Entendendo Sistemas Lineares - Ep.01

E aí [Música] E aí o olá bem-vindos ao projeto se vendendo áudio Bahia oito dias projetos na verdade é tentar mostrar o desmistificar o quanto isso pode ou não ser difícil né tá tá mostrar aqui na verdade né muitas as coisas que a gente entende como difícil não são os Bernard é uma delas tá E para começar a falar disso a gente vai falar nesse primeiro episódio de uma coisa chamada de sistema linear A então gente vai tentar entender os sistemas lineares bom para começar a falar de seus netos Vamos colocar o sistema errado na

tela Então primeiramente Esse é o sistema não é muito simples e aqui eu preciso destacar algumas coisas a primeira coisa que a gente chama o que a gente fala em sistemas lineares a ordem então por exemplo eu tenho duas incógnitas x e y tá e ou variáveis como preferirem chamar e duas equações duas linhas basicamente né 2 x + 3y = 7 assim como 2 x + 6 Y = 10 tá então isso tem a ver com a ordem né duas equações e duas encostas tá bom tem que sempre o sistema vai ser quadrado ou

seja 2 o paciente ver depois também então vamos lá outra coisa que a gente que só falar e que isso é um sistema linear Afinal álgebra linear vai tratar de coisas lineares na maioria dos casos muita gente precisa entender o que que é linear para entender o que é linear basta a gente entenda o que não é ali né Por elevatórias toda a gente fala de um sistema que envolva até os confins quadrado raio-x do logaritmo de X seno cosseno Sem Fim da segunda métricas outras funções especiais tá eles são entendidos como termos não lineares

né ah mas não tem solução tem mas é outro papo é outra coisa a gente vai falar que de sistema linear Então para que isso aconteça noite para entender o que que ela não Lena tudo bem então tá para falar disso para falar do sistema solar eu vou até resolver sistemas a maneira que a gente vivia na época da escola então a primeira coisa que a gente pode fazer só para gente tentar entender rapidamente onde a gente quer chegar e essa não é o pois não Episódio para tratar apenas só de solução da Verdade ele

vai tratar de quase nenhuma solução você quer mais entendimento do que vence lá na escola a gente fazer produção né como é que era fazer produção sistema linear o que a gente fazia bom a gente pegava na equação colocava ela né em termos especiais no sentido de que eu pegava por exemplo multiplicavam a segunda tô menos um para que eu entendesse sente inteiro igual na segunda equação tá ou seja teria menos dois x que é igual ao anterior a menos um sinal e aí eu simplesmente tomavas e quando eu sou Mava isso obviamente esses dois

terão no celular vão eu tinha uma equação que depende a sua Gypsy tá Então na verdade - 3 ou melhor + 3y - 13 eles não dariam menos trânsito tá E aí o que acontece aqui que nós temos essa equação para Y né E a gente tem simplesmente aqui que Y é esse caso vai valer simplesmente é esse uma vale um basta que eu lembro da primeira equação é o substitui-se y = 11 e eu vou conseguir em outras palavras né isolar o x isolando esse x obviamente eu vou até a resposta do meu sistema

e nesse caso aqui x vai valer quatro sobre a dois você já fez valer 10 tá tão simples assim é assim que resolver um sistema na época da escola é obviamente não estamos mais na escola não é assim que se resolve até dá para resolver algum sistema dessa maneira Mas o que o que é chama atenção aqui é que a solução nesse sistema linear a uma solução qualquer de um sistema qualquer vou pegar as mesmas equações isolar Y tá usando as mesmas duas equações eu fizesse isso com as duas equações do sistema eu não vou

estar resolvendo mim sistema mas eu vou tá entendendo o que significa em outras palavras eu vou ter 7 - 2 sobre três e na outra vou ter 10 - 2x sobre isso e isso para mim tá claramente é uma reta o melhor duas retas né Essas duas equações representam a equação de duas retas no clã essas duas retas no plano Vamos colocar uma enviar de um colocar o Trem Azul tá podem ser facilmente descritos ou representadas graficamente e com a gente faz isso você tá engraçado porque também tipo representa graficamente as e a gente vai

ver que essas duas horas sem ter sexo no ponto e Adivinha que ponto é esse obviamente o ponto gente escolheu não é porque a gente tá colocando duas equações a gente tá perguntando Quais são os valores de x então que fazem com que elas sejam iguais o que ela se encontre ou qual ou Quais são os valores de x y que satisfaz as duas equações a simultaneamente obviamente Isso só acontece nesse ponto quando x = 2 quando ele foi igual um louco e isso na verdade a solução do sistema linear mas quando a gente entende

sistema linear que envolvem duas variáveis estamos falando de uma reta duas equações duas retas solução do sistema linear interseção dessas duas retas né E altamente a gente tem nesse caso a solução do sistema linear dado por um ponto dois valores obviamente mais decisões representam um ponto a e o que aconteceria por exemplo por exemplo né se a gente tem um táxi aqui entender essas duas equações né e tentar se colocar por exemplo outras equações O que aconteceria se a gente Trocasse nesse sistema 2 por 2 em outras equações bom a gente teria outra solução mas

casos tem solução x igual dois ele fica bom mas tem que por exemplo o Trocar sistema a gente trocaria altamente as duas retas porque estaremos trocando as duas equações consequentemente entre um outro ponto de intersecção e consequentemente uma outra solução e assim a gente pode trocar troca o sistema toca o ponto da sessão grossa troca solução isso pode ficar mudando sempre sempre sempre quando é que isso aqui não vai ter solução quando não existe esse ponto de precisão e quando não vai existir se pontos da sessão quando a gente vai falando de duas retas paralelas

tá só daí tem outra coisa essas retas paralelas podem ser a mesma reta ou essa diferença então nós temos infinitas soluções ou nenhuma solução é uma coisa que você Muito provavelmente já discutiram na época da escola a gente vai discutir novamente aqui também tudo bem mas eu só quero entender aqui sistema de ontem dois é basicamente isso é está falando de retas que se interseccionam uma tá então quando a gente vai É sim além quando a gente fala de sistemas por exemplo de ordem 3 tá a gente tá adicionando uma variável estou sentindo XY agora

a gente tem XY dizer e nesse caso x y z tá para nós aqui vai ser uma nova horário altamente que nós temos aqui mais uma equação tão esperando estrelas e passagem de novo eu tô falando sistemas de ordem quadrada o n-por-n outras por 32 por 2 a 5 já está em que eu falar de outras horas mas basicamente isso que a gente quer entendesse então para começar o sistema três por três nessa a gente tentar pode se prender essa ideia geométrica para ver se é possível a gente consegue também tá mas para entender isso

eu vou diretamente colocar a solução agora o que que são essas três equações e o que representa para mim a solução que chega igual um em volumes é igual a três nesse caso a gente colocar x y e z respectivamente igual 13 valem satisfazer as três equações simultaneamente você já é a solução do sistema linear tá bom se isso acontecer de fato essa solução um entra é só solução de sistema eu quero ver perguntar nesse momento O quê que isso representa o Será que tem como a gente tem de se o graficamente tá então a

geometria nesse problema né nesse caso aqui aumenta óleo então cada uma dessas equações é um plano a equação em azul é um plano apresentado pelo planeta azul e esse plano no espaço essa um equações que relacionam os vilões é assim como eu vou até a segunda equação que vai ser também um plano apresentado para ser plano e verde agora olha que interessante a interseção do plano Elsa o plano verde é uma reta né eles formam uma reta de intercessão seja ainda tem infinitos pontos né como é que eu vou chegar a uma solução como que

eu falei quando eu adicionar o terceiro plano quando adicionar o terceiro plano seja o plano laranja eu vou ter uma interseção de laranja com as outras uma reta uma interseção de verde com as vão ser uma reta e a intersecção dessas duas retas sendo um ponto consequentemente a interseção desses 3 planos é um único. Tá esse único. a 1 e 3 e quando a gente representa esse único. Ali a gente consegue visualizar isso tá no espaço 3D como sendo a intercessão única dentre esses três planos A exatamente isso que está acontecendo aqui a gente consegue

ver graficamente essa interseção entre as histórias planos pode estar com aquilo colocar em preto ponto da só pra gente um pouquinho melhor então é exatamente o que acontece com o sistema lineares de ordem 3 por exemplo Tá bom mas por exemplo se eu trocar o sistema e aqui eu vou trocar apenas na segunda equação Acontece uma coisa interessante essa segunda equação a azul e laranja continua a mesma mas a equação em verde Ela trocou e ela vai agora fica quase igual a primeira equação quando eu faço isso na verdade eu tenho um plano tá exatamente

igual em variações x y e z mas é como se esse plano tá tivesse um pouco do locado em outras palavras que a gente vai ter aqui são dois planos Paralelos mas para o vídeo precisa colocar isso no gráfico tá tô com a gente faz coisas né ocorre a ideia aqui é basicamente tentar visualizar isso de uma maneira geométrica tá e quando a gente faz essa visualização ou comente tenta entender essa maneira geométrica a gente começa de novo fazendo que ela Azul tá esse é o número do a gente continua com seu plano e no

espaço 3D representado como ele carro Vou colocar aqui o plano em laranja tá porque esse plano laranja ele também mudou a gente continua tendo um plano laranja comecei a intercessão tá comprando Azul formando uma reta e quando eu coloco o novo plano agora o plano verde tá que eu tipo que eu falei que era na equação muito celular a gente fica com um plano paralelo e esses dois planos Paralelos não se impressionam nunca Inclusive a intercessão de azul com laranja forma reta EA intercessão de azul com verde também forma reta E essas duas retas são

paralelas também no espaço 3D quais nunca se interseccionam toque nós estamos falando de uma situação em que nós temos o que é a solução não vai existe aquele ponto que existia antes e que a gente poderia dizer olha esse ponto satisfaz uns três anos a se eu tivesse dois planos iguais tá aí eu teria uma interseção desses dois promoção no próprio plano E aí consequentemente com terceiro uma reta e teríamos infinitas soluções mas não é o caso aqui tem: Paralelos nunca vai satisfazer a gente vai discutir isso amplamente no outro momento tudo bem mas eu

só para tentar entender geometricamente que tá acontecendo é exatamente isso tá bom pó Tô Nem te falo em sistemas lineares a gente pensa em aplicações ó vou pegar o aplicação bem simples têm relativamente bem simples mas que a gente possa entender né O que acontece com os sistemas lineares quando eles tem solução ou quando não tem alguma solução são infinitas você tem um cruzamento muito famoso em Porto Alegre na Avenida Ipiranga com a Rua Silva só tá então se a Ipiranga tem duas mãos né uma que vai uma que venha Silva só também né e

Engraçado que esse cruzamento eu faço muito por isso com os amigos eu consigo entender que aqui na ver a forma quatro pontos né vou chamar de A B C e D em que passam e trocam né de mão carros aqui tá então a gente pode pensar aqui por exemplo né nesse cruzamento dessa maneira e vamos tem que pensar que tirar no sentido que havia vai no primeiro na primeira passagem nome de vencer por exemplo né vamos supor que a cada minuto passa no 35 carros por Deus melhor chega em 35 carros em dele naquele pequeno

espaço entre descer passa um certo valor de carros usados número de calça e dali saem 20 carros quer dizer que em algum momento se deslocou o carro porque entraram 35 e sair um vídeo então eu quero saber qual é o número que passa ali no meio né E se eu fizer essa mesma do Sol tentar entender para outra via para outra mão Como suporte venho 30 que saia 22 mais no meio com um valor que eu não sei e continuando fazendo essa ideia até o final a gente vai se dar conta né que a gente

pode modelar basicamente O que acontece no cruzamento usando a álgebra linear homens é interessante porque se faz você cair no sistema linear mas como quis ficar no sistema ele ela provar eu consegui entender você para aqui em cada cruzamento coisas acontecem com o melhor em outras palavras em cada um desses cruzamentos analisado né isoladamente a gente pode se dá conta que por exemplo tudo que entra no cruzamento a é o que é o valor 10 e o valor x um estudo que sai do cruzamento a é o valor 22 e valores dos quatro então gente

tem que ser igual nenhum carro vai sair sem passar por ao né a mesma coisa se eu fizer para ver compra Deus aí que vai entrar x 2 e trinta e vai sair x 1 e 12 e assim por diante para cada cruzamento eu posso fazer essas relações elas são do que entra relação que sai isso é interessante porque eu acabo de montar aqui um sistema de quatro equações e quatro variáveis sejam elas X1 X2 X3 X4 e quente abandona um pouco anotação x y e z né porque a sua notação acaba quando a gente

passa de três variáveis tá então aqui eu vou usar X1 X2 X3 X4 eu vou colocar tudo do lado esquerdo que a variável e tudo do lado e o que é número né porque daí eu consigo entender o tentar colocar uma maneira muito né uma lotação muito similar ao que vinha sendo feito até este momento tá vou a gente faz isso novamente lado direito a gente pode somar os números né e ver o que acontece e do lado esquerdo a gente tem só as incógnitas tá e para que isso seja entendido como um sistema na

área a gente pode até dá uma modelada um pouquinho melhor colocar assim na ordem né como se fosse em colunas né tudo que tem X1 uma coluna tudo que tem decisões uma coluna tudo tem X3 respetivamente tudo que tem X4 tá E assim se forma a ideia de um sistema linear com quatro equações 24 e corre atrás tá pode tentar entender o que acontece neste cruzamento Mas a pergunta é isso tem solução Será que tem como resolver isso é claro que sim tá aprender isso só para chamar atenção que a gente vai usar muito né

a notação matricial ou seja se eu pegar uma matriz né 44 * uma matriz 4 por 1 ou um vetor de ordem quatro isso Vai resultar meu nome é top já tem quatro ou uma três quatro por um chamada também de Matriz coluna porque ele Jeová bastante e aí tu olha para isso a gente olha para isso a gente consegue entender que esses números nessa Matriz Vai representar né uma atriz um sistema linear Mas isso é papo para depois tá no momento eu só que deixar para ter só tem várias sistema linear e aí fica

a pergunta Será que tem solução com frente começar uma abordagem do tipo isolar alguma das variáveis Olá X3 aqui por exemplo na última equação e tentar entender quanto vale x 3 e consequentemente substituir X3 onde é ou onde aparece estrelas a gente vai fazendo isso a gente tem x13 função X4 substitui a terceira a gente vai conseguir chegar um valor né E esse valor vai ser o valor que vai ser x 2 em função de x 4 e assim a gente vai consegue substituir x 2 Santos 4 x 3 São X4 a gente vai se

dar conta aqui por exemplo a gente vai conseguir X1 em função de x 4 a segunda a pessoa uma relação de x 1 x 4 não preciso mais dela tá vai ser a mesma relação e a primeira vai ser X1 também função desses quatro dá conta que tanto x 1 x 2 x 3 portas Expressa em função de x 4 em outras palavras eu tenho três equações tá e uma variável que eu posso decidir quem ela é bom Afinal x 4 PS4 não tem que fazer então quê que a gente não acaba de descobrir aqui

esse é um exemplo de um sistema que tem uma variável livre Isso vai ser discutido depois também isso nos remete a infinitas soluções tão para qualquer valor de x 4 vamos supor x 4,5 eu vou ter respectivos valores diferentes de x 1 x 2 x 3 por quê Porque X1 X2 X3 dependentes quatro tá Então na verdade esse sistema tem infinitas soluções apresentadas dessa maneira obviamente Porque existe uma variável livre tá se sente voltar a pensar no cruzamento né A pergunta é quanto vale cada um daqueles valores ou daqueles números de carros que estão ali

no meio entre a b tá bom deixa que eu saiba o valor dos seus quatro por exemplo eu vou conseguir o valor de cada um dele então supondo aqui nesse caso II X4 eu passei três carros quantos passarinhos nos outros né É simples passariam 15 e 17 e 22 respectivamente para x 1 x 2 de fé e obviamente na medida que eu vou trocando o valor x 4 todos os valores dos carros o número de carros que passam por minuto a lei seriam diferentes né a gente vai ter um valor diferente para cada um dos

casos tudo bem isso é representado por um sistema desse jeito no sistema ele né tranquilo só para relembrar eu falei aqui de uma maneira geral Onde poderia escrever um sistema de ordem 3 e 1/2 de ordem 5 e no caso aqui já tem quatro tá dessa maneira representado por coeficiente está a gente vai chamar de aos coeficientes que vão fazer parte da Matriz aquela que eu falei Matriz do sistema linear e Deus coeficientes naquele vetor isolado do lado direito tudo bem então só chamar atenção que eu posso você nem Trazer isso para a ordem que

for tá tranquilo então tá 1.300 muito legal do sistema numa área de uma aplicação para a gente entender o que quer se terminar e como eles funcionam aplicação em química há então por exemplo que eu nem tenho balanceamento de equações vamos dizer que ser o 2 mais h2óó pode ser balanceado nos remete por exemplo tá a C6 h12 o6 mais ou dois para então a gente se Pergunta assim nossa mas é como que foi balanceado isso porque que funciona né então eu não sou um expert em química mas eu sei fazer o balanceamento de uma

equação não por exemplo também entender financiamento uma equação é base é um sistema linear tá e como é que isso se compreende como é que isso funciona na verdade a gente faz supor que cada um dos coeficientes de cada elemento né se mantém ou se mantém numa certa proporção como é que a gente calcula as durante para chamar de cada um dos coeficientes um X2 X3 e X4 é especialmente x 1 x 2 e depois do balanceamento XS e por isso dá conta disso que a gente dá conta que cada é mesmo tu mudou Como

assim cada elemento blog eu tenho cê o PH cada um desses elementos né tinha uma certa quantidade e mudou de quantidade você pegar você por exemplo ele tinha um uma quantidade no primeiro momento essa quantidade ela x 1 x 1 depois ele tem seis quantidades e essa seis quantidades são x sucesso certa maneira eu posso escrever então que X1 = 6 x 3 respeitando né tudo que aconteceu o carvão tá se eu fizer a mesma coisa com o oxigênio por exemplo eu vou ter que eu tinha duas quantidades vezes um mais uma quantidade de esses

dois sendo igual a 6 quantidades destes três mais duas vezes x 4 né Então na verdade isso me remete a outra equação nela segunda equação altamente a água oxigênio e pagar o gênio faço a mesma coisa eu tenho 2 x 2 = 12 x 3 metros palavras né respeitando de novo as quantidades então a cor é muito claramente para mim que eu tenho três equações quatro variáveis e aqui eu tenho um exemplo de um sistema que já nasceu livre no sentido de tem uma variável livre porque a sobrando aqui uma variável tá e eu tenho

só três equações você de quatro variáveis translocações Então a gente tem simplesmente colocando na ordem de sistema colocando na de novo aquele formato coluna A eu tenho as três equações representados dessa maneira se eu for assistente e tentar resolver essas equações eu consigo por exemplo né tentando resolver as equações a isolar por exemplo algumas variáveis na Então vou enrolar por exemplo aqui pra começar Se eu quiser jogar x 2 que vai dar 6 x 3 se eu substituir x 2 onde aparece x 2 né eu vou conseguir fazer alguma coisa isolando na primeira também eu

já tenho X1 = 6 x 3 já dá para entender que por exemplo X3 vai ser aqui 21 de variável livre Ah mas pode ser outra Claro que pode ser outra seus correntes três por ser mais fácil então X3 aqui em x 1 para os dois podem ser representado por três eu posso substituir cada uma delas onde elas aparecem então por exemplo se eu deixo 2 x 2 na segunda equação né só que esses dois na segunda equação pode ser substituído por isso aí stress tem que vai ter 6 x 3 - 7 X3 lisse

cancel a gente vai ter uma relação por exemplo né de x 1 x 4 como colocar aqui fiz um vai ser igual X4 a E aí eu vou me dar conta que bom trás se X1 = x 4 né eu posso usar de novo é que X4 vai ser igual a 6 x 3 porque justamente né é igual a x 1 E aí eu posso reordenar e me dar conta que X1 X2 e X4 podem ser escritas né como ou em função melhor dizendo dx3 em outras palavras o que eu tenho aqui aqui de novo

Tem uma variável livre e enfrenta soluções à medida que eu troco x 3 né tem que respeitar isso aí cada valor de x 3 lá me remeter a valores diferentes X1 X2 e X4 e assim foi o sistemas lineares eles São relativamente simples tá de entender a gente vai discutir no próximo episódio soluções e como a gente pode solucionar cada um deles e de que maneira isso acontece mas basicamente para entender como eles funcionam essa ideia desse Episódio a gente pegar e discutir Quais são as aplicações como eles funcionam O que é a variável que

era brava livre a gente vai discutir mais larga livro mais em a discutir esse tipo de coisa beleza então tá até o próximo E aí [Música]