Fundamentos da Matemática Elementar - Relações entre conjuntos e elementos

[Música] Olá sejam bem-vindos bem-vindas a mais uma aula da nossa disciplina e na aula anterior nós exploramos O que seria uma uma noção intuitiva de conjunto E Agora Nós Vamos explorar um pouquinho mais com mais detalhes essa ideia um pouco das suas propriedades relações né e trazer isso um pouco mais matematicamente entre aspas né um tratamento mais matemático mais formal para essas propriedades que tratamos de uma maneira mais intuitiva na aula anterior eh uma maneira que já conversamos um pouco que nós vamos usar como um ponto de partida é a representação por diagramas e a

os diagramas de ven e eiler eh a ideia né esse nome vem vem do do com o perdão do trocadilho né a ideia vem do matemático John ven que popularizou na verdade esse tipo de representação para conjuntos eh já era algo que era relativamente utilizado por matemáticos da época como o libes né Eh mas o próprio ven ele tentava se esquivar um pouco da autoria dessa desse tipo de diagrama dizendo que era só um desdobramento dos trabalhos de outro grande matemático que é o oiler então é por isso que atualmente a gente costuma Chamar esse

tipo de representação como diagramas de vem oiler ou alguns lugares como oiler vem mas muito livro didático né em alguns casos ainda usa só diagramas de vem é só um contexto histórico pra gente eh começar a dar um pontapé inicial para essa conversa né então como a gente já comentou na última aula eh um diagrama de vem ele ajuda a gente a pensar não só relações entre elementos que estariam nesses conjuntos mas também relações entre dois conjuntos por exemplo aqui nesse caso a e b não se tocam não tem não se intercruzam ali ou seja

Eles não têm aparentemente elementos nada em comum já C e D Tem uma parte aqui que se cruza existem elementos ali que estão em comum entre esses dois e f aqui se a gente pensar o f está totalmente dentro o diagrama né Tá totalmente dentro de e né então que relações são essas que nós podemos estabelecer entre conjuntos e elementos e seus conjuntos e basicamente Esse é o o mote dessa nossa aula o aspecto central da aula de hoje bom a primeira relação e ela é bastante intuitiva e bastante simples é a de pertinência e

você vai ver que se a gente usar um exemplo essa definição né essa relação sai quase que naturalmente Então vamos inventar aqui um conjunto a esse conjunto A ele é formado por elementos azinhosa que esses ainh são números ímpares bom então V pegar o número TRS TRS é um número TR então pertence a a e essa é a relação de pertinência nós vamos escrever como 3 pertence a a usando esse símbolo né o símbolo de pertence e o do 2 é um número par então se ele é um número par ele não pertence a a

que é um conjunto de números o qu ímpares então do não pertence a a ou seja podemos escrever dessa maneira não pertence que é o quê é o símbolo de pertence com um traço né que vai indicar o não pertencer ao conjunto A e é isso essa é a relação de pertinência ela vai relacionar o quê elementos a um conjunto as relações de inclusão vão usar muito das dessas ideias de pertinência mas agora a gente vai pensar nas relações entre dois conjuntos ou mais né dois ou mais conjuntos então Vamos considerar aqui esse exemplo ó

nós temos um conjunto B que ele é formado por esses elementos ó o a o b c d o e e o f já nós temos um conjunto A que ele está aqui né o diagrama tá dentro né do do b e ele é composto de Quais elementos do e ou c e o f bom nós podemos pensar o seguinte os elementos a b e d eles pertencem a b mas não pertencem a a já os elementos e c e f eles pertencem a a e também pertencem a b então o que que nós vamos

dizer quando todo o elemento do de um conjunto o a por exemplo aqui pertencer a um outro conjunto o b aqui nós dizemos que o a é um subconjunto de B ou a está contido em b e usamos esse símbolo para representar o estar contido Ou seja a está contido em B só repassando quando todo elemento de a também for elemento de b todo elemento de a também pertence a a b a está contido em B eh nós podemos inverter essa leitura né no sentido de que não a está contido em B mas e que

b o conjunto maior digamos assim contém o a para falar dessa maneira nós invertemos inclusive o símbolo então o símbolo de Contém ele é Virado pro outro lado a inverso D símbolo de estar contido e a leitura é a mesma né a está contido em B se a gente ler ao contrário né B está contém a e A negação disso é similar à negação de pertencer então tem o símbolo de estar contido não está contido um traço representando essa negação e o contém a mesma coisa tem o símbolo do contém um traço representando que não

conté agora Vamos explorar expandir um pouquinho esse mesmo exemplo Vamos inventar aqui considerar um conjunto C né o a e o b continuam ali os mesmos e eu coloquei um conjunto C A mais aqui esse conjunto C ele possui os elementos aqui b e e ou seja b e e pertencem a c o que que eu posso dizer sobre isso que C está contido em B por quê Porque todo elemento de C pertence a b b b e e pertencem a b então eu posso dizer que C está contido em B agora eu consigo relacionar

o c e o a por exemplo o c tem b e e como elementos O a tem c e e f como elementos só existe um elemento em comum aos dois então eu não posso dizer nem que o c está contido em a nem o contrário nem que a está contido em C Eu precisaria que todos os elementos de um de um conjunto tem esse ao outro para fazer essa relação de inclusão entre estar contido ou não né Eh e alguns desdobramentos dessa dessas ideias né Eh o primeiro desdobramento interessante é que um conjunto A

Ele é igual a um conjunto B se todos os seus elementos são iguais isso É bem intuitivo Na verdade uma outra maneira da gente pensar isso eh Se A é igual ao B esses dois conjuntos c e somente c o a está contido no b e o b está contido no a que que isso significa se o A tá contido no B significa que todo elemento de a pertence a b e se B também está contido no a significa que todos os elementos do B também pertencem a a ou seja nós estamos falando do mesmo

dos mesmos elementos Portanto o a é é igual ao b e isso leva a uma segunda né a um segundo resultado que todo o conjunto está contido nele mesmo vamos pensar né Por exemplo um a está sempre contido no a que que significa estar contido todo elemento desse conjunto pertence ao outro conjunto então se a está contido em a significa o qu que todo elemento de a pertence a a o que é óbvio né então então e esse resultado também é importante a gente pensar Ah um conjunto sempre está contido nele mesmo eh agora em

termos de terminologia algo que é interessante da gente frisar e demarcar é a ideia de subconjunto próprio se eu tenho um conjunto a que está contido em B E E esse a não é igual ao B nós dizemos então que a é um sub conjunto próprio de B uma questão de terminologia de conceito mas que é importante porque isso aparece em resultados em outros momentos aí não só da teoria dos conjuntos mas da álgebra em outras situações e agora assim como o a está contido em a pode ser um pouco eh Evidente ou direto esse

resultado próximo aqui pode não ser tão assim conjunto vazio ele é subconjunto de qualquer conjunto Então vamos pensar um pouquinho sobre isso vamos imaginar Imagine só Imagine que existe um conjunto A e esse conjunto A é tal que o o conjunto vazio não é subconjunto dele bom se o conjunto vazio não é subconjunto do a significa que existe pelo menos algum elemento do conjunto vazio que não pertence a a percebeu a a o grande absurdo que eu acabei de falar eu falei que existe alguém no conjunto vazio que não está no a mas se ele

é o conjunto vazio ele não tem elementos Ou seja é impossível que eu tenha um conjunto A de tal forma que o conjunto vazio não faz parte né não está contido nele então o conjunto vazio ele está sempre contido em qualquer jto e ele é ou seja ele é subconjunto de qualquer conjunto isso é interessante da gente perceber e vai ser importante para alguns conceitos que virão aqui depois né Eh por exemplo esse agora que é a ideia do conjunto das partes e eu vou pegar um conjunto que os elementos Eles são subconjuntos de a

e esse conjunto vai ser denominado o Conjunto das partes de a e nós vamos denotar por P de a né tomar cuidado né com o contexto em que se tá trabalhando a gente tá falando aqui em conjuntos mas esse tipo de de de nomenclatura de maneira de escrever às vezes pode confundir com probabilidade com então sempre ficar muito esperto com o contexto que nós estamos e aqui na teoria dos conjuntos Conjunto das partes vai ser denominado dessa maneira p entre parênteses e o conjunto dos do qual nós estamos tratando nesse caso o a Eh vamos

dar um exemplo para que isso fique mais claro o a vai ser um conjunto finito aqui composto dos elementos 1 2 e 3 eh Quais são os possíveis subconjuntos que eu posso formar a partir de a bom tem dois que a gente já comentou anteriormente dos resultados primeiro conjunto vazio conjunto vazio sempre está em qualquer conjunto então ele está aqui nós dissemos também que um conjunto é sempre subconjunto dele mesmo então ele próprio também faz parte desse Conjunto das partes e os outros bom posso pensar os conjuntos unitários que eu posso formar por exemplo o

um o do e o TR esse conjunto unitário tem por exemplo só o um o elemento um ele é subconjunto do A então eu tenho esse subconjuntos unitários agora eu posso começar a pegar de dois em dois eu posso pegar o um e o do um subconjunto um e TR outro subconjunto 2 e TR mais um subconjunto Então a partir disso Desse raciocínio a gente chega em todos os possíveis subconjuntos de a e o conjunto desses sub conjuntos é denominado Conjunto das partes de a né e agora é interessante da gente pensar eh revisar um

pouco o que nós já falamos entre relações de inclusão e pertencimento né pertinência e pertinência significa que nós estamos relacionando elementos a conjuntos esse elemento pertence ou não pertence a tal conjunto as relações de inclusão elas estão sendo pensadas entre conjuntos Então esse conjunto está contido nesse conjunto ou não está contido nesse conjunto né E vamos olhar pras partes de a né esse Conjunto das partes de a se eu pegar um conjunto B que é o conjunto um e do formado pelos elementos um e do eu posso dizer que ele é subconjunto de a certo

então ten uma relação de inclusão aí B é subconjunto de a agora se eu pensar no conjunto das partes de a quem são os elementos do conjunto das partes os elementos do conjunto das partes são também conjuntos E aí que pode morar a confusão então o b ele esse conjunto B ele pertence ao conjunto das partes de a Porque aqui no nesse caso os esses subconjuntos o b por exemplo ele é o quê ele é um elemento de outro conjunto E isso é interessante da gente afinar em termos de nomenclatura e de escrita né nesse

caso eu não poderia escrever que B está contido no conjunto das partes de a não ele é um elemento das partes né então a gente vai afinando esse nosso a nossa escrita matemática a partir dessas definições né e tomando esse mesmo exemplo a gente vai pensar no tamanho nós já comentamos isso na verdade na primeira aula né a quantidade de elementos de um conjunto então pegar aquele conjunto a 1 2 e 3 com os elementos 1 2 e 3 e esse é o conjunto das partes de a que a gente já definiu anteriormente nós vamos

dizer que a cardinalidade ou seja o tamanho né a quantidade de elementos desse conjunto nós vamos denotar por esse símbolo né que já foi conversado Quantos elementos t a 1 2 3 então a cardinalidade dele é TRS e qual é a cardinalidade do conjunto das partes de a se a gente for pensar aqui e contar né 1 2 3 4 5 6 7 8 finalidade quando das partes é 8 se a gente olhar com atenção para esses números significa 8 é 2 elevado ao cubo ou seja 2 elevado à cardinalidade do conjunto a pegar um

outro exemplo um conjunto B composto pelas vogais do nosso alfabeto Qual é a cardinalidade desse conjunto tem cinco elementos 1 2 3 4 CCO cardinalidade dele é cinco qual é a cardinalidade do do do conjunto das partes de a 2 elevado ao quê aqui 5 que é a cardinalidade do do conjunto B que vai dar 32 Então essa é uma outra relação interessante importante aí inclusive na teoria dos números e vamos pensar agora umas outras operações né operações entre conjuntos por exemplo união e intersecção então voltando lá no começo ao nosso diagramas de vem né

que nós começamos a trazer dados aqui uns conjuntos A e B eu posso ter uma situação em que a e b como nós já dissemos não se en cruzam uma possibilidade é que a e b se tocam tem alguns elementos em comum que é essa essa possibilidade aqui do meio e uma terceira possibilidade que todos os elementos do B estão dentro do a como a gente já viu Posso dizer que B está contido em a ou que B é um subconjunto de a bom o que significaria a união a união entre dois conjuntos significa que

todo elemento pertencente a a e né no caso ou todo elemento pertencente a b esse ou aqui do da União ele tem um caráter de inclusividade né de ele é um ou inclusivo não exclusivo no sentido de a gente na na no dia a dia na nossa fala cotidiana a gente falar É isso ou aquilo então ser isso Exclui aquilo ou ser aquilo exclui aqui nós não vamos tratar dessa maneira na matemática e na lógica proposicional que nós vamos ver lá na última semana esse ou ele é inclusivo então quando eu disser União eu estou

considerando todos os elementos de A e B já a intersecção ela vai pegar os elementos que pertencem ao mesmo tempo a a e a b então precisa pertencer dos dois ao mesmo tempo para eu dizer que faz parte da intersecção de A e B isso a gente consegue verificar pelos diagramas né pela ilustração dos diagramas aqui eh como exemplos né Tem vários exemplos nós vamos dar uma olhada rapidinha aqui por três conjuntos a b e c bom e o a é composto por 0 2 4 6 8 e 10 B 0 1 desculpa o b

é 1 2 e 3 e o c sim 0 5 10 e 15 que seria a união de a com B significa que eu vou pegar todos os elementos de a vamos juntar aqui vamos unir todos os elementos de B 0 o 1 o do já faz parte de ambos os elementos nós vamos contar ele uma vez só então 0 1 2 o 4 6 8 e o 10 nós agregamos aqui juntamos os elementos dos dois conjuntos e o que seria a intersecção de a com B intersecção de a com B vai ser justamente Quais

são os elementos que pertencem a a e a b ao mesmo tempo o único se a gente for pensar aqui que pertence aos dois conjuntos ao mesmo tempo é o do então o conjunto intersecção a com B é um conjunto unitário que tem só o dois eh pode ser que não tenha nenhum elemento em comum ou seja intersecção seja vazia que é o caso da intersecção de B com c ou c com B que elementos temos em comum por exemplo entre o b e o c se a gente for pensar 1 2 e 3 o

1 o 2 e o TR ele não aparece no C da mesma maneira se a gente pensar ao contrário 0 5 10 e 15 não pertencem a b portanto a intersecção de B com c posso falar também de c com B ela é vazia é um conjunto vazio não tenho nenhum elemento que que seja dos dois conjuntos ao mesmo tempo eh e aqui a gente tem uma série de outros exemplos que convém ir estudando Dando uma uma olhada e testando né verificando e agora nós vamos pensar só um um um tipo de união e de

intersecção que é um pouquinho pode ser um pouquinho mais diferente que envolve Justamente a ideia do conjunto vazio bom o que seria a união de um conjunto a qualquer com o conjunto vazio bom o conjunto União ele é o qu ele pega todos os elementos de a que pertencem a a ou que é o nosso ou inclusivo que dos elementos que pertencem ao conjunto nesse caso vazio bom existe se é o conjunto vazio ele tem algum elemento que pertence a ele não Então essa afirmação aqui de um elemento x pertencer ao vazio é falsa então

eu posso dispensar essa parte aqui essa informação o que significaria a união com o conjunto vazio significaria somente essa primeira parte Ou seja todos os x que pertencem a conjunto A a união de a com o vazio é o conjunto A e a intersecção como seria a intersecção com o conjunto eh vazio definição do conjunto intersecção nesse caso seria todo x que pertence a a e ao mesmo tempo todo x que pertence ao conjunto vazio bom nós já Vimos que o conjunto vazio não tem elementos então eu não tenho nenhum x que possa pertencer ao

conjunto vazio logo isso aqui é falso eh se eu preciso das duas condições para considerar esse meu conjunto intersecção e As duas têm que ser verdadeiras se essa daqui já foi falsa significa que as duas a condição geral também é falsa Ou seja eu não tenho elementos x que pertencem a esse conjunto então a intersecção do conjunto A com um conjunto vazio ela é é um conjunto vazio eh por fim nós temos aqui mais uma uma relação de entre conjuntos que é o conjunto diferença eh que significa todo por exemplo um conjunto A e um

conjunto B O que significaria o conjunto diferença a com b e que pode ser também escrito com essa terminologia a bar B é todo x que pertence a a e não pertence a b né visualmente nós temos essa consideração que seria o a menos o b nessa primeira nessa primeira situação é todo elemento de a e vazio que nenhum elemento de b seria aqui todo elemento de a né sem essa parte aqui que pertence também a b né Essa intersecção e nesse caso em que o b é subconjunto do a nós teremos só essa parte

externa aqui né é todo elemento do a e que não faz parte de B esse seria a ideia de conjunto diferença bom agora nós vamos fazer um uma situação problema que utiliza a ideia de conjuntos né para resolver um pouco dessa teoria aplicado aqui num problema prático ou com uma inspiração na vida real né então Vamos considerar esse enunciado Foi realizada uma pesquisa com algumas famílias para saber quais serviços de streaming elas assinam veja os resultados da pesquisa estão nessa tabela então nós temos na tabela os serviços ABC né e as quantidade de famílias que

assinam esses esses serviços de streaming bom o A4 b50 C3 mas percebe temos famílias que assinam mais de um serviço A e B 15 A e C 25 B e C 10 A B e C C eh a minha pergunta for quantas famílias foram entrevistadas bom a princípio se eu eu posso pensar o seguinte e se eu somar tudo se eu somar esses números aqui esses valores das famílias eu obtenho quantas foram entrevistadas certo errado por quê Porque quando eu por exemplo Cinco Famílias assinam A B e C esses cinco estão sendo contados também aqui

em famílias que assinam a e c Por exemplo em famílias que assinam a então eu vou acabar contando mais de uma vez as famílias se eu só somar todos esses valores O que que a gente precisa fazer a gente precisa eh distribuir destrinchar esses números entre aqueles que assinam só a só B só C né os que assinam os três que já está aparecendo na tabela o que assina dois e é aí que a gente vai conseguir responder o nosso problema que é o quê quantas são as famílias entrevistadas para isso nós vamos usar os

diagramas né o diagrama de eiler ven e primeiro primeiro ponto que a gente tem que tomar cuidado principalmente para vocês que são futuros professores né que vão trabalhar esse conteúdo em sala de aula aqui nós vamos usar como estratégia de resolução de problemas nós vamos anotar aqui no nos diagramas os valores que correspondem à quantidade de famílias cuidado esse número 30 5 que tá aparecendo aqui no diagrama não é o elemento 5 não é o elemento 20 é uma estratégia que a gente usa um recurso que nós vamos usar visual para nos organizar significa Quantos

elementos eu tenho em cada pedacinho desse Tá então vamos lá e como é que a gente faz em termos de estratégia de resolução desse problema vamos começar pela intersecção de todos os conjuntos que é essa aqui eu sei que a b e c corresponde a cinco ou seja tenho cinco famílias que assinam os três Qual é a intersecção dos Três É esse miolinho aqui então eu tenho cinco que assinam a b e c vamos passar para essas duplas a e b b e c a e c vamos lá o b e c nós temos 10

famílias que assinam B e C então 10 famílias assinam B e C significa o quê E essa intersecção isso daqui representa os que assinam B e C cinco já assinam a b e c quantos sobram né dos que assinam só B e C cinco com cinco 10 então aqui temos cinco Então temos somente Cinco Famílias que assinam só b e c não o a também vamos para a e c a e c temos 25 famílias Qual é a intersecção de a e c é isso aqui ó né Tenho 25 se cinco já estão aqui computadas

nesse miolinho quanto que falta 20 e o 20 a gente anota 20 aqui bom A e B é o que falta A e B são 15 famílias né cinco foram computadas já ali na intersecção dos três o que que me resta aqui 10 Então nós vamos anotar 10 aqui fora agora nós já temos os valores as quantidades de famílias que assinam a b e c b e c a e c a e b Vamos pensar agora as que assinam exclusivamente a a b e c bom a nós temos 40 famílias 20 nós já colocamos aqui

5 aqui 25 outros 10 aqui temos 20 25 35 quanto que falta para 40 5 Então temos Cinco Famílias que assinam somente o a e o b b nós temos 50 famílias 10 + 5 15 com 5 20 quanto falta ali para 50 30 30 famílias assinam somente b e o C C São 30 famílias 20 que nós já temos aqui do a com C + 5 25 com mais 5 30 ou seja não tenho nenhuma família que assina somente o serviço de streaming C como é que a gente faz a agora para saber quantas

famílias foram entrevistadas que essa era a nossa pergunta Inicial nós vamos somar esses valores aqui porque agora eu já distribuí melhor eu já organizei melhor eu não tô contando duas vezes a mesma família fazendo essa conta 0 5 + 5 + 20 + 5 + 10 + 30 chegamos a 75 então foram entrevistadas 75 famílias e com isso nós chegamos a essa a aula sobre conjuntos Espero que tenham gostado e até a próxima [Música] [Música] 2 [Música]