8 MEF1 AULA 4 ETAPA 1

então Eh com o exemplo simples da mola nós conseguimos fazer um mapa Geral de todas as aplicações de elementos finitos né Eu acho que nós já estamos convencidos que o conceito de rigidez tá agregado a mola e quando você pega um modelo em elementos finitos Cada nó ele tá contabilizando uma rigidez em cada uma das direções que é juridicamente representado por uma m Então esse cenário aqui é importante que a gente tenha muito Claro porque todas as aplicações de elementos finitos vão cair NS que tá aqui o foco que a gente deu inicialmente foi para

entender o primeiro grande Alicerce do método que é entender a rigidez da estrutura a partir da rigidez de cada um dos seus elementos né as equações de Equilíbrio e compatibilidade que geram um procedimento de montagem de sorte que a partir da rigidez de cada elemento você determina a rigidez da estrutura o determinante é zero você aplica as restrições aplica os carregamentos E aí você vai resolver um sistema de equações nós vamos falar um pouco sobre isso depois né porque tem uma técnica numérica para fazer isso quando são aqueles românticos problemas de três equações a três

incógnitas você resolve pelo méo de crammer quando você pega 8 milhões de equações 8 milhões de incógnitas que é uma coisa normal hoje né até num num micro ou num notebook assim com bom recurso você faz isso né e depois pois a partir do deslocamento nodal você vai calcular reação de apoio e entrar no domínio de elemento e nós usamos um elemento simples para poder entender um conceito bem geral eu gostaria de mostrar um problema que vai motivar o que nós vamos fazer aqui quer dizer Nós estudamos até agora só um elemento que faz parte

da biblioteca do software que é o elemento de mola e já falamos da importância dela nós vamos falar do elemento de trel o elemento treliça é um elemento muito simples e da mesma maneira que a gente estudou a mola para entender o processo de montagem o elemento de treliça ele tem uma característica muito importante que também é muito maior que ele em si ele vai perceber ele vai vai nos fazer perceber a importância de quando você trabalha com modelos que ocorrem no espaço ou seja todos né que são tridimensionais como algumas transformações são feitas mas

o conceito é muito simples para isso para motivar o porquê que nós vamos fazer isso eu vou pegar um exemplo que todos vocês já conhecem e sabem resolver eu vou pegar um exemplo muito simples de uma de uma estrutura né uma estrutura ó vou desenhar a estrutura aqui eu vou desenhar aqui um carrinho olha só e aqui vou desenhar um outro carrinho esse carrinho aqui ele tá aqui só para motivar que nem a rainha da Inglaterra né ela não tem nenhuma função ela tá lá só para né quer dizer assim ó o que vai interessar

para nós mesmo é o cidadão que nós vamos desenhar aqui agora que é essa mola Aqui nós temos uma mol que tem uma constante k1 temos uma outra mola aqui que é a constante K2 Perfeito nós temos aqui os nós né ó Isso aqui é um nó vamos chamar de a vamos chamar esse aqui de b e vamos chamar ess aqui de C E nós queremos montar a rigidez dessa estrutura n esse conjunto de mveis bom como é que procedimento procedimento é aquilo que já tá consagrado né então nós estamos raciocinando igual ao software né

o software el nem sabe ele tem um profundo desconhecimento do que são as equações de Equilíbrio e compatibilidade elas foram transformadas num procedimento de montagem por intermédio dos vetores de localização Então essa primeira mola trabalha entre a e b Qual é a k1 k1 - k1 e Men k de onde que a gente tirou isso aqui da biblioteca de elementos do software Porque qualquer elemento de mola Essa é a matriz de rigidez dele então essa mola trabalha entre a e b e agora nós vamos representar essa segunda mola essa segunda mola trabalha entre B e

C de novo a ideia do vetor de localização então aqui eu tenho K2 K2 - K2 e - K2 que que nós vamos fazer agora montar a matriz de rigidez da estrutura a partir da rigidez de cada um dos seus elementos Então esse é o processo de montagem bom nós vamos fazer o processo de montagem e nós vamos fazer a representação aqui ó esse daqui é o a esse aqui é o b e esse aqui é o C esse aqui é o a esse aqui é o b e esse aqui é o c e agora

nós vamos estabelecer o procedimento de montagem de sorte que a partir da rigidez de cada elemento nós vamos montar a matriz de rigidez da estrutura bom linha a coluna A como nós já sabemos é o k1 linha a coluna B é o Men k1 linha a coluna c é z0 perfeito muito bem linha B a é k1 agora a linha B coluna B a linha B coluna B eu tenho o k1 e tenho o K2 então aqui entra o k1 mais o K2 certo já fizemos isso aqui menos K2 aqui linha C coluna a0 aqui

menos o K2 e aqui entra o K2 perfeito muito bem agora agora nós vamos colocar uma terceira mola aqui que é esta mola K3 e esse daqui é o ponto D vamos montar a matriz de rigidez desta mola K3 eu vou colocar a matriz de rigidez desta mola K3 esta mola trabalha entre C e D ou seja isso aqui é K3 isso aqui é K3 isso aqui é - K3 isso aqui é Men K3 é isto que está na bibla de elementos do software isso tem um motivo Vital essencial imagina um carinha que tá desenvolvendo

um soft de elementos finitos acima da linha do Equador no Lago de Michigan tomando um vinho da Califórnia você acha que esse cara tá preocupado com o carinha que tá aqui na Praça da Árvore fazendo um modelo de elementos finitos se esse cara for pensar Qual é a posição que essa mola vai est na estrutura esse cara abraçou a derrota Porque ele vai ter que criar uns 10 elevado o elementos de mola é uma Evidente impossibilidade o que eu quero dizer com isso é o seguinte quando você pega uma mola a característica física dela independe

da posição que ela está o que eu quero dizer é o seguinte qualquer elemento finito qualquer para ser de uso absolutamente geral ele tem que ser formulado nesse sistema local dele ou seja a mola ela foi pensada para trabalhar em deformação axial ela pode est assim ela pode est assim ela pode est assim a característica de rigidez axial dela não muda tá certo o que eu quero dizer é o seguinte baseado nisso eu poderia pensar e fazer uma outra coisa que é o seguinte Ah então vamos montar a rigidez dessa estrutura inteira como a estrutura

trabalha entre a B e C e D Aqui tá o d e aqui eu vou colocar o d só que aqui eu preciso fazer uma correção porque eu tenho CC olha aqui no CC tem o K3 então eu vou somar com K3 aí aqui aqui eu vou colocar - K3 aqui eu colocar - K3 e aqui eu vou colocar o K3 a pergunta é eu posso fazer isso podemos fazer isso a resposta a essa pergunta define uma das tarefas mais importantes do procedimento de montagem até agora nós trabalhávamos com todas as molas numa mesma direção

todas estavam orientadas dessa forma aqui agora o que que é isso essencialmente quando eu somo K2 com K3 o que que é o k Que grandeza física é o k então agora convém que a gente Pense com muita calma nisso que nós estamos falando aqui vocês devem lembrar muito bem desta figura aqui o que que é o k J é a força vou repetir é força que atua no grau de liberdade e quando você dá um deslocamento unitário no grau de liberdade j e os outros estão o quê bloqueados eu dis a forçar O que

que é o k 131 é a força que atua no grau de liberdade 13 quando você dá um deslocamento unitário no grau de liberdade um e os outros estão o quê estão bloqueados o que que é o k 2 3 e a força que atua no grau de liberdade dois quando você dá um deslocamento unitário no grau de liberdade TRS e os outros estão bloqueados ou seja rigidez é uma grandeza física que mede força associada a deslocamento unitário e força tem direção e tem sentido força é um vetor eu quero dizer o seguinte quando eu

tô fazendo isto aqui k + KB quando eu estou fazendo isto k k como nós fizemos isso daqui no nosso exercício Olha só olha aqui olha a soma aqui dos diversos cas tudo isso foi feito isso aqui é um somatório de forças são forças que são somadas em cada grau de liberdade ou seja a força é uma grandeza vetorial eu não posso pegar uma força 3 uma força 4 e dizer que a soma da sete is soma de Vetor Então eu preciso tomar um cuidado muito grande ao fazer isso porque quando eu tô fazendo essa

soma aqui esta força atua nesta direção e esta força atua nesta direção então rigorosamente isso daqui isso aqui tá errado não bom como é que eu resolvo isso então aí é que vai motivar o que nós vamos fazer agora o elemento de treliça vai dar o subsídio pra gente poder compreender como é que eu trato essa questão porque até agora todas as molas estavam orientadas numa mesma direção eu tava somando vetores todos na mesma direção Agora eu não posso fazer isso porque na hora que eu pego aqui essa direção e eu tô trabalhando com força

que atua nessa direção Eu tenho um componente aqui e eu tenho um componente aqui essa é a questão central essa questão que foi tratada simplesmente como algébrica a regor não é mas eu posso continuar trabalhando algebricamente desde que eu lembre de um detalhe muito importante que vem da física a gente comentou nisso né Tem cara que coça a orelha esquerda com a mão direita né Nós não vamos tornar a solução mais difícil do que o problema por quê Porque vetor Projeção de Vetor é grandeza algébrica quando você trabalhava na física e você queria estudar o

equilíbrio você colocava somatória do FX somatória do fy Y somatória de FZ ig a z0 por quê Porque Projeção de Vetor é grandeza algébrica Então nós vamos fazer a mesma coisa aqui a grande ideia de continuar trabalhando algebricamente não é tratar essa soma de vetores no espaço Por intermédio de soma vetorial Mas trabalhar de forma algébrica E para isso a gente precisa lembrar de uma de um conceito fundamental que vem da física da mecânica que a projeção de um vetor é uma grandeza algébrica então eu trato de forma escalar né com o sinal é isso

que exatamente nós vamos fazer então para isso nós vamos estudar nós vamos dar início ao elemento de barra de treliça que é um novo elemento né que é a barra de treliça e que ela a Rigor é muito simples nós vamos deduzir juntos isso aqui agora tem uma questão que que que é fundamental né quando eu pego uma barra por exemplo pegar uma barra de treliça olha só a barra nós já falamos isso e vamos detalhar essa questão né ela tem rigidez axial né ó tração compressão tração compressão ela tem rigidez a flexão ela tem

rigidez a flexão no outro plano e ela tem rigidez a Torão vamos nos fixar inicialmente na rigidez axial Olha só se você pegar uma barra vou pegar uma barrinha aqui né é uma barra e essa barra aqui nós vamos submeter essa barra a ação de uma força axial de uma força F sob a ação da carga axial então eu vou mostrar aqui a barra antes de deformar ela tem um comprimento L e depois de deformada isso aqui é depois essa barra ela muda o seu comprimento e ela tem uma variação de comprimento que eu tô

chamando de Delta correto então sob ação dessa força F aqui aí é que surge o conceito de deformação o que que é a deformação que a gente estuda na resistência dos materiais lembram é a variação de comprimento da barra que é o delta dividido pelo comprimento Inicial que é o l é se eu quiser eu posso fazer a medição disso por intermédio de um streng gage né Se eu colocar um estens sóro aqui e eu fizer isso aqui Eu meço antes e depois então vamos fazer isso aqui ó esse é o é se eu colocar

um gage aqui eu sou capaz de calcular essa deformação porém porém existe o conceito de tensão agora nós vamos começar a entrar mais na questão da força por unidade de área o que que é a tensão axial que surge numa barra é a força dividido pela área Correto isso aqui é kilof força milm Quad kila por milm qu essas duas relações são relações conhecidas da resistência dos materiais elementar e a lei de uc o Sigma é igual a e e ou seja se você substituir o Sigma a força pela área é igual ao é que

é Delta so L ve o e e o que que isso resulta Então vamos ver no que isso resulta agora Resumindo barra antes barra depois variação de comprimento Delta deformação Delta so l ou seja a deformação ela mede a taxa de variação do comprimento né conceito de tensão se aplicou uma força dividido pela área D tensão axial o Sigma é a força pelo ar só que aqui entra o famoso uc né a lei de uc Sigma e e o Sigma é força por área o é é Delta so l isso aqui resulta no seguinte você

tem uma relação entre força e o deslocamento correspondente que você tem a variação de comprimento né coloquei o delta aqui e vamos melhorar isso daqui o a pro outro lado vai ficar e a so L ve del olha só o que nós chegamos aqui numa barra a relação entre força e deslocamento é uma constante vezes o delta aliás espa aí deixa eu fazer um desenhinho aqui fazer um desenhinho aqui olha só isso não te lembra nada eu vou pegar uma mola essa mola tá sujeita à ação de uma força agora nós vamos mostrar a mola

antes e depois de deformada Olhe só força força isso aqui é o delta Qual é a equação da mola F = k x Delta que que eu posso dizer uma barra quando ela atua única e exclusivamente sob ação de carga axial somente sob ação de carga axial ela se comporta exatamente como uma mola cuja constante elástica é EA so l ou seja uma barra sob ação de carregamento axial tração ou compressão ela se comporta como se fosse uma mola cuja constante é a que a so L onde aqui representa o quê como software de elementos

finitos cham material eu necessariamente para poder contabilizar a rigidez axial de uma barra eu preciso ter a definição prévia do matí aliás eu acho muito estranho quando alguém usa um software de elementos finitos e ele diz assim ah o meu software é tão amigo que ele nunca me pergunta o matio eu já vou calculando ele já dá a resposta para mim ele tá usando algum Def que tem lá dentro né Não dá para acreditar que a rigidez Olha só isso daqui é aess é a tal da property Quando você vai montar um modelo de elementos

finitos nós vamos falar muito sobre isso ainda aqui mas esse é o primeiro digamos assim a primeira visão que nós temos disso o que eu quero dizer é o seguinte uma barra sobre ação axial ela tem o comportamento idêntico a uma mola só que é uma mola de constante elástica EA so l o que eu quero dizer o seguinte se você pegar uma mola vamos desenhar aqui a matriz de rigidez de uma mola é k k k e k qualquer software do mundo qualquer mola do mundo essa é a matriz de rigidez como uma barra

so ação axial é uma mola de constante elástica e a l então vamos desenhar aqui a matriz de rigidez de uma barra de trel dificuldade nisso e l EA so L - EA so l - e so e essa é a matriz de rigidez de uma barra única e exclusivamente sobre ação de carga axial Essa é a matriz de rigidez de uma mola sobre ação de carga axial porque também mola não foi feito para fazer outra coisa né o dia que o cara pegar uma mola e aplicar D uma força cortante na mola isso é

assédio moral coitadinha da mola a mola só foi feita para trabalhar tração compressão ou seja isso aqui é a rigidez axial de uma barra quando a barra só só se manifesta por intermédio da sua rigidez axial a matriz de rigidez é essa é essa que tá lá no software que é o famoso comportamento de treliça que alguns softwares chamam de Rod Element outros chamam de TR Element mas todos são elementos de barra onde a rigidez axial apenas apenas ela se manifesta aí surgi uma discussão interessante né que isso vai motivar a Rigor a Rigor o

elemento de treliça já acabou não tem mais nada para falar dele a importância dele na nossa discussão vai começar agora por um outro motivo porque estudar uma barra sobre ação de carga aial é a mesma coisa que estudar uma mola tudo que a gente falou pra mola vale pra Barra só que a barra sob ação exclusiva de uma carga axial ela tem uma rigidez e sobre L F = k Delta F = k Delta aqui é o k da mola em kila milímetro e aqui é o k da Barra só que é e a so

L para calcular essa rigidez acial da Barra eu preciso conhecer o material dela eu preciso conhecer a área da sessão preciso conhecer o comprimento dela Inicial é isso é que tem uma discussão muito interessante olha só que vai motivar o que nós vamos fazer agora nós vamos começar estudar o elemento de barra e vamos descobrir umas coisas importantíssimas que também vale para todos os elementos finitos e às vezes a gente ouve umas frases estranhas né que que eu quero talvez você já tenha ouvido essa frase que que é uma treliça Ah uma treliça é uma

estrutura constituída de barras que só tem rigidez axial vou repetir uma estrutura treliçada é constituída de barras que só tem rigidez axial precisa combinar com a barra isso aqui né quer dizer essa barra aqui ela tem rigidez axial ela tem rigidez a flexão ela tem rigidez a flexão e ela tem rigidez a torção Agora eu preciso combinar com ela né rezar um terço na orelha dela e falar o seguinte Olha você não tem mais nenhuma rigidez só axial é para SA ver se ela concorda com isso a questão é outra é que quando você pega

uma barra como essa que tem todos esses componentes de rigidez presente porque é inerente a ela ela não vai esquecer isso tá lá dentro da personalidade dela mas Da Da maneira como ela é montada na estrutura somente a rigidez axial é que se manifesta isso que é o comportamento de uma treliça pura que nós vamos falar agora não é que ela não tem rigidez a flexão rigidez a torção ela continua tendo todos os componentes de rigidez que ela merece ter né que são lembra falamos de 12 lá no primeiro dia lá no início eu tenho

rigidez axial eu tenho rigidez da flexão rigidez da flexão no outro plano e rigidez da torção porém dependendo da estrutura como ela é montada somente a rigidez axial se manifesta Esse é o comportamento de treliça puro então eu vou fazer um desenho aqui junto com vocês que é o seguinte nós vamos começar com uma estrutura como essa aqui vocês já cansaram de ver esses tipos de estrutura né Aliás o primeiro dia a primeira motivação que a gente teve para introduzir a ideia da rigidez do conjunto A partir da rigidez de cada elemento foi uma barra

de treliça como essa né eu vou desenhar aqui uma estrutura treliçada Olha só numa condição muito muito especial que vai permitir que a gente possa estudar o comportamento dela numa condição muito especial isso aqui são as barras como essa que a gente mostrou agora isso aqui é um nó isso aqui é um nó isso aqui é um nó isso aqui é um nó isso aqui é um nó isso aqui é um nó isso aqui é um nó isso aqui é um nó e vamos colocar um sistema de referência né Sistema de referência lá o Vamos

colocar aqui um eixo X e vamos colocar aqui um eixo Y essa estrutura pode estar por exemplo apoiada aqui né ó pode est apoiado aqui Qual é o conceito central da treliça Inicialmente vamos falar de uma tela plana porque nós estamos sempre querendo entender o conceito que é o ponto mais fundamental porque conta o software é pago para fazer isso quando você pega uma estrutura como essa Primeiro ela é constituída de barras individuais que são conectadas em juntas onde essas juntas elas não são rígidas como numa construção num Pórtico essas juntas são articuladas elas é

uma articulação perfeita e além disso Além disso O carregamento que atua nessa estrutura é única e exclusivamente nos nós nos pontos de conexão as treliças na realidade elas são pensadas dessa forma por exemplo se você pegar uma estrutura como essa treliçada e Aqui vai um telhado em cima por exemplo eles descarregam só nesses pontos que são as juntas que são os nós então isso daqui no caso bidimensional é uma treliça pura onde o carregamento só é aplicado no nó quando isso ocorre tem um conceito que vem lá da resistência dos materiais quando você pega uma

estrutura que as juntas são articuladas e as cargas só são aplicadas nos nós elas internamente só caminham na direção das Barras Ou seja somente a rigidez axial se manifesta não vou ficar filosofando mas a gente já viu muitas vezes pessoas das quais a gente não espera o menor tipo de reação de repente o cara explode e coloca para fora P mas não esperava isso desse cara é que aquilo já tava dentro dele ele só manifestou aquele comportamento o que eu quero dizer é o seguinte a barra de treliça ela continua tendo rigidez a flexão ela

continua tendo rigidez a torção mas maneira como ela é Concebida em que essas juntas são articuladas e as cargas somente são aplicadas nos nós Ela só responde transmitindo internamente as cargas na direção da própria Barra ou seja não é que ela só ten a rigidez axial a rigidez axial somente se manifesta pelo fato dela ser carregada dessa forma essa é a questão central que ocorre numa estrutura atrelada que eu tô querendo dizer é o seguinte se um dia por acaso você for fazer um passeio né ou com o filhinho com a filhinha ou com o

neto num Pavilhão e você vir um cara que meteu uma carga aqui no meio de uma treliça meu Deus vaza porque o cara faltou na aula de treliça você tá correndo risco risco sério porque a treliça não foi feita para isso porque a gente sabe né Nós vamos fazer uma revisão do Futuro nós vamos falar de momento de inércia lá na frente que todos vocês já devem conhecer mas olha só se eu pegar esse cara e fizer isso é diferente de fazer isso é muito mais rígido né ou seja se eu aplicar carga no vão

de uma viga ela precisa ter altura suficiente ela precisa ter momento de inércia que nós vamos falar depois quando você concebe uma estrutura treliçada o fato de você só ter transferência de carga na direção de cada barra permite que as vigas sejam mais esbeltas não tem uma alma gigantesca então isso aqui é fundamentalmente o comportamento de uma treliça pura é uma estrutura constituída somente de barras que estão conectadas nessas juntas articuladas e cujo cargamento é aplicado somente nas juntas ou nos nós quando isso ocorre as cargas são transmitidas apenas como cargas axiais esse cara aqui

tem rigidez flexional tem mas não se manifesta ele tem rigidez torcional tem mas não se manifesta Por que não se manifesta porque ela é Concebida de uma maneira que somente a carga axial é que se manifesta durante o trabalho estrutural isso não quer dizer que a treli não sofra flexão a como um todo ela sofre flexão mas as barras em si por exemplo se essa treliça aqui tá sofrendo flexão ela tá fazendo isso aqui aqui eu tenho forças de compressão e aqui eu tenho forças de tração que equilibram essa flexão né eu vou ter um

binário aqui mas individualmente não individualmente não as barras de uma treliça só transmite força o quê axial agora então nós vamos ter um passo subsequente Porque como esses vetores aqui atuam em direções diferentes como a gente falou nós precisamos na hora de fazer a contabilização da rigidez nós vamos ter o mesmo problema qual é o problema Eu tenho uma estrutura a estrutura é dividida em elementos que estão conectados nos nós a partir da rigidez de cada elemento nós montar a rigidez da estrutura determinante É zero eu aplico a restrição calculo o deslocamento dos nós e

depois eu vamos calcular o deslocamento dentro do elemento só que para fazer isso para montar rigidez eu vou ter que somar força porque rigidez é soma de força quando eu somo k1 mais K2 eu tô Somando Forças Elas têm que est em relação a um sistema de referência único eu preciso transformar essas forças que atuam nas diversas direções no eixo X e no eixo Y antes de fazer a montagem eu preciso fazer uma transformação é sobre isso que nós vamos falar agora como montar a rigidez da estrutura a partir da rigidez de cada um dos

seus elementos quando eles não estão orientados numa mesma direção no espaço Essa é a questão fundamental se a gente descobrir isso para trela nós vamos fazer para todos os elementos porque o conceito é rigorosamente o mesmo is não sofre alteração assim como a mola foi usado para entender o procedimento de montagem o elemento de treliça que é uma mola disfarçada cuja constante elástica é a so L ele vai ser útil para entender o procedimento de montagem para qualquer modelo no espaço Por intermédio da transformação de coordenadas eu vou fazer uma figura aqui que pode parecer

um tanto quanto estranha mas de estranha não tem tem nada ó se eu representar isso daqui assim a Rigor Eu não tô cometendo nenhum absurdo cada uma dessas barras que tem comportamento semelhante a uma mola porque ela só trabalha sobre ação de carga é como se fosse uma mola cuja constante é o EA so l e é o material da Barra a é a seção da Barra e l é o comprimento da Barra então eu sou capaz de montar a matriz de rigidez de cada uma dessas Barras no seu comportamento axial pensando nela no seu

comportamento local como é que Eu transformo isso na estrutura inteira é uma soma de forças porque somar rigidez É somar força Só que essa força atua nessa direção essa nessa direção e a outra na outra direção eu preciso transformar as forças em x e em Y para que todas possam conversar entre si Esse vai ser o próximo passo que nós vamos dar se entender isso para treliça nós vamos generalizar para todos os elementos finitos e o procedimento de montagem estará definitivamente resolvido E aí nós vamos começar a pensar na formulação dos elementos mais sofisticados porque

essa questão já tá encerrada vamos fazer isso agora então ok