[Música] Olá alunos da Univesp sejam bem-vindos a mais uma aula de geometria analítica e hoje especificamente nós vamos falar sobre a parábola e um pouco diferente do que vocês aprenderam no ensino médio então considere uma reta d e um ponto F que não pertence a essa reta d e e imagine todos os pontos né aqui eu coloquei três pontos A B e C que são equidistantes do ponto f e da reta D que que isso significa né que que significa essa equidistante significa que a distância do ponto a ao ponto F vai ser igual à
distância do ponto A A reta d a mesma coisa com o ponto b a distância do do Ponto B ao ponto F vai ser a mesma distância do ponto b a reta d e assim por diante então a par fábula ela é o conjunto de todos os pontos de um plano que são equidistantes de um ponto fixo que nós vamos chamar de foco e de uma reta fixa que nós vamos chamar de diretriz desse plano o eixo vai ser a reta que é perpendicular a essa diretriz que passa pelo meu foco e o vértice vai
ser a interceção da parábola com o seu eixo então aqui tá a parábola e a interseção com o eixo da parábola vai ser o ponto vértice e a parábola ela vai ser simétrica em relação ao seu eixo Então essas são alguns dos elementos da parábola vamos ver aqui eh como que seria a cara de cada uma desses elementos né então se eu tenho a equação reduzida da parábola dada por essa fórmula aqui onde o X é a quadrado o vértice vai ser a origem o eixo de simetria vai ser o eixo Y o foco vai
ser dado por zero e o ponto 0 e p sobre 2 e a diretriz a reta ig a - p so 2 então é importante aqui na parábola pra gente definir eh qual que é o foco e qual que é a diretriz Qual que é o valor desse P aqui para poder eh então definir qual que vai ser o foco e qual que vai ser a diretriz esse P vai ser um valor diferente de zero e ele é chamado de parâmetro da parábola então nós podemos ver aqui e que conforme o p vai aumentando né
ó P = 12 P = 1 P = 3 a minha parábola ela vai aumentando a medida que o p também vai aumentando Aqui ó pode ver que lembra que é 2p y então por isso que quando o p ig a 12 fica só y é 2p y então duas vezes o p que vale 1 por isso que fica 2 y e assim por diante então quando nós formos fazer esses exercícios envolvendo parábola precisa lembrar que esse dois ele já faz parte da fórmula pra gente para nós eh tirar o valor de p aqui eh
eu coloquei o o foco né então à medida que o p vai vai também aumentando né o foco vai mudando de lugar porque lembra que a fórmula tanto do foco a expressão do foco e também a expressão da diretriz Ela depende desse valor P aqui é se o p for negativo então a concavidade dessa parábola ela é para baixo né no caso daqui que onde o x e está ao quadrado e nós também podemos ter uma outro tipo de parábola que é quando o eixo X Ele é o eixo de simetria então quando aparecer aqui
que o y é ao quadrado o vértice ele não vai mudar mas já o eixo de simetria vai ser o eixo X o foco vai ser dado pelo ponto P sobre 2 e 0 e a diretriz vai ser a reta x = - p so 2 novamente o p é um parâmetro da parábola um número diferente de zero e aqui alguns exemplos né conforme o p vai aumentando só que agora como é o meu Y né que está ao quadrado A concavidade dessa parábola aqui ela vai ser pra direita e o meu x vai ser
o meu eixo de simetria da parábola e se o p for negativo né ela vai ser a concavidade aqui pra esquerda Vamos então esboçar o gráfico dessa parábola e ver como que nós podemos colocar em prática né o que nós vimos e um pouco de como que a equação ela pode ir dando eh indícios de como a gente pode eh esboçar o gráfico Então veja que esta minha equação aqui eu posso ver ela dessa forma que é aquela forma da equação reduzida que que nós vimos alguns slides atrás veja que para qualquer valor de x
que eu der aqui o meu valor de y sempre será positivo então eu posso dar x = 1 O valor vai ser positivo posso dar x = -1 que o valor de y vai ser também positivo que que isso nos indica nos indica que o gráfico dessa parábola ela vai estar no primeiro e no segundo quadrante Ou seja quando o y é maior do que zero então eu já sei que o meu minha parábola ela vai est nesse quadrante aqui outra informação que eu posso ver olhando a equação da parábola é que se eu o
que eu acabei de falar né que a a se eu der um valor positivo ou negativo para x o valor de y não muda então isso significa que se eu der um valor de X aqui e um valor simétrico de X o valor de y vai ser o mesmo portanto esse Y vai ser o eixo de simetria então a parábola primeiro que sempre é um valor positivo e ela vai ser uma parábola voltada para cima porque aqui eu só tenho valores de y Positivo né também posso ver que o p ele é maior do que
zero e portanto a parábola ela é voltada para cima e aí para ajustar melhor o esboço desse gráfico nós podemos calcular o valor de y por exemplo para x = 1 e X = -1 é geralmente uso o x = 1 ou x = -1 porque eles são mais fáceis de calcular E aí eu só preciso de alguns uns dois pontos só para ajustar a abertura dessa parábola Então e se eu colocar x = 1 e x = -1 na equação da parábola eu vou encontrar que o y Vale 1 sobre 10 para e esses
dois valores e aqui então eu descubro Qual que é o esboço do meu gráfico para encontrar o foc a diretriz eu preciso olhar a minha equação nesse formato e descobrir quem que é o valor de p se eu tenho que essa é a minha equação reduzida lembra que o do ele faz parte da Fórmula Portanto o p p é igual 5 se o p = 5 o foco vai ser este valor e a diretriz vai ser dada por esta reta translação de eixos o que acontece algumas parábolas elas são eh tem a o mesmo formato
a mesma abertura só que elas estão transladadas no meu eixo É como se eu tivesse um novo sistema de coordenadas Observe as duas equações eu tenho a equação um que é x qu Y que é esta equação 1 aqui e a parábola x + 1 qu = Y ela translador se você puder pegar essa parábola e mover ela você consegue colocar exatamente ela em cima da equação um porém ela está em um outro vértice eh para que que serve essa translação de eixo quando eu consigo identificar que uma parábola é translação da outra eu então
consigo esboçar o gráfico da parábola mais simples que nós já sabem sabemos como fazer o esboço dessa parábola aqui e então transladar esse gráfico que nós já sabemos para o novo gráfico que nós desejamos obter e observe aqui aqui eu tenho x + 1 = y e a minha parábola ela andou em x onde foi adicionado um aqui só que para o x = -1 vamos ver mais alguns casos eu tenho então aqui a minha parábola digamos padrão né que é a x qu = y e que é dada por essa equação um aqui equação
1 veja que a equação 2 ela transladem o mesmo formato da equação um só que ela está transladada para o vértice com o ponto x = 1 e y = 0 e observe que aqui ó essa equação eu tenho o X = -1 então Eh um pouco que nós podemos aqui perceber é que se eu faço uma soma dentro do x qu aqui + 1 ele vai para o x - 1 se eu coloco o x - 1 aqui ele vai para o x e igual a 1 quando eu faço a mesma translação só que
agora em Y Observe que o x qu continua aqui só que agora eu estou alterando o valor que está do lado do Y se eu somo um no lado do y a minha parábola ela não vai agora pra esquerda não vai transladar para esquerda ou para direita ela vai ou para cima ou para baixo nesse caso como é y + 1 Ela vai transladar para baixo em Y = -1 se eu faço Y - 1 desse lado aqui a minha parábola ela translada para cima aqui em x = 1 desculpa x não Y = 1
então nós precisamos eh lembrar dessa desse pequeno detalhe quando eu tenho uma translação e aparece aqui o sinal é o contrário da onde ela ela deve estar então se você ver Y - 1 quer dizer que ela vai transladar para y+ 1 Então como seria o gráfico se eu faço a soma nas duas componentes tanto na x qu quanto no na componente Y ela vai transladar em x lá pro 1 para x = 1 o vértice dela vai para x = 1 e o Y para -1 então esta minha parábola aqui ó se eu faço
o esboço dessa parábola eu consigo fazer o esboço dessa parábola transladando essa para o vértice onde eu tenho x = 1 e y = -1 e ela vai ter as mesmas características então é para isso que vai servir nós identificarmos eh quando que uma parábola é translação da outra façamos então o gráfico da normal né da da da parábola mais simples e depois basta transladar aquelas propiedad para o novo vértice que essa outra parábola transladada vai ter então aqui de forma geral se eu tenho eh uma parábola x - h qu = 2py - k
ela vai ser uma translação dessa parábola enquanto o vértice dessa dessa parábola é o a origem já dessa transladada veja se aqui eu tenho x - h é o vértice aqui vai ser o x h e a aqui que tá Men k vai ser a componente k Então esse vai ser o novo vértice dessa parábola transladada e o mesmo acontece quando eu tenho a translação no quando Y é a quadrado tá então eu também tenho a a alteração aqui dos vértices aqui eu tomei o cuidado né que o y vai ser o k e aqui
quem está componente com o x vai ser o h que vai ser o novo vértice Então vamos esboçar vamos fazer um exemplo para poder ver como que funciona essa translação de parábola eu quero esboçar o gráfico dessa parábola bom mas para esboçar o gráfico dessa parábola eu preciso então colocar naquele formato Onde eu consigo identificar quem que é a parábola digamos original que ela foi transladada aqui é mais fácil de fazer o esboço Então eu preciso escrever isso aqui deste formato para identificar quem que é ali o 2 xes o p e quem que tá
somando o x então eu coloco o -2 aqui em evidência deixo o x sozinho então para aqui ser -1 aqui precisa ser mais meio então essa parábola eu escrevo dessa forma e portanto eu consigo ver que esta parábola aqui é uma translação dessa daqui né então basta eh tirar aquela componente k e a componente H que eu vou ter a expressão da minha parábola eh digamos original bom mas e como seria o gráfico de y qu = -2x ó e aí nós vamos olhar aqui para essa parábola para esse gráfico e aí nós conseguimos já
ter algumas informações né Eh bom para qualquer valor de y que eu der aqui eh tanto positivo quanto negativo para y o valor de X vai ser o mesmo então significa que o X é o eixo de simetria como para qualquer valor de y que eu der aqui o valor de X sempre vai ser negativo então né e também por P ser menor do que zero a concave gravidade dessa parábola vai ser pra esquerda onde X é negativo e para ajustar um pouco ali a abertura da parábola eu coloco alguns valores tanto faz eu colocar
valor para x ou para Y para encontrar dois pontos distintos para poder e simétricos também para poder esboçar o gráfico da abertura dessa parábola então aqui eu escolhi dar o valor de x = 1 e x = -1 para obter o valor de y aliás desculpa aqui eu coloquei x = -5 e e é x = -5 para obter o valor de y para ser os pontos da parábola e como seria o gráfico de y qu = -2x Observe que nós podemos tirar algumas informações olhando pra equação veja se eu coloco aqui ah valores diferentes
ou positivo ou negativo para Y eu obtenho o mesmo valor para X então isso significa que X é o meu eixo de simetria e o p é igual é negativo então a concavidade é pra esquerda outra forma de ver também que a concavidade é pra esquerda é olhar aqui para valores tanto positivo quanto negativo de Y não altera o valor de X qualquer valor que você der aqui para y o x sempre vai ser negativo Então já indica que a concavidade vai ser paraa esquerda ou seja o gráfico vai est na parte onde X é
negativo e aqui eu coloco pontos né eu posso dar eh por exemplo para Y = 1 e y = -1 e descobrir o valor de X só apenas para saber qual que seria a abertura dessa parábola E aí eu então eu consigo fazer o esboço do gráfico de y qu = -2x sabendo qual que é o esboço do gráfico desta parábola agora eu vou apenas transladar ela para o gráfico que nós queremos Então se esta aqui é uma parábola transladada da da desta equação aqui ó Y qu ig a - 2x que está aqui ó
com o Vert na origem aqui o vértice vai ser -3 em y e - me2 em x Então essa parábola ela vai ser transladada para cá que vai ser aqui o o novo vértice dessa parábola e a a as Aliás a abertura dela vai ser Idêntica o foc e a diretriz elas também sofrem essa translação então se eu tenho essa equação eu preciso descobrir qual que é o valor do P lembra que o 2 já está na fórmula então o p aqui vale -1 o foco vai ser - 122 sobre 0 e aqui x igual
a a diretriz vai ser meio e o tanto o foco quanto a diretriz dessa minha nova parábola ela vai ser a translação né da desse foco e dessa diretriz Então se esse aqui é o foco e ela andou aqui - me2 em x ela vai mandar menos meio aqui e -3 em Y -3 aqui então o novo foco dessa parábola vai ser -1 e -3 e a diretriz como ela ela translados me2 em x ela vai transladar aqui também e na diretriz original nós temos então outra forma de ver a equação da parábola que é
a equação geral da parábola tanto para x qu quanto para Y qu e a equação explícita aqui é aquela equação mais simples né ou que nós já conhecemos de aplicar a fórmula de báscara né da equação do segundo grau que seria essa equação explícita eh aqui em geometria analítica e também em cálculo vocês vão utilizar tanto essas duas expressões Quanto é muito comum também aparecer a equação geral da parábola E aí o próximo exemplo é justamente eh como que eu consigo fazer o esboço de do gráfico da parábola quando ela não está na explícita né
quando ela está na equação geral dela bom eh nós sabemos então nós fomos por partes Nós Nós aprendemos a colocar a equação no na forma eh na forma geral na forma transladada e depois agora nós vamos aprender a pegar a a a minha parábola que está na equação geral passar ela paraa reduzida E aí descobrir qual que ela é translação para poder descobrir Então qual que é o o o gráfico dela então é isso que nós vamos fazer então para esboçar esse gráfico aqui eu quero escrever esta minha equação no formato da equação reduzida Então
eu preciso escrever esta equação neste formato bom para escrever neste formato então algumas coisas eu preciso separar por exemplo eu posso separar já desse lado do equação o x eu posso colocar o x pro lado de lá e agora que qual outra coisa que eu posso observar bom veja que aqui na minha expressão Eu tenho um y - k qu que eu preciso obter para obter esse y - k qu eu vou olhar para essa expressão aqui essa expressão aqui ela pode ser comparada com essa expressão aqui vocês lembram de produtos notáveis se eu quero
obter y - k qu eu sei que isso aqui vai ser Y qu - 2yk + k qu veja que essa minha parte aqui ó ela está quase descrita aqui bom se eu tomo o k = a -1 se eu coloco o k = -1 eu vou ter Y qu aqui e -2 y que é exatamente o que eu tenho aqui então É como se eu olhasse para o meu produto notável e descobrisse qual que seria o valor de k de k que eu preciso ter aqui para poder isolar e ver o que que eu
tenho para poder comparar com a minha equação original então eu faço Y qu eu tomei k ig a - 1 Y + 1 desculpa Y + 1 qu = Y + 2Y + 1 bom se eu passo esse um para cá que eu tenho essa expressão eu tenho exatamente o termo que eu tinha lá na equação geral da minha parábola e agora eu vou substituir então substituo no lugar dessa expressão eu coloco e E aí eu já começou a aparecer a forma da minha equação reduzida agora basta eu e juntar o -1 49 aqui desse
lado eu só quero ter a componente com a y qu passo essa componente para lá ficou 48 e agora novamente eu quero escrever isso aqui como sendo 2px - o h e aí eu faço aqui eu coloco o 16 em evidência e eu vou ter então a equação reduzida da minha parábola então eu descobri que esta minha parábola pode ser escrita desta forma bom E aí eu volto para aquele passo eu já sei que essa aqui é uma translação dessa parábola eu faço então o esboço da minha parábola base fiz o esboço da minha parábola
eu então faço a translação daquela parábola que eu que tem o vértice aqui na origem para o x ig a 3 e o y = -1 então aqui eu né tá maior o o a parábola Mas vocês podem ver que ela teve uma translação para baixo porque elas inclusive se tocam aqui tá bom então essa aqui é a é o gráfico dessa parábola e essa aqui é a transladada e aqui só para mostrar também que eh esta aqui o p Vale igual a o e portanto eu consigo através sabendo o p = 8 eu consigo
descobrir Qual que é o foco Qual que é a diretriz Qual que é o eixo e também eu consigo fazer a mesma coisa né eu consigo transladar eh sabendo qual que é o vértice eu consigo transladar tanto o foco tanto a diretriz quanto o eixo e espero que vocês tenham aprendido e até a próxima aula [Música] an [Música]
