6 MEF1 AULA 3 ETAPA 3

então nós chegamos agora num ponto importantíssimo na questão da Montagem dos elementos finitos é bom que a gente faça uma uma Uma Breve sinopse de tudo que a gente conversou até agora né porque nós começamos desde o começo a a mencionar essa questão que o elementos finitos tem duas grandes estratégias né A primeira é entender o comportamento do conjunto A partir de cada um dos seus seus elementos né e posteriormente entender o que acontece no domínio de um elemento então um pouco né Vamos resgatar um pouquinho o que nós falamos até agora o que que

sobreviveu dessa nossa conversa a Rigor Eu tenho um conjunto né isso aqui é um contínuo o contínuo é subdividido num conjunto de elementos discretos esses elementos são conectados nos nós a partir da rigidez de cada elemento nós Montamos a rigidez da estrutura a partir do que do que a gente tem a estrutura Qual é a ideia é aplicando os carregamentos a estrutura se deforma numa primeira instância é por intermédio do deslocamento dos nós a partir do entendimento do deslocamento dos Nós ó eu vou separar um elemento isso aqui é um diagrama de Corpo Livre eu

vou aplicar o deslocamento dos nós isso é real a partir do momento que você aplica o deslocamento do nó o elemento se deforma então nós temos duas grandes estratégias em elementos finitos A primeira é entender o comportamento do todo a partir do comportamento de cada trecho cada trecho é um elemento que tá conectado no vizinho apenas nos nós e segundo a partir do instante que nós temos o deslocamento de todos os nós nós vamos determinar o deslocamento dentro do elemento Tá certo as deformações dele e as tensões porque no fundo a gente já mencionou isso

o engenheiro de estrutura ele passa acho que a vida inteira dele só calculando deformação e se aquelas deformações são aceitáveis ou não do ponto de vista eh dos critérios de estrutura agora como que nós fizemos isso estabelecendo algumas leis essas leis E aí é bom a gente resgatar isso aí para poder agora firmar né E poder seguir nós falamos que o engenheiro tem uma coisa no sangue que é o seguinte idealize o sistema de uma maneira que ele possa ser analisado e que tem a solução conhecida Ou seja você constrói o modelo Nós voltamos lá

se voltar no início a gente tinha o probleminha do uma Vig em que a gente foi lá no livro do timonen e tinha a solução analítica a solução é conhecida aí você monta as equações de Equilíbrio resolve as equações de Equilíbrio e interpreta os resultados Essa é a sequência lógica quando você partiu pros elementos finitos existe uma pequena diferença no cálculo analítico teu elemento é um elemento diferencial é um DX a partir do equilíbrio do DX você monta uma equação do elemento diferencial que é uma equação diferencial e estuda o contínuo grande parte dos problemas

nós não temos essa possibilidade então surge a ideia de discretizar idealize o sistema de uma maneira que ele possa ser analisado como uma montagem de elementos finitos conectados nos nós se a estrutura tá em equilíbrio cada elemento também tá em equilíbrio se aplica as equações de equilíbrio para cada elemento o que eu quero dizer é que se você tiver 1 milhão de elementos no seu modelo você vai fazer 1 milhão de diagramas de Corpo Livre aplica as equações de compatibilidade porque dois elementos vizinhos são compatíveis eles compartilham vamos dizer assim o mesmo deslocamento e depois

você resolve as milhares de equações a maneira mais compacta e elegante de fazer isso é por intermédio de Matriz Então você usa a notação matricial para resolver aquelas milhões ou milhares de equações e calcular o deslocamento dos nós então nós fizemos isso e o assentamento disso foi feito em cima de três leis de equilíbrio de compatibilidade e a relação força deslocamento para um elemento a mola foi usada como pano de fundo para entender isso aqui então nós fizemos isso nós Montamos a ideia da mola né olha começamos com o elemento de mola E aí a

mola permitiu que a gente tivesse uma visão geral né pegamos aquele simples elemento de mola e ficamos discutindo as forças caminhando no elemento E aí nós chegamos na ideia da rigidez de um elemento finito agora olha só chegamos numa ideia que já foi possível fazer uma expansão desse conceito Nós tomamos uma chapa por ex né e colocamos os 24 gra de liberdade que numa primeira instância a gente tá considerando aqui ou seja ela pode ter deslocamento aqui aqui aqui e as correspondentes rotações embora uma delas a gente falou que vai discutir um pouco mais detalhada

na mente na frente e aí com isso a gente gerou aquela ideia do coeficiente de rigidez que ideia é essa O que que significa o k11 é a força que atua no grau de liberdade 13 quando você dá um deslocamento unitário no grau de liberdade I os outros estão bloqueados o que que é genericamente o k e j é a força no grau de liberdade I devido ao deslocamento unitário em j e os outros estão bloqueados com isso a gente montou um sistema de equação que traduz o equilíbrio de um elemento quando nós fizemos isso

aí nós estamos eh nos preparando para dar um salto gigantesco o nosso objetivo já foi cumprido do entendimento do equilíbrio de um elemento que são as forças e os deslocamentos que atuam em um elemento a relação entre força e deslocamento no âmbito de um elemento é a rigidez do elemento ou de uma maneira mais é a matriz de rigidez do elemento aí nós demos um salto importantíssimo nós partimos para determinar a matriz de rigidez de uma estrutura só que a gente estabelecer alguns conceitos né primeiro que se forse locamento a relação entre eles é rigidez

quando você estabelece essa relação no âmbito de um elemento você tá falando da rigidez do elemento quando você pega uma estrutura inteira está estabelecendo a relação entre as forças que agem na estrutura inteira e os deslocamentos da estrutura inteira você vai ter a rigidez da estrutura inteira Então esse foi o nosso objetivo que nós perseguimos agora olha só Aí a importância da mola a mola é muito mais importante do que que do que ela em princípio pode representar Você tem uma relação na mola que é do tipo k Delta né o KX só que se

você pegar aqui esse cara e aplicar uma força ela desloca e volta se você aplicar nessa direção ela desloca e volta se você aplicar o momento você tem o ângulo ela desloca e volta então existe uma relação entre força e deslocamento no âmbito mais geral no mesmo ponto ou no mesmo nó você tem vários graus de liberdade existe essas relações força deslocamento presente o que eu quero dizer é que a Rigor isso aqui representa o comportamento de uma mola então quando a gente fez essa figura aqui isso daqui representa no âmbito geral muito mais do

que uma mola a figura né aquela figura isolada de uma mola como você vê lá no chassi do caminhão isso aqui representa da forma mais geral o que acontece numa estrutura ao redor de cada nó Você tem o efeito dos elementos naquele nó que são representados juridicamente por molas por constantes elásticas por coeficientes de rigidez isso que tá acontecendo aqui e aí nós fizemos isso para aquele elemento para essa estrutura melhor dizendo se essa estrutura tá em equilíbrio esse elemento tá em equilíbrio isso aqui também tá em equilíbrio aí nós Montamos essas equações de Equilíbrio

né acabamos de fazer ainda há pouco isso aqui é bom que a gente recupere E aí cheg amos numa relação que estabelece a relação entre as forças que agem na estrutura inteira e os deslocamentos da estrutura inteira Então essa é a matriz de rigidez da estrutura inteira a matriz de rigidez da estrutura inteira ela mostra claramente a presença da Matriz de rigidez de cada um dos elementos e aí a partir disso a gente foi desenvolvendo E chegamos a uma conclusão importantíssima que dá uma vida paraos softwares de elementos finitos quando você monta uma estrutura como

no fundo é tudo soma de molas isso é tanto faz né nós conseguimos mostrar isso ainda há pouco que as equações de Equilíbrio e compatibilidade elas são equivalentes a um procedimento de montagem de sorte que a partir do conhecimento da rigidez de cada elemento e as posições que ele se encontra na estrutura ou seja os seus vetores de localização nós conseguimos transformar as equações de Equilíbrio e compatibilidade num procedimento de montagem onde a partir do conhecimento da rigidez de cada elemento você monta a rigidez da estrutura Essa é a questão central Isso é ótimo pro

software porque o software não vai raciocinar em termos de Equilíbrio e compatibilidade essas leis são equivalentes a um procedimento de montagem Ou seja quando a gente fez a montagem disso tudo aqui nós geramos um sistema de equações né um sistema de equações que até se a gente voltar um slide aqui por exemplo olha só que interessante isso daqui é o sistema de equações que quando a gente fatou nós geramos né vamos agora vamos vamos avançar um pouquinho mais nas nossas equações olha só que interessante isso aqui são as forças que agem na estrutura e esses

são os deslocamentos da estrutura isso é a matriz de rigidez da estrutura isso aqui foi a partir dos vetores de localização utilizando um procedimento de montagem agora vamos conversar um pouco mais sobre isso quando você tem um sistema de equações aí nós voltamos novamente naquela questão Inicial idealize O sistema de uma maneira que ele possa ser analisado Ou seja que ten a solução conhecido do ponto de vista computacional quando você realiza um modelo de elementos finitos você desenvolve o modelo subdivide a estrutura em elementos você gera um sistema de equações entre as forças que ha

na estrutura e os graus de liberdade da estrutura inteira e isso os coeficientes estão dentro da Matriz de rigidez E aí é que entra uma coisa importantíssima idealize o sistema de uma maneira que ele possa ser analisado que tem a solução conhecida Esse sistema de equação ele tem de ter solução conhecida ele tem que ser possível e terminado então existe uma questão matemática porque o software de elementos citos é um cidadão meio temperamental né se você entregar um sistema para ele que é impossível ele vai dar uma singela mensagem para você fatal error é assim

que o software funciona É claro ele ele não é obrigado a saber resolver um sistema impossível então aí entra uma discussão que a gente gostaria de fazer sobre a parte matemática Desculpe eu falar nisso aqui porque que e isso aqui é uma coisa que todo mundo sabe né mas é bom a gente revisar um pouquinho então Eh nós falamos se a gente voltar lá no comecinho né olha só o que a gente falou no começo e que tudo ia cair lá naquele começo idealize o sistema de uma maneira que ele possa ser analisada e tem

a solução conhecida nós acabamos de ver que o subproduto da montagem das equações de Equilíbrio e compatibilidade gera um sistema de equações e existem três possibilidades que nós vamos discutir a gente mencionou ainda agora nós fizemos aqui um quadro que é interessante todos vocês já viram isso daí lá no estudo da matemática que é o método de CR isso aqui é um sistema de equações né um sistema de equações linear equações algébricas e a diferença do que nós estamos vendo aqui pros modelos de elementos finitos é que os modelos em elementos finitos eles têm milhões

de equações normalmente mas a nossa ideia e a ao relembrar do Cramer é exatamente mostrar o que tá por trás do sistema de equação as possibilidades que a gente mencionou ainda há pouco isso aqui é o sistema de equação ó 2 u1 - 2 O2 03 = 10 ou seja nós temos as variáveis u1 o 2 e o 3 que muitas vezes na matemática são o x y z e Aqui nós temos os termos Independentes como é que a gente resolvia isso daqui lá na matemática básica a gente fazia aquele método romântico né pegava isolava

o um substitua na de baixo aí faz uma uma uma mistura das equações aí faz uma série de manipulações E aí chega no um no dois e no TR Essa é a maneira de resolver mais rudimentar desse sistema de equação Só que tem uma lei aí que acho que é um é um subitem da lei de murfy a lei de provas e afins né que diz o seguinte tudo aquilo que vai cair na prova é dado no dia que você faltou na aula vocês conhecem essa lei é mais ou menos o que acontece assim o

cara no dia antes de fazer a prova ele estuda o método de crâ por quê Porque quando você resolve um sistema de equação como esse aqui existe a possibilidade de você ao resolverlo não encontrar solução o sistema é impossível Ou seja você não consegue e resolver o sistema e se isso aqui fosse um problema de elementos finitos isso daí teria algumas repercussões sérias que nós vamos começar a discutir agora então vamos falar primeiro um pouco do sistema de equação é Essa é a maneira convencional de apresentar o sistema de equações lineares e essa é a

forma compacta né você colocou numa matriz os coeficientes no outro as variáveis e no outro os termos Independentes todo mundo já fez isso daí na matemática basica se isso fosse um problema como daqueles das molinhas né em que a gente usou para montar a rigidez da estrutura a partir da rigidez de cada um dos seus elementos e gerou um sistema de equações algébricas isso aqui seria a matriz de rigidez isso daqui seriam os deslocamentos e isso seriam as forças aí é que entra o Cramer né Nós estamos revisando nós estamos mostrando não demonstrando qualquer livro

bom de matemática aí básica você encontra a demonstração do que nós vamos falar bom isso aqui é uma matriz que é a matriz dos coeficientes que num problema de elementos finitos seria a matriz de rigidez o que que o Kramer fez né ou Ele demonstrou Nós estamos montando três matrizes que são as matrizes dos coeficientes só que em cada um desses dessas montagens a gente substitui uma coluna pelo termo independente Tá certo isso é um método de CR aqui eu tenho uma primeira Matriz uma segunda matriz e uma terceira Matriz a matriz é uma tabela

que tem um representante jurídico né que é o seu determinante o determinante é o número que representa juridicamente essa tabela para uma série de de operações matemáticas então o que que o Kramer demonstrou você pode Calcular o determinante dessa primeira Matriz em que a primeira coluna foi substituída pelos termos Independentes que é o D1 você pode Calcular o determinante que é o D2 quando você substitui a segunda coluna e calcula o determinante dessa nova matriz e finalmente aqui o determinante de3 e aqui você pode Calcular o determinante da matriz dos coeficientes do sistema de equação

que você montou que seria num problema de elementos finitos a matriz de rigidez o que que o Kramer provou Ele demonstrou que se você quiser calcular o valor do u1 que é a variável u1 é o determinante D1 dividido pelo determinante d ou seja o determinante dessa Matriz pelo determinante da matriz dos coeficientes o D2 dividido pelo D dá U2 o D3 dividido pelo D dá U3 e assim sucessivamente a aí você me pergunta ah mas num problema de elementos finitos de 1 milhão de graus de liberdade é o método de crâ que ele usa

não ele usa o método numérico mas nós queremos extrair daqui alguns conceitos importantes aí é que começa a discussão qual discussão o sistema ele pode ser possível e determinado ele pode ser possível e indeterminado ou um sistema de equações pode ser impossível o que o Kramer demonstrou é que se o determinante dessa Matriz aqui ele é diferente de zero o sistema ele vai ser possível e determinado ou seja ele tem solução única Só existe uma única solução para esse sistema de equação isso é matemática é que a gente aprend isso para abrir o raciocínio Vamos

tentar ligar depois com o nosso mundo físico que é análise estrutural se o d for igual a zero se a matriz dos coeficientes do sistema de equação for igual a zero que já começa a acender um alerta o que que seria uma matriz de rigidez com determinante igual a zero nós vamos discutir isso existem duas possibilidades né se essas matrizes DN aqui elas forem iguais a zero o sistema é possível e indeterminado ele tem infinitas soluções agora se uma dessas matrizes aqui ela tiver um determinante diferente de zero o sistema é impossível não há solução

para isso tá claro a gente podia fazer uma continha aqui né matemática ainda sem relacionar com o mundo físico você vai dividir o determinante D1 pelo D se o d for igual for diferente de zero ó o d é diferente de zero Qualquer que seja o valor que está aqui em cima isso vai ter solução mesmo que seja zero aqui em cima se for zero aqui em cima O valor vai ser zero agora se você tiver esse valor igual a zero e esses caras de cima forem iguais a zer isso aqui é um sistema indeterminado

por qu zer so zer pode dar qualquer coisa né 4 x 0 dá 0 5 x 0 dá 0 pode acontecer qualquer coisa aqui agora se esse determinante aqui for igual a zer e esses caras de cima forem diferente de zero isso é impossível porque você não consegue dividir nenhum número pelo zero existe alguns indícios aqui né a gente tá falando sistema possível e determinado tem solução única nós vamos falar nisso daqui a pouco mas imagina uma estrutura em que você faça isso você tem uma estrutura definida com a sua rigidez essa estrutura tá fixada

você aplica um carregamento ela se deforma se eu aplicar na segunda na terça na quarta na quinta-feira a estrutura for a mesma o vínculo for o mesmo e a carga for a mesma a solução é sempre igual não muda a solução isso é um sistema possível e determinado é uma estrutura que tem rigidez definida tem um vínculo muito bem definida e tem uma carga definida daqui a pouco nós vamos relacionar matematicamente isso a segunda possibilidade vocês devem estar lembrado bem Olha só isso aqui é uma mola Isso aqui é uma mola Isso aqui é uma

massa isso aqui é um sistema massa mola quando eu tiro o sistema massa mola da posição de Equilíbrio ele vibra abandonado a si mesmo com uma frequência natural uma frequência natural que é a raiz do k sobre o m até comentamos nisso isso é objeto da dinâmica se você me pergunta qual é a frequência natural dessa massa presa na extremidade de uma mola é a raiz k so m é o ômega Qual é a amplitude de vibração desconheço profundamente porque depende do valor inicial que eu dou se eu pegar 50 massas mola 50 todas idênticas

e eu afastado a posição de Equilíbrio Diferentemente todas vibram com a mesma frequência porém a amplitude de vibração depende do deslocamento Inicial que eu dou Esse é um problema possível e indeterminado ele só fica determinado quando você tira da posição de equilíbrio de um valor inicial conhecido e abandona aí ele vai vibrar com aquela frequência e com aquela amplitude que você forçou inicialmente e o terceiro caso é um sistema impossível né que nós vamos comentar daqui a pouco ok muito bem isso aqui é matemática né Isso é o famoso crammer que por uma questão de

modéstia ele chamou método de crammer né E que a gente estudava na matemática e que num quadro sinóptico nós temos aqui né ou seja sistema de equação e as três possibilidade só que resolvido de uma maneira compacta elegante por intermédio de Matriz Matriz do coeficiente matriz da variável e Matriz do tema Independente se isso aqui fosse um problema em elementos finitos seria a matriz de rigidez os deslocamentos e as forças e nós temos três possibilidades o sistema ser possível e determinado solução única o sistema ser possível e indeterminado infinitas soluções ou sistema sem possível bom

caminhando um pouco mais vamos pegar a matriz de rigidez da estrutura que a gente montou por intermédio das equações de Equilíbrio e compatibilidade que se transformaram num procedimento de montagem onde a partir da Matriz de rigidez de cada elemento você monta a matriz de rigidez da estrutura é o software que faz isso né Por intermédio dos vetores de localização Então olha só eu vou pegar aqui ó tem a diagonal principal né tem a outra diagonal e nós vamos Calcular o determinante dessa Matriz que é o produto desses três caras soma com o produto desse e

esse vezes esse e esse esse vezes esse tá aqui ó e diminuindo o produto semelhante né Isso aqui é a regra de sarros que todo mundo conhece vamos ver quem é que sobrevive dessa conta olha só faz a conta aqui tá 0 z0 zer k qu KB KB qu k k Opa ninguém sobrevive o determinante dá zero isso já acende uma luz amarela aí né quer dizer eu imagino que a minha estrutura a minha estrutura em condição normal ela deve ter uma solução única né Se você pegar uma estrutura como a gente falou aqui né

eu tenho uma estrutura eu aplico um carregamento eu tenho definida a condição dela de fixação e a rigidez ela se deforma sempre da mesma forma pra mesma carga sobre a mesma condição de Contorno agora pro sistema ser possível e determinado o determinante tem que ser diferente de zero como a gente viu da Matemática porque no fundo isso se transformou num sistema de equações que você forneceu pro software resolver e nós estamos vendo que aqui tem alguma coisa estranha né o determinante do cada Zero no mínimo esse problema é indeterminado mas não é possível indeterminado porque

o determinante do k para ele ter solução única teria que ser diferente de zero Tá certo ou não essa é a parte matemática mas que nós agora estamos começando a tentar relacionar com o mundo físico né Nós estamos resolvendo uma estrutura idealize o sistema de uma maneira que ele possa ser analisado que tenha solução conhecida você não pode fornecer pro software um sistema de equação que representa jurídica aquela estrutura e que o sistema não é possível e determinado alguma coisa tá estranha aqui né Tá certo então vamos com calma eu vou montar uma figura aqui

para aqueles que têm fé né E que eu imagino né que a figura de Deus né Deve ser um cara feliz que tá sempre sorrindo né aal ele criou o o universo né E tem e por tudo que esses caras fizeram Imagino que eles estejam lado do lado de Deus né um é o Newton né tem o hul né também pelo que ele fez tem o professor lebedev também tem um apesar de ser um urso lá tem um monte de cara tudo lá né agora o que que esse cara estuda o Newton O Newton estuda

dinâmica ele estuda movimento ó ó a Lady Newton aqui o f a resultante das forças é o produto da massa vezes aceleração Eu tenho um corpo se movimentando no espaço se movimentando no espaço esse movimento pode ser linear ou pode ser angular né por isso que a lei de rto também ela tem a sua visão rotacional depois nós vamos falar nisso mas o importante é que a lei de rto estuda o movimento do corpo Olha o uc aqui ó o uc também só que que o que estudo outra coisa você tem um corpo você tem

uma força e você tem uma deformação o u estuda deformação Essa é a lei de U F = k Delta ou f = KX e que tem uma versão também rotacional né Se você pegar uma barra ela tem uma rigidez torsional o m = 1 k vezes o teta que nós vamos estudar ou estudar o elemento de via então esses dois aqui isso aqui é o mundo da dinâmica esse aqui é o mundo da estática Ó o aqui ó estudando deformação ó o nton estudando movimento o que que nós estamos estudando até agora nós estamos

estudando isso aqui né nó não estamos estudando a lei de Newton isso daqui é movimento isso aqui é deformação nós estamos estudando até agora isto aqui então agora nós vamos juntar várias coisas o fato matemático de Eu numa estrutura ter uma solução única quando eu tenho um problema muito bem definido pela restrição né pela condição de fixação e pelo carregamento e eu ter matematicamente o determinante da matriz de rigidez tem que ser diferente de zero e aqui eu tenho o Newton E eu tenho o h Até agora ninguém chorou no Newton e no Newton e

ninguém aplicou a lei de Newton aqui até agora nós estamos falando disso aqui essa é o salto que esse é o salto que nós vamos dar agora para poder fechar essa questão dessa tal indeterminação aparente que apresenta o sistema de equações Ok vamos fazer isso agora então Então tá clara essa ideia isso aqui é a lei de Newton isso aqui é a lei de Newton estuda o movimento de um corpo que pode ser no âmbito translacional ou rotacional isso aqui é a lei de uk que estuda não a relação entre força massa e aceleração Mas

entre força rigidez deformação nós estamos falando de dois mundos diferentes né ó dois mundos diferentes os dois são importantes Ah mas quando eu tenho um problema dinâmico vibratório os dois mas é outra história Nós só estamos falando por enquanto da análise estática o que eu quero dizer com isso é o seguinte o que que nós estamos representando aqui nós estamos representando aqui aqui seis possibilidades do que pode ocorrer com um corpo ou com uma estrutura se ela não estiver vinculada ela pode apresentar movimentos de corpo rígido esse movimento de corpo rígido corresponde a três translações

como nós estamos vendo aqui eu tenho três possibilidades de translação e tenho para um corpo três possibilidades de rotação que são os movimentos de corpo rígido em todos esses casos exatamente como na nossa estrutura nós não temos restrição a estrutura tá solta no espaço para se movimentar quando a gente montou o sistema de equações do nosso problema a nossa estrutura não tinha nenhum vínculo então a aplicação de força faz com que ela se movimente como um corpo rígido isso é o caso mais geral por exemplo tô fazendo o estudo de uma carcaça por exemplo Isso

é uma carcaça de transmissão carcaça de embreagem um motor e ele tá Solto No Espaço normalmente isso não acontece né do ponto de vista estrutural a estrutura ela tem vínculo de que empea ela ficar girando como um corpo rígido ou se transladar como um corpo rígido a estrutura tem vínculos exatamente o fato do determinante do k ser igual a zero mostra a condição que ela tem movimento de corpo rígido Mas nós vamos mostrar isso agora Então olha primeira coisa que é fundamental é a gente separar as duas situações que são muito distintas uma é a

situação do Newton outra é a situação do hul Tá certo e no nosso caso na nossa estrutura nós temos a estrutura solta no espaço é isso que tá acontecendo com a nossa estrutura ela não tem vínculo e você provou isso o determinante desse cara aqui é igual a zero quem é o determinante desse cara aqui é exatamente o determinante dessa Matriz inteira que tá aqui agora qual é essa situação que nós estamos mostrando agora é uma das possibilidades dessa estrutura tá vinculada ela tá vinculada aqui por exemplo da mesma maneira que se você pegar uma

viga a viga pode estar vinculada como um engasta como dois engastamento como dois apoios mas em todos os casos ela tá vinculada o que eu quero dizer é que no caso mais geral Quando você vai resolver uma estrutura ela tem que ter vínculo e esses vínculos TM de impedir qualquer movimento de corpo rígido neste caso que tá aqui que é um caso muito mais simples só há possibilidade de movimento em uma direção só há possibilidade de movimento em uma direção e como eu tenho apenas uma possibilidade de movimento em uma direção uma restrição é suficiente

para esse problema ter solução do ponto de vista de deformação o que eu quero dizer com isso é o seguinte se você vincular essa estrutura aqui e você aplicar essa carga e essa carga Essa estrutura se deforma se você vincular essa estrutura aqui aqui e aplicar uma carga somente aqui essa estrutura se deforma se você aplicar uma restrição ela tá fixada aqui e aplicar carga aqui e aqui você vai conseguir calcular a deformação dessa estrutura se eu vincular somente aqui ela também vai ter solução matemática que vai se deformar o que que eu tô querendo

dizer com isso é que esse problema aqui do ponto de vista de ser um sistema possível é determinado ter solução única tem várias condições de fixações que me permit isso mas a que me interessa é aquela que representa fisicamente a condição de fixação da estrutura na realidade e que não imponha a movimento de corpo rígido Então nós vamos supor vamos supor que essa estrutura tá fixada aqui então antes da restrição ela tá solta depois da restrição ela foi fixada aqui como é que o nosso amigo aqui entende o que nós estamos fazendo quando eu chego

pro software e falo que esse ponto aqui corresponde uma restrição vamos pensar em sã consciência né ninguém aplica a carga na restrição imagina que você tem uma estrutura você fica aplicando carga no apoio o cara tá louco né ninguém aplica carga no apoio porque se você aplicar a carga no apoio Você joga a estrutura fora é a estrutura foi feita para se deformar e jogar carga pro apoio se você já tá aplicando a carga no apoio você não precisa da estrutura o que eu quero dizer é o seguinte do ponto de vista matemático o fato

de eu impor uma restrição aqui faz com que eu separe a matriz das forças em dois pacotes aqui Isso corresponde à reação de apoio e isso aqui corresponde às Forças que foram realmente aplicadas na estrutura e este cara aqui é o deslocamento que foi imposto nesse ponto da restrição que nesse caso é zero nesse caso é zero é um caso particular importante depois nós vamos ver que há alternativas para isso Ou seja quando eu pego um problema gigante de elementos finitos Isso aqui é uma matriz né é que a gente colocou dentro de uma matriz

Isso aqui é uma macr matriz que tem duas duas matrizes isso aqui são as forças aplicadas isso aqui são as reações de apoio Esse é o deslocamento que eu prescrevi na estrutura no caso particular importante ele é zero eu fixei e esses são os deslocamentos que você quer calcular automaticamente pelo vetor de localização o que eu tô interessado é na força b e na força C aplicada no deslocamento B e C consequentemente o software de essa Matriz em dois pedaços esse aqui é o pedaço BC que nos interessa que corresponde ao pedaço da Matriz de

rigidez que corresponde aos pontos que se movimentam não considerando a restrição porque a restrição é você impôs o deslocamento zero na restrição se a gente fizer o produto disso aqui ó vamos fazer o produto linha coluna este vezes este dá este cara aqui este vezes este dá este cara aqui Lembrando que num problema real de elementos sinist isso daqui pode ter milhões de graus de liberdade então nós geramos Olha só o pacote que a gente gerou isso aqui é reação de apoio é o k vezes esse cara e esse cara vezes esse cara que dá

aqui e isso aqui são as forças aplicadas isso daqui é essa Matriz vezes o a e isso daqui é um pedaço da Matriz de rigidez que não tem determinante igual zer é só fazer a conta desse cara menos esse cara e aqui são os deslocamentos são objet de cálculo quando você fixou esse cara e esse cara é igual zer quem sobrevive isso aqui isso aqui são as for que você apli na estura que que é isso daqui isso aqui é a matriz de rigidez da estrutura uma parte dela que não tem determinante igual a zero

que corresponde à parte dos pontos que se movimentam tirando aqueles que estão impedidos de se movimentar E esses são os deslocamentos nodais a partir do deslocamento nodal você volta e calcula a reação de apoio olha só a sequência você tinha uma estrutura você montou um modelo a partir da Matriz de rigidez de cada elemento foi montada a matriz de rigidez da estrutura o determinante é igual a zero você foi lá e aplicou a restrição aí você calculou o deslocamento dos nós aí você calculou reação de apoio a última coisa que vai ser feita a última

é o cálculo da força interna Olha só se você tem a mola você pega uma das Molas Você tem quanto que ele quant que ele deslocou aqui você tem o d que é o 2 Men 1 ou na linguagem local ou naquela linguagem a b que a gente mencionou se você tem a variação do deslocamento dos dois nós que é a deformação vezes o k você calcul a força interna essa é a última coisa que o cara faz no software de elementos finitos olha só a partir do simples elemento de mola aiu entender o processo

Geral de montagem de qualquer estrutura que nós vamos a seguir fazer um exercício completo passo a passo mostrando tudo aquilo que o software Faria numa análise usando o exemplo simples da mola numericamente mas olha só você tem uma estrutura você monta um modelo dessa estrutura a partir da rigidez de cada elemento é montada des da estrutura inteira usando as equações de Equilíbrio e compatibilidade que são transformadas num procedimento de montagem usando os vetores de localização só que quando você acabou de fazer a montagem po jurar na Bíblia o determinante desse cara é igual a zero

O que que você vai você aplica a restrição aí você particiona o seu sistema de equações em dois pedaços as forças que são aplicadas nos nós que se movimentam o pedaço da Matriz de rigidez correspondente e os deslocamentos notais E aí você volta e calcula a reação de apoio a última coisa depois que o software faz é calcular As forças internas nos elementos se tem 1 milhão de elementos no modelo ele vai um por um e calcula a força interna a partir do deslocamento dos nossos aliás isso a gente já tinha falado antes né que

na mola é muito simples mas a grande ideia é rigidez do elemento rigidez da estrutura você tem um sistema de equação o determinante é zero se aplica a restrição calcula o deslocamento do nó calcula a reação de apoio a partir do deslocamento do nó você calcula a deformação o deslocamento a deformação dentro do elemento tá certo esse é o processo de montagem que nós vamos fazer agora um exercício que dá todos esses Passos é que para você entender isso não precisa ter 1 milhão de graus de liberdade se tiver três elementos o procedimento é o

mesmo que se tivesse 1 Milhão fazer uma pergunta ISS aqui é uma pergunta meio de maluco né Man Se chover amanhã te ligo hoje à noite tá vendo ó o que eu vou fazer aqui eu vou aplicar um deslocamento de 30 mm eu vou aplicar um deslocamento de 30 mm de novo eu vou aplicar eu vou aplicar um deslocamento de 30 mm pergunta dado uma viga aplica-se um deslocamento na extremidade de 30 mm pergunta qual é o deslocamento da extremidade tempo cara fala assim pô esse cara deve tá meio maluco né se o cara tá

falando que ele deu um deslocamento de 30 o deslocamento da extremidade é 30 é claro isso não é incógnito isso é conhecido por que que eu tô falando isso por causa desse cara aqui ó aqui ó esse cara aqui o fato desse deslocamento ser igual a zero é um deslocamento imposto igual a zero mas é um caso particular é muito importante mas é um caso particular e existe uma série de problemas práticos Por exemplo quando você calcula um caminhão ônibus existe um teste de torção o cara pega o chassi do caminhão e ele desloca por

exemplo 200 mm em cada extremidade faz a estrutura torcer ele impõe um deslocamento isso daí não é incógnita isso é conhecido eu vou fazer agora aqui ó eu vou impor um deslocamento nessa viga aqui ó ó eu impus um deslocamento isso não é incógnita ela se deforma é que no caso mais geral né em muitos casos vamos dizer quer dizer é um caso particular mas é muito usado é quando o deslocamento da extremidade é zero Mas isso não é obrigatório o que eu tô querendo dizer é que esse deslocamento é imposto ele é prescrito e

um caso particular importante é quando ele igual a zero que o apoio é fixo mas quando você pega a torção de um veículo por exemplo você pega e você levanta as rodas lá Opostas de um certo valor você faz isso no teste de Campo pro veículo torcer Então esse deslocamento ele não precisa ser zero nós começamos com essa conversa que ele é igual a zero mas ele não é igual a zero necessariamente é que a Primeira ideia o que é mais importante desse quadro é que você tem uma estrutura que foi montada a partir de

cada um dos seus elementos esse aqui é um modelo esse esse modelo não tem restrição se ele não tem restrição o determinante da matriz é igual a zero Isso aqui é uma Evidente impossibilidade de solução o Cramer lá é que no elemento cidos o método é numérico aí você vai lá e aplica a restrição aonde eu aplico a restrição eu tenho que olhar o problema ah mas não tem um bizo s não não tem software que faz isso para usuário algum você tem que olhar pra estrutura ó essa estrutura aqui ela tá fixada ela pode

estar fixada assim ou pode estar fixada assim as duas são condição de fixação como é que eu sei que é um ou outro olhando pra estrutura eu tenho que olhar e ver como é que a estrutura Trabalha ou seja matematicamente eu posso ter várias soluções para esse problema agora que me interessa é aquela que corresponde a situação real do trabalho da estrutura senão vou colocar um vínculo que a estrutura não tem e vão aparecer tensões e solicitações que a estrutura também não tem então isso daqui é absolutamente fund ental é colocação da restrição a partir

do momento que você coloca a restrição você divide as matrizes e aí você resolve o sistema de equação um caso particular importante mas é um caso particular é quando o deslocamento é igual a zero a restrição impede deslocamento Mas você pode ter um movimento imposto E aí a última parte é o cálculo da força interna ou mais genericamente como vamos ver adiante são as tensões dentro dos elementos se tiver 1 milhão de elementos ele calcula a partir do deslocamento nornal o que que acontece dentro da elemento um por um exatamente a sequência que a gente

mostrou aqui que que nós vamos fazer nós vamos fazer um exercício em que nós vamos mostrar todos os passos que foram dados para fazer isso aqui e depois fazer uma generalização do método que se aplique a todas as aplicações de elementos finitos do seu dia a dia OK É isso que nós vamos fazer agora beleza i