Media e varianza di variabili aleatorie continue esercizi

Ciao ragazzi buon pomeriggio e ben ritrovati sul canale matematica con Barbara oggi siamo insieme per parlare di media varianza di variabili aleatorie continue quindi in questa lezione vediamo come si calcolano appunto il valore atteso e la varianza per variabili aleatorie continue; nel video di due settimane fa abbiamo parlato di variabili continue quindi abbiamo fatto in generale una carrellata di quelle che sono le variabili aleatorie continue note e poi vi lascio il link in descrizione a questa lezione se ve la siete persa e poi vi lascio anche i link necessari per vedere quali sono le lezioni

collegate a questa lezione di oggi quindi vediamo insieme due esercizi però prima di tutto vi Condivido il video così vediamo un po' prima le definizioni e poi passiamo subito agli esercizi di applicazione Quindi se siamo pronti cominciamo Ecco qua allora media varianza di variabili aleatorie continue cominciamo dando subito la definizione di variabile aleatoria continua X quando diciamo che X è variabile aleatoria continua se esiste una funzione F che chiamiamo funzioni densità non negativa e tale che la probabilità che X appartenga a un insieme a è l'integrale sua della funzione FX quella che chiamiamo funzione di

densità di questo vi ho fatto un video c'è proprio un video dedicato alla funzione di densità quindi vi lascio anche di questo il link in descrizione al termine della live di oggi Che cosa significa che F è una funzione densità Ricordatevi che è non negativa ed è tale che l'aria sottesa alla funzione di densità deve dare uno ovvero l'integrale da meno infinito più infinito di FX integrata in dx questo deve essere 1 ok bene una volta che abbiamo capito che una variabile aleatoria X ha collegata quindi a sé una funzione densità vediamo di vedere che

cos'è la funzione di ripartizione la funzione di ripartizione F grande di X vi indica la probabilità che X possa assumere valori minori uguali di un certo x quindi significa che dovrò calcolare l'integrale da meno infinito a x perché è minore uguale di fX in dx cioè la densità ok ora un risultato importante che abbiamo è il seguente che la densità è la derivata in dx della funzione di ripartizione F grande di X quindi questa è una cosa che ci dobbiamo ricordare Ok è molto utile all'interno degli esercizi perché nel caso in cui abbiamo la funzione

di ripartizione possiamo ricavarci la funzione di densità ora come calcoliamo il valore atteso e la varianza di una variabile data continua Ciao Giampiero Benvenuto Allora sulla media varianza di variabili discrete Già vi ho fatto un video quindi vi lascio il link in descrizione nel continuo quello che andiamo a fare sostituiamo il simbolo di sommatoria che compare all'interno della media e della varianza con quello di integrale ok Quindi anche questo vi lascerò il link in descrizione il valore atteso che cosa è ? è l'integrale da meno infinito più infinito di x per fX cioè la funzione

densità integrata in dx ok Ovviamente poi dopo dobbiamo questo sono gli estremi da meno infinito più infinito perché stiamo facendo un integrale su tutto R poi gli estremi andranno ridefiniti con il dominio della funzione Ok grazie a te Giampiero che hai superato l'esame Sono contentissima e grazie proprio Sono contenta di esserti stata d'aiuto veramente per quanto riguarda la varianza la varianza cosa è per definizione è sempre l'aspettazione di X alla seconda meno il valore atteso di X al quadrato ok Quindi ovviamente le definizioni rimedi e varianza non cambiano semplicemente siamo nel continuo e quindi dobbiamo

calcolarci un integrale fatta questa carrellata di definizione andiamo a fare questi due esercizi Allora primo esercizio che ho preparato per voi che andiamo a risolvere è il seguente Allora la funzione di distribuzione di una variabile ideatoria continua x è data da FX uguale a 1 meno e elevato alla meno x quadro questo per X maggiore di 0 ok Quindi ci sta dicendo che la x assume valori solo strettamente positivi ci chiede di calcolare la proprietà che X sia maggiore di 2 di calcolare la proprietà che X assume valori compresi tra 1 e 3 Poi ci

chiede di calcolare la media di x e la varianza di X Allora vediamo di risolvere Questo esercizio Allora cominciamo dal punto a vogliamo la probabilità che X sia maggiore di 2 per definizione questa sarà l'integrale che va da 2 a più infinito Ok la x la variabile aleatoria assume i valori solamente positivi quindi maggiore di 2 significa che può andare da due a più infinito ovviamente dentro l'integrale dobbiamo avere la sua funzione di densità F di sendex Ok questo punto di densità non ce l'abbiamo ma abbiamo che cosa la funzione di ripartizione quindi la funzione

di densità FX la possiamo ricavare facendo la derivata in dx della funzione F grande di X ok Quindi per trovare la densità dovremmo derivare in dx la funzione uno meno e alla meno X uguale adesso la derivata di 1 fa 0 la derivata dell'esponenziale è l'esponenziale stesso per la derivata dell'esponente perché si tratta di una derivata di funzione composta la derivata di meno X al quadrato è -2x quindi con il meno davanti ci torna più più 2x e alla meno x quadro Questa è la funzione di densità e abbiamo detto che una funzione di densità

deve essere non negativa e avevi fatto osservare che effettivamente siccome X può assumere solo valori strettamente positivi FX è sempre positiva ok quindi abbiamo diciamo con un semplice osservazione vi rendete subito conto anche se avete fatto bene o no i calcoli Ok Adesso torniamo alla probabilità che stavamo cercando quindi risolviamo l'integrale che va da 2 più infinito di FX la densità quindi i 2x e alla meno x quadro in dx ok Quindi adesso dobbiamo si tratta semplicemente di risolvere l'integrale questo è l'integrale dell'esponenziale se abbiamo l'esponenziale moltiplicato per la derivata appunto dell'esponente la derivata di

meno x quadro è meno 2x e ne abbiamo solamente 2x quindi basta che cambiamo segno sia all'interno che all'esterno del segno di integrale e questo risultato ci darà meno e alla meno x quadro da valutare tra due più infinito si tratta chiaramente qua di un integrale in proprio Ok quindi dovremmo fare meno ve lo metto tra parentesi il limite per ticket tende a più infinito di è la meno T quadro ok e poi dobbiamo fare meno la funzione calcolata in due Ok quindi questa qui verrà e alla meno 4 adesso questo limite qui tende a

0 questo limite Qui fa zero perché abbiamo che l'esponenziale sta andando a meno infinito e quindi quando l'esponenziale tende a meno infinito ovviamente tutta la funzione tende a 0 quindi abbiamo meno zero più e alla meno 4 quindi rimarrà e alla meno 4 e questo quindi è quanto volevamo calcolare sarà la proprietà che X assume valori maggiore di 2 ok o anche scritto uno sui alla quarta come preferite è del tutto equivalente passiamo Quindi al punto b il punto B ci chiedeva ricalcolare la località che X assume valori tra 1 e 3 allora anche in

questo caso direi che la proprietà e X sia compresa tra 1 e 3 equivale a calcolare l'integrale tra 1 e 3 Cioè questo proprio per la definizione della terra continua noi sappiamo che la proprietà che X appartenga a un intervallo a è proprio l'integrale dove per essere noi mettiamo gli estremi dell'intervallo dato Quindi tra 1 e 3 per la della funzione intensità integrata in dx Quindi adesso questo sarà l'integrale tra 1 e 3 la funzione di densità è 2 2x e alla meno x quadro in dx Ok ora di nuovo per risolvere questo integrale è

l'integrale di un esponenziale se abbiamo l'esponenziale moltiplicato la funzione Derivata del suo esponente quindi dobbiamo fare di nuovo un cambio segno Ok A questo punto Questo è l'integrale di e alla meno x quadro da valutare tra 1 e 3 quindi adesso questo sarà meno e calcolato in tre quindi viene meno tra la seconda meno 9 e poi meno con il meno davanti Torna a essere più l'esponenziale calcolato in uno quindi verrà meno 1 di conseguenza questo qui sarà e alla meno 1 anche possiamo scrivere come uno su e meno uno cioè alla nona è del

tutto equivalente che avevano in modo o nell'altro e ci siamo così calcolati anche il secondo punto ora ci chiede di calcolare la media di x quindi per calcolarci il valore atteso di X questo è l'integrale da meno infinito a più infinito di X per la densità FX in the X però attenzione perché noi sappiamo che la x assume valori solo strettamente positivi quindi questo integrale para Zero a più infinito Ok quindi questo sarà l'integrale da 0 a più infinito di X per la funzione di densità 2x e alla meno x quadro in dx che ovviamente

moltiplichiamo per per X quindi abbiamo 2X alla seconda e alla meno X4 quindi X Ok facciamo tutti i calcoli preferisco lasciarlo però scritto così e adesso vi faccio vediamo perché Perché per calcolare questo questo integrale abbiamo bisogno di passare all'integrale per parti della formula per parti Ok quindi siccome questo qui è già la funzione che posso integrare di cui so il risultato l'integrale quella che chiamo G nella funzione nella formula di dell'integrale per parti e questa che chiamo X la funzione che voglio derivare ed è quella che chiamo F Ok quindi F L'ho chiamata x

e la cui derivata sarà pari a 1 g Allora questa può essere G A patto di cambiar segno di nuovo come abbiamo fatto prima Quindi metto una tonda e cambio il segno qua dentro e metto meno fuori quindi G sarà meno 2x e alla meno x40 in questo modo il suo integrale sarà e alla meno x quadro ok E adesso vi scrivo la formula per parti che sarà F per G Vabbè sarà FX e in grande di x meno l'integrale di F primo di X per GX tutto integrato in dx ok quindi questo sarà meno

e aprono una quadra F per G quindi x e alla meno x quadro da valutare tra 0 e più infinito meno l'integrale sempre da 0 a più infinito di F primo quindi 1 per G grande cioè rimane e alla meno x quadro in dx adesso qua Devo aggiungere un foglio Se non entro adesso il primo pezzo Questo qui è un integrale in proprio ma nell'estremo superiore più infinito tenderà a zero quando passiamo il limite il limite farà a zero poi dobbiamo fare meno la funzione calcolata nell'estremo Zero che fa 0 perciò questo integrale qui tutto

quanto si annulla tutto questo risultato si annulla ci rimane quindi meno per meno che fa più l'integrale da 0 a più infinito di e alla meno x quadro in dx e adesso questi integrali qua è un integrale noto molto famoso che torna tante volte in matematica che è il l'integrale di gaos Ok gli integrali di Gauss da 0 a più infinito questo qui fa radice di Pi greco mezzi Ok quindi questo integrale qui se riconduceva l'integrale di Gauss adesso che abbiamo la media l'ultimo punto è quello di calcolarci la varianza di x che appunto per

definizione è la media della variabile X alla seconda meno il valore atteso di X che abbiamo appena calcolato al quadrato quindi quello di cui abbiamo bisogno per calcolarsi la varianza di calcolarci il valore atteso Nyx quadro e questo altro non è che l'integrale sempre da zero è più infinito perché è la condizione della nostra variabile la condizione di esistenza di X alla seconda per la densità FX in the X quindi adesso vado solamente a sostituire quindi questo sarà l'integrale tra 0 e più infinito di X alla seconda per la funzione densità 2x e alla meno

x quadro in dx e come prima per risolvere questo integrale abbiamo bisogno della formula per parti quindi non vado a moltiplicare X alla seconda per X perché non ci occorre quello che ci occorre osservare questa come l'intera funzione G E questa come la funzione F quindi F è quella che deriviamo mi scriverò f = x quadro e f primo sarà 2x e g è la funzione che sappiamo integrare quindi qui di nuovo dovrò mettere o meno all'interno delle parentesi tonde o meno fuori dall'interale così questo sarà meno 2x e alla meno X4 e il Qi

integrale che chiamo G grande è alla mia ex squadra e di nuovo applichiamo la formula F per G meno l'integrale di F primo per g in D ok Quindi vado a riscrivere l'integrale abbiamo meno Apri una parentesi E mettiamo il risultato di F per G quindi X alla seconda per e alla meno x quadro tutto da valutare tra 0 e più infinito poi ci abbiamo meno l'integrale da 0 a più infinito di F primo cioè 2x per e alla meno x quadro che è G grande in the X adesso io scrivo grande quindi aggiungo pagine

Allora adesso Questo è un integrale in proprio valutato nell'estremo più infinito tende a 0 e in zero Vale zero Quindi anche questo Qui tutto questo pezzo fa zero poi abbiamo meno per meno che fa più integrale tra 0 e più infinito di 2x e alla meno x quadro in dx questo integrale è un integrale immediato è l'integrale dell'esponenziale se effettuiamo il cambio segno perché in modo tale che questo sia la derivata dell'esponente Se cambiamo segno all'interno devo mettere anche meno fuori quindi abbiamo che questo integrale sarà meno e alla meno x quadro da calcolare tra

0 e più infinito adesso l'esponenziale ha più infinito tende a 0 quindi perché viene alla meno infinito che tende a 0 Ok passando all'integrale in proprio quindi ci abbiamo meno 0 più l'esponenza alle calcolate in zero Quindi e alla 0 fa 1 perciò tutto questo risultato ci verrà fuori 1 e questo è il valore atteso di x quadro adesso che abbiamo calcolato questo abbiamo già il valore del valore atteso di X che tu lo siamo calcolati prima quindi siamo in grado di calcolarci la varianza di X che è dato da l'aspettazione di x quadro quindi

uno che ci siamo appena calcolati meno la media di X che radice di Pi greco mezzi al quadrato e questo completa Quindi quanto Samo cercando ok anche scritto uno meno Pi greco quarti chiaramente perché questo qui a conti fatti verrà uno meno e greco quarti ok primo esercizio fatto primo esercizio completato adesso ne vediamo un altro dove dobbiamo lavorare con dei parametri Ok questo ne ho i classici esercizi d'esame va bene ve ne ho fatti di solito queste live viene fatto sempre una per tipologia In modo tale che possiate avere il quadro completo vediamo che

cosa ci chiede il seguente esercizio la variabile della Torre a X ha densità FX dove FX una funzione che vale a X + BX quadro se x è compreso strettamente tra 0 e 1 e Vale Zero altrimenti dobbiamo calcolare sapendo che la media di x è pari a 3/5 devono calcolare la proprietà che X assume valori minori di un mezzo e poi come secondo punto dobbiamo calcolare la varianza di x vediamo di risolvere Questo esercizio Allora innanzitutto abbiamo che FX deve essere una densità quindi dobbiamo determinare che sono i parametri A e B che la

rendono effettivamente una densità ok ora se abbiamo due incognite dobbiamo avere due equazioni Per poterle determinare la prima condizione è che F è una densità quindi vuol dire che l'integrale di F deve dare 1 la seconda condizione la possiamo prendere dall'aspettazione di X Ok attraverso queste due condizioni troviamo i due parametri questa cosa riguardava ricordatevela in generale che al numero di parametri che vogliamo determinare deve corrispondere un numero di equazioni Ok quindi cominciamo Innanzitutto con il fatto che FX deve essere una densità quindi deve essere non negativa e tale che l'integrale da meno infinito a

più infinito di FX deve essere uguale a 1 qui la x va da 0 a 1 Quindi cambiamo gli estremi di integrazione e stiamo dicendo che l'integrale tra 0 e 1 di fxnx deve fare 1 e inoltre FX deve essere non negativa quindi una volta che abbiamo determinato i parametri li andiamo a ricostituire nella funzione di densità e verifichiamo che non sia negativa questo qui sono passaggi che vi aiutano durante gli esami durante i compiti a capire se effettivamente mi sta tornando il risultato consistente oppure no Ok allora cominciamo con il fatto di verificare Anzi

siamo impostando che l'integrale faccia 1 quindi tra 0 e una la funzione Vale a X + BX quadro tutta questa qui in dx deve fare 1 Quindi calcoliamoci intanto l'integrale Quanto fa ora per linearità questo sarà l'integrale di Apex a è un numero quindi esce fuori dal segno di integrale e integriamo X quindi farà x²/2 tra 0 e 1 più l'integrale tra 0 e 1 di bx4 B è un numero e moltiplica l'integrale di X alla seconda Quindi sarà x alla terza fratto 3 sempre tra 0 e 1 quindi la funzione valutata in uno sarà

a mezzi meno la funzione valutata in zero che fa 0 quindi rimane a mezzi più quest'altra funzione valutata in uno fra B terzi meno la stessa funzione valutata in zero che rimane 0 Ok quindi otteniamo che il risultato dell'integrale fa a mezzi più terzi E questo deve fare uno per forza per essere una densità quindi questa è la nostra prima condizione adesso ne sappiamo Qual è il risultato del valore atteso perché ha tre quinti perciò calcoliamo impostiamo l'integrale relativo al valore atteso e imponiamo che sia pari a tre quinti quindi il valore atteso di x

è l'integrale tra 0 e 1 di X per la funzione di densità in the X quindi l'integrale tra 0 e 1 di X che moltiplica la funzione di densità quindi a X + BX alla seconda in dx quindi questo sarà integrale tra 0 e 1 e di ax4 + B alla terza tutto in dx usiamo la linearità e risolviamo l'integrale quindi porto fuori la costante a l'integrale di X alla seconda è x alla terza fratto 3 da calcolare tra 0 e 1 più B per l'integrale di x alla terza che X alla quarta/4 sempre tra

0 e 1 questo Quindi sarà pari a terzi meno zero più b/-0 quindi a terzi più b// e questo deve fare 3/5 quindi questa è la seconda condizione adesso abbiamo due equazioni in due incognite le mettiamo a sistema e troviamo così i parametri A e B perciò ricopio le equazioni che abbiamo ottenute abbiamo ottenuto a mezzi più di terzi uguale a 1 e a terzi più bi quarti uguale a 3/5 Ok adesso il sistema lo Risolvete con il metodo che volete io di solito vado per sostituzione quando diciamo siamo in questi casi Allora faccio il

minimo comune multiplo nelle equazione di sopra quindi sarà 6 e abbiamo tre a più due b uguale a 6 quindi diminuire gli togliamo e abbiamo tre più due b uguale a 6 e anche sotto faccio il minimo comune multiplo tra 5 4 e 3 abbiamo 60 quindi questo sarà 20A più 60 diviso 4 Qui abbiamo 15 B uguale a 60 diviso 5 per 3 quindi 36 e anche qui possiamo togliere denominatori perciò abbiamo isolola nell'equazione di sopra e abbiamo che a sarà uguale a 6 - 2D tutto fratto 3 e vado a sostituire il risultato

nella nell'equazione di sotto Quindi abbiamo 20 che moltiplica 6 - 2 B terzi più 15 B uguale 36 a questo punto le equazioni di sopra la lascio Tale e Quale e svolgo il calcolo qui quindi abbiamo moltiplicando per la parentesi tonda Abbiamo 20 per 6 che fa 120 meno 40 B tutto fratto 3 più 15 B faccio già il minimo comune multiplo quindi 45 B uguale a 36 per 3 che fa 108 e anche qui posso togliere poi il denominatore A questo punto ci possiamo ricavare la b dalla seconda equazione perché abbiamo meno 40 B

più 45b che fa 5B che è uguale a 108 meno 120 quindi otteniamo che B sarà pari a -12 108 meno 120 fa meno 12 fratto 5 ok e una volta che abbiamo ottenuto il valore di B Li sostituiamolo all'interno dell'equazione dovevamo esplicitato a che così ricaviamo il valore di a Quindi abbiamo 6 meno Facciamo così sei terzi che più semplice dove stavo qui facciamo allo scrivo come sei terzi meno due terzi B che è più facile quindi abbiamo sei terzi [Musica] meno due terzi per meno 12 quinti quindi otteniamo che a sarà uguale a

6/3 + 8/5 Quindi abbiamo e B è sempre pari a meno 12 quinti me lo che scrivo quindi otteniamo che a sarà pari a facciamo il minimo comune multiplo abbiamo 6 per 5 30 più 24 quindi otteniamo che il valore di a sarà pari a 54 quindicesimi che semplifichiamo e otteniamo semplifico per tre 18 quindi In sostanza i valori di A e B che rendevano F una densità e adesso lo andiamo anche a controllare sono a pari a 18 quinti e B pari a meno 12 Quinti Come facciamo a renderci conto se abbiamo fatto bene

i calcoli o no sappiamo che F deve essere non negativa quindi andiamo a ricostituire valori dentro la funzione di densità quindi la funzione densità era a X più B alla seconda quindi a X più B alla seconda con X compresa tra 0 e 1 sostituiamo i valori trovati Quindi questa sarà 18 quinti x meno 12 quinti X alla seconda questa qui è il grafico con Vabbè Ovviamente la x assume valori solo tra 0 e 1 questa che abbiamo ottenuto è la funzione di una parabola e le equazioni di una parabola è un'equazione di una parabola

rivolta verso il basso Ok che interseca l'asse in zero ok E poi 1 sarà minore del punto di intersezione se viene da trovare le due coordinate Ok le due radici quindi tra 0 e 1 questa funzione effettivamente è positiva perciò è una funzione di densità e così vi rendete conto durante l'esame Se i calcoli che avete fatto Li avete fatti bene adesso che ci abbiamo la funzione di densità possiamo finalmente calcolarci Qual è la qualità che X assume valori minori di un mezzo Ok se X va da 0 a 1 minore di un mezzo vuol

dire che devo andare da zero a un mezzo quindi questo sarà l'integrale tra 0 e 1/2 della densità in the X la densità l'abbiamo appena trovata quindi all'integrale tra 0 e un mezzo di 18 quinti x meno 12/5 x 4 invece Ok facciamoci calcoli Quindi abbiamo 18 quinti per l'integrale di X che è X alla seconda mezzi tra 0 e 1/2 - 12/5 per l'integrale di X alla seconda che x alla terza terzi a zero e un mezzo e quindi questo ci abbiamo 18 quinti per Facciamo così per un mezzo per un mezzo alla seconda

che quindi fa un quarto poi valutato in 0 fa 0 meno scrivo 12 quinti per un terzo due semplifichiamo tutto eh un terzo alla terza che fa un Ottavo ok Quindi abbiamo in sostanza questo fa questo fa 9 abbiamo e poi anche qui questo lo possiamo semplificare e poi un in due perfetto Quindi ci abbiamo 9 ventesimi meno un decimo e quindi questo fa abbiamo 9 - 2 che fa 77 e quindi questo è il risultato della probabilità che X possa assumere valori minori di un mezzo va bene il punto B ci chiedeva di calcolare

la varianza di X adesso di nuovo applichiamo la definizione di varianza quindi la media di X alla seconda meno la media di X alla seconda Ok quindi cominciamo a calcolarci il valore atteso di X alla seconda ok perché tanto di X già ce l'avevamo ce lo diceva lui ci diceva che il valore atteso di x è pari a 3/5 quindi ce l'avevamo Ovviamente con gli Hybrid Infatti c'era Per me ci ha permesso di determinare Abby Se volete questa anche una prova che potete fare Vi calcolate la media di X Quindi fate l'integrale tra 0 e

1 di X che Moltiplica la funzione densità che abbiamo trovato e questo ha calcoli fatti vi deve ritornare esattamente tre quinti Ok adesso invece quello che ci calcoliamo è il valore atteso di X alla seconda quindi l'integrale tra 0 e 1 di X alla seconda per la funzione di densità quindi 18 quinti x meno 12/5 X alla seconda invece Ok adesso vado a moltiplicare dentro l'integrale Quindi abbiamo un integrale tra 0 e 1 di 12/5 x alla terza Sì meno 12 quindi X alla quarta quindi 18 quinti x alla terza meno 12/5 X alla quarta

in the x e adesso integriamo l'integrale immediato quindi di nuovo 18 quinti per l'integrale di x alla terza X alla quarta quarti tutto da valutare tra 0 e 1 meno 12 quinti per l'integrale di X alla quarta che è X alla quinta quindi sempre da valutare tra 0 e 1 adesso abbiamo 12 abbiamo 18 quindi per un quarto e X alla quarta in una vale 1 ok Meno 0 che fa 0 quindi abbiamo 18 quinti per un quarto meno 12 Quindi per un quinto perché X alla quinta in uno vale 1 meno 0 Ok che

rimane 0 quindi poi attenti perché Eventualmente avete un meno che mi obbliga a fare il cambio segno eh quindi state sempre attenti all'integrale definito se vedete davanti o meno che vi torna meno l'estremo sopra più quello sotto e adesso Facciamoci i calcoli quindi semplifichiamo e abbiamo 9 e 2 e poi Quindi abbiamo 9 decimi meno 12/25 minimo comune multiplo tra 25 e 10 dobbiamo fare un multiplo 25 per due quindi 50 e abbiamo 45 meno 12 per 24 Ok quindi 45 - 24 fa 21 cinquantesimi Questo è il valore atteso di X alla seconda Quindi

ora siamo pronti per calcolarsi la varianza di X perché sarà e di x quadro quindi 21 cinquantesimi meno la media al quadrato quindi la media era 3/5 alla seconda quindi facciamoci il calcolo E questo sarà 21 cinquantesimi meno 9/25 quindi minimo comune multiplo è 50 quindi 21 meno 18 che fa 35 e questo quindi mi ha completato l'esercizio ci siamo calcolati la varianza questo diciamo era un po' più basso come esercizio perché dobbiamo appunto calcolarci anche i parametri A e B però il meccanismo è quello che avete visto quindi dovete semplicemente applicare le definizioni media

varianza e calcolarvi gli integrali abbiamo visto anche come passare dalla funzione di ripartizione a quella di densità adesso mi sono segnata tutti i link da lasciarmi in descrizione appena terminata live Io spero che quindi vi sia stata utile alle lezione e noi ci vediamo lunedì prossimo Ciao a tutti Buon pomeriggio