[Musica] Ciao ragazzi in questo video impareremo a risolvere le equazioni differenziali a variabili separabili che vi ricordo sono tutte quelle equazioni differenziali del primo ordine che utilizzando la notazione compatta che abbiamo introdotto nei video precedenti si possono scrivere in questa forma qui quindi con la derivata prima della funzione che stiamo cercando che è uguale al prodotto di due pezzi una funzione della sola X moltiplicata per una funzione della sola Y per capire meglio di cosa si tratta vi ho riportato un paio di esempi e vedete che in entrambi questi casi la derivata prima della funzione
che stiamo cercando che indichiamo con y Prim è uguale al prodotto di due pezzi uno dei quali è una funzione della sola X e ve l'ho segnato qui in verde L'altro invece è una funzione della sola Y Quindi se volete è una funzione della funzione che stiamo cercando di trovare che è proprio Y come si fa a risolvere questa tipologia di equazioni ragazzi l'idea è che bisogna seguire questa procedura che è basata come vedete su tre passaggi fondamentali il primo prevede di separare le variabili è da qui il nome no di questo tipo di equazioni
che cosa vuol dire Separare le variabili vuol dire semplicemente portare tutti gli oggetti che dipendono dalla sola Y da una parte dell'uguale e tutti gli oggetti che dipendono da X dall'altra parte fatto questo uno procede ad integrare Ciascun membro rispetto alla variabile Da cui dipende perché capite che adesso il membro che ne so di destra Dipenderà solo da Y il membro di sinistra varrà dentro solo delle x e quindi dovremmo integrare ciascuno dei due rispetto alla propria variabile No per così dire e infine il terzo passaggio sarà di prendere il risultato che abbiamo ottenuto e
ricavare la funzione ydx per fissare meglio le idee Prendere confidenza con questa procedura consideriamo subito un primo esempio e proviamo a risolvere questa qui Y Prim = Y qu * logaritmo naturale X qui sotto ve l'ho riscritta in termini equivalenti Ho semplicemente cambiato notazione per indicare la derivata prima rispetto alla variabile X quindi invece di usare Y Prim sapete che si può anche scrivere dy su DX Allora la prima cosa da fare è Separare le variabili e vedete che quindi a partire da questa situazione io ho portato tutti gli amici della Y chiamiamoli così a
sinistra e tutti gli amici della X a destra e per fare questo ho separato anche d y da DX un po' come se fossero due oggetti indipendenti Questa è una cosa che lascia un po' perplessi all'inizio No perché sembra di spaccare in due un simbolo unico che voleva dire una cosa sola però vi garantisco che funziona cioè si può dimostrare che effettivamente facendo così le cose funzionano correttamente fatto questo uno Passa al secondo passaggio che prevede di integrare a destra e a sinistra naturalmente vedete a sinistra integreremo rispetto alla variabile Y e a destra rispetto
alla variabile x e adesso cominciate anche a capire il senso di dividere no D Y e DX perché così vi trovate pronti i differenziali che vi servono no per fare i rispettivi integrali Se fate il conto ragazzi si ottiene a sinistra - 1 su Y e a destra invece per fare l'integrale del logaritmo bisogna procedere per parti e si ottiene X logito di x - x Se qualcuno avesse dei dubbi ragazzi Questo integrale l'abbiamo già risolto nel video sull'integrazione per parti che trovate all'interno del canale e poi naturalmente bisogna aggiungere più C ragazzi perché stiamo
facendo degli integrali indefiniti a questo punto non resta che procedere col terzo passaggio che prevede di ricavare la Y Come si fa uno prende quello che aveva prima e libera Se volete la y in questo caso vedete la Y sta al denominatore qui la prima cosa che dobbiamo fare è dare il reciproco e poi dobbiamo sistemare questo meno che quindi finirà dall'altra e quindi il risultato finale che abbiamo è questa cosa qui Oh io vedete ho Però anche la funzione nulla perché vedete infatti la funzione Y = 0 costante È effettivamente una soluzione perché se
la Y fosse 0 costante Allora sarebbe Zero anche la sua derivata ed effettivamente l'equazione differenziale è soddisfatta Proviamo adesso a considerare un secondo esempio ragazzi e proviamo a risolvere questo problema di cos Y Prim = Sen X * e ^ Y a sistema con y di P2 = 1 qui sotto ve l'ho riscritto semplicemente ho cambiato No notazione per la derivata prima visto che abbiamo capito che ci conviene di più scriverla in questo modo Qui cominciamo a risolverla Allora primo passaggio separazione delle variabili Quindi vedete questo e alla Y Dovrà finire a sinistra col dy
e questo DX invece dovrà andarsene a destra e quindi facendo i conti si arriva subito a un'uguaglianza di questo tipo A questo punto uno Integra a sinistra e a destra naturalmente a sinistra rispetto alla variabile Y e a destra rispetto alla variabile x e in questo caso si tratta di due integrali abbastanza semplici e quindi si ottiene - e ^ - Y = - cos X + C A questo punto vedete che abbiamo un doppio meno qui e quindi forse ci conviene cambiare tutti i segni qui possiamo mettere più qui possiamo mettere più a questo
punto dovremmo mettere meno alla costante ma tanto essendo una costante che poi va determinata possiamo pure lasciargli più semplicemente il numero che troveremo sarà l'opposto di quello che avremo trovato prima e quindi potete tranquillamente lasciare più C non succede niente così come se preferite mettere - C Potete farlo e vedrete che si arriva allo stesso identico risultato alla fine a questo punto non resta che liberare Y quindi terzo passaggio ricavare la Y come si fa Ragazzi vedete che in questo caso è imprigionata all'interno di un esponenziale e quindi per liberarla bisognerà dare un logaritmo naturale
e quindi uno ottiene che - Y è uguale al logaritmo naturale di cos X + c e facendo un Ardito cambiamento di segno uno conclude che y x è UG a - logaritmo naturale di cos X + C A questo punto Ragazzi abbiamo quasi vinto Dobbiamo però determinare il valore della costante perché vedete che abbiamo un problema di così questa volta e quindi ci vengono fornite delle informazioni che ci consentiranno di fissare la costante C che stiamo cercando e Quindi basterà imporre che Y di pi2 sia uguale ad 1 uno va a sostituire pi2 nella
funzione che ha trovato prima e ottiene - logaritmo naturale del coseno di pi2 + C = 1 A questo punto notate che coseno di Pi me2 qui fa 0 quindi è come se non ci fosse e quindi restiamo con - logaritmo naturale di C = 1 Questo naturalmente è come dire che il logaritmo naturale di C è uguale a - 1 e quindi che C è ugu ad 1 su e e dunque abbiamo concluso che la funzione che stavamo cercando cioè la soluzione del nostro problema di cos è questa qui y x = - logaritmo
naturale di cos x + 1 su e volendo un po' ricapitolare quello che abbiamo imparato fin qui ragazzi l'idea è che più o meno basta eseguire queste tre operazioni e l'equazione a variabili separabili è domata Sappiate però che ci sono delle volte in cui uno o più di questi passaggi si inceppano per esempio succede ogni tanto che gli integrali che saltano fuori non sono fattibili con metodi elementari o altre volte troverete delle difficoltà nel ricavare la Y in questi casi ragazzi la strategia risolutiva va un attimino raffinata bisognerà prendere delle accortezze diciamo così ulteriori ma
questo va un pochino al di là di quello di cui volevo parlarvi in questo video L'altra cosa importante che volevo dirvi ragazzi è che oltre alle soluzioni che si trovano con il metodo che abbiamo appena visto dovete controllare se l'equazione differenziale ammette delle soluzioni costanti quindi immaginate di avere la vostra equazione differenziale a variabili separabili scritta in questa forma se trovate che ci sono dei valori Y segnato io li ho chiamati cioè dei numeri reali tali Per cui g di quel numero lì fa 0 Allora succede che la funzione yx uguale a quel numero lì
costante è una soluzione dell'equazione differenziale anche lei per capire meglio consideriamo l'esempio uno che abbiamo risolto prima Ragazzi vedete che in questo caso il termine GD Y era Questo qui cioè Y qu e se ci pensate Bene y qu si nulla per Y = 0 Ciò significa che anche la funzione y x = 0 costante è una soluzione di questa equazione differenziale e notate che con i passaggi che avevamo fatto prima non la trovavamo perché trovavamo infinite soluzioni parametrizzate da questo c però per nessun valore di C ottenevo Y = 0 Infatti non esiste un
valore di C per cui questa frazione diventa Zero ci siete invece se considerate esempio 2e Ragazzi vedete che G Y in questo caso era e ^ Y e ^ Y non si annulla per nessun valore di Y Cioè non trovate un numero che messo al posto della Y Renda Questo pezzettino Zero di conseguenza non ci sono in questo caso soluzioni costanti e tutte le soluzioni dell' equazione differenziale sono di questo tipo qui Quindi ricapitolando la cosa migliore che potete fare è all'inizio dare subito un'occhiata e vedere se ci sono soluzioni costanti e per fare questo
basta guardare il pezzettino gdy una volta che avete appurato se ci sono o meno soluzioni costanti e mi raccomando non è detto che ce ne siano come è successo nell'esempio due allora partite con la procedura in tre punti che abbiamo visto prima e quindi separate le variabili integrate e poi ricavate la funzione Y di X In modo tale da aver tenuto conto di tutte le possibili soluzioni detto questo Ragazzi io avrei finito nel prossimo video ci occuperemo di equazioni differenziali lineari del primo ordine e vedremo come fare a risolvere quel tipo di equazioni lì come
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