[Música] esse movimento em zigue-zague que deu origem a essa ideia do livre caminho médio ele pode ser associado ao movimento aleatório e ele é estudado em física como um exemplo clássico de um movimento de difusão eu vou usar essa imagem para apresentar a você o problema do movimento aleatório com isso eu vou provar para você que a distância média percorrida por uma molécula no interior eh de uma de um recipiente como esse num processo difusivo depende do tempo o que é natural mas ela depende do tempo de uma maneira engraçada depende do tempo depende da
raiz quadrada do tempo veja que o movimento que eu chamaria de balístico o que que é um movimento balístico movento balístico é aquele onde não há colisão não tem zigue-zague nem um no movimento balístico o movimento a distância percorrida por uma molécula é diretamente proporcional ao tempo eu vou partir de um certo ponto e a partir desse ponto eu vou executar deslocamentos sucessivos eles vão representar cada uma das pernas desse dessa trajetória em zigue-zague esse essas pernas elas terão todas o mesmo comprimento e esse comprimento vai estar associado ao livre caminho médio que eu acabei
de definir e calcular É como se eu tivesse dando vários Passos né dou um passo depois dou outro todos os passos tem o mesmo tamanho agora para onde eu vou dar o passo é completamente aleatório Tá certo então eu começo nesse nesse ponto eu percorro um deslocamento que eu vou chamar de D1 depois um deslocamento que eu vou chamar de D2 todos eles com o mesmo comprimento mas em direções aleatórias o deslocamento total sofrido por um Caminhante que Execute segundo essa regra matemática que eu acabo de descrever ele vai sofrer o deslocamento que é D1
+ D2 + D3 mais etc soma quando i vai de 1 até n de d i Tá certo e aí eu vou fazer o seguinte eh eu vou imaginar que eu parto dessa posição e repito a mesma experiência um número muito grande de vezes Qual é a experiência a experiência de dar n grande Passos nessa com essas regras né faço isso um número suficientemente grande de vezes para que todas as possibilidades estejam estejam cobertas na verdade eu tenho que fazer isso número infinito de vezes né eu não vou fazer isso na prática número infinito mas
eu vou eh eh simular matematicamente esse processo eu começo nesse ponto executo essa essa rotina de dar n grande Passos em direções aleatórias faça uma vez Veja onde eu vou parar de grande para aquela realização do movimento aleatório começo de novo né Em cada passo eu escolho aleatoriamente Em que direção eu vou faço uma outra realização tenho outro D grande e assim sucessivamente eu vou ter um número enorme de D D grandes vou fazer a média como é que eu faço a média eu somo todos esses degrandes e divido pela quantidade de realizações que eu
fiz quanto vai dar esse resultado eu vou fazer um monte de vezes a mesma coisa só que a cada vez eu sorteio de novo Diferentemente a direção para onde eu ando tá em cada ponto então por exemplo se numa realização o meu primeiro passo foi esse vai acontecer uma outra realização no qual o meu primeiro passo vai ser o exato oposto não é verdade afinal de contas em cada passo eu eu sorteio todas as possibilidades e isso vale para qualquer sequência D1 D2 DN então para qualquer sequência D1 D2 etc DN vai haver uma sequência
que é o exato simétrico dela quando eu somar as duas dá zero por isso a média desse bicho aqui dá zero nós chamamos a isso uma média de ensemble tá uma média sobre todas as realizações possíveis desses n grandes Passos por isso eu preciso definir direito o que é que eu quero calcular não eu não quero calcular o deslocamento médio dessa maneira né Eu quero calcular alguma coisa que não dê zero uma maneira seria ao invés de eu fazer a média dos vetores deslocamento eu fazer a média dos módulos desses vetores ao invés de fazer
a média do módulo eu vou fazer uma média que é equivalente a essa do ponto de vista conceitual porque eu quero alguma coisa que seja sempre positiva eu vou fazer a média de D qu D qu é sempre positivo D escalar D então eu vou tomar eu vou definir o que eu chamo de deslocamento quadrático médio eu vou usar a sigla em inglês root mean Square isso aqui eu vou definir da seguinte maneira é a raiz quadrada do valor médio de D escalar D D qu veja D qu tem a propriedade que eu desejava Ele
é positivo para todo mundo e aí eu tomo a raiz quadrada para que ele tenha a dimensão correta el tem que ter a dimensão de distância vou primeiro calcular D escalar D isso é D1 + D2 + D3 mais DN multiplicado escalarmente por D1 + D2 D3 DN eu escrevo isso assim ó soma quando i vai de 1 a n de di multiplicado escalarmente pela soma quando J vai de 1 até n DJ veja eu sou obrigado a usar índices diferentes quando eu faço o produto vão aparecer termos que são D1 escalar D1 o outro
que é D2 escalar D2 vão aparecer termos conjugados eu vou chamar vou separar esses eu vou dizer que esses são soma quando i vai de 1 a n de di Quad Tá certo além desses vão aparecer os termos que eu vou chamar de cruzados porque vai vai aparecer o produto de D1 por D2 Tá certo de D1 por D5 e assim por diante termos dos quais o i e o J são diferentes eu vou chamar isso de soma quando i é diferente de J de di escalar DJ Agora lembre que todos os passos TM o
mesmo tamanho não é verdade Essa foi a minha ideia Inicial cada passo tem o mesmo tamanho o tamanho qual era era o livre caminho médio o que tá escrito aqui é o quadrado de cada deslocamento então é o quadrado do tamanho de cada passo então isso aqui é a soma de amb quadr E continuo com essa soma dos termos cruzados e lembro outra vez que o que eu fiz aqui foi só um eu quero chegar nessa nessa expressão eu quero calcular o valor médio de D quadrado Ah o valor médio disso lembre o valor médio
de ensamble quer dizer o valor médio sobre todas as realizações possíveis então o valor médio disso aqui ó soma soma de amb Quad isso aqui é amb2 1 ve +2 + 2 + L2 n vezes então isso aqui é n ve 2 mais lembre que eu tô fazendo uma média sobre todas as realizações então a média de di escalar DJ vai dar zero por quê Porque para cada Di eu tenho um termo igual com com com o sinal trocado menos D então isso aqui dá zero logo a média de D Quad dá n 2 e
portanto o deslocamento quadrático médio que é a raiz quadrada disso vai dar amb ve a ra n eu vou escrever assim nó só fizemos isso porque estamos interessados em aplicar essa ideia ao movimento de difusão de uma molécula no interior do gás Tá certo e o que eu tô interessado e no caso do gás é indeterminar de que maneira esse deslocamento quadrático médio varia com o tempo ou seja estou interessado em determinar a função deslocamento em função do tempo lembre que quantidade de passo é a quantidade de zigue-zagues que eu tenho aqui né acontece que
eu sei qual é o tempo que demora para dar um passo Eu sei estimar esse tempo por quê Ah porque eu sei qual é a velocidade eh quadrática média tá aqui né Isso aqui é 3 me de Cat então eu sei obter essa velocidade quadrática média deixa eu obter aqui logo né essa velocidade quadrática média isso aqui vale 2 3 C sobre m e eu vou então dizer que usando a mesma definição que eu que eu usei ali na frente que isso aqui vale a raiz quadrada de 3 KTM esse número me dá uma ideia
da velocidade do movimento de cada dessa molécula com essa velocidade ela vai percorrer uma distância que é o livre caminho médio Ora eu sei determinar portanto que tempo Qual é o tempo que ela demora para dar um desses Passos esse tempo eu vou chamar de tal o deslocamento é o Liv caminho médio dividido pela velocidade que é essa aí eu vou colocar aqui só o símbolo dela eu sei quanto ela vale em função da temperatura da constante de bol set tá aí e se eu deixo passar um tempo T como Cada passo demora um tempo
tal a quantidade de Passos n grande é T dividido por tal eu vou essa ideia para calcular o deslocamento quadrático médio sofrido por uma molécula do gás isso aqui é lambda sobre a raiz de tal vezes a raiz t e era isso que eu queria provar eu queria provar que o deslocamento sofrido por uma molécula do movimento difusivo era proporcional à raiz quadrada da da do tempo claro você pode brincar de substituir aqui os valores que eu obtive para relacionar essa esse deslocamento com a temperatura com a massa etc [Música]
