Introdução às Séries: Somas parciais e infinitas | Cálculo

Oi gente meu nome é Ester Velasques e sejam bem-vindos a mais um vídeo do canal matemateca na aula de hoje a gente vai começar a falar sobre séries aqui em cálculo e a gente vai entender o que são exatamente as séries a somas parciais e como a gente sabe se uma série converge ou não Tá bom então antes de começar Já curte aí embaixo se inscreve no canal e vamos lá gente para a gente começar essa aula eu vou contar uma história para vocês teve um certo dia que o Galo estava lá na escola dele

e a professora pediu para ele e todos os alunos somarem os números de 1 até 100 Olha só que coisa então os alunos tinham uma lista de números 1 2 3 até chegar no 100 e a professora Queria que eles tomassem todos esses números ou seja ela queria que eles fizessem um mais dois mais três mais quatro até chegar no 100 trabalham né então basicamente os alunos tinham uma sequência de números então uma sequência formada que os números iam de um e um e eles queriam somar os números dessa sequência uma outra forma de a

gente vê esse problema seria dizer que os alunos tinham uma sequência com n valores um n maior que 100 pode ser 200 500.000 qualquer n que você colocar ali maior do que 100 só que você não queria somar todos os valores dessa sequência você queria fazer uma soma parcial dessa sequência Então você queria somar de igual a 1 até n = 100 somando os termos dessa sequência Então você fez uma soma parcial do 100 primeiros termos e aí com isso a gente está fazendo A1 + A2 mais a três que é o terceiro termo da

sequência até chegar no centésimo termo da sequência aí a gente tá somando todos esses 100 primeiros termos legal os alunos tinham que fazer isso aqui mas como eles fizeram Eu imagino assim que o intuitivo para os alunos foi realmente aquele trabalhão de fazer um mais dois mais três mais quatro só que o galos não aceitou isso não ele não quis ter esse trabalhão ele falou bom vamos pensar em uma estratégia então o que que ele fez ele tinha os números de 1 a 100 a primeira coisa que ele fez foi dispor esses números em duas

linhas diferentes na primeira linha ele colocou a primeira metade da sequência e na segunda linha ele colocou a segunda metade então na primeira linha ele colocou os números de um até 50 100 / 2 né metade de 100 E aí na segunda linha ó ele fez esse caminho ele começou aqui com 51 e agora ele foi da direita para esquerda 51 52 até chegar no 100 E aí reparam sem ficou embaixo do um 99 ficou embaixo do dois 98 ficou embaixo do três então ele dispõe os números dessa forma 50 colunas e duas linhas e

olha só o que ele descobriu gente a soma de cada coluna sempre é 101 ou mas sem 101 dois mais 99 101 3 + 98 101 então a soma de todas as colunas sempre vai dar o mesmo valor sempre vai dar 101 101 no caso é 100 mais um né é a quantidade de termos que a gente queria somar mais um então basicamente que ele tá fazendo aqui é somar o primeiro termo com o último o segundo com penúltimo o terceiro com anti penúltimo então ele tá fazendo começo mas sim no começo mas sim começo

mas sim até chegar ali no meinho ele tá somando os números né e ele viu que a soma de todos sempre vai dar 101 então a soma dos valores de 1 a 100 vai ser 101 vezes a 50 colunas que a gente tem aqui 101 + 101 + 101 + 101 50 vezes porque a gente tem 50 colunas somando 101 dessa forma que o galo descobriu é que quando a gente soma o sem primeiros termos dessa sequência que é a n = o próprio n né a gente vai ter 101 x 100 / 2 então

a soma dos 100 primeiros termos dessa sequência então somando a um mais a dois até chegar no acém vai ser 101 x 100/2 Tá mas e se eu quisesse tomar ntremos em terminados assim como que fica aí a gente consegue encontrar a nossa forma genérica de escrever as formas parciais então quando a gente quer somar temos dessa sequência que é um dois três a gente quer somar os n primeiro os termos a gente consegue usar essa soma parcial ó n + 1 x n sobre 2 Então se a gente quiser somar o 105 primeiros termos

vai ficar 106 X 105/2 então a gente sempre pode usar essa fórmula para somar o Zene primeiro os números que a gente tem então cinco primeiros números os 10 os 15 o 5.000 primeiros números essa fórmula sempre vai dar a soma desses números beleza legal agora se você olhar e falar Não não quero somar em números não quero ser mamilo eu não quero somar 2.000 eu não quero somar 20.000 quero somar uma quantidade indeterminada de termos dessa sequência quero somar assim infinitamente somando um mais dois mais três mais 10 mil mais 15 mil e somando

infinitos termos como que vai funcionar Então a gente tem essa sequência infinita Oh ela tem quantos termos você quiser colocar nela e aí você quer somar esses termos você quer fazer uma soma infinita é possível fazer isso sim a gente também tem séries infinitas séries que permitem que a gente some do zero infinito do um até o infinito somar uma quantidade indeterminada de termos da sua sequência Mas como que vai funcionar nesse caso como a gente sabe quanto dá essa soma aí a gente vai pegar aquela Nossa soma parcial então aquele SN que a gente

encontrou e a gente vai calcular o limite dele quando o n tende ao infinito então por exemplo para sequência lá que o Gauss estava usando que você conhecer um dois três quatro supondo que ela seja uma sequência infinita como vai ficar se a gente quiser somar todos os termos dessa sequência aí a gente vai ter o limite de n + 1 x n sobre 2 quando n tende o infinito esse limite aqui se a gente for calcular a gente vê que ele vai para o infinito né gente quanto maior o n que a gente colocar

aqui menor vai ser essa soma ela não vai entendendo a nenhum valor em específico ela vai crescendo junto ali com a sequência então a gente pode falar que essa série Diverge ela explode para o Infinito se a gente somar A1 mais a dois mais a três e fizer essa soma infinitamente ela vai ficar explodindo explodindo até agora que a gente viu esse exemplo do gás vamos lá entender como a gente vai trabalhar com as séries como a gente entende ali se a série Diverge isso é sério converge entender exatamente o que é uma série e

sua somas parciais Vamos lá gente então nas aulas anteriores a gente falou bastante sobre sequências que é quando a gente tem uma lista de números que estão ordenados de uma determinada forma Por exemplo essa sequência tá ordenada indo de um em um né Tá indo até determinado valor n quando a gente está somando os termos de uma sequência Então se a gente fizer somar os termos dessa lista a gente vai obter uma série e a série ela pode ser representada por esse aqui de somatório então se eu quiser somar o z primeiros termos dessa sequência

então por exemplo quero somar de i igual a 1 até I = 50 eu tenho uma série então eu tenho A1 mais a dois mais A3 até chegar no termo 50 dessa série e como a gente viu lá que o galos descobriu a soma parcial dos 50 primeiros termos dessa série vai ser 51 vezes 50 sobre 2 então aqui a gente tem uma expressãozinha de soma parcial da mesma forma a gente pode somar os infinitos termos de uma sequência Então se a gente tem uma sequência infinita ali que nunca acaba não tem o valor determinado

para ela acabar a gente também consegue expressar a soma desses infinitos termos e no caso dessa sequência aqui a gente viu que se a gente quiser somar os infinitos termos que ela possui Então se a gente quiser tomar sei lá 2 bilhões assim e somando mais e mais e mais a nossa soma só vai crescendo mais e mais e mais então a gente tem uma soma que vai indo para o Infinito uma forma de ver isso é criando uma nova sequência que vai ser justamente uma sequência formada pela soma dos valores então por exemplo se

a gente somar só o primeiro termo a gente vai ter só um se a gente somar os dois primeiros termos a gente tem um mais dois que é 3 se a gente somar os três primeiros termos a gente tem três mais três que é 6 somando os quatro primeiros termos a gente tem seis mais quatro que é 10 e assim vai indo de tal forma que se a gente somar o Zeni primeiro os termos a gente tem n + 1 x n sobre 2 então a gente tem aqui uma sequência que se a gente calcular

o limite do termo geral dela então se a gente calcular o limite quando n tende a a gente vê que isso aqui também vai para o Infinito Isso aqui vai explodir também ou seja a gente não consegue encontrar um valor determinado para soma dessa sequência para essa soma infinita tá mas se a gente está somando infinitos termos existe algumas soma infinita que Vai resultar em um número finito tem como eu somar infinitos números uma quantidade indeterminada e obter um valor finito tem gente e isso não tá muito longe do que a gente via lá em

Cálculo 1 né lembra quando a gente Calculava integrais impróprias Por exemplo essa integral aqui do zero até o infinito e a gente obtinha valores finitos Então essa área aqui embaixo da curva olha elevada - x de 0 até infinito a gente encontrava que valia um então da mesma forma que essa integral imprópria que vai até o infinito vale um a gente também consegue encontrar somas infinitas que vão resultar em valores Fin Tranquilo então vamos ver um exemplo disso usando a soma parcial imagina essa sequência aqui ó a gente tem uma lista de números que comecem

um sobre dois aí vai para 1 sobre 4 1 sobre 8 repara que a gente está sempre multiplicando o denominador por 2 né então o termo geral dessa sequência é um sobre dois elevado a n Então olha só um sobre dois elevado a 1 sobre 2 elevado a 2 1 sobre 2 elevado a 3 e assim vai tá se a gente for somando os termos dessa sequência o que vai acontecer se a gente somar só o primeiro termo a gente vai ter só um sobre dois se a gente somar os dois primeiros termos a gente

vai ter um sobre dois mais um sobre 4 que vai dar três quartos se a gente somar os três primeiros termos a gente vai ter três quartos que a soma dos dois primeiros mas um oitavo que vai dar sete oitavos E conforme a gente vai somando uma determinada quantidade de termos dessa série A gente percebe que o padrão então a soma dos n primeiros termos vai ser 2 elevado a n menos 1 sobre 2 elevado a n então por exemplo se você quer somar os três primeiros termos você vai ter 2 elevado a 3 menos

1 sobre 2 elevado a 3 Isso aqui vai dar 8 - 1 que é 7 sobre 8 Então quando você soma o n primeiros termos o resultado dessa soma sempre vai de acordo com essa expressão aqui legal então a gente tem aqui a forma geral de escrever a soma dos n primeiros termos dessa sequência que é uma sequência que o termo geral é um sobre dois elevado a n e se eu quiser somar infinitos termos dessa sequência como vai ficar aí a gente tem que ver o que acontece com essa soma parcial quando o n

tende a infinito Então a gente tem aqui o limite para n tendendo ao infinito de 1 - 1 sobre 2 elevado a n separando que os termos a gente consegue cortar o dois elevado n em cima embaixo e ele fica só com esse um aqui né então a gente tem o limite quando ele tende a infinito de um menos o limite quando ele tende a infinito de um sobre dois elevado a n o limite de um que é uma constante é a própria constante e aqui o denominador tá crescendo muito em cima a gente tem

uma constante então isso vai para zero Então esse limite é igual a 1 Isso significa que quando a gente vai somando mais e mais termos dessa sequência a gente vai se aproximando cada vez mais de um se você fizer uma sequência SN que vai ter a soma dos n primeiros termos da sequência n você vai ter somando o primeiro termo a gente tem 0,5 somando o primeiro com segundo a gente tem 0,75 somando o primeiro segundo e o terceiro a gente tem 0,875 somando o primeiro segundo terceiro e o quarto a gente tem 0,93 você

vai ver que essa sequência vai se aproximando cada vez mais de um conforme One cresce a soma vai ficando muito muito próxima de um então quando a gente encontra esse limite para ele entender do infinito quando a gente encontra esse valor faça só uma tática se aproximando a gente vai dizer que esse valor s é a soma da nossa série infinita Ou seja a gente pode falar que a soma de A N para n indo de 1 até o infinito nesse caso aqui para essa sequência vai dar um se a gente somando somando somando a

gente tem que a soma vale um então para fechar essa primeira aula vamos fazer esse exercício aqui ele tá falando pra gente que a soma dos n primeiros termos dessa série ou seja se a gente somar a um mais a dois até o Ann Então se a gente somar até uma quantidade de n de termos a gente vai obter n sobre 2n + 1 agora vamos ver o que acontece se a gente somar infinitos termos dessa sequência se a gente for somando somando cada vez mais um valor indeterminado de números então o valor indeterminado de

termos dessa série bom então para isso a gente precisa calcular o limite quando o n tende a infinito na nossa soma parcial que é n sobre 2n + 1 então aqui a gente tem uma indeterminação infinito sobre infinito né para resolver isso aqui a gente pode usar luptal Então a gente vai ter o limite quando o n tende ao infinito derivando em cima a gente tem um e derivando em baixo a gente tem dois então sobrou só o limite de um sobre dois quando ele tem de um infinito e o limite da Constante é a

própria constante logo esse limite vai ser um sobre dois portanto gente a soma dessa série então a soma de infinitos termos da série vai dar um sobre dois quanto mais você soma mais próximo Você tá de um sobre dois bom gente então foi isso no vídeo de hoje eu espero que vocês tenham gostado não esquece de curtir se inscreve no canal compartilhe com seus amigos e já me segue lá no Instagram para ficar por dentro de tudo Tá bom então a gente se vê no próximo vídeo gente beijo [Música]