhando lá no cachorro quem é o a e quem é o r como a gente não tem nenhum termo multiplicando aqui o que tá elevado a n a gente pode falar que a é igual a 1 E aí a nossa razão é justamente quem

tá sendo levado a n Então a nossa razão é um sobre dois quando a gente desenvolve essa série aqui a gente vai ter um sobre dois elevado a zero que no caso é o próprio um e assim vai para os outros termos e aí esse primeiro termo aqui é o que a gente chama de a zero é justamente ele que tá multiplicando da nossa razão então esse aqui sempre vai ser o nosso a zero Porque como o primeiro termo a razão tá elevado a zero né vai ficar vezes R elevado a 0 que é a

vezes 1 então isso aqui sempre vai ser o primeiro termo e você pode ver aqui que a gente tem uma relação entre o que a gente está fazendo na série geométrica com que a gente fazia lá na progressão geométrica né então o nosso objetivo na série geométrica é justamente descobrir a soma dos termos de uma PG a soma dos termos da progressão geométrica e nesse caso a nossa PG é infinita né ela não tem valor para acabar Então vamos lá vamos começar supondo caso onde a razão é igual a um Então nesse caso quando R

= 1 a gente tem a vezes um elevado a zero mais a vezes 1 elevado a 1 e assim vai quando a gente tem esse tipo de série geométrica olha só o que vai acontecer a nossa soma vai ser a vezes 1 + a x 1 + a vezes 1 então a gente tá somando infinitamente vários as e isso só tende a ficar cada vez maior né gente imagina por exemplo se afora igual a 2 A gente vai somar dois mais dois mais dois mais dois se a gente somar infinitamente vários dois isso aqui só

vai crescer cada vez mais vai divergir vai lá para o infinito né então se R for igual a um então se a razão que a gente tiver aqui for um a nossa série vai divertir esse R for diferente de um então por exemplo se R for igual a dois ou então se for um sobre dois como vai funcionar bom vamos fazer a soma parcial dos termos dessa série A gente vai ter o primeiro termo Mais primeiro termo vezes R vezes R ao quadrado vezes R Ao Cubo e assim vai até R elevado a ele mostra

uma parcial aqui somando até ele multiplicando os dois lados por R esse a virá vezes r o a vezes R virá vezes R ao quadrado e assim vai até que o a XR elevado a n vir a a vezes R elevado a n + 1 E aí vamos fazer o seguinte vamos subtrair essas duas equações que a gente tem então vamos fazer SN menos R vezes SN Então subtraindo as duas olha só o que vai acontecer o a XR some com menos a vezes r a r ao quadrado some com menos R ao quadrado e

os termos vão sumindo simultaneamente o aviso é elevador n some com aves é elevado a n que tava aqui e o que sobra para gente é o a daqui que não some com ninguém né porque não tem nenhum termo igual a ele com esse a vezes R elevado a n - 1 que tá aqui porque não tem nenhum igual a ele aqui em cima também então eles são os únicos que não aparecem nas duas equações simultaneamente portanto eles não são cancelados legal mas quem a gente quer encontrar é a soma dos nossos termos né a

gente quer encontrar uma expressão geral para o SN Então vamos isolar o SN colocando ele em evidência aqui do lado esquerdo a gente tem SN vezes 1 - R E aí passando um menos R para o outro lado dividindo a gente tem que SN é igual Vamos colocar o a em evidência aqui ficar vezes um menos R elevado a n + 1 sobre 1 - R Então essa é a expressão geral da soma parcial de uma série geométrica legal mas isso aqui quando a gente tá somando até determinado valor n né então por exemplo se

eu quiser somar meio elevado a n de n = 0 até 10 quiser somar só esses termos aqui a gente consegue usar essa expressão então a até 10 vai ser um vezes um menos meio que é a razão elevado a 10 + 1 que é 11 sobre 1 - a razão então fazendo essa continha a gente encontra quem é a soma dos primeiros termos de n = 0 até 10 mas e se a gente quiser somar infinitamente a gente quiser fazer uma soma infinita bom como a gente viu na aula anterior para a gente encontrar

se a série vai convergir ou divergir a gente tem que calcular o limite da soma parcial quando n tende a infinito então é justamente isso que a gente vai fazer a gente sabe quem é a soma parcial a gente tem o SN e a gente vai ver o que acontece quando ele tem dinheiro infinito para diferentes valores de R Então vamos começar com R maior do que um ou R menor do que menos um Então se a gente tiver por exemplo R = 2 ou então r menos três uma razão que esteja nessa faixa de

valores aqui quando a gente calcula o limite dessa expressão para n tem língua infinito a gente vai ter o termo R elevado a n + 1 que é a nossa razão basicamente levada ao infinito né porque o n está indo para infinito se a gente eleva 2 elevado a algo muito grande por exemplo ou então menos três elevado a algo muito grande isso também vai para algo muito grande né se você for ver a função 2 elevado a x + 1 quando X vai crescendo muito tendendo ao infinito a função também cresce muito também tende

ao infinito Então nesse caso o nosso limite vai dar às vezes um menos algo infinito né sobre um menos R isso que vai dar infinito sobre uma constante que é infinito ou seja para R maior do que um ou R menor do que menos esse limite aqui vai explodir para o infinito e portanto a soma de verde se R for igual menos um a gente vai ter menos um elevado a n + 1 Só que o n está atendendo ao infinito né Então tá crescendo muito esse expoente aqui o que é -1 elevado a n

+ 1 se ele for igual a zero a gente vai ter menos um elevado a 1 que dá -1 Então vem aqui para baixo se ele for igual a 1 a gente vai ter menos um ao quadrado que dá um vem aqui para cima se n for igual a 2 A gente vai ter menos um elevado a 3 que é menos um E aí olha só o que acontece com isso aqui gente ele vai indo de um para menos um de um para menos um então ele nunca tá convergindo para nenhum valor logo se R

for igual menos um a nossa série também vai divergir e agora o último intervalo que falta a gente analisar se R estiver entre -1 e 1 então se você tiver valores de R nessa faixa aqui ó por exemplo menos um sobre dois um terço valores que estão entre -1 e 1 o que vai acontecer a gente vai ter R elevado a n + 1 aqui no nosso limite e o n tá atendendo ao infinito né então a gente tem R elevado a algo muito grande só que o nosso R é um valor que tá entre

-1 e 1 se a gente for ver por exemplo a função meio elevado a x quando a gente tem que a base é um valor entre menos um e um a função exponencial vai ser assim ó gente conforme o x cresce para o Infinito a função vai caindo e caindo cada vez mais se aproximando de zero Então como vai ficar esse limite a gente vai ter às vezes um menos aí aqui vai dar zero né então menos zero quando ele cresce isso vai se aproximar de zero sobre um menos R logo quando n tende a

infinito a soma vai ser a sobre um -r e vai convergir portanto Qual a conclusão que a gente tira aqui se a gente tem uma série geométrica a gente quer somar ela g n = 0 até infinito então a gente quer somar infinitamente Nossa série caso o módulo da Razão seja menor do que um ou seja se R estiver entre -1 e 1 essa soma vai convergir e você pode encontrar fazendo a sobre um menos R agora se o módulo de R for maior ou igual a 1 ou seja se R for maior ou igual

a 1 ou R for menor ou igual menos um essa série vai divergir a soma dela até o infinito vai explodir para o infinito também então por exemplo lá na série do cachorro que ele tava andando de metade metade a nossa razão aqui é um sobre dois que é 0,5 né e isso é menor do que um logo essa série que converge mas vai convergir de que forma qual vai ser a soma dela aí a gente faz S igual a o nosso a que vale um né sobre um menos a razão então um sobre 2

sobre 2 menos 1 sobre 2 que vai dar um sobre um dividido por 2 isso que é dois logo o valor dessa soma aqui é dois que são os dois passos que o cachorro tava da fatia de pizza a gente então vamos lá fazer esse exercício aqui ele pede para a gente encontrar a soma então quando ele fala soma Ele quer saber qual o valor de quando a gente soma né Essa série geométrica aqui então a gente quer saber se a gente ficar somando isso aqui infinitamente para onde a gente tá indo igual o cachorro

ele tá vendo para dois passos né Para onde a gente tá indo no caso dessa série aqui então a primeira coisa coisa que a gente tem que fazer para encontrar a soma de uma série geométrica é encontrar quem é a e quem é r o a da série geométrico é o primeiro termo né Então nesse caso o primeiro termo é igual a 3 então a gente já tem o a e quem vai ser o r lembra que na série geométrica a gente segue esse padrão ó a mais a vezes R mais a vezes R vezes

r e assim vai a gente está sempre multiplicando pela razão então para a gente encontrar quem é a razão r a gente pode dividir dois termos consecutivos por exemplo dividindo o segundo termo pelo primeiro a gente encontra a razão ou então dividindo o terceiro termo pelo segundo a gente também encontra a razão então a gente pode encontrar a razão dividindo o terceiro termo pelo segundo quarto pelo terceiro ou segundo pelo primeiro então fazendo a um dividido por a zero a gente tem menos um sobre 3 e essa aqui é a razão da nossa série geométrica

você pode fazer com os outros termos também ó dividindo um terço por menos um você encontra também menos um terço Então isso é algo importante sobre a série geométrica né a razão tem que ser a mesma independente dos termos que você está dividindo se a razão não for a mesma não tá seguindo um padrão então não é uma série geométrica agora que a gente sabe quem é a e quem é R A gente pode montar a nossa série geométrica né a gente pode montar a soma que a gente tem então a gente está somando Diene

igual a zero até infinito o a que é 3 né então o primeiro termo é três vezes menos um terço elevado a ele isso aqui gente é a mesma coisa de escrever a soma de n = 1 até infinito de três vezes menos um terço elevado a -1 Tá bom então você pode começar de n = 1 e aqui colocar n - 1 ou de n = 0 e deixar só o n aqui é a mesma coisa gente como a nossa razão é menos um terço que é um número maior do que menos um e

menor do que 1 a gente já pode falar que a nossa série vai convergir né a gente vai encontrar um valor finito aqui para ser a nossa soma e quem vai ser esse valor quem é a soma dessa série A gente viu que é a sobre um menos a razão então três sobre um menos menos um terço Então a gente tem três sobre um mais um terço que menos com menos vai dar mais que é três sobre três terços mais um terço Lembrando que a gente pode escrever um sobre como três sobre três Então a

gente tem três sobre quatro terços logo vai ficar três vezes três quartos a gente pode inverter o de baixo e o valor da nossa soma é 9/4 então se a gente for somando essa série infinitamente a gente está indo para 2,25 e eu trouxe até um gráfico aqui dessa soma gente para a gente ver ó se a gente somar só o primeiro termo a gente vai ter três né que o primeiro termo é três se a gente somar o primeiro termo e o segundo a gente tem três menos um que dá 2 que é esse

segundo termo aqui se a gente somar os três primeiros termos três menos um mais um terço a gente tá aqui somando os três primeiros termos e quanto mais cremos a gente soma a gente está se aproximando mais e mais de 2,25 então repara que a gente tá convergindo para um valor né até parece que todos os valores aqui são iguais mas é porque a gente se aproximando em todos eles de 2,25 então aqui no eixo horizontal é a quantidade de termos que a gente soma quanto mais termos você for somando mais próximo Você vai estar

de 2,25 gente então na próxima aula a gente vai resolver exercícios sobre séries geométricas entender como a gente pode manipular diferentes tipos de séries para que a gente encontra aquela soma tá bom E foi isso na aula de hoje eu espero que vocês tenham gostado não esquece de curtir se inscreve no canal compartilha com seus amigos e já me segue lá no Instagram para ficar por dentro de tudo Tá bom então a gente se vê no próximo vídeo gente beijo [Música]