hola a todos bienvenidos a un nuevo vídeo hoy vamos a hablar sobre núcleo e imagen de una transformación lineal esto es un tema que me han pedido bastante y tienen razón es que aparece mucho en el álgebra lineal son dos espacios vectoriales muy importantes vamos hablando sobre eso y también por supuesto vamos a estar resolviendo ejercicios tipo test así que bueno estás listo yo estoy listo empecemos e [Música] muy bien antes de empezar los a ver si alguno de ustedes sabe lo que es el núcleo y la imagen de una transformación lineal sí a ver
tú pasa pasa si se da la vuelta por acá bien que es el núcleo para mí el núcleo es el corazón como ha sido el núcleo de la tierra que es el corazón todas las miradas apuntan sobre el soy yo el núcleo soy yo es porque todas las cámaras apuntan soy una estrella soy el centro está un poco lejos de lo que el núcleo dios lanzó en formación lineal buena vez que es la imagen la imagen por supuesto que sé lo que es la imagen si yo soy una imagen pública y soy una figura pública
entonces bueno la imagen de una transformación lineales su uso estética como se ve en la imagen o sea como como está presentado cómo se viste como se dirige a la imagen de una transformación no cuatro cosas lo que sucede cuando le pedimos al start que responda una pregunta de matemática la imagen de la transformación lineal comenzamos con el núcleo dado una transformación lineal de the b w el núcleo de la transformación lineal será todos los vectores en el espacio vectorial b cuyo transformado vale 0 es decir todos los vectores tales que te dé ese vector
es igual a cero de todas maneras se lo dejó escrito por acá así que fíjense el núcleo está denotado por n dt o también porque el dt que refiere al kernel dt y son todos los vectores del espacio vectorial de salida cuyo transformado por la transformación de vale 0 el núcleo de t es un sub espacio vectorial del espacio vectorial de salida y eso es muy importante sin repito el núcleo de t siempre va a ser un su espacio vectorial ahora vamos con la imagen de la imagen de teo hacer un sub espacio vectorial de
w vive en el conjunto de llegada y quiénes son los vectores que pertenecen a la imagen de t son los que son transformados de alguien los transformados de algún vector en el espacio vectorial de eso es la imagen de t se la voy a escribir por acá así que la imagen de ti es esto es el subconjunto de w pero más que su conjunto va a ser un sub espacio vectorial de todos los vectores que viven en w para los cuales existe un vector en b cuyo transformado vale w así que eso lo que es
el núcleo y la imagen de una transformación lineal con esto en mente vamos a pasar de una vez a resolver ejercicios en el tercer ejercicio tenemos que ver lo siguiente a la transformación lineal ddr3 en r3 definida asiste de un vector de r3 es decir un vector x zeta da como resultado otro vector en r3 verdad que tiene tres coordenadas la primera coordenadas x + 2 y la segunda es y menos zeta y la tercera es x + 12 está bueno hay que ver que el vector w 303 pertenece a la imagen de t es
decir que está acá y pertenece a la imagen de ti y que el vector x 211 pertenece al núcleo de t es decir hay que ver que te evaluado en este vector vale cero am ha salido lo más fácil vamos a evaluar al vector x de la transformación t y veamos que eso vale 0 entonces te de 2 - 1 - 1 eso vale el 2° menos 2 vale 0 y veloz entra menos uno más uno en su vale cero x2 z 2 - 2 es su vale pero ya está entonces cómo te evaluado en
este vector vale 0 o sea el 0 de r3 entonces no significa que este vector pertenece al núcleo de t no implica que el vector 2 - 1 - 1 pertenece al núcleo de la transformación ahora veamos que este vector pertenece a la imagen de t para que pertenezca a la imagen de t tiene que existir tenemos que mostrar un vector en veo sea en r3 de tal manera que el transformado de ese vector que tenemos que mostrar sea igual al 3 0 3 sea igual a w ok entonces tenemos que mostrar verdad un vector
1x verdad y este x va a ser un vector digamos de coordenadas x y z de tal manera que el transformador de ese vector sea igual a nuestro vector w que es el 303 en esto es lo que estamos interesados ahora bien el transformado de esto es y la transformación es esta que está acá verdad entonces tenemos que ver que x2 y y menos está coma x2 z sea igual al 303 de aquí va a resultar que x2 y tiene que ser igual a tres o menos z tiene que ser igual a cero x más
dos zetas tiene que ser igual a tres ahora de acá sale que tiene que ser igual acepta entonces esa es la primera condición que obtenemos para un vector cuyo transformado valga 303 ahora y vale z entonces esto implica que el sistema ahora como me queda el sistema solamente va a quedar x + 2 y es igual a 3 porque si reemplazamos en z igual hay acá pues me queda la misma ecuación x + 2 igual a tres así que pierdo esta ecuación y esta ya está así que me quedo en esta ecuación y esta ecuación
tiene infinitas soluciones hay infinitas soluciones para el problema es decir hay infinitos vectores en r3 cuyo transformado vale 303 pero vamos a ver por lo menos uno de ellos entonces bueno supongamos que hacemos igual z lo hacemos 0 entonces eso implica eso equivale a decir que equivale 3 entonces de ahí sale el punto vamos a llamarlo el vector b de coordenadas 3 0 0 y veamos que t evaluado en el 0 en el 300 da como resultado el vector w 303 fíjense si sustituimos acá vamos a tener 3 porque vale cero esto vale cero y
aquí tres porque se está vale cero entonces en efecto el transformado del 300 vale el vector 303 y así este vector pertenece a la imagen de t el transformado de alguien bueno y ahora salimos este primer ejercicio bastante sencillo ahora vamos con un segundo ejercicio este segundo ejercicio dice lo siguiente hay en la imagen y núcleo de la transformación lineal t que va del espacio de matrices de tamaño 2 x 2 con entradas en los reales en los números reales tal que está definida la siguiente manera te dé una matriz da como resultado la traza
de la matriz ha recordado que la traza de a es la suma de los elementos en la diagonal de la matriz por definición el núcleo de la transformación será el conjunto de todas las matrices 2 x 2 de tal manera que la tasa que por cierto es a más de que eso valga pero eso es el núcleo de la transformación si a más de vale 0 significa que ya vale menos de a es igual a menos de y por lo tanto el núcleo será entonces las matrices que van a tener la forma y dónde está
el de ese multiplicamos por menos 1 de es igual a menos a sustituimos eso colocamos menos así que van a hacer todas las matrices que tienen esta forma y que pertenecen acá así que esa es la forma genérica de esas matrices y vamos a ver cuál es una base para el núcleo de la transformación entonces este conjunto que está acá lo podemos también escribir como el conjunto vamos a sacar el a y nos va a quedar la matriz 10 1 d y nos va a quedar la matriz 0 100 parece que donde estaba la letra
colocamos un 1 por ejemplo acá estaba a menos 10 acá todo es cero excepto uno estaba en la bella y colocamos un 1 y acá vamos a colocar por la matriz 0 0 este va a ser el conjunto donde habéis se pertenecen en los regalos reales sí entonces esto va a ser este conjunto va a ser el conjunto generado o el núcleo pues va a ser el generado por el conjunto de estas matrices 1 0 - 1 100 la matriz 0 0 por lo tanto va a tener el núcleo va a tener dimensión 3 por
el teorema las dimensiones la dimensión de la imagen desde la dimensión del espacio vectorial que vale 4 menos la dimensión del núcleo de la transformación que vale 3 así que esto vale 1 la dimensión de la imagen de te vale 1 pero ya sabemos que en la imagen de este es un sub espacio vectorial del conjunto de llegada es decir la imagen desde en un su espacio vectorial de r pero r tiene dimensión 1 y si la imagen de t es un sub espacio vectorial de r que también tiene dimensión 1 la única manera es
que la imagen de t sea igual a r porque no puedes tener un su espacio vectorial de un espacio con la misma dimensión tienen que ser iguales entonces de aquí sale que la imagen de t son todos los reales y con eso concluye el ejercicio porque nos habían preguntado por el núcleo en la imagen de la transformación hasta acabo de dejar este vídeo de introducción a lo que es el núcleo y la imagen de una transformación lineal y por lo que la definición vemos un par de ejercicios y bueno en unos próximos vídeos vamos a
estar resolviendo más ejercicios de núcleo e imagen de una transformación lineal así que bueno nada nos vemos en un próximo vídeo
