Se Liga na Educação 19/08/2020 Matemática 3º ANO ENSINO MÉDIO TEMA DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA I

o olá tudo bem com vocês eu sou alex duarte a matéria matemática e o assunto é geometria analítica muito obrigado por comparecer esta aula e o tema de hoje é distância entre ponto e reta a gente já viu um ponto as coordenadas gente já viu equações da reta e agora a gente vai aprender a calcular distância entre uma reta e um ponto que está fora dessa reta tá bom então aqui temos um exemplo nós temos uma reta crescente ascendente nessa reta está marcado o ponto a que é o ponto de coordenadas um e um essa

reta reta que passa por a e b o ponto b é o ponto 3 e 5 e fora dessa reta nós temos o ponto p de coordenadas - 1 e 2 olha só o x é menos um e o ímpio é dois nós queremos calcular a distância de pr ou seja a distância do ponto p a reta r que na figura simplificadamente foi chamada de distância dele então a pergunta é qual é a distância de igual a dpr do ponto p até a reta r qual reta r determinada pelos pontos a e b a1 e

b 35 é bom para isso existe uma forma eu e nessa forma nós temos as duas informações necessárias então nós temos que tem informação do ponto ou seja as coordenadas do ponto informação da reta ou seja ou os pontos que determinam a reta ou a equação da reta só que na fórmula da distância de ponto a reta a equação da reta que aparece é a equação nesta forma a x mais b y mais ser igual a zero pessoa lembra que eu comentei uma vez que a equação nesse formato igual a zero geralmente na matemática chamada

equação geral de um objeto então na forma de distância porque aparece a equação geral da reta e no denominador aparece novamente informação envolvendo o ar e o bebê ou seja o coeficiente do x e o coeficiente do y nessa equação da reta bom e onde estão as informações do ponto no numerador aqui o x que aparece lá na reta é o x do ponto p que você oi e da mesma maneira o y que aparece é o y do ponto p ok então vamos ver algumas maneiras de resolver isso o primeiro passo de qualquer forma

vai ser encontrar a equação da reta nesse formato que como já foi dito a equação geral da reta então nós temos que colocar a equação da reta nesse formato para que nós possamos substituir na equação é bom a primeira solução é fazer um determinante como é que é o determinante mesmo mamãe lembrar e o que que é um determinante esse determinante tem esta primeira linha fixa que é xy11 e a última e terceira coluna e fixa também é sempre um fio na coluna do xv as coordenadas o x do ponto a e o y e

o x do ponto b na coluna do y vem as coordenadas y o y do ponto a e o y do ponto b olá pessoal essa ordem aqui não altera no sentido de que a reta que passa por a e b é a mesma reta que passa por bea e no determinante trocar uma linha pela outra só vai alterar o sinal mas como nós temos uma equação igual a zero isso também não vai alterar a equação no que não pode ser trocada é a ordem das colunas a primeira coluna só tem x a segunda coluna

só tem y e a terceira coluna só tem e substituindo os valores o ponto a um aqui ou no x do ponto a foi colocado um no y do ponto a foi colocado um também x do ponto b y do ponto b ficaram respectivamente três e cinco então aqui tá montado determinante já com números nós vamos calcular esse determinante igual a zero repare que quando a gente calcular o determinante tem letras aqui né não vai dar o número vai dar uma equação que é exatamente a equação da reta bom então como que é o cor

um determinante é mesmo uma técnica é repetir as duas primeiras colunas x13 foi repetido aqui a direita x13 a segunda coluna y15 também foi repetida aqui é direita e y cinco tudo é igual a zero e essa técnica ela é mais rápida ela tem a vantagem de ser mais rápida porque a gente vai ver que ela já chega direto na equação geral e ela tem a desvantagem que você tem que saber isso de cor né mas não é tão difícil se você lembrar do padrão a primeira linha e última coluna nunca mudam e aqui são

as coordenadas dos pontos em qualquer ordem que nas minhas e como é que calcule a determinante é mesmo bom multiplique que o x 1 x 1 deu x a segunda diagonal aqui nesse sentido y x 1 x 3 deu três y oi e a terceira diagonal no sentido no mesmo sentido um vezes um vezes cinco deu cinco ok e a diagonais no outro sentido a gente vai trocar o sinal do resultado se for positivo a gente vai colocar negativo se for negativo a gente vai colocar a positivo é um vezes um vezes três deu três

daria três trocando o sinal - 3 o x 1 x 5 daria 5x trocando o sinal menos 5x e finalmente y vezes um vezes um daria aí prima trocando o sinal menos y tudo isso é igual a zero algumas pessoas preferem abrir parênteses aqui fazer os produtos aqui dessa nesse sentido sem trocar o sinal e colocar o sinal de menos na frente do parentes eu sempre digo faça do jeito que você achar que é mais fácil para você e a matemática justamente oferece vários caminhos que você chegar na solução então cada pessoa escolhe o caminho

que achar melhor às vezes em sala de aula ou um aluno me fala assim alex faça do jeito mais fácil mas mais fácil para quem então quando a pessoa faz essa pergunta geralmente ofereço uma duas três soluções do mesmo problema que é o que nós vamos fazer aqui por quê porque para uma pessoa este caminho pode ser o mais fácil mas para outra pessoa outra solução pode ser o caminho mais fácil você tem que procurar fazer o que você fica mais confortável ok a x menos 5x deu - 4x continuando 3y tira aí pô deu

dois ye5 - 32 ficamos com a equação - 4 x + 2y + 2 = 0 você vai dizer alex não gostei a equação começou com sinal negativo ok vamos pegar equação x menos 1 para trocar a todos os sinais - 4x ficou mais 4 x 2 y ficou - 2y e mais dois ficou - 2 / 2 simplifica mais ainda 2x menos y - 1 = 0 ok então essa aqui seria a equação geral na sua forma mais simples o sentir que tá são os menores números inteiros aí possíveis e agora você também pode

chegar na mesma no mesmo resultado usando a inclinação e como você pode obter essa inclinação usando a figura mas primeiro porque inclinação porque uma outra possível equação da reta isso que y igual a 1 número que multiplica x mais um outro número sem nenhuma variável que a chamada equação reduzida da reta e nesta equação o m ou seja o número que multiplica x quando o y está isolado é chamado a inclinação da reta alguns autores colocam y = ax + b é tanto faz de qualquer maneira você pode observar que esta é uma equação do

primeiro grau equação do primeiro grau com duas variáveis x e y representa sempre uma reta ok bom e o que que era mesmo inclinação da reta reclinação da reta esta proporção aqui que proposição alex cada vez que você de um ponto para outro na reta você anda uma unidade para a direita quanto será que essa reta sobe ou desce essa proporção do quanto que ela sobe ou desce para um é a inclinação da reta se a reta for crescente a inclinação é pô positiva se a reta fosse decrescente a inclinação seria o negativo aqui é

o mesmo exemplo ainda a proporção 1 para 2 marcada na figura indica que a reta r possui inclinação igual a 2 ok bom então você já pode colocar aquele a inclinação y = mx + n substituir o valor é igual 2 e como que nós podemos encontrar o valor de n usando um dos dois pontos da reta que a gente tem por exemplo a mexer exemplo eu escolheria o ponto a um porque tem números mais simples lembra que esta ordem é sempre x depois y então nesta equação nós vamos colocar o x do ponto a

e o y do ponto a ambos iguais a um no caso y ficou um igual o 2 que já tá aqui vezes um mais ele ficou um = 2 + n passo 2 para lá 1 - 2 = n ou seja n = -1 uma vez que o n foi encontrado podemos colocar aqui vai ficar aí para você gosta 2x menos um mas aí lembra que na fórmula de distância você precisa da equação reduzida ou seja todo mundo igual a zero então o que que nós podemos fazer passa todo mundo para a esquerda o2x fica

- 2x e o menos um fica mais um é igual a zero trocando o sinal de todo mundo nós vamos chegar na mesma equação tá aí uma das coisas bonitas da matemática elas sempre coerente qual que é a caminho que você seguir vai chegar na mesma resposta e se você quiser você também pode usar a fórmula da inclinação e vezes a figura figura é mais rápido mas nem sempre você tem a figura lá quadriculada bonitinho escala 1 para 1 então é que que a inclinação em termos de forma eu delta-y por delta x lembrando que

que o delta representa nas ciências exatas né na matemática na física na química uma variação então nós temos a variação do y dividida pela variação do x isso aqui não é um produto tá lembra que isso aqui não significa delta vezes é delta e epsilon ou seja a variação do y e em baixo a mesma forma da mesma forma e delta x e avaliação do x ou seja é o y do b por exemplo menos oitão do ar sobre o x do b - o cheiro do ar de novo qual ponto você considera como inicial

como o ponto final não faz diferença o importante é coerência e se no numerador você seguir a ordem b&a no denominador também beijar se aqui fosse a e b no denominador seria a e b que você não pode trocar é a ordem é sempre o y em cima e o x é embaixo e substituindo os valores o y do ponto b5y do ponto a é um então ficou 5 - 1 o numerador o x no ponto b é 3 e o x do ponto a é um tão denominador ficou três menos um então ficou 5

- 1 da 43 - 12 a inclinação é dois e aí você substituir lá de novo vai dar aí você guarda 2x maizena bom aí você substitui a de novo as coordenadas de algum ponto aqui para variar em vez de usar o ponto a novamente eu usei o ponto b que há 35 ou seja nesta coração subtil y pelo y do ponto b que é cinco e o x peluches do ponto a que a 3 ficou 5 = duas vezes três mais n ou seja 5 = 6 + n passa para lá 5 - 6

= n e o n = -1 como antes só para você ver que é coerente tanto faz o ponto ao ponto b só vai chegar na mesma resposta conferindo joga lá o n = -1 é o mesmo que nós temos antes passa tudo para esquerdo para chegar na equação geral - 2x + y + 1 = 0 se multiplica por menos um para trocar o sinal de todo mundo 2x menos y - 1 = 0 então já que você pode escolher escolha sempre o ponto cujas coordenadas porém mais simples se tiver uma coordenada igual a

zero melhor ainda você vai fazer menos conta bom dia quarta solução é você lembrar de uma outra equação ainda chamada ponto-inclinação porque é essa aqui y menos o y do ponto que você tem que o y0 igual a inclinação m que multiplica x menos x 0 também chamada equação fundamental da reta né o ponto p né é o x ly0 e xly gera que representam as coordenadas do ponto que você tem cuja distância até a reta é distância que você quer calcular tô fazendo y isso né vou escolher por exemplo ponto a e aí em

vez de chamar de xly 10 eu tomei a liberdade de chamar x a aí para tomar ok para você saber então ficou y menos o y do.ao y do ponto a é um igual m a inclinação que você achou de uma daquelas duas maneiras tanto faz m = 2 queimou o tipo clica x menos x do ponto a x menos 1 um ok esta equação é a equação fundamental da reta ou equação na forma ponto-inclinação quando a gente estudar a equação da circunferência a gente vai ver que ela também tem uma equação geral ela também

tem uma equação fundamental ok e aí você já vai saber por exemplo que quando tem igual a zero geralmente a equação geral bom o lado esquerdo eu mantive o lado direito eu fiz o chuveirinho aqui ó duas vezes x 2 x - as duas vezes 12 ficou y - 1 = 2x - 21 me passa tudo para o lado esquerdo já que nós queremos a equação geral o 2x ficou menos 2x o y já estava aqui ou menos dois ficou mais dois e o menos um já estava aqui tudo igual a zero tá bom 2

- 1 dá um ficou - 2x + y + 1 = 0 finalmente a mesma equação que nós achamos nas outras soluções trocando o sinal de todo mundo ou seja multiplicando por menos 12 x menos y - 1 = 0 e de qualquer maneira que a gente tenha chegado nesta equação a gente vai usar você vai me perguntar nossa alex mas esse de novo eu tivesse usado as coordenadas do ponto b ou seja o xv yb fosse 3 e 5 a gente chegar na mesma equação sem aí eu fiz aqui só para vocês verem né

coloquei o yb como cinco e o xb como três fiz o chuveirinho do lado direito novamente duas vezes x 2 x - 2x 36 ficou y - 5 = 2x menos seis novamente passei tudo para o lado esquerdo né - 2x + y + 6 - 5 = 06 - 51 esse é o mesmo resultado que nós chegamos antes e aí x menos 1 para ficar bonitinho ficou 2x menos y - 1 = 0 então a sugestão escolha sempre o ponto mais simples é que você pode escolher finalmente vamos substituir na forma que observa que

isso que tá aqui a equação geral da reta sem aquele igual a zero claro neste caso a equação ficou assim a 2x menos y - 1 = 0 quer dizer que esse aqui é doido ó duas vezes o x do p o y é que tá acompanhado do menos um e tá uber é menos um e os e é o menos um também água 2 v = -1 e x = -1 bom então ficou assim ó 2 xp - yp menos um essa é a própria equação da reta e aqui no denominador uai é dois

o bebê menos um repara que o ar é usado duas vezes e o bebê usado duas vezes 2 ao quadrado é 4 - 1 ao quadrado não bom então ficou assim ó em cima módulo de 2 xp - yp menos um alex porque o módulo porque eu não existe distância negativa essa distância aqui ou vai dar zero se eu posso estivesse na reta ou vai dar um valor positivo e eu denominador voltando aqui ó raiz de quatro mais um ficou as de 5 e agora agora é só substituir as coordenadas do ponto p o ponto

p ele tem coordenada x p = -1 e y p = 2 substituindo aqui ficou duas vezes menos 1 menos 2 menos 1 sobre raiz de 5 ah tá bom duas as menos um da menos 2 menos 2 menos 1 sobre raiz de 5 - 2 -2 -1 da menos cinco sobre raiz de 5 o módulo de menos cinco é cinco nós podemos racionalizar ok motivo de que isso é embaixo o raio x 55 x raiz de 5 deus cinco regicinco em baixo uma maneira de pensar é a raiz de 5 + raiz de 5

= raiz de 25 só que age 25 da cinco então ficou 5 raiz de 5 sobre cinco cortando cinco com 5 a distância daquele ponto p até a nossa reta r determinada por a e b deu raiz de 5 o que é aproximadamente 2,236 um ok então resumindo tudo você tem que usar aquela fórmula e para usar aquela forma você precisa de duas informações as coordenadas do ponto a equação da reta qual a equação da reta equação geral da reta então você vai tentar chegar na equação no formato geral o mais rápido possível ok muito

obrigado e até a próxima um