Integrais Duplas em Regiões Gerais: Como resolver? | Cálculo

oi oi gente cima na minha Ester vê lá se não esteja bem vindos a mais um vídeo do canal matemática no vídeo de hoje a gente vai continuar falando sobre integrais duplas aqui em casa com várias variadas só que a gente vai começar a falar sobre regiões Gerais Então antes de começar a já curti embaixo se inscreve no canal e vamos lá ó Oi gente então na anterior sobre integrais duplas a gente aprendeu a calcular a integral de uma função de duas variáveis em regiões retangulares então a gente viu por exemplo essa função aqui se

a gente quiser calcular o volume do sólido formado em baixo dela nessa região retangular aqui a gente pode fazer isso usando uma integral dupla essa integral dupla Nadia até B no eixo X e descer até de no eixo Y e aí como se tratava de uma região retangular a área tanto faz né base vezes altura ou altura vezes base vai ser a mesma coisa então aqui a diferencial de ar que o dydx tanto faz a ordem Pode ser dxdy então integra primeiro relação a x depois em relação à Y ou então o primeiro relação à

Y depois em relação a x então quando se trata de regiões retangulares a gente pode colocar integral na ordem que a gente quiser o link Force mais fácil para gente tá mas isso não quiser a integral da função em uma região retangular assim bonitinha eu quisesse integral e uma região mais diferente tona assim então uma região que não é reta bonitinha que a gente consegue calcular a área facilmente como que vai ficar isso aqui então vamos ver Por exemplo essa função onde a gente quer calcular a integral dela nessa região aqui embaixo que parece uma

folha a folha de uma árvore aqui né como é que agente faz para calcular integral dessa função nessa região aqui gente quando a gente está falando de integrais duplas em regiões Gerais a gente vai falar aqui essa região ela não vai se limitar a dar é um retângulo de largura e tal e altura tal não isso aqui vai ser uma região limitada por funções ou seja quem está limitando a função aqui nessa parte é uma função e aqui nessa parte outra função as as ações estão estabelecendo uma área aqui embaixo e a gente quer calcular

a integral da função em cima dessa área que no caso seria o volume do sólido formado aqui embaixo bom a gente viu que quando a gente quer calcular esse tipo de integral Aqui a gente usa integral dupla né integral da função f de x e y na região R só que a região R nesse caso é limitada por funções Ela não é uma região retangular né Então nesse caso a nossa diferencial de ar vai fazer diferença então a gente colocar dydx e integrar primeiro um Y é diferente de colocar dxdy e integrar primeiro x Concorda

porque não é um retângulo bonitinho não é aquela coisa ideal que fica mais simples gente então o que vai mudar aqui nas integrais duplas sobre regiões Gerais é que a gente não vai mais analisar só apenas aquela região x de tanta tanto e y do que até aqui não agora a gente e as funções que estão limitando aquela região e de acordo com a região que a gente tem ali a gente pode classificar em dois tipos região do tipo e região do tipo 2 cada uma delas vai dar para gente uma integral de diferente mas

fica tranquilo que é muito mais simples do que parece Vamos lá ver bom então se a gente tem uma região é rica onde a gente quer calcular integral ele da nossa função a primeira coisa que a gente faz antes de calcular essa integral entender essa região R então que no caso a gente queria entender essa folha de uma árvore né Qual é o comportamento dessa região como ela se comporta que qual é o funcionamento dela tá entender como essa região se comporta a gente vai ver as regiões do tipo 1 e do tipo 2 Então

vamos lá entender as regiões do tipo vão ser aquelas regiões em que o x varia de um ponto até outro ponto tem um X tem uma variação bem definido ali enquanto Y Tavares a função até outra função Não repare que a diferença o X em uma variação muito bonitinha ali muito concreta né enquanto Y tá tipo assim que tem uma função aqui tem outra Wilson tá variando entre as duas então para ficar mais simples e a gente ver Olha só esse desenho repara o seguinte essa é a nossa região R se eu quero calcular a

integral de uma função em cima dessa região a gente consegue escrever X lindo desse ponto a até esse ponto bem Oxe está variando bonitinho desse ponto até esse dentro dessa região R né só que o y que a gente não consegue definir direitinho ah ele tá variando Daqui até aqui uma coisa retinho É bonitinha não porque o Y tem uma variação que vai mudando né o y daqui até aqui é diferente do Y daqui até aqui que é diferente do Y daqui até aqui então o y está variando de acordo com os dentes aqui mas

de acordo com funções ele varia de uma função para outra então ó ele tem essa variação se você quiser deixar ainda mais concreto aqui vamos pensar que isso aqui é um Riachinho na parte de um Riacho né que segue para lá claramente mas analisando apenas essa parte do riacho a gente vê que a água tá fluindo na direção do eixo X tá fluindo aqui dessa reta para essa reta e as bordas do riacho que são aquela coisa meio torta um Riacho não quer retinha né não ser as funções que estão definindo a variação no eixo

Y Mas então beleza o exercício de uma região R ele quer integral de alguma função em cima dessa região E aí eu vi que é uma região do tipo um porque o X tem essa variação bonitinho aqui e o y em uma variação entre funções então ok região do tipo 1 o que que eu faço que calcular integral Qual é o próximo passo depois de descobrir o tipo de região aí a gente o Integral dessa forma aqui gente a integral de uma função f de x y em cima de uma região R do tipo um

vai começar com a integral em relação a y e depois a gente vai integrar em relação a x então para fixar melhor é só lembrar como o y varia de acordo com funções a gente integra ele primeiro então a prioridade aqui em varia de acordo com funções e depois a gente entrega aqui em relação a x que tá mais simples né daqui até aqui tá bem definidinho onde que o x tá variando então o que importa na região do tipo 1 é que a gente sempre vai começar integrando em relação a y e essa integral

vai de GTX até HD x GTX é a função que está mais embaixo e hgx é a função que está mais em cima são as funções que definem a variação aqui no eixo Y e aí calculadas integral de dentro a gente vem para integrar o de Fora a gente pega esse resultado aqui da integral de dentro e integra em em x de A até B que é de onde até onde ele está variando beleza agora e se fosse ao contrário Então um Y tá variando bem definido que de um ponto A até o ponto b

ó que a aqui é b e o X é quinta variando entre as bordas do riacho então entre funções aqui como que a gente vai escrever esse tipo de integral agora como é o x que a variando entre funções a gente vai integrar em relação a x primeiro da função g d y que a quem vem primeiro que até a função hdy que é que vem mais a direita então gente um ponto importante aqui para ressaltar é que quando a gente tem essa região do tipo 2 A gente tem que escrever as funções envolvidas como

x igual fdy tá bom o X tem que estar em função de y então aqui a gente entrega em relação a x é de y até hdy E aí depois a gente entrega em relação aí eu já até bebê então na região do tipo um a gente coloca essa variação entre funções no y e na região do tipo 2 essa variação está no eixo X Mas pode acontecer de alguma região ali cedo tipo 1 e do tipo dois ao mesmo tempo Aí você escolhe como você quer resolver se você quer usar essa integral ou integral

da região do tipo Beleza então vamos ver na prática como a gente faz isso aqui a gente quer calcular a integral da função x + y em uma região R sendo que essa região R é a Região compreendida entre as curvas x ao quadrado mais 1 e 2 x ao quadrado que são funções de X aqui né o gdx e aqui hdx a primeira coisa de todas que a gente vai fazer esse tipo de exercício é desenhar região R então é importante a gente tá bem fresco na mente como que funciona os gráficos da em

calculo1 como que a gente consegue desenhar a função então normalmente não são funções muito complexas assim que a gente precisa ir além para desenhar o gráfico tão importante a gente saber as funções básicas ele funções quadráticas funções lineares porque normalmente são elas que vão limitar uma região ele para gente então vamos começar com função gdx ela é a função x ao quadrado mais um bom a gente conhece a parábola da função x ao quadrado essa parábola que passa pela origem a e cresce para lá e para cá da mesma forma Só que no caso não

é x ao quadrado é x ao quadrado mais um então a gente movimenta-se a parábola uma unidade para cima e aí a gente tem a função hdx que a parábola 2x ao quadrado a gente conhece o x ao quadrado né que é uma função assim comum mas quando a gente multiplica por dois a gente está comprimindo a nossa função porque você tá multiplicando por 2 ela tá crescendo mais né que valeria um vai começar a valer dois se valia 2 Eu falei quatro então a tá crescendo mais rápido do que o x ao quadrado sozinho

então a gente vai ter uma parábola assim e ela vai ser parecida com a parábola roxa só que ela vai ser um pouco mais comprimido assim tá então ele fala que a região R é a Região compreendida entre essas duas curvas que a gente desenhou então cada Essa região é justamente essa região que tá aqui dentro né gente que tá ali acolhida pelas duas funções não poderia ser essa por quê que vai lá para o infinito e aqui também vai lá para o infinito não é como se as duas funções estivesse em compreendendo essa região

acolhendo em uma casinha Então passa um só e a gente desenhar região R desenhar as curvas que limitam e achar onde está a região r o segundo passo é a gente estudar essa região onde ela começa e onde ela termina tanto no eixo X quanto no eixo Y bom aqui no eixo X ela começa nesse ponto de intersecção entre as curvas e termina nesse ponto de intersecção Então ela vendo aqui vai vai vai vai vai até chegar aqui no outro ponto de intersecção agora no eixo Y e começa aqui no Vale da parábola Azul. Mais

baixo das e parábolas e vem aqui até o ponto mais baixo da parábola roxa ela tá variando entre a parábola azul que a parábola roxa já tá percebendo alguma coisa aí né então sobre o y a gente já pode falar que ele é maior ou igual a parábola Azul ele começa nela né então é maior ou igual 2x ao quadrado e ele é menor ou igual a parábola roxa então menor ou igual a x ao quadrado mais um ele tá variando entre 2 x ao quadrado e x ao quadrado mais um então repara ele vem

daqui até aqui ele varia entre uma função e outra já o X por outro lado varia entre esse ponto e esse ponto Então esse ponto a e esse ponto bem então vamos lá encontrar quem são esses pontos eles são os pontos de intersecção entre as duas funções são os pontos tipo as portas ali dessa região né que definem onde a região tá começando e o eixo horizontal para isso a gente igualam uma função a outra x ao quadrado + 1 = 2x ao quadrado passando tudo aqui para o lado direito a gente tem dois x

ao quadrado menos x ao quadrado menos 1 igual a zero então x ao quadrado igual a um portanto os pontos de intersecção ocorrem x igual mais um e menos um então aqui é o primeiro ponto de intersecção menos um e aqui outro ponto de intersecção mais um portanto x nessa região varia de menos um até um tão gente pelas definições que a gente viu isso aqui é uma região do tipo um repara que a gente não consegue escrever o y variando de uma forma bem definida de um ponto até o outro e o x variando

entre funções a gente não consegue fazer isso nessa região essa região está sendo definida com um Y variando entre funções e o x variando de um ponto a outro logo como que vai ficar nossa integral aqui nesse e vai ser integral dupla como é uma região do tipo um Primeiro vai vir o de Y tem um X + Y em relação a y Yo Y tá variando de 2x ao quadrado até x ao quadrado mais um então de 2x ao quadrado que a função que tá mais embaixo Ok até x ao quadrado mais um que

a função que está mais em cima e aí depois a gente entrega em relação a x que tá variando entre menos um gente não tem o primeiro passo para esse tipo de exercício já foi a gente já conseguiu desenhar região R fazendo as curvas ele esboços dos gráficos né e baseado nessa região é e a gente viu Oxe está variando de menos um até um tá bem certinho Ele quadradinho né enquanto o y está variando de uma função até outra o y tá aquela variação mais livre assim então a gente consegue escrever isso com uma

região do tipo 1 então a gente entrega primeiro em relação à Y depois hein Ah tá bom então agora é só a gente resolver essa integral Vamos lá gente então vamos começar aqui com o integral de dentro que a mãe integral em relação à Y Então vou colocar eu separado aqui em baixo tá bom a gente tem a integral de X + Y em relação a y calculada de 2x ao quadrado até x ao quadrado mais um o x a gente está tratando como uma constante né porque a gente está integrando em relação à Y

então a primitiva de X em relação à Y vai ser XY que a constante vezes a variável EA primitiva de y vai ser y ao quadrado sobre dois que a função que quando a gente deriva resulta em y e aí a gente vai calcular isso aqui de y = 2x ao quadrado até Y igual a x ao quadrado mais um primeiro a gente aplica x ao quadrado mais um lugar de y Ahí vai ficar x ao quadrado mais um primeiro termo mais a x ao quadrado mais 1 ao quadrado sobre dois três segundo termo e

aí a gente faz menos o 2x ao quadrado aplicado no lugar de y são x 2x ao quadrado mais 2x ao quadrado ao quadrado sobre dois e aí agora vamos dar uma simplificada nisso aqui né então aqui a gente consegue fazer o chuveirinho vai ficar x Ao Cubo mais x e aqui a gente consegue aplicar produto notável o quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo tudo isso até / 2 aí aqui a gente tem x 2x ao quadrado que dá 2x ao cubo 2x ao quadrado ao

quadrado a gente coloca o quadrado em tudo aqui né em todos os termos então fica 4x a quarta sobre dois e aí a gente consegue juntar esse termo com esse aqui aí fica tudo e na fração menos dois x Ao Cubo mais x Ao Cubo fica menos x Ao Cubo e esse x fica aqui e aí a gente pode até multiplicar o 2x ao cubo por dois em cima embaixo Aqui 2 x 2 em cima embaixo né pra juntar tudo na mesma fração vai ficar menos três dias a quarta menos 2X ao cubo que é

o que tá entrando a glória + 2x ao quadrado mais 2x mais um tudo isso sobre dois então esse é o resultado da integral de dentro e aí é isso aqui que a gente vai integrar agora em relação a x de menos um até um então agora nossa integral de fora né Então como que vai ficar isso aqui colocando a constante um sobre dois para fora porque tava tudo dividido por dois a gente vai ter 1 sobre 2x a primitiva de tudo isso que tá aqui dentro então vamos analisar termo a termo quem é a

primitiva de - 3x a quarta a regra do expoente vai ser - 3x a quinta sobre 5 - 2x ao cubo vai ficar menos dois x a quarta sobre quatro que dividindo por 2 em cima embaixo fica x a quarta sobre dois de 2x ao quadrado vai ficar 2x ao cubo sobre 3D 2x é o próprio x ao quadrado e de um ex então aqui a gente encontrou a primitiva de cada termo individualmente seguindo a regra do expoente E aí a gente vai calcular isso que de X = -1 até x igual a beleza então

agora vamos substituir esses valores de x para x = 1 a gente vai ter menos três quintos menos 1 sobre 2 mais 2 sobre três mais um mais um né agora para menos um a gente vai ter menos três vezes menos um que é 3 sobre 5 menos nós temos um a quarta é um então fica menos 1 sobre 2 menos 1 ao cubo é menos um então duas vezes menos não fica menos dois terços - 1 ao quadrado é um então fica um mesmo e aqui fica menos um aí eu vou colocar tudo no

mesmo denominador aqui tá bom Gente vou colocar no denominador 30 que é um múltiplo comum de 3 2 e 5 então aqui 30 por cinco é 6 x 3 - 18 aqui 30 por dois é 15 fica menos 15 aí que 30 por três 10 x 2 20 aí aqui esse dois vai virar 60 né que você sente sobre 32 E aí deixando tudo no mesmo denominador a gente vai ter isso aqui então fica meio vezes 64 que a soma de tudo isso sobre 30 que vai dar 64 sobre 60 e dividindo por quatro em

cima embaixo fica 16 sobre 15 então O que é a integral da função x + y nessa região R que é compreendido entre essas duas curvas agora vamos fazer esse aqui gente a gente quer integral da função x y e uma região R que é compreendida entre as funções y = x e y igual a x ao quadrado Primeiro passo é a gente desenhar essa região né então vamos desenhar as duas funções que ele deu aqui y = x Quem é essa função é uma função onde o y é sempre igual x né quando eu

fizer 18 não é um quando estiver 2Y é dois então é a nossa reta a identidade cada X corresponde ao Y igual e aí o hdx é a parábola x ao quadrado que é famosa a gente conhece né então forma algo assim Nesse estilo né E aí a região R é compreendida pelas duas curvas então ó ela tá aqui bonitinha nessa região que as duas curvas estão acolhendo ela o segundo passo é a gente analisar Que tipo de região é esse estudar essa região R não a gente pode falar que no eixo X a gente

tá vindo aqui de 0 até esse ponto de intersecção entre as curvas né vai acontecer em x ao quadrado = x então x ao quadrado menos x igual a zero portanto x x - 1 = 0 então a intersecção entre as duas funções acontece um x = 0 ou 1 x - 1 = 0 que a x igual a um então aqui a gente tem o ponto de intersecção zero e aqui um Então vamos falar que o x tá indo de 0 até um em um Y ele tá variando aqui da função roxa até a

função azul né ele varia de uma função até outra então Y é maior ou igual x ao quadrado e menor ou igual a x aí você vira e fala para mim não eu vi outra coisa eu vi aqui no eixo Y uma variação e até um variado bem definido Entre esses pontos e aí eu vi o x variando entre funções então variando da função Azul até a função roxa você não tá errado também Porque de fato aqui nesse caso a gente pode ver o y variando entre a função roxa função azul como a gente também

pode ver o x variando entre a função azul e a função roxa enquanto Y varia entre pontos definidos aqui então a gente também pode escrever que o y varia entre 0 e 1 e que o x varia entre duas funções quem são essas duas funções lembra que quando X variam entre funções a gente tem que escrever Essas funções como funções de y pressa a primeira função já tá é feito né o x já tá isolado a gente tem x = y festa segundo aqui a gente passa o quadrado para lá como a gente tá falando

apenas de X maior igual a zero a gente pode fazer isso E aí vai ficar aqui x = raiz quadrada de y Então essa aqui é a segunda o y então x tá variando da reta azul que a reta representada por y até a curva roxa que é a raiz quadrada de y então gente isso é uma região tanto do tipo 1 quanto do tipo 2 ela pode ser escrita como x variando entre valores definidos e o y entre funções como pode fazer o contrário também então você pode escolher qual daquelas integrais você vai usar

tá bom como no exercício anterior a gente já fez uma integral da região do tipo um agora vamos fazer de uma região do tipo 2 a gente quer integral da função XY onde o x tá variando entre y e Raiz de y então primeiro a gente integra em x entre y e raiz quadrada de y e depois a gente integra em Y De 0 até um Então vamos lá começando pela integral de dentro a gente quer integral de x e y em relação a x calculada de y até raiz de Y e aqui nesse caso

Y tá sendo tratado como constante então a primitiva vai ser Y vezes x ao quadrado sobre dois isso calculado de X = Y até raiz de y então a integral de fora vai ser integral de 0 até um de y ao quadrado sobre 2 menos y Ao Cubo sobre dois ou se você preferir como os dois estão sendo divididos por dois a gente pode colocar um sobre dois para fora e e fica só y ao quadrado menos y Ao Cubo E aí agora primitiva de y ao quadrado menos y ao cubo de y ao quadrado

é y Ao Cubo sobre três edgy Ao Cubo é y a quarta sobre quatro e aí a gente calcula isso de y = 0 até Y = 1 Então a gente vai ter 1 sobre 2x 13 - 14 e aí quando a gente 10 vai ser é tudo né fica 0 sobre 3 - 0 sobre quatro então a gente nem precisa levar em conta que para esse caso e aí aqui a gente pode deixar no mesmo denominador né no denominador 12 E aí vai ficar 12 sobre três quatro quatro x14 - 12 sobre 43 x13

Então a gente tem 1 sobre 2 x 1 sobre 12 portanto a gente encontra aqui nossa integral vale um sobre 24 Então nesse caso é uma região tanto do tipo 1 quanto do tipo 2 mas a gente optou fazer como uma região do tipo 2 se você fizer do tipo um vai dar o mesmo resultado tá bom gente inclusive Essa região é essa região que a gente viu aqui no começo da aula que parece uma folha né então a gente calculou Justamente a integral dessa função roxa nessa região R bom gente então foi esse no

vídeo de hoje eu espero que vocês tenham gostado na próxima aula a gente vai os exercícios relacionados a isso tá bom mas então não esquece de curtir e se inscreve no canal compartilha com seus amigos e já me segue lá no Instagram para ficar por dentro de tudo Tá bom então a gente se vê no próximo vídeo gente beijo