El Problema del Milenio que Une Relatividad y Cuántica: Yang-Mills y el Salto de Masa

En el año 2000 el instituto clay de matemáticas lanzó al mundo su lista de los 7 problemas del milenio. 7 cuestiones sin resolver sbre matemáticas que, en caso de resolverse, supondrían un gran avance en sus respectivos campos. En este vídeo vamos a ver el problema que está más relacionado con la física teórica: la existencia de Yang-Mills y el salto de masa.

Entenderemos qué es todo lo que de pide demostrar para ganar un millón de dolares, y cómo todo ello está relacionado con la relatividad, mecánica cuántica, y la mínima energía que una partícula debe tener para poder existir. Vamos a verlo. M^2 Este vídeo ha sido posible gracias a la ayuda de Helen, Lucas y Avelino.

Sin ellos no habría tenido ni idea de por donde empezar a divulgar esto, así que muchísimas gracias. Hoy vamos a hablar de uno de los Problemas del Milenio que toca muchas cosas de física teórica: la Existencia de Yang-Mills y el salto de masa. Y vamos directos, vamos a leerlo tal cuál lo anunciaron.

Este dice: “Demostrar que, para cualquier grupo compacto simple de Gauge G, existe una teoría cuántica de Yang-Mills no trivial en R^4 y que tiene un salto de masa. La existencia implica establecer propiedades axiomáticas al menos tan fuertes como aquellas citadas en Streater & Wightman (1964), Osterwalder & Schrarder (1973 y 1975). ” Al igual que yo la primera vez que lo leí, supongo que no habréis entendido prácticamente nada de lo que acabo de decir.

Y es normal, es física-matemática avanzada, así que no os preocupéis. Si queréis algo muy muy resumido. El problema te pide que crees una cierta teoría física que prediga que hay un salto de masa en sus partículas.

Esto es, que la energía no es continua. Hay un salto desde el primer nivel de energía, la del vacío, al siguiente nivel posible. Esto es, el salto de masa, ya que energía y masa en esencia son lo mismo.

Podría haber una especie de partícula “más liviana” en cada teoría de este estilo. Resolver esto de forma rigurosa matemáticamente hablando es resolver uno de los problemas del milenio. Pero oye, aquí en este canal queremos algo de detalle, así que vamos a desglosar poco a poco qué es lo que significa cada una de las cosas que dice el problema del milenio.

Lo primero y casi que más importante, se habla de una teoría cuántica de Yang-Mills, así que ¿qué significa esto? Para responder a esta pregunta, quizás sea bueno señalar que uno de los varios objetivos de la física teórica es explicar las interacciones fundamentales. Estás son 4.

La fuerza electromagnética, aquella que explica la interacción de las partículas con carga eléctrica. Por ejemplo, la repulsión entre electrones. La fuerza nuclear débil, que explica cosas como la radioactividad.

La fuerza nuclear fuerte, que explica cómo están formadas, entre otras cosas, las partículas del núcleo de los átomos. Estas son, protones y neutrones, formados por partículas más pequeñas llamadas quarks. Y por último, la gravedad.

Pero eso sí, queremos explicarlas, pero bajo el marco teórico de la relatividad especial y la mecánica cuántica. Combinadas. La gravedad, de momento, la dejamos, porque va por otro lado.

No la acabamos de entender muy bien. De hecho, es uno de los huesos más duros de roer en física, y uno de los problemas más importantes de toda la física fundamental. Vale, entonces, ¿cómo describimos estas fuerzas fundamentales combinando relatividad y cuántica?

Primero, un poquito de historia. Seguro que a mucha gente le suena la Ecuación de Schrödinger, que es esta de aquí. Esta describe el movimiento de partículas subatómicas, esto es, mecánica cuántica, pero… sin incluir la relatividad.

Aquí os habrán explicado muchas veces la analogía del gato de Schrödinger, una gata que está viva y muerta a la vez, con la misma probabilidad. Es decir, el estado de la gata es la suma de dos estados posibles. Algo similar les ocurre a las soluciones de esta ecuación: miden “probabilidades” con complejos.

Por ejemplo, nos puede servir para decir cómo de probable es que un electrón esté en determinada zona del espacio. A grandes rasgos, interpretamos tiene varios estados posibles a la vez, puede estar en diferentes puntos del espacio con distinta probabilidad. Justo como le pasaba a la gata.

Okay, pero como he dicho, esto no incluye la relatividad especial de Einstein. Pero hay algunas ecuaciones que sí la combinan con la física cuántica. Por ejemplo, está la ecuación de Dirac que describe una partícula libre de spin ½, como el electrón.

O la ecuación de Klein-Gordon: que describe una partícula libre de spin 0, como el bosón de Higgs. Aunque estas ecuaciones funcionan increíblemente bien en algunos contextos, la realidad es que tienen algunos problemas. Por ejemplo, no se pueden definir densidades de probabilidad como en Schrödinger, lo que limita de alguna manera su interpretación cuántica.

Hay que cambiar el chip y tratar de enfocar todo de otra forma. Y esto parece conseguirse con la teoría cuántica de campos. La idea es que todo está descrito por campos que inundan el espacio-tiempo, y se construyen de la siguiente forma.

Lo veremos en un plano bidimensional para simplificar, aunque como aclararemos después, en realidad todo se mueve en cuatro dimensiones. La idea es que a cada punto del espacio tiempo se le puede asignar un valor. Por ejemplo, y siendo muy poco rigurosos, estos valores podrían representar la probabilidad de encontrar a una determinada partícula en dicha región, como en la ecuación de Schrödinger.

Pero no solo podemos asignar valores a cada punto del espacio tiempo, sino también vectores, como en el caso del campo electromagnético, o incluso también otro tipo de objetos matemáticos. Esto es lo que es un campo, y por supuesto, también puede variar con el tiempo. Además, imponemos que éstos respeten las simetrías que se satisfacen en la relatividad especial de Einstein, pero no entraremos en muchos detalles.

De esta forma, conseguimos que los campos sean relativistas en el sentido especial. La idea en sí es que ahora estos campos describen básicamente la física que ocurre en tu sistema. Por ejemplo, excitaciones y/o fluctuaciones del campo del electrón podrían interpretarse como electrones, como partículas.

O también, otros campos median la interacción entre partículas, como podría ser el campo de fotones mediando la interacción electromagnética de los electrones. Esto se visualiza perfectamente con los diagramas de Feynmann. Los fotones median la interacción entre electrones.

Pero estos campos todavía no son cuánticos. Y es que en realidad queda una componente por añadir. Al igual que pasaba con el estado de las partículas en cuántica, que pueden tener varias velocidades o posiciones al mismo tiempo, a un campo cuántico le permitiremos adoptar varias configuraciones, varias posibilidades de evolución, con mayor o menor probabilidad.

De esta forma, tenemos algo parecido al gato de Schrödinger, que se componía de dos estados a la vez. Los campos cuánticos funcionan de forma parecida, solo que ahora se están dando infinitas posibilidades a la vez. Todas ellas combinadas, son el campo cuántico.

Además, estos campos suelen estar descritos con Lagrangianos, que son una especie de funciones que te permiten obtener cosas como leyes de conservación de tu sistema físico, la evolución temporal de tus partículas, etc. Por ejemplo, este lagrangiano describe la evolución libre de un electrón en un espacio-tiempo plano. A partir de este, y simplificando mucho, podríamos ver cómo se mueve un electrón por el espacio sin ninguna interacción.

Pero volviendo al problema del milenio, en ningún momento dice nada de un campo cuántico ahí. Así que os preguntaréis, ¿para qué tremenda chapa, Mike? Pues tiene todo el sentido del mundo, porque en realidad, una teoría de Yang-Mills, es una teoría cuántica de campos, una de las varias que hay.

Los campos de Yang-Mills son campos cuánticos con algunas propiedades adicionales. Aquí se conectan de forma muy bonita las mates y la física: la teoría cuántica de campos y grupos. Vamos a verlo.

Para entender la idea de qué es un campo de Yang-Mills, quizás primero es mejor entenderlo a través de un ejemplo. Pensad en el lagrangiano de antes que describe un electrón libre. Es esta expresión de aquí.

¿Qué pasa si en vez de poner este psi, ponemos ese psi multiplicado por esto? Pues haciendo algunos cálculos simples con variable compleja en los que no nos vamos a detener, se ve que el lagrangiano se queda totalmente igual, no cambia. Tener esta propiedad es lo que se conoce como una simetría del lagrangiano.

Y en particular, en este caso, esta simetría es básicamente multiplicar por e^{i\theta}, que es un número complejo de norma 1. Básicamente es cambiar la fase de los números complejos. Pues resulta que los puntos del plano complejo que tienen norma 1 son precisamente una circunferencia.

Si te escoges un punto de esta circunferencia, y multiplicas tus estados por este, toda la física involucrada se queda exactamente igual. Esto lo podemos hacer con cualquier theta, así que tenemos infinitas simetrías, que podemos agrupar en un mismo conjunto. Y este conjunto, junto a la operación multiplicación forma un grupo que se llama el grupo unitario, el U(1).

Los grupos son una estructura algebraica muy importante en matemática, y básicamente son un conjunto, dotado de una operación, que cumple determinadas propiedades. Pero como veis, también juegan un papel crucial en física. La idea es que usamos los grupos para codificar las simetrías de los lagrangianos, y en este caso en particular el del electromagnetismo.

Además, gracias a nuestra maravillosa Noether, estas simetrías son súper importantes, puesto que de ellas se pueden sacar leyes de conservación, gracias a su Teorema. En este caso, se conserva la carga eléctrica. En general, podemos hacer esto con muchos lagrangianos, codificar sus simetrías en forma de Grupos.

Pero, ahora bien, en este caso en particular es una simetría global, ya que cambias todos y cada uno de los estados del lagrangiano de la misma forma. Hemos visto que las simetrías vienen descritas por el grupo U(1). Cambias los estados multiplicados por un elemento de este grupo, y la física se queda igual, genial.

Esto era una simetría a nivel global. Los campos de Yang-Mills tratan de generalizar estas simetrías. ¿Qué pasaría si en vez de cambiar todos nuestros estadps de la misma forma, cambiásemos solo un poco en algunas partes del espacio?

¿O si cambiásemos diferente en diferentes puntos del espacio? Esto es lo que hicieron Yang y Mills en los años 50, para cada punto del espacio-tiempo, definir una simetría allí, de forma localizada. Es lo que se conoce como una simetría de gauge local.

Y sí, puede ser diferente en cada punto del espacio tiempo. Por supuesto, esto tiene muchísima más matemática detrás, así que os recomiendo un vídeo del instituto de física teórica por si queréis profundizar. Pero bueno, or ejemplo, en el caso del electromagnetismo, habíamos dicho que se podía rotar `todos los estados a la vez sin alterar el lagrangiano.

Con el theta que quieras. ¿Pero qué pasa si lo hacemos localmente? ¿Y si hacemos que esta rotación theta dependa de la posición en el espacio tiempo en la que estés?

Pues entonces el lagrangiano ya no se queda igual, pero sí se puede modificar ligeramente éste para que haya simetría. Ahora puedes aplicar una rotación diferente en cada uno de los puntos del espacio-tiempo y que la física se quede igual. De hecho, y esto es una cosa muy chula, el forzar a que tu lagrangiano tenga esta simetría local, añade un término adicional, que representa cómo los fotones intervienen en la interacción electromagnética de los electrones.

Básicamente, se necesita que exista el campo cuántico de los fotones para garantizar esta simetría local. Era lo que os comentaba antes con el diagrama de Feynmann, los fotones median la interacción electromagnética. https://www.

youtube. com/watch? v=Jk_GynMvHvQ&ab_channel=InstitutodeF%C3%ADsicaTe%C3%B3ricaIFT Bueno, volviendo al tema.

Como hemos dicho, lo que hicieron Yang y Mills en la década de los 50 fue generalizar todo esto de las simetrías locales a teorías más generales. Obviamente el formalismo es demasiado complicado para un vídeo. Pero quedaos con que un campo de Yang-Mills es un campo cuántico cuyo lagrangiano tiene una simetría local de gauge con algún grupo G.

Esto es lo que es un campo cuántico de Yang-Mills, uno con simetrías locales. Así pues, después de todo esto, ya hemos visto qué es una teoría de Yang-Mills. Así que volvamos al problema del milenio.

Veamos qué dice en su primera parte. Este te pide que dado un grupo G compacto simple y no trivial, demostrar que existe una teoría de Yang-Mills no trivial asociada a G en R^4. R^4 es debido a que trabajamos en el espacio-tiempo.

El espacio tiene 3 dimensiones, más 1 extra del tiempo, forman 4. Es decir, R^4. No trivial significa que no te construyas un lagrangiano simplemente igual a 0, porque ese tiene todas las simetrías posibles, xd.

En caso de no haber añadido este trivial, alguien podría haber obtenido 1 millón de dólares con una tontería xd. Sobre el concepto de grupo compacto, simplemente diremos que son grupos “lo suficientemente buenos” para no alargar más el vídeo. Os dejo un link en la descripción donde se profundiza más sobre ellos.

Así pues, ya podemos entender la primera parte del problema. Éste te pide que, si tienes un grupo bueno G, te crees una teoría de Yang-Mills que tenga por simetría local gauge este grupo. Justo lo que hemos visto, pero empezando por el grupo G.

Y te pide que lo axiomatices bajo ciertas condiciones, que lo hagas de forma totalmente rigurosa matemáticamente. Eso es lo que falla actualmente, una teoría rigurosamente fundamentada. Esta es la primera parte del problema del milenio.

Y antes de seguir con la segunda parte del problema, aquella relacionada con el salto de masa, una pregunta. ¿Por qué son importantes estos campos de Yang-Mills? ¿Por qué hay un problema del milenio sobre ella?

Pues una de las razones podría ser porque se ha observado que algunas de las interacciones fundamentales tienen simetrías locales asociadas a ciertos grupos. Por ejemplo, en la fuerza electromagnética, como os he dicho, tenemos simetría U(1). A partir de este grupo y utilizando la teoría de Yang-Mills te construyes las ecuaciones del electromagnetismo.

La fuerza débil se puede combinar con la electromagnética a altas energías. Y de nuevo me saltaré algunos detalles, pero con un determinado grupo G=U(1) x SU(2) y construyendo su campo de Yang-Mills, nos permite explicar bien la fuerza electrodébil, la combinación de ambas. Aquí U(1) es el grupo unitario del que os había hablado antes, y también tenemos SU(2), el grupo unitario especial, que son las matrices complejas unitarias de tamaño 2x2 con determinante 1.

Todo esto se entiende guay desde los 70. Para explicar la fuerza nuclear fuerte, sabemos que el núcleo de los átomos está formado por protones y neutrones. Estos, a su vez, están formados por quarks.

Y estos quarks pueden tener 3 cargas diferentes, lo que se llama color: rojo verde azul. Para este caso necesitamos el grupo SU(3) las matrices complejas UNITARIAS de tamaño 3x3 con determinante igual a 1. La razón por la que se usa este grupo aquí es, entre otras cosas, porque hay tres colores.

3 cargas diferentes. Por eso necesitamos matrices 3 x 3. Aplicando teoría de Yang-Mills a SU(3), se obtiene la cromodinámica cuántica, que describe bien la fuerza nuclear fuerte.

Esta fuerza está mediada por los gluones, que son los bosones de esta fuerza correspondiente, y hay 8, precisamente porque 8 es la dimensión del grupo SU(3). Como veis, todo está conectado. (poner diagramas) De hecho, el modelo estándar que tenemos hoy en día, las partículas que hay, básicamente, es una teoría cuántica de campos.

Y tiene simetría U(1) x SU(2) x SU(3), para agrupar todas las interacciones que conocemos. Eso sí, probablemente no sea una teoría definitiva. Nada te dice que dentro de 100 años se descubran otras interacciones fundamentales con otras simetrías y haya que reajustarlo.

Por eso el problema del milenio no trata solamente de los grupos que hemos visto, sino que te pide que lo demuestres para un grupo G general. De esta forma, venga lo que venga, ya lo tendremos resuelto. Como veis, las teorías de Yang-Mills resultan de gran interés en física.

Nos ayudan a comprender algunas de las interacciones fundamentales del universo. Por eso es un problema del milenio. Pero todavía queda la segunda parte del problema.

¿Qué es eso del salto de masa? Por la naturaleza cuántica de la materia, observaciones y simulaciones indican que hay una brecha entre la energía del vacío, que es la más pequeña, y el siguiente nivel de energía posible cuando hablamos de quarks y gluones. Es decir, las partículas necesitan una energía o masa mínima para poder existir, no puede ser tan pequeña como queramos.

Esto es lo que se conoce como el salto de masa, y es aceptado como algo comprobado en física. Es decir, si la energía del vacío es 0 por definición, el salto de masa indica la masa de la partícula más “liviana” después del vacío. Esto es, la masa es discreta, no es continua, como sí ocurre en el caso clásico.

Hay un salto de masa. Esta “partícula” de masa mínima podría ser un estado ligado de gluones (“glueball”) con carga de color neta nula. Y aquí es donde entra de nuevo el problema del milenio.

Esto se ha comprobado experimentalmente, pero es algo que no se ha demostrado matemáticamente que se siga de la teoría. Es por eso que el problema del milenio pide que, después de axiomatizar la teoría, demuestres matemáticamente que dicho salto de masa es precedido por la teoría. ¿Y esto cómo se hace?

Si tienes un lagrangiano que describa tu teoría, puedes obtener fácilmente el hamiltoniano, que es otro operador que describe la energía de los estados posibles. Como hemos visto antes, la energía del vacío es 0, así que es fácil ver que el hamiltoniano aplicado al vacío es 0. Ahora bien, hay un objeto matemática llamado espectro que te dice exactamente cuáles son las energías posibles, a parte de la del vacío.

No entraremos en muchos detalles, porque ya es algo avanzado. Pero si consigues demostrar, que el espectro del operador energía de la teoría de Yang-Mills que has construido, está incluido en un intervalo estrictamente positivo, ahí tendrías tu salto de masa. ¿Por qué?

Porque no habría estados posibles con energía muy cerca de 0. Se necesitaría al menos una masa o energía delta, que es mayor que 0, para poder ser diferente al vacío. Como veis, esto ya no es física, son matemáticas puras.

El hecho de que realices una demostración para cualquier grupo posible G es una cosa puramente matemática. Después se podrá utilizar en física para demostrar la existencia de la teoría en caso de que probemos con otros grupos de simetría diferentes. Imaginad si dentro de 100 años descubrimos otra nueva interacción fundamental, el problema podría estar resuelto ya de partida de forma matemática.

Es por eso que este problema está en la lista de los siete problemas del milenio. Y hasta aquí llega el vídeo de hoy. Solo queda un problema del milenio por tratar, así que si queréis que lo traiga pronto, dadle mucho amor a este vídeo y hacédmelo saber en los comentarios.

De nuevo, agradecer a Lucas, Helen y Avelino por su ayuda. Tenéis sus redes por aquí. Y nada más, como siempre, muchas gracias por llegar hasta aquí.