Fundamentos da Matemática Elementar - Inequações de 1º e 2º graus (Parte II)

[Música] Olá sejam bem-vindos bem-vindas a mais uma aula agora nós vamos dar continuidade à discussão sobre desigualdades né inequações fizemos uma parte sobre inequações de primeiro grau e agora vamos pensar um pouco sobre as inequações de Segundo Grau né ver como isoo organiza primeiro pela definição né ass A exemplo do que já fizemos paraas equações de primeiro grau uma equação de segundo grau inequação de segundo grau ela tem um formato né que seria algo como AX qu + BX + C que é aquela forma né geral de uma equação de segundo grau mas menor do

que zero maior do que zero maior ou igual a zero menor ou igual a zero né pensando agora que nós estamos no no no contexto das desigualdades das inequações e também né Lembrando que a b e c são números reais e o a tem que ser diferente de zero por aquele motivo que a gente já falou várias vezes se o a for zer 0 x o x qu vai dar 0 e nós saímos do contexto das inequações ou equações de Segundo Grau né Voltamos para uma de primeiro então a sempre é diferente de zero e

vamos começar por um exemplo né ver como é que a gente consegue resolver uma inequação de segundo grau bom eh assim como a gente já falou no caso das equações Existem várias estratégias que a gente pode utilizar para resolver uma delas é a fórmula quadrática que a gente viu como obter outra é fatorando então Existem várias opções fica a gosto do cliente escolher qual é a a a melhor estratégia para si né para resolver aquele problema aqui nó vamos optar por resolver fatorando e fatorando por som produto se a gente se lembrar lá da aula

sobre expressões né e polinômios e o que significa fatorar por soma e produto significa é obter um número cujo produto seja -24 e a soma seja 10 Quais são esses números bom -2 x 12 vai dar -24 né e 12 - 2 dá 10 então a gente obtém esses dois valores e como é que a gente faz aí a gente vai testando vai procurando números que nos ajudem a satisfazer essa essas duas condições né que a soma seja menos que o produto seja -24 e que a soma seja 10 obtivemos aí esses dois números Então

a partir deles nós podemos fatorar essa expressão Inicial x qu + 10x - 24 em x + 12 x x - 12 menor do que zero agora que vem uma uma ideia a gente precisa e antes de sair resolvendo a essa inequação pensar quais seriam as raízes dessa equação aqui dessa expressão primeiro x qu + 10x - 24 ou seja eu quero saber em que Pontos essa equação é zero para que valores ela é zero depois que eu pensar sobre isso eu consigo pensar bom se ela é zero aqui e aqui onde ela é menor

do que zero que é essa é a resposta que a gente quer obter então primeira coisa é descobrir aonde que é zero bom isso a gente já fez algumas vezes né Eu tenho um produto de dois números o X mais 12 o x - 12 não é e esse produto como eu onde ele seria zero se o primeiro for zero o produto vai ser zero zero vezes alguma coisa vai dar zero se o segundo for zero alguma coisa ve zero vai dar zero então eu posso avaliar onde o primeiro é zero onde o segundo é

zero então eh obtendo essas raízes né ou seja descobrir quando esse produto é zero é o nosso primeiro passo olhando para para essa forma fatorada onde que x + 12 é 0 bom se x for - 12 - 12 + 12 é 0 então um dos uma das raízes é essa - 12 e olhando pra outra o x - 2 x - 2 se eu tiver x = 2 2 - 2 0 Ótimo então o outro e valor para o qual esse essa minha expressão toda vai dar zero é 2 isso né seria os pontos

em que as duas eh que em que a minha equação chega no zero mas não é essa a minha pergunta a minha pergunta é menor do que 0 quando essa minha minha expressão o x qu + 10x - 24 ele é menor do que 0 aqui eu sei onde ele é zero Então vamos pensar como responder isso quando é menor do que zero bom para isso nós vamos dividir em alguns casos a nossa forma fatorada da da daquela expressão o x - 2 eu vou colocar aqui em uma reta né uma reta real vou colocar

abaixo dele uma reta real que vai representar aqui valores relacionados ao x + 12 né que é o outro termo aqui e por fim eu vou colocar mais uma reta real abaixo dessas duas em que eu vou avaliar o produto das duas primeiras bom nas retas reais o que eu vou fazer eu vou marcar as raízes aqueles pontos em que eu descobri já em que dá zero bom o x - 2 ele vai ser zero quando ele é o x for 2 x - 12 vai ser 0 quando X for -1 vamos marcar esses dois

pontos o menos o 2 e o - 12 E aí vamos olhar a minha pergunta é para menor não menor ou igual Então eu vou deixar como vocês podem ver em aberto esses valores porque não me interessa e esses valores cheios né me interessa só quando ele é menor não menor ou igual Se fosse menor ou igual a gente pintaria isso aí também incluiria esses valores nos nossos intervalos aqui no nosso estudo que nós vamos fazer que estudo é esse afinal de contas n Por que a gente fez tudo isso eu quero avaliar se esse

produto é menor que zero ou seja se esse produto é negativo né então o que que eu vou pensar bom x- 2 onde o x- 2 é negativo se o x for 2 A gente já sabe que é z0 então se x for menor do que 2 n todo x que for men do o a gente vai ter um número negativo imagina que fosse 1 1 Men 21 fosse 0 0 - 2 2 então todo número que for à esquerda né do do vai ser um número negativo bom se a esquerda é um número negativo

à direita ele vai ser o qu vai ser um número positivo n e a a gente pode testar valores n um número maior do que 2 3 né 3 - 2 1 é um número positivo vamos fazer a mesma coisa pro x + 12 bom o x + 12 ele é 0 quando X é -1 que acontece à esquerda todo número menor do que -1 vai levar x + 12 a um número negativo valor negativo todo mundo que tiver né Sempre que eu achar valores de x maiores que o -1 eu vou obter valores positivos

e que que isso me ajuda a resolver agora nós vamos pensar na tal da regra dos sinais né Eu não tô fazendo um produto de x - 2 e x + 12 bom se eu pegar esse intervalo aqui né para a esquerda do -1 menos com menos né multiplicar duas coisas negativas eu vou obter o quê vou obter um número positivo então o x - 2 x o x + 12 quando ele for o x for menor do que -1 vai obter um valor o quê positivo e o meio aqui entre -1 e 2 menos

com mais menos Então esse produto vai ser negativo e fazendo agora pra direita do dois positivo vezes um positivo vai dar o o quê positivo Qual é a minha pergunta Inicial quando esse produto é negativo quando esse produto é menor do que Zero Onde que esse produto é menor do que zero bom entre -1 e o 2 sendo que os esses extremos não estão contados por quê Porque eu tô falando em menor só do que zero eu não tô falando menor ou igual conjunto verdade então fica sendo -1 Men Do que X menor do que

2 Vamos pensar agora num outro exemplo vamos seguir a mesma a mesma ideia o mesmo raciocínio uma possibilidade de resolução vai ser por subproduto também então vamos pensar aqui eh um produto que se de dois números que seja dois né e uma soma que seja -3 bom -2 x -1 Vai dar 2 menos com o menos né vai dar positivo 2 x 1 2 e -2 mais né o -1 -2 - 1 obtenho o -3 Então os meus dois números aqui que vai me ajudar a faturar por som produto é justamente aqui o -2 e

o -1 então a gente consegue obter uma versão né uma forma equivalente dessa inequação ali fatorando chegando aqui o x- 1 ve o x Men 2 tudo isso maior ou igual a zer bom seguindo o mesmo raciocínio né Vamos obter Primeiro as raízes dessa dessa equação x qu - 3x + 2 ou seja os pontos em que isso é zero para depois avaliar o o os pontos em que nós temos o maior ou igual a zero mas primeiro nós Precisamos descobrir onde é zero então olhando para esse dois termos o x - 1 como ele

pode ser z0 se x for 1 e x - 2 como ele pode ser zero se x for 2 Então as soluções né as raízes para essa equação é 1 e 2 Vamos colocar então isso naquele nosso esqueminha com as retas reais e então na primeira reta nós vamos colocar o x - 1 na segunda reta o x - 2 na reta de baixo o produto desses dois em cada uma Vamos colocar os pontos em que elas são 0 então x- 1 vai ser 0 quando X é o qu quando x é 1 x- 2

vai ser 0 quando o qu quando X é 2 Vamos estudar agora o sinal de cada uma delas o que acontece quando eu tenho x que é menor do que 1 x que é menor do que 1 ou seja está à esquerda do 1 vai ser um valor né vai x - 1 vai ser um valor negativo agora o que acontece pro lado da direita todo quando X é maior do que 1 x - 1 vai ser um valor positivo pensando na de baixo agora 2 é onde x - 2 dá 0 né é esse

ponto Então tudo à esquerda de dois vai ser o quê vai ser negativo à direita do dois vai ser positivo agora vamos avaliar esses o sinal do produto de novo fazendo a mesma ideia então vamos lá é menos com menos mais pensando aqui à esquerda do um bom pensando nesse intervalo entre 1 e 2 mais vezes um um número Positivo né vezes um número negativo mais com menos vai dar o quê vai dar menos passe pensando agora à direita do do é positivo vezes positivo vai dar o quê número positivo bom agora eu já consigo

avaliar o sinal de x- 1 x x- 2 e vamos olhar pra minha pergunta Inicial que é a minha desigualdade o que que eu quero saber eu quero saber os pontos em que esse meu intervalo em que esse meu x - 1 x x - 2 esse meu produto é maior ou igual a zer Ou seja que é positivo onde ele é positivo bom à esquerda do um incluindo um que eu tô falando em maior igual a zero e depois à direita do dois então do dois em diante esse intervalinho do Meio não entra porque

justamente ele é negativo para esse produto como ficaria o conjunto verdade todo x pertencente aos números reais Tais que o x seja menor n ou igual a um ou seja esse pedacinho que tá à esquerda ou maior ou igual a 2 é o pedacinho que tá ali à direita do do bom encerramos essa aula sobre inequações do segundo grau Espero que tenham gostado e até a [Música] próxima k [Música]