[MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] >> [CLAUDIO] OLÁ, ALUNOS DO CÁLCULO II DA UNIVESP. BEM VINDOS! ESSA É A AULA 24 DO NOSSO CURSO, VOU FALAR DO ÚLTIMO TÓPICO QUE NÃO FOI ABORDADO.
E, NA PRÓXIMA SEMANA, NÓS VAMOS VER TODOS OS NOSSOS CONCEITOS. VOU FALAR SOBRE OS PONTOS DE MÁXIMO E DE MÍNIMO. A GENTE DESENVOLVEU TODA TEORIA DAS NOSSAS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS.
ESSE TÓPICO DEIXEI POR ÚLTIMO, ELE É UM TÓPICO QUE A GENTE CONSEGUE TRATAR DE FORMA MAIS OU MENOS ISOLADA. ELE É MUITO BONITO TAMBÉM. TODOS OS RESULTADOS DO CÁLCULO SÃO MUITO BONITOS, MUITO RICOS E APLICAÇÕES.
PONTOS DE MÁXIMOS E DE MÍNIMOS SÃO MUITO IMPORTANTES PORQUE ELES ESTÃO LIGADOS A SITUAÇÕES EXTREMAS. SE VOCÊ PENSA EM UMA ANÁLISE DE UMA VARIÁVEL ECONÔMICA, QUE DEPENDE DE OUTRAS VARIÁVEIS, DUAS, TRÊS VARIÁVEIS INDEPENDENTES. SABER SE AQUILO TEM UM MÁXIMO, PERMITE ESTABELECER POLÍTICAS, COMO QUE O ADMINISTRADOR USA AS OUTRAS VARIÁVEIS PARA AQUELA QUE ELE QUER MAXIMIZAR POSSA SER MAXIMIZADO, COMO QUE ELE MAXIMIZA O RENDIMENTO DE UMA MÁQUINA A PARTIR DE ALGUMAS VARIÁVEIS, COMO QUE ELE MAXIMIZA A RECEITA DE UMA EMPRESA A PARTIR DE ALGUMAS OUTRAS VARIÁVEIS, E MINIMIZAR QUANDO HÁ O INTERESSE EM OBTER O VALOR MÍNIMO PARA AQUELA VARIÁVEL.
BOM, TANTO FAZ SE EU ESTOU NO "R2" OU "R3", A IDEIA É A MESMA. EU POSSO TER UMA FUNÇÃO QUE ESTÁ NO "R2", O DOMÍNIO É O "R2" DE DUAS VARIÁVEIS, COMO EU INDIQUEI AQUI, OU PODIA SER UMA FUNÇÃO DE 3 VARIÁVEIS. EU DIGO QUE UM PONTO DO DOMÍNIO É UM PONTO DE MÁXIMO SE O VALOR DA FUNÇÃO NAQUELE PONTO É MAIOR OU IGUAL DO QUE O VALOR DA FUNÇÃO EM TODOS OS OUTROS PONTOS DO DOMÍNIO.
EU DIGO QUE O PONTO É DE MÍNIMO SE ACONTECE AO CONTRÁRIO, SE O VALOR DA FUNÇÃO É MENOR QUE O VALOR DA FUNÇÃO NOS OUTROS PONTOS DO DOMÍNIO. UMA QUESTÃO DE LINGUAGEM, DE NOMENCLATURA QUE NÃO DEVE OBJETO DE GRANDES PREOCUPAÇÕES, O IMPORTANTE É SER COERENTE, O IMPORTANTE É ENTENDER O CONTEXTO EM QUE A GENTE ESTÁ TRABALHANDO, QUANDO VOCÊS ESTIVEREM CONSULTANDO UMA BIBLIOGRAFIA, UM LIVRO OU UM TRABALHO CIENTÍFICO, É IMPORTANTE SABER O QUE O AUTOR QUER DIZER NAQUELE CONTEXTO. PRIMEIRA COISA, EXISTE UM CONCEITO DE MÁXIMO E MÍNIMO LOCAL E ABSOLUTO.
QUAL QUE É A DIFERENÇA? MÍNIMO LOCAL, SE ESSA CONDIÇÃO DE QUE O VALOR DA FUNÇÃO NO PONTO É A MÍNIMA, OCORRE NUMA VIZINHANÇA DO PONTO NÃO NECESSARIAMENTE EM TODO O DOMÍNIO; MÍNIMO ABSOLUTO SE OCORRE SEMPRE. ENTÃO, SE UMA FUNÇÃO TEM O PERFIL ASSIM, ISSO É UM MÍNIMO ABSOLUTO PORQUE OCORRE SEMPRE.
SE UMA FUNÇÃO TEM UM PERFIL QUE FAZ ISSO. . .
ESSE MÍNIMO É LOCAL, MAS ELE NÃO É O MÍNIMO ABSOLUTO PORQUE, EM OUTRA REGIÃO, A FUNÇÃO VAI TER UM MÍNIMO QUE É MENOR DO QUE AQUELE. ESSE É O MÍNIMO LOCAL E ABSOLUTO, ESSE É SÓ LOCAL – ISSO É UMA COISA PARA FICAR BEM ESCLARECIDA EM CADA CONTEXTO. OUTRA COISA IMPORTANTE DE OLHAR EM CADA BIBLIOGRAFIA, ÀS VEZES OS AUTORES TRABALHAM COM ESSES CONCEITOS E COLOCAM AQUI O "MAIOR ESTRITO" E CHAMAM DE MÁXIMO QUANDO É MAIOR ESTRITO, ÀS VEZES COLOCA "MAIOR OU IGUAL".
ALGUNS AUTORES DIZEM QUE QUANDO É MAIOR, É MÁXIMO ESTRITO; E QUE O OUTRO É MÁXIMO QUANDO ESTIVER. . .
UM OUTRO TIPO DE MÁXIMO QUE PODE SER IGUAL. QUER DIZER, DEPENDENDO DO QUE O AUTOR COLOCA PODE SER QUE SIM, OU QUE NÃO, QUE A FUNÇÃO FIQUE ESTÁVEL, QUE TENHA A IGUALDADE NO PONTO DE MÁXIMO E DE MÍNIMO. TUDO ISSO É QUESTÃO DE SER COERENTE E DE OBSERVAR BEM, NO MOMENTO, O MATERIAL QUE VOCÊ ESTÁ TRABALHANDO E QUAL É A DEFINIÇÃO QUE O AUTOR ESTÁ USANDO.
EU VOU USAR ESSA COM UM "MAIOR, IGUAL" NESSA AULA. POR EXEMPLO, ESSA FUNÇÃO AQUI "9-X2-Y2", ELA TEM COMO GRÁFICO, NÓS VIMOS ISSO NO COMECINHO DA DISCIPLINA, UM PARABOLOIDE DE REVOLUÇÃO COM CONCAVIDADE PARA BAIXO, O GRÁFICO TEM ESSA CARA. O PONTO (0,0) É UM DE PONTO DE MÁXIMO PARA ESSA FUNÇÃO, ELE É UM PONTO DE MÁXIMO ABSOLUTO E ELE É UM PONTO DE MÁXIMO LOCAL.
E ELE É O ÚNICO PONTO EM QUE A FUNÇÃO VALE 9, O MAIOR VALOR. SE EU USASSE AQUI COMO MAIOR, ELE TAMBÉM SERIA UM PONTO DE MÁXIMO. EU ESTOU ADOTANDO A DEFINIÇÃO COM "MAIOR, IGUAL".
UMA COISA INTERESSANTE DE OBSERVAR, NO PONTO DE MÁXIMO, NESSE CASO, É QUE. . .
UMA CONDIÇÃO NECESSÁRIA É QUE SE ELE É UM PONTO DE MÁXIMO, AS DERIVADAS PARCIAIS EM "X" E "Y" SÃO NULAS. NA VERDADE, ESSE É UM FENÔMENO, TEM UMA GEOMETRIA MUITO BONITA, VAMOS VOLTAR NAQUELA FIGURA. .
. IMPORTANTE É OBSERVAR QUE É UMA CONDIÇÃO NECESSÁRIA, DEPOIS NÓS VAMOS DISCUTIR SE ELA É SUFICIENTE OU NÃO. MAS IMAGINA QUE VOCÊ ESTÁ NA SITUAÇÃO DO PONTO DE MÁXIMO.
[SOM AMBIENTE] >> [CLAUDIO] VOCÊ TEM CURVAS. . .
AQUI SÃO AS CURVAS QUE DÃO AS DERIVADAS PARCIAIS. MAS EU PODERIA PEGAR QUALQUER OUTRA CURVA PASSANDO PELO PONTO DE MÁXIMO. QUALQUER CURVA QUE PEGUE AQUI QUE VAI PASSAR PELO PONTO DE MÁXIMO TEM, NAQUELE PONTO ALI, EXATAMENTE UM MÁXIMO PARA CURVA.
O QUE ACONTECE QUANDO VOCÊ TEM UMA CURVA E UM PONTO DE MÁXIMO DA CURVA? ENTÃO, VOCÊ TEM UMA FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL E TENHO UM PONTO DE MÁXIMO, A DERIVADA É ZERO, A RETA TANGENTE É HORIZONTAL. AQUI, QUANDO O MEU PONTO É DE MÁXIMO PARA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS, VAI ACONTECER EXATAMENTE ISSO: QUANDO EU PEGAR AS CURVAS QUE PASSAM PELA ORIGEM, QUE PASSAM PELO PONTO, AS DERIVADAS PARCIAIS VÃO SER ZERO.
EU ESTOU LEVANDO PARA DUAS OU TRÊS DIMENSÕES, O QUE EU JÁ SABIA, PARA UMA DIMENSÃO QUE NO PONTO DE MÁXIMO, QUANDO EU PASSO POR ELE, PASSO POR RETA TANGENTE HORIZONTAL PORQUE A DERIVADA É ZERO. E AQUI OCORRE A MESMA COISA. ENTÃO, OS PONTOS EM QUE AS DERIVADAS PARCIAIS SÃO NULAS, SÃO PONTOS IMPORTANTES, NÓS OS CHAMAMOS DE "PONTOS CRÍTICOS".
É MUITO IGUAL O QUE A GENTE FEZ COM A FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL LÁ NO CÁLCULO 1. OS PONTOS EM QUE A DERIVADA ERA ZERO NÓS CHAMÁVAMOS DE "PONTOS CRÍTICOS". BOM, OS PONTOS DE MÁXIMO E DE MÍNIMO SÃO PONTOS EM QUE A DERIVADA É ZERO NESSE CONTEXTO EM QUE AS DERIVADAS PARCIAIS SÃO NULAS.
É MUITO NATURAL PERGUNTAR SE ESSA CONDIÇÃO TAMBÉM É SUFICIENTE, SE OS PONTOS CRÍTICOS SÃO NECESSARIAMENTE PONTOS DE MÁXIMO OU DE MÍNIMO. PARA UMA VARIÁVEL, A RESPOSTA JÁ ERA "NÃO". PARA UMA VARIÁVEL, A GENTE TINHA TRÊS POSSIBILIDADES: A DERIVADA ZERO PODIA SER UM PONTO DE MÍNIMO; PODIA SER UM PONTO DE MÁXIMO; OU PODERIA SER UM PONTO DE INFLEXÃO COMO NA FUNÇÃO "X AO CUBO", QUE ELA TINHA DERIVADA ZERO NA ORIGEM, FAZIA UMA INFLEXÃO E CONTINUAVA SUBINDO.
A FUNÇÃO "X AO CUBO" ERA CRESCENTE E TINHA DERIVADA ZERO NO "X" IGUAL A ZERO; QUE "X AO CUBO" A DERIVADA É "3X AO QUADRADO". BOM, AQUI NÓS VAMOS ANALISAR EM SEGUIDA ESSE MESMO FATO. PARA DEIXAR BEM CLARO, EU VOU CALCULAR OS PONTOS CRÍTICOS DESSA FUNÇÃO, SÓ PARA MOSTRAR COMO A GENTE CALCULA PONTOS CRÍTICOS NESSE CASO.
A GENTE TEM QUE IGUALAR AS DERIVADAS PARCIAIS A ZERO. ENTÃO, SE EU TIVER A FUNÇÃO: "9-X2-Y2", EU FAÇO A DERIVADA PARCIAL EM "X", IGUALO A ZERO E OBTENHO UMA CONDIÇÃO EM "X". NÃO É SUFICIENTE PARA DIZER QUE EU JÁ ACHEI O PONTO CRÍTICO PORQUE EU PRECISO FAZER A DERIVADA PARCIAL EM "Y", TAMBÉM IGUALAR A DERIVADA PARCIAL EM "Y" E AGORA EU ACHEI O PONTO CRÍTICO, É O ZERO, ZERO.
ENTÃO (0,0) É ÚNICO PONTO CRÍTICO DAQUELA NOSSA FUNÇÃO. A PERGUNTA NATURAL É SE TODO PONTO CRÍTICO É DE MÁXIMO OU DE MÍNIMO, E A RESPOSTA É "NÃO", E VAMOS VER ESTA FUNÇÃO AQUI: "X AO QUADRADO" MENOS "Y AO QUADRADO". ESSA FUNÇÃO TEM UM GRÁFICO MUITO BONITO DO PONTO DE VISTA GEOMÉTRICO, ELA É MUITO RICA EM APLICAÇÕES GEOMÉTRICAS.
OBSERVA QUE A DERIVADA PARCIAL EM "X" É "2X"; A DERIVADA PARCIAL EM "Y" É "-2Y" PORQUE "X AO QUADRADO" MENOS "Y AO QUADRADO" NA DERIVA EM "X" DÁ "2X", DERIVA EM "Y" DÁ "2Y" E COM SINAL DE 'MENOS'. ENTÃO, SE EU QUISER ACHAR PONTO CRÍTICO, EU TENHO QUE IGUALAR AS DERIVADAS PARCIAIS A ZERO. IGUALANDO A ZERO, DÁ ZERO, ZERO.
ENTÃO, O ÚNICO PONTO CRÍTICO É O ZERO, ZERO. E ESSE PONTO NÃO É NEM DE MÍNIMO E NEM DE MÁXIMO. O GRÁFICO DAQUELA FUNÇÃO É ESSA SUPERFÍCIE, EU VOU DESCREVER UM POUQUINHO MELHOR.
ELA É MUITO BONITA. NA VERDADE, A GENTE USA EM MATEMÁTICA, O NOME DESSA SUPERFÍCIE É "SELA". É NÃO É POR ACASO QUE A GENTE CHAMA ESSA SUPERFÍCIE DE "SELA", É PORQUE ELA LEMBRA UM POUCO A SELA QUE SE USA PARA SELAR UM CAVALO, UMA MONTARIA.
IMAGINE QUE AS PERNAS DO CAVALEIRO ESTÃO AQUI E AQUI, ESSA PARTE QUE VEM PARA BAIXO, O CAVALEIRO ESTÁ OLHANDO, DIGAMOS, PARA FRENTE, A CABEÇA DO CAVALO ESTARIA ALI, ENTÃO ESSA AQUI É A PARTE DA SELA QUE ESTÁ NA FRENTE DO CAVALEIRO, O CAVALEIRO ESTARIA COM AS PERNAS NESSA DIREÇÃO. ENTÃO ELA CHAMA SELA. OLHA, QUE SUPERFÍCIE BONITA: SE VOCÊ OLHA O QUE OCORRE NO EIXO "Y" IGUAL A ZERO.
. . "Y" IGUAL A ZERO É O EIXO "X".
O EIXO "X" NESSE DESENHO ESTÁ AQUI, ESSE É O EIXO "X" NESSE DESENHO. SE VOCÊ COLOCA "Y" IGUAL A ZERO E OLHA O EIXO "X", VOCÊ TEM UMA PARÁBOLA "X AO QUADRADO", QUE É ESSA PARÁBOLA QUE ESTÁ SUBINDO AQUI. ENTÃO, NO EIXO "X", EM CIMA DO EIXO "X", NA VERDADE É NO PLANO "XZ".
. . NO PLANO "XZ", EU TENHO A PARÁBOLA "X AO QUADRADO" CONCAVIDADE PARA CIMA.
SE EU FAÇO "X" IGUAL A ZERO, E AÍ EU VOU PARA O PLANO "ZY", EU TENHO A PARÁBOLA "-Y AO QUADRADO". ENTÃO, NO PLANO "ZY", QUE ESTÁ PARA CÁ, EU TENHO A PARÁBOLA "-Y2", É UMA PARÁBOLA PARA BAIXO. ENTÃO, OLHA SÓ QUE BONITO: NO GRÁFICO, EU TENHO UM PEDAÇO QUE É UMA PARÁBOLA PARA CIMA E UM PEDAÇO QUE É UMA PARÁBOLA PARA BAIXO.
ENTÃO, ORA A FUNÇÃO SOBE, ORA A FUNÇÃO DESCE, E ESSE PONTO NÃO É NEM DE MÍNIMO, NEM DE MÁXIMO. E ELE É O ÚNICO PONTO CRÍTICO, QUER DIZER, ISSO MOSTRA QUE PONTOS CRÍTICOS NEM SEMPRE SÃO DE MÍNIMO OU DE MÁXIMO. JÁ ACONTECIA EM UMA VARIÁVEL, ACONTECE EM DUAS VARIÁVEIS, QUE A GENTE TEM ATÉ MAIS LIBERDADE PARA MONTAR O GRÁFICO.
MUITO BONITO ESSE EXEMPLO. . .
ENTÃO, NÃO É NEM DE MÁXIMO E NEM DE MÍNIMO. TEM UM TEOREMA QUE DÁ UMA CONDIÇÃO PARA SABER SE É MÁXIMO OU MÍNIMO, QUE É O SEGUINTE: PRIMEIRO, VOCÊ PEGA A FUNÇÃO E ACHA UM PONTO CRÍTICO; AÍ, VOCÊ CALCULA UM CERTO DETERMINANTE DE UMA CERTA MATRIZ, É MATRIZ QUE TEM AS DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM 2. VAMOS OLHAR COM CUIDADO A MATRIZ.
A DERIVADA SEGUNDA DE "F" EM RELAÇÃO A "X AO QUADRADO", A DERIVADA SEGUNDA DE "F" NA ORDEM "XY", A DERIVADA SEGUNDA DE "F" NA ORDEM "YX", E A DERIVADA SEGUNDA DE "F" NA ORDEM "Y". NA DIAGONAL SECUNDÁRIA, NA VERDADE, A GENTE ESCREVE ISSO POR UM RAZÃO DE SIMETRIA, DE REDAÇÃO, DE ESTÉTICA, MAS POR CAUSA DO TEOREMA DE SCHWARZ, SE A FUNÇÃO FOR DE CLASSE "C2", ESSE VALOR E ESSE VALOR SÃO IGUAIS. ENTÃO, NA VERDADE, PODERIA TER POSTO O MESMO VALOR AQUI.
E VAMOS CHAMAR DE. . .
ESTOU CHAMANDO "D" O DETERMINANTE DESSA MATRIZ, QUE É O PRODUTO DA DIAGONAL PRINCIPAL, DERIVADA SEGUNDA DE ORDEM 2 EM "X" VEZES DERIVADA SEGUNDA DE ORDEM 2 EM "Y" MENOS A DIAGONAL SECUNDÁRIA, QUE É A DERIVADA SEGUNDA MISTA, VEZES A DERIVADA SEGUNDA MISTA, QUE NA VERDADE SÃO IGUAIS, EU PODERIA TER POSTO AQUI SIMPLESMENTE "AO QUADRADO". OK? POIS BEM, OLHA PARA ESSE DETERMINANTE: IMAGINE QUE ESSE DETERMINANTE É POSITIVO E QUE A DERIVADA SEGUNDA EM "X" SEJA POSITIVA TAMBÉM.
ENTÃO, O PONTO É MÍNIMO LOCAL. IMAGINA QUE O DETERMINANTE É MAIS E A DERIVADA EM "X" É MENOS, ENTÃO É MÁXIMO LOCAL. IMAGINE QUE O DETERMINANTE É NEGATIVO, ENTÃO COM CERTEZA NÃO É NEM MÁXIMO E NEM MÍNIMO – AÍ EU ESTOU AFIRMANDO QUE NÃO É MÁXIMO NEM MÍNIMO.
E OS OUTROS CASOS? OUTROS CASOS QUER DIZER: SE "D" É IGUAL A ZERO. .
. AÍ O TEOREMA NÃO AFIRMA NADA, NEM QUE É MÁXIMO, NEM QUE É MÍNIMO, NEM QUE É QUALQUER OUTRA COISA. COMENTÁRIOS: POR QUE A DERIVADA EM "X"?
O QUE O "X" TEM DE MELHOR QUE O "Y"? NA VERDADE, NADA. É POSSÍVEL PROVAR QUE, SE ESSE DETERMINANTE É POSITIVO, ENTÃO A DERIVADA EM "XY" TEM QUE TER O MESMO SINAL.
É SÓ FAZER UMA ANÁLISE SOBRE O DETERMINANTE, QUE AQUI VOCÊ ESTÁ FAZENDO MENOS UMA COISA POSITIVA, ENTÃO PARA SER POSITIVO, ISSO TEM QUE SER POSITIVO; PARA ISSO SER POSITIVO, ELES TEM QUE TER O MESMO SINAL. NESTE TEOREMA, ENTÃO, EU PODERIA TER TROCADO A DERIVADA EM "X" PELA DERIVADA EM "Y", ERA IGUALZINHO. ESSA FUNÇÃO TEM UM COMPORTAMENTO SIMÉTRICO EM RELAÇÃO A "XY".
E VALE ISSO: SE O DETERMINANTE É NEGATIVO, NÃO É NEM MÁXIMO NEM MÍNIMO, DETERMINANTE POSITIVO VOCÊ OLHA O SINAL DA DERIVADA SEGUNDA OU EM "X OU EM "Y", POSITIVO MÍNIMO, NEGATIVO MÁXIMO. E SE O DETERMINANTE É ZERO, NADA SE CONCLUI. TÁ OK?
POR EXEMPLO, EU VOU MOSTRAR COMO QUE A GENTE PODE USAR ISSO COM UMA FUNÇÃO QUE NÃO É TÃO ÓBVIO DE VER O GRÁFICO. O GRÁFICO QUE EU MOSTREI ANTERIORMENTE, A "SELA", ERA FÁCIL DE OLHAR E VER QUE TINHA UM PONTO QUE NÃO ERA NEM MÁXIMO NEM MÍNIMO. AQUELE PARABOLOIDE DE CONCAVIDADE PARA BAIXO ERA FÁCIL VER QUE TINHA UM MÁXIMO.
AGORA "X À QUARTA" MAIS "Y AO QUADRADO" MAIS "X", NÃO TEM UM GRÁFICO ÓBVIO – DAQUI A POUCO MOSTRO O GRÁFICO. EU QUERIA SABER SE TEM UM PONTO DE MÁXIMO E MÍNIMO E COMO ESSE GRÁFICO SE COMPORTA, ENTÃO, COMO ESSE TEOREMA SE APLICA. CALCULA A DERIVADA EM "X" E DERIVADA EM "Y", EM "X" ABAIXO O 4, FICA "X AO CUBO" MAIS 1 POR CAUSA DESSE "X", EM "Y" É "2Y".
IGUALO A ZERO PROCURANDO PONTOS CRÍTICOS, QUAL QUE É A LÓGICA QUE ESTÁ POR TRÁS? CONDIÇÃO NECESSÁRIA PARA SER MÁXIMO E MÍNIMO É SER CRÍTICO. ENTÃO, SE É QUE ELA TEM MÁXIMO E MÍNIMO, A "SELA" NÃO TINHA NEM MÁXIMO E NEM MÍNIMO, SÓ TINHA UM PONTO CRÍTICO E ELE NÃO ERA NEM MÁXIMO E NEM MÍNIMO, ENTÃO NÃO PODE TER NENHUM OUTRO PONTO CRÍTICO, NÃO PODE TER NEM MÁXIMO E NEM MÍNIMO.
ESSA DAQUI, EU VOU PROCURAR O PONTO CRÍTICO, ELE É O CANDIDATO A MÁXIMO E MÍNIMO, AÍ EU USO AQUELE TEOREMA. ESSAS SÃO AS DERIVADAS PARCIAIS, IGUALAMOS A ZERO, IGUALANDO A DERIVADA PARCIAL EM "X A ZERO" DÁ "X" IGUAL A "-1". DERIVADA PARCIAL EM "Y A ZERO" E "Y" IGUAL A ZERO.
PORTANTO, SÓ TEM UM PONTO CRÍTICO QUE É O (-1,0). ENTÃO, TENHO UM CANDIDATO A MÁXIMO OU MÍNIMO. .
. E SÓ UM, QUE É ÚNICO PONTO CRÍTICO. VAMOS OLHAR O TEOREMA.
PARA OLHAR O TEOREMA, EU TENHO QUE CALCULAR AQUELE DETERMINANTE, EU PRECISO DAS DERIVADAS DE ORDEM 2. AS DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM. DERIVADA PARCIAL DE SEGUNDA ORDEM EM "X".
LEMBRA QUE A DERIVADA PARCIAL EM "X" É "X AO CUBO" MAIS 1. SE A DERIVADA DE NOVO EM "X", A DERIVADA PARCIAL É "3X AO QUADRADO". CALCULANDO NO PONTO (-1,0) "X" IGUAL A "-1", ISSO AQUI DÁ 3.
DERIVADA PARCIAL EM "Y", ERA "2Y". DERIVADA PARCIAL SEGUNDA EM "Y" É SÓ 2, PORQUE ERA "2Y" NO (-1,0) IGUAL A 2. E A DERIVADA MISTA, SE EU PEGAR A DERIVADA EM "X" QUE É "X AO CUBO" MAIS 1, DERIVAR EM "Y", NÃO TEM "Y", DÁ ZERO; SE EU PEGAR A DERIVADA EM "Y", "2Y" DERIVAR EM "X", NÃO TEM "X", ZERO.
ENTÃO, NÓS OBTEMOS AS DUAS DERIVADAS MISTAS IGUAL A ZERO; A DERIVADA EM "Y" IGUAL A 2; E A DERIVADA EM "X" IGUAL A 3. VAMOS CALCULAR O DETERMINANTE 3, ZERO, ZERO, 2. DETERMINANTE 6 POSITIVO.
ENTÃO SÃO AQUELAS DUAS PRIMEIRAS LINHAS DO TEOREMA ANTERIOR. O DETERMINANTE DEU POSITIVO. AÍ EU OLHO PARA O SINAL DO "DEL AO QUADRADO F" E DEL "X AO QUADRADO" QUE É O 3 POSITIVO TAMBÉM.
ENTÃO: DETERMINANTE POSITIVO, DERIVADA SEGUNDA POSITIVO. PODERIA TER OLHADO A EM "Y", OBSERVA QUE TEM O MESMO SINAL EM "Y", 2. E EU CONCLUO QUE ESSE PONTO É DE MÍNIMO LOCAL, NÃO POSSO GARANTIR QUE ELE É MÍNIMO GLOBAL, O TEOREMA DÁ QUE ELE É MÍNIMO LOCAL.
GRÁFICO DA FUNÇÃO QUE NÃO ERA ÓBVIO, TEM ESSA CARA, ELE PARECE UM POUCO UMA COISA DE GRAU QUATRO, PORQUE DE GRAU QUATRO EM "X", MAS NÃO É DE GRAU QUATRO EM "Y" E ELE TEM AQUI UM PONTO DE MÍNIMO, QUE É SIM UM PONTO DE MÍNIMO GLOBAL, QUE É ESSE PONTO "X" IGUAL A "-1" E "Y" IGUAL A ZERO. AQUI ELE ESTÁ VISTO BEM DE LADO, O GRÁFICO, EU RODEI A FIGURA PARA MOSTRAR O PONTO DE MÍNIMO E É O PRINCIPAL TEOREMA QUE NÓS TEMOS PRA MÁXIMO E MÍNIMO AQUI. OBSERVE ESSA FUNÇÃO: F(X,Y) = "Y AO CUBO", É SÓ UM COMENTÁRIO, "Y AO CUBO" É A FUNÇÃO "Y AO CUBO" QUANDO PENSAR EM UMA VARIÁVEL, COMO EU NÃO COLOQUEI "X", O GRÁFICO ESTÁ TRANSLADADO NA DIREÇÃO "X".
AQUI UM OUTRO ÂNGULO, ESSE MESMO GRÁFICO, "Y AO CUBO" TRANSLADADO NA DIREÇÃO "X". OBSERVA: ELE TEM MUITOS PONTOS CRÍTICOS, POR QUE QUEM SÃO OS PONTOS CRÍTICOS? TODA UMA RETA DE PONTOS CRÍTICOS, TODOS ESSES PONTOS EM QUE O "Y" É ZERO, É UMA RETA DE PONTOS CRÍTICOS.
NÃO TEM "X", ENTÃO: "DEL F", "DEL X" É AUTOMATICAMENTE ZERO SEMPRE. E O "DEL F", "DEL Y" É "3Y AO QUADRADO". ENTÃO O "DEL F", "DEL Y" É ZERO SE O "Y" É ZERO.
ENTÃO, A RETA "Y" IGUAL A ZERO E "X" QUALQUER É UMA RETA DE PONTOS CRÍTICOS. ESSA FUNÇÃO TEM INFINITOS PONTOS CRÍTICOS. PODE ACONTECER ISSO PORQUE ESTAMOS TRABALHANDO COM MUITAS DIMENSÕES, COM MAIS DIMENSÕES.
E O GRÁFICO, ELE FAZ ESSE COMPORTAMENTO DE "X AO CUBO" E ELE AÍ, NESSES PONTOS CRÍTICOS, NÃO É NEM MÁXIMO E NEM MÍNIMO, É UM PONTO DE INFLEXÃO. EXISTEM MUITAS POSSIBILIDADES PARA ISSO. O TEOREMA QUE NÓS ACABAMOS DE VER, ELE NÃO DÁ CONTA DE TODOS OS CASOS, ELE É O TEOREMA MAIS SIMPLES QUE A GENTE TEM PARA AS FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS.
PARA OS CASOS MAIS SIMPLES ELE DÁ CONTA. TÁ OK? ENTÃO TÁ, FICAMOS POR AQUI.
