Fundamentos da Matemática Elementar - Funções (Parte III)

[Música] Olá sejam bem-vindos e bem-vindas a mais uma aula do nosso curso vamos dar continuidade a discussão sobre funções e na última aula nós exploramos a ideia de função injetora sobrejetora bijetora falamos sobre funções constantes funções afim ou lineares que são retas né no plano e hoje nós vamos começar a falar nessa aula um pouco mais sobre outro tipo de função que são as quadráticas né e de uma certa maneira nós já exploramos um pouco o assunto quando discutimos sobre equações quadráticas ou equações de segundo grau uma equação né uma função vamos dizer quadrática é

uma função que tem que cara eu vou estabelecer que ela leva dos números reais até os números reais e possui uma forma geral uma regra geral como FX = AX + BX + C Lembrando que a b e c são números reais e o a tem que ser o quê diferente de zero porque novamente se o a for z0 0 x x qu vai dar 0 o que que me sobra BX + C que vai ser o quê uma função afim então não estamos tratando de funções quadráticas e sim de funções afins então a tem

que ser diferente de zer Qual é a a a cara geral né Qual é o esboço de um de uma do gráfico de uma função quadrático bom o gráfico dessa função é uma parábola né como nós podemos ver aqui esse formato de parábola e ela cruza o eixo pode cruzar o eixo nos pontos X1 né X2 e e possui concavidade né para cima digamos assim ou para baixo ele possui concavidade para cima né esse formato a minha parábola o gráfico da minha função quando o a né que é o o coeficiente que acompanha o x

qu ele é positivo se esse a é negativo nós temos uma concavidade para baixo e mais ainda lembra que quando a gente estudou equações de segundo grau a gente Pensou um pouco sobre sinal do discriminante Delta po dizer se esse meu Delta for maior que zero significa que eu tenho duas soluções duas raízes reais distintas que e o que que isso significa aqui na prática pensando em funções que a minha parábola vai cortar o eixo X no x1 e no X2 corta em dois lugares diferentes né seja ela com a concavidade para cima seja ela

com a com concavidade para baixo acaba cortando o meu eixo X em dois lugares diferentes a gente chama isso também de zeros né da minha função né porque são os pontos em que o y ele é zero são os pontos Nos quais o x 1 e X2 quando levados até a minha função passam pela função e chegam aonde em zero por isso que eles são chamados dos zeros da minha função né Eh essa minha parábola Eu posso esboçar também pensando no caso em que o meu discriminante Delta Ele é igual a zero quando ele é

igual a zero ele tem Nossa nós vamos ter uma única raiz ou seja a minha parábola ela vai vir e vai só tocar em um único ponto né se ela tem a concavidade para cima o a igual é maior que zero Então ela toca aqui dessa maneira se né o a é menor que zero a concavidade é para baixo ela vai tocar em um único ponto aqui dessa com essa maneira né e por fim existe uma última cara que pode ter essa parábola né o gráfico dessa parábola que é quando o meu Delta o discriminante

delta é menor que zero quando ele é menor que zero nós vimos que não existe raiz real para essa função Ou seja eu não vou cortar o meu eixo X porque não existe valor x ali real que é leve a zero né que seja uma solução daquela equação Então essa parábola vamos dizer assim a grosso modo fica flutuando sem nunca encostar nos no eixo X né se o a é maior que zero Ela tá aqui para cima do do eixo se o a é menor que zero ela está aqui para baixo do eixo né agora

um exemplo Vamos pensar como nós poderíamos boar o gráfico dessa função quadrática Então vamos supor aqui uma função que é x qu - 3x - 4 que sai dos reais e leva até os reais e como que a gente faz para esboçar Primeira coisa a gente pode obter as raízes ou seja os pontos em que ou o ponto ou talvez nenhum ponto vamos ter que avaliar em que isso cruza SA o meu gráfico cruza o eixo X então como é que a gente pode fazer isso a gente pode fazer isso resolvendo uma equação né e

obter os pontos em que o y é zer ou seja os pontos do eixo X em que o y é sempre zero Então vou igualar F Dex que é y = 0 e vamos resolver essa equação bom uma maneira da gente resolver é usando a fórmula quadrática então para isso vamos pensar bem quem é a quem é b quem é C pensando na formulação G geral né dessa equação Então o a aqui é quem acompanha o x qu ele seria 1 o b é quem acompanha o x seria -3 e o c é o termo

ali que é independente né então seria -4 colocando isso né na nossa função atribuindo esses valores à nossa função não desculpe a nossa eh forma né fórmula quadrática para resolver essa equação vou obter os zeros da nossa equação nós vamos chegar a esses valores e desenvolvendo o cálculo pros dois das nossas duas possibilidades de resposta X1 que é o 3 - 5 sobre 2 que é igual a-1 e a outra possibilidade que é usando o mais né mais raiz do meu Delta do discriminante seria 3 + 5 so 2 = 4 então o que que

a gente fe aqui a gente descobriu que o gráfico dessa função cruza o eixo X em dois pontos no -1 e no 4 já sabemos duas coisas o que mais nós sabemos sabemos que a parábola tem concavidade para cima porque o a é um número positivo então ela vai ter esse formato cruzando o eixo X naqueles pontos que nós obtivemos né que é o -1 e o 4 um esboço do gráfico dessa função seria assim esse é um esboço agora um ponto importante que a gente pode ter para esboçar melhor para né pensar melhor o

desenho dessa função seria o vértice o que o vértice da parábola Exatamente esse ponto aqui né E se eu soubesse esse vértice tá mais para cima mais para baixo vai me possibilitar desenhar melhor esse gráfico né dessa função mas como é que eu vou obter esses pontos as coordenadas do vértice né agora vem uma uma outra discussão Eh vamos lá eu vou chamar aqui pra gente poder discutir as coordenadas do vértice da minha parábola de x v de x do vértice e y v de y do vértice né então são as coordenadas X e Y

né desse ponto aqui que é o vértice da minha parábola bem aqui se eu traçar uma reta perpendicular ao eixo X de modo que ela passe exatamente ali pelo vértice da da minha parábola eh a gente encontra uma propriedade interessante esse essa reta perpendicular ela atua como um eixo de simetria da minha parábola é como se ela funcionasse como um espelho e o lado de cada parábola né Tem uma imagem espelhada do lado de cá em relação a essa reta vertical e por ter essa simetria se nós olharmos os pontos aqui né de cada lado

da nossa curva a distância de um ponto da curva até essa reta né e eu pegar o simétrico essas distâncias são sempre iguais e isso ocorre também se nós pensarmos nas raízes nos pontos em que a minha curva corta o eixo X Isso significa que veja se vocês concordam comigo que o ponto em que essa reta cruza aqui o eixo X é o ponto médio do segmento que liga aqui X1 a X2 que são o quê são as raízes vamos obter o x do véres com essa ideia se é o ponto médio se eu somar

x1 com X2 dividir por 2 obtenho o ponto médio e obtenho o x do vértice como é que eu vou obter X1 e X2 bom pela fórmula quadrática X1 é o - b + raiz do discriminante Delta sobre 2aer o um X2 posso escolher a outra né é o - b menos o a raiz do discriminante s s as minhas duas opções ali né né de de solução os 2 x que eu consigo obter vamos calcular a média desses 2 x né do X1 e do X2 então vai ficar com essa cara eh se a

gente pensar olhando aqui pros denominadores dessas dessas expressões aqui na parte de cima né Nós temos um denominador em comum que é o 2aer unir essas duas frações né sobre esse mesmo denominador comum e agora olhando pro numerador aqui dessa dessa fração de cima nós podemos pensar que eu tenho + B qu ra qu B qu - 4ac - ra qu de B qu - 4ac ou seja uma pode anular né a outra vai sobrar o quê - b - b que é igual a - 2B o 2ao denominador continua lá bonitinho quietinho mas agora

a gente pode também pensar em cancelar né e simplificar esse -2 do numerador com o 2 do denominador -2 di por 2 - 1 então eu vou chegar em cima aqui ó a - b sobre a e tudo isso sobre 2 que tá ali parado a gente não mexeu nele ainda fazendo agora a divisão de frações - B so a div por 2 a gente vai chegar em - B so 2ao significa que a coordenada x do meu vértice ela é dada por essa expressão - B sobre 2ae que eu quiser obter a coordenada x

do vértice eu vou posso recorrer a essa expressão aqui e essa expressão ela parte da onde ela parte do da ideia do ponto médio entre as raízes da minha da minha e equação né os pontos em que a minha o gráfico da minha função cruzam o eixo X bom e o y do vértice se a gente for pensar bem Qualquer x quando eu levo até a minha função eu obtenho uma imagem né então se eu tenho x do vértice e eu colocar esse x do vértice dentro da minha função eu vou obter o quê Vou

obter também a imagem dele que vai ser o quê o y do vértice Então essa é uma boa ideia a gente col colocar o x do vértice dentro da da Fórmula né geral ali que a gente já obteve E é isso que vamos fazer aqui agora ó o a x qu o que que é o meu X é o x do vértice que é - b so 2ao qu + BX quem é o x - b So 2aer isso então fazendo - B so 2ao qu nós vamos obter B qu sobre 4 a qu -

B ve + b x - b so 2ao B qu - 2ae tá ali quietinho na dele né e podemos agora né simplificar também né um pouco essa essas nossas nossos cálculos para ir tornando algo mais enxuto né bom esse a aqui eu posso simplificar com esse a quadrado e eu posso fazer isso tranquilamente porque a a gente sabe que ele é diferente de zero né e eu vou obter essa expressão B qu so 4 - b qu so 2 + C agora vamos pensar um denominador comum aqui vamos tomar o 4 a como um

denominador comum sendo ele um denominador comum como ver como é que fica essa operação aqui que nós temos na linha de cima 4ao por 4aa x b qu B qu ótimo tá aqui 4ao por 2ax o - b qu - 2B qu e 4ao por 1 né que é quem que é o denominador do c 4ao por 1 dá 4 a vees o c 4ac bom Aqui nós podemos aind simplificar um pouquinho mais né B qu - 2B qu vai dar - B qu + 4ac tudo isso sobre 4aa gente pensar bem is essa expressão

que ficou aqui no meu denominador no meu numerador ela tem uma carinha bastante familiar da gente né o delta o nosso discriminante Delta ele é b qu - 4ac então é praticamente o mesmo que tá escrito aqui mas com sinais trocados então o que que eu posso fazer eu posso colocar o -1 em evidência Quando eu colocar -1 em evidência nós vamos obter - B qu - 4ac e isso daqui é o quê é Delta então podemos escrever essa expressão como - Delta sobre meu Y do vértice Então passa a ser denominado né pode ser

representado por essa expressão - Delta sobre 4 a vamos voltar aqui rapidamente à nossa equação Inicial ao nosso gráfico Será que a gente consegue melhorar esse desenho melhorar esse esboço bom o x do vértice vamos usar aquela expressão atribuindo os valores A B e C aquelas expressões que nós obtivemos antes x do vértice ele pode nos descobrimos que ele vai ser 3 so 2 3 me e aplicando valores para o y do vértice vai ser -25 so 4 ou seja esse desenho Inicial que nós fizemos não tá lá muito fidigno né a gente melhorar ele

um pouquinho e melhorando ele um pouquinho nós descemos um pouco mais esse nosso x e y do vértice né fica mais um pouco mais fidedigno a a representação desse gráfico Então é isso nós vamos Encerrando por aqui espero que tenham gostado e até a [Música] [Música] próxima h [Música]