Cálculo de limites de funções de duas variáveis (Tópico 5, parte 2)

[Música] [Música] eu vou fazer só mais um exemplo de curva de nível ainda mas é uma função especial porque ela vai ser modelo de exemplos importantes ela vai ser um exemplo importante de coisas que acontecem então eu queria que vocês merecem especial atenção para isso então aqui 2 x e y quadrado sobre x quadrado mais simples na quarta o que eu ouço essa função aqui ela tem um comportamento especial eu então a gente quer olhar para ela com mais cuidado então vamos lá qualquer domínio da função é um conjunto dos pares do r2 tais que

pio x y é diferente de 100 certo porque o denominador só é zero se os x e um y forem iguais a zero né caso contrário ela o denominador não sendo então é o é o plano todo - esse ponto - a origem e o que eu quero fazer é achar as curvas de nível df vamos procurar vou começar com nível zero que é o mais simples depois a gente procura outros as curvas de nível de f1 né algumas curvas então pra ser igual a zero eu tenho que olhar pra quais xy efe daa 0

então eu tenho que resolver essa equação chief xy igual a zero que é 2 x e y quadrado sobre x ao quadrado mas isso na quarta igual a zero certo então respondeu pra mim quando é que isso da sé quando x a 0 ou y é né quando o numerador a 0 x 0 ou y é igual a zero que geometricamente corresponde aqui os dois eixos tá com o buraque né então aqui é um segundo a 0 e aqui também o c zero bom aí eu vou pegar um ser diferente de zero envolver quando é

que o f é igual a esses e isso aqui é é aqui não tem esse somente será que a soma da esposa é isso sim é feito somente o fx y é c6 somente c 2 x e y ao quadrado sob x ao quadrado mais simples na quarta s certo e agora em eu vou fazer o que a gente vai ter que arrumar um pouquinho pra tentar descobrir quais são os pontos que satisfazem a essa equação e aí eu vou aplicar a operação importante da matemática que a operação passa pra lá né faz passe daqui

pra lá lá é 22 x e y quadrado é igual a cx4 ado mais y a quarta né * x 2 na recepção 4 nem fala pra falar bonito e agora vamos arrumar um pouquinho vocês concordam que é ser que isso aqui eu posso escrever como cx quadrado - 2 x e y quadrado mas se y a quarta 10 concorda que isso é equivalente a essa equivalência aqui é porque eu estou no meu domínio mexes dois mais opção 2 é diferente dizendo tá bom eu cheguei nessa equação e aí se vocês repararem bem isso aqui

é uma equação do segundo grau em x então eu consigo isolá-lo x daqui é uma equação uma equação do segundo grau enche-se então eu sei que o clown x quem é o x 1 x é lá na nossa forma é menos b então fica 2 no quadrado mais ou menos a raiz quadrada db2 que é dois em y quadrato ao quadrado menos quatro vezes você vezes 6 no quarto bom tudo isso sobre não deixou mark x é igual tudo isso sobre dois e deu então agora vamos ajeitar um pouquinho o x é 20 ao quadrado

mais ou menos raiz quadrada aqui tem aqui dá quatro y a quarta e aqui também tem 14 y a quarta que eu já vou pôr em evidência 4 y quarta que multiplica 1 - 4 não 4 não só sei quadrado é bom tudo isso sobre dois e e arrumando mais um pouquinho 2 y quadrado mais ou menos dois ipos no ao quadrado tá certo que a raiz disso e deixa sair só de um - e quadrados sobre 2 c e se o dois eu posso cancelar e um y ao quadrado e põe em evidência eu

vou ficar com x é igual a um mais ou menos raiz quadrada de um menu se quadrado sobre c13 y quadrado bom bom ou seja era diferente de zero desde sempre né desde que a gente começou aqui olhar o ser diferente de zero então aqui não tem problema com esse denominador e aqui apareceu uma novidade quando é que esse 1 - e quadrado quando é que tem raiz você tem que está entre 01 será pode ser negativos e ele para ele está entre -1 e você tem que está entre -1 eo e diferente de zero

então pra esses valores de ser eu tenho curvas de nível então para cada ser fixado se faz a conta e dá o número aqui então você tem curvas de nível x é igual ao número de vezes y quadrado essa curva são essas são parábolas só que deitadas né quando cai positivo quando cai positivo é ler deitado pra cá passou pela origem né passariam 500 tivesse o domínio né pra cá positivo elas são viradas para cá e se o carro for negativo nas suas vidas pra lá então nós vamos olhar para alguns valores de ser e

fazer o desenho tudo bem vamos lá então quando se é um eu deixei o copiar de novo eu cheguei à conclusão que o x era o mais ou menos raiz quadrada de um - e quadrado sobre c tudo isso vezes y ao quadrado então já sei que são parábolas então em especial para ser igual a 1 eu venho aqui a aae o que está dentro da raiz da 0 isso aqui é um então fica a praça igual eu tenho que ver assim se o c1 eu tenho que o obter a curva x biguá y quadrado

então não desenhar aqui tentar caprichar nesse desenho então aqui é 11 234 assim por diante pronto vamos fazer alguns esboços então ó a esta parábola aqui passa pelo 1 pelo 4 2 que isso aqui né e pelos médicos aqui do lado de baixo de baixo então esta curva isso aqui eu sei bom e o com o simétrico aqui também aqui também é igual tá tudo bem é igual a menos um que acontece se você for menos um de novo aqui arraes vai dar zero então vai ficar 1 sobre menos um que eu vou obter a

curva x é igual a menos e pessoal contrato tudo bem qual é essa parábola aqui essa parábola é o espelho desta virada pra cá né então a gente vai desenhar aqui você é igual a menos um então um pedaço aqui também tudo bem porque tem um buraco já então tenho duas curvas jantar a dois níveis já eu também já tinha o seu igual a zero então ser igual a zero tudo que está nos eixos né como é que a gente interpreta mesmo se eu pegar um ponto que está aqui em cima o f dele é

só pegar um ponto que está aqui é o f dele é menos um é isso por enquanto é isso que eu estou querendo dizer agora vamos pegar o seu intermediário entre zero e um o que vai acontecer em sair nesse caso a raiz quadrada de um - e quadrado vai ser também um número entre sérgio concorda porque seu quadrado é menor que 1 você vai ficar com menos um número menor que 1 da menor que um tira raiz está entre zero e aí quando você for fazer aquela conta o mais ou menos raízes e um

no seu quadrado sobre se aqui é positivo aqui é um número menor que o então você vai ter duas 22 valores aqui você vai ter um mais raiz de um - e quadrado sobre ceeac você tem um - raiz de um - e quadrado sobre si tá bom significa que seu ficção c entre 01 e eu fico este valor se eu vou ter duas duas parábolas então eu vou ter fixado um c entre 0 e 1 eu vou ter duas assim é uma aqui tá você igual né aí eu vou ter uma pra dentro que

é o y é desculpa ou x é igual a um mais raízes de unha no seu quadrado sobre c y quadrado e pra lá eu tenho outra que é o x é igual a 1 - raiz de um - e quadrado sobre seca excepcional quadrado eu tenho pra cada ser entre 0 e 1 eu tenho uma pra dentro uma pra fora e claro a continuação delas pra cá tá bom então deixou foram até outra cor é o mesmo valor de ser que aparece aqui e aqui aparece aqui aparece aqui então seu cálculo a ef desse

ponto da c f de se dar o mesmo ser a mesma coisa aqui aqui é o mesmo valor de ser então para o mesmo ser o a interpretação é que quando você pega o planos é igual a constantes e um plano paralelo ao plano x e y ele vai cortar o gráfico né e nos pontos que estão assim com esse valor aqui né tem a função eu vou cortar e assombra desses pontos onde eu cortei da intercessão a sombra no domínio são e se ele e esse para cada 100 a 92 deu pra entender o

que eu queria chamar a atenção aqui que é o que a gente vai então olha só pra só pra completar aqui então uns e menor que um aqui uns entre 01 e o mesmo ser aqui mesmo tá são duas paradas tudo bem bom isso é um fenômeno importante que a gente vai ver porque é assim se eu consegui passear aqui com os pontos eu vou caminhando em cima dessas curvas o valor de f não muda é sempre o mesmo que eu me aproxime do uso do zero o valor da f1 é um quando eu tô

pega um valor entre 0 c e se eu andar por aqui o valor da fsc que não é que não é um é um outro outro número seu caminhar por aqui o valor da efe ao longo dessa em cima dessa curva o valor da f1 é sempre 0 isso é uma coisa uma observação importante porque a gente vai estudar em seguida é só vocês terem uma idéia o que eu consigo mais ou menos desenhar é o seguinte eu vou desenhar aqui o eixo do x pra cá e pra lá atrás dos y né e usei

aqui então o que acontece aqui é assim nesta parábola aqui que é o y igual a ashes eu não vou nem desenhar esse lado pra y igual à x desse lado aqui nessa eu a tudo errado x biguá y quadrados estou aqui em cima o valor de f 1 então esse ponto aqui sob um sobe 1 sobe 1 então se vai ter uma uma linha quique para cada ponto desses ele subiu humanidade o f deles dá sempre o quando você pega uma constante entre 0 e 1 é você vai ver duas uma para dentro uma

plataforma uma que pegariam os pontos aqui mas mais embaixo e lá atrás uma menor e uma outra com valor menor aqui por uns e aqui aqui o bom o que acontece mais ou menos é que aqui vai entendendo a 0 não é lá atrás também tende a zero vai lá pra trás tendendo a zero pra chegar aqui no outro eixo e será então é é 6 imaginem aqui ó como se fosse sabe uma montanha todo mundo aqui um morro aqui com a mesma altura lá em cima ao longo de uma parábola né de uma palavra

fica nessa altura um aqui e depois desce suavemente então quando você corta aqui aqui vai ter uma uma parábola né aqui no domínio uma parada onde o valor da fsc só que quando corta aqui corta lá atrás também e vai vocês vão ver a outra parábola de fora ficou longe o tem uma pra dentro e uma para fora dessa aqui que vale on cedeu para entender mas é uma superfície que vai sobe desce mas aí ela sobe e desce aqui também vocês viram que essa função não está definida nuno 00 não existe fd 00 mas

eu poderia querer saber assim se o x é xuxa o ponto x y está perto de zero 0 dá para eu saber fdx y está perto de quanto isso é uma questão importante o cálculo é isso aí né é um cálculo de limite a gente precisa entender limites que a poder fazer derivadas para saber se a funcionar em contínuo ea função das altas ou não dá saltos e eu preciso então estudar limite e pra poder saber também derivadas é preciso saber se a função é diferenciável saber se é diferenciável significa sabe é equivalente a saber

é determinar se existe um plano tangente no ponto e todas essas questões estão relacionadas ao cálculo do limite e então eu preciso é um pré-requisito aqui saber calcular limite df dxy né eu preciso entender o que é essa expressão aqui que é limite df dxy quando xy se aproxima de um determinado ponto que eu vou chamar de 2010 eu preciso saber o que é isso e quando é que eu posso dizer que ele é um número l henrique o que quer dizer isso aqui intuitivamente eu tô querendo saber se quando o ponto x y se

aproxima do xl y10 o valor do fc x y está ou não próximo do número l é isso que a gente está perguntando mas isso tudo é muito vago né porque tem questões aí o que que é próximo quanto que é próximo 0,1 é próximo ei é próximo neco quanto como é que a minha vida do com o próximo eu quero que esse valor esteja desse né então e aí também uma outra dificuldade é que a gente tem duas variáveis então eu tenho um ponto x 0 e os 10 aqui o que é estar próximo

desse ponto né dizer que o limite de fd xy quando xy tende a x 0 y 0 né é é e significa que quando eu calculo efe de pontos que estão aqui perto eu vou chegar próximo do número l mas aí como eu como é que eu vou pegar quais pontos aqui para eu saber a própria calcular o limite eu tenho que pegar bolas eu tenho varrê né em no entorno aqui pegar todos os pontos de uma bola centrada no x érea y10 e calcular todo o ft todos aqueles pontos e olhar se o fd

todos eles cai dentro de uma certa faixa aqui dentro agora qual faixa de que tamanho para dizer que o limite é l eu tenho que tem que garantir que todo mundo dentro de um certo raio cai numa faixa que vai de l - um pouquinho até lhe mais um pouquinho mas esse um pouquinho e é tão pequeno quanto eu queira entender o que eu falei tem que ser qualquer número se eu quero que seja menor que 10 a menos dois eu vou procurar uma bolinha aqui em torno do ponto tal que o f de todos

esses pontos caia a uma distância menor que 10 menos dois agora se 10 -2 não for suficiente porque eu preciso do problema que é preciso resolver eu mudo pra 10 -5 eu tenho que procurar outra bolinha menor e ver se existe uma um raio tal que todo mundo em torno do ponto com aquele raio o fdn ficar lá dentro tá então o como é que quando é que a gente sabe que esse é o limite de fd xy quando xy tem 600 a xl y10 é o número l isso aqui quer dizer que pra todo

o número que eu vou chamar de apps um todo deixando variável aqui é o tamanho desse intervalo então é qualquer um qualquer número que eu quiser eu vou é possível encontrar um raio que o que é o delta talk pra todos os pontos x e y dentro desse raio aqui exceto no x érea y10 porque eu não vou olhar para o centro a norma a distância entre o x y e x 0 10 essa distância for menor do que o delta e maior do que zero esse maior do que zero quer dizer o que quer

dizer que esse ponto não é igual à s tá então toda vez que eu pegar pontos a uma distância do x érea y10 a distância menor que delta mas não é o próprio ponto não é o próprio 010 toda vez que aconteceu isso então a distância entre o fd x y e o l fica menor do que a gente tá bom então aqui olha eu tenho que deixar com letrinhas mesmo eu tenho que deixar por 11 epson arbitrário porque eu preciso dizer o quanto que é perto né eu preciso dizer pode ser qualquer número positivo

pequenininho neckel que interessa então toda vez que isso acontecer eu dou épsilon e você consegue achar um raio tal que todos os pontos diferentes do xl y10 mas dentro desse raio que o f dele cai nesse intervalo que vai de l - épsilon até l mais apps tá certo nesse intervalo aqui [Música]