Geometria plana (ENEM) - Aula 1: Introdução - Ângulos

e fala pessoal sejam bem-vindos ao canal Fique tranquilo e eu sou professor Bruno nessa aula de hoje nós vamos começar o nosso estudo de geometria plana tá é a nossa primeira aula aí sobre geometria plana Se você não for inscrito no canal e tiver interesse em mais aulas como essa Aproveita e se inscreva no canal para você receber as próximas aulas são sem mais enrolação vamos começar aula de hoje beleza pessoal nós vamos começar o estudo da geometria aqui no canal tá e nós vamos começar aí pela geometria plana você sabe em que a geometria

é dividida basicamente em geometria plana geometria espacial geometria analítica tá estamos começando hoje o estudo da geometria plana e aí nessa primeira aula nós vamos fazer a introdução e basicamente na introdução à geometria plano nós vamos conversar sobre ângulos o e sobre retas E aí e com basicamente aí nas nossas primeiras aulas vamos Recordar os conceitos de ângulos e os conceitos de retas beleza é Lan geometria a gente tem diversas definições que dão origens a conceitos propriedades lá mas existem três frentes três elementos que não possuem definição que são conhecidos como noções primitivas que são

os conceitos de ponto reta e plano Vou colocar aqui para nós a tal. Reta e plano são conceitos primitivos que que é isso a gente não tem uma definição formal para ponto reta e plano tá a gente meio que aceita por intuição pela experiência do nosso dia a dia tá é que tá um ponto que que a gente entende por ponto né um ponto é um ente de dimensões desprezíveis tá aqui na matemática a gente vai representar pontos por letras maiúsculas tá por exemplo Imagina aí você com seu caderno aí quando você faz uma marca

com a caneta no seu papel isso da ideia de ponto um grão de areia da ideia de ponto tá então esse é o nosso primeiro link é uma noção primitiva tá é interessante saber do ponto que ele tem dimensões desprezíveis a gente não tem um raio aqui tá não tem bom e que por um ponto vão passar infinitas retas tá a gente vai falar disso mais para frente mas já interessante sair lembrando isso bacana o segundo elemento é a reta e aqui o desenho de uma reta a gente vai representar retas com letras minúsculas tá

Oi e a interessante você lembrar que a reta é um conjunto de infinitos pontos tá infinitos pontos alinhados vão formar o que a gente chama de reta tá é a reta ela não tem começo nem fim ela continua infinitamente tanto para lá quanto para cá e nós vamos fazer uma observação Zinho é isso é uma reta né Vou colocar aqui para nós e ela não tem nem começo nem fim agora existe também a semi-reta por exemplo eu representei aqui uma semi-reta ela tem origem nesse ponto e continua para a direita ela continua infinitamente filho a

direita tá ou seja semirreta ela tem começo mas ela não tem fim existe também o segmento de reta eu representei para nós aqui no segmento de reta ele começa nesse ponto e termina nesse tá ou seja o segmento de reta tem começo e tem fim bacana e o terceiro é mental plano bacana fiz um desenho aqui para representar o nosso plano tá os planos nós vamos nos referir a eles com letras gregas por exemplo estou chamando ele de Alpha tá é esse paralelogramo tá representa no meu plano Mas é interessante que você entenda esse plano

se estende em todas as direções ele vai enfim lentamente para a direita infinitamente para esquerda para baixo e para cima tá é e dentro do Plano A gente tem infinitas retas ah e também tem infinitos pontos tá a falar a gente do esses três frentes esses três elementos vão constituir todas geometria tá vaca agora o segundo tópico a gente precisa conversar de ângulo o que que seria o angu o gente repara que o desenho que eu fiz o ó essa região aqui e Vai representar o meu ângulo ó eu vou chamar aqui de Alfa e

como é que a gente pode definir isso não Vamos definir assim ó quê que é isso aqui ó lembra aqui é uma semi-reta né então tem uma semi-reta aqui tem outra semi reta aqui então o ângulo é a região formada por duas semi-retas que têm a mesma origem Vou definir aqui para vocês e fala ó coloquei para nós ó ó é a região formada por duas semirretas de mesma origem aí eu chamei ele de Alpha mas três votações são muito comuns tá e esse Alpha muitas vezes Nas questões é representado assim ó você pega aqui

esse ponto esse ponto e esse e vai para o Chapeuzinho é um do meio a OAB Oi e aí você põe o chapeuzinho aqui mas também poderia ser B oa e o poderia pegar só o do meio e colocar um chapeuzinho nele isso aí o chapéu bom Então essas são as votações mais comuns para representar o meu ângulo tá agora deixa eu te apresentar alguns nomes esse ponto aqui origem da semi retas é o nosso vértice o e os lados a lição olá olá eu e o be o bacana Aí eu preciso revisar com vocês

as classificações mais importantes tá o quê que é um ângulo um ângulo nulo é um ângulo de 0° tá aí como eu chamei o ângulo aqui de Alpha eu vou sempre representar com o alfa tá ângulo nulo é aquele ângulo de 0° tem que é um ângulo agudo ângulo agudo é aquele que está entre 0 e 90 e tal representei para nós no ângulo agudo é aquele que está em 30 graus e 90 graus o ângulo reto é um ângulo que a gente usa muito tá é o ângulo de 90 graus fique ligado em ângulo

reto tá Principalmente quando a gente falar de triângulo triângulo retângulo né a gente tá sempre usando ângulo reto e a representação vida é assim ó é um quadradinho com uma bolinha tá isso aqui representa o ângulo reto o ângulo de 90 graus o bacana Aí tem um ângulo obtuso é o ângulo obtuso é aquele entre 90 e 180 a falar e temos um ângulo raso ângulo razão de 180 graus a beleza pessoal e agora é eu preciso apresentar dois conceitos muito importantes que vão aparecer muito nas questões o primeiro conceito é o conceito de ângulos

complementares e o segundo é o conceito de ângulo suplementar O que são ângulos complementares são dois ângulos que somados dão 90 graus eu representei aqui para nós só ângulos complementares são dois ângulos tá não pode ser mais de dois não são dois ângulos que somados não 90 graus de ângulos suplementares são dois ângulos que somados dão 180 graus E aí é bacana tem uma 7 Zinho para te ajudar para não confundir os dois tá o s quando você fecha aqui ele te lembra 18 e esse oito te lembra 180 tá então fica aqui a dica

Oeste lembro 188 te lembra 180 Agora eu preciso fazer um treinamento com você está imagina o seguinte eu vou te falar alguns ângulos e você vai pensar quem que eu complemento e quem que é um suplemento tá para ficar mais de idade que eu vou escrever aqui na logo hoje a gente imagina o ângulo de 30° com quem que eu compro elemento dele que um ângulo é 30 Quem que é o outro para dar 90 é 60 não é então o complemento é 60 que que você teve que fazer você pegou 90 - 30 deu

60 bacana e quem é um suplemento de 30 Poxa si um ângulo é 30 quem que eu ponho aqui que dá 180 é é só se eu fazer 180 - 30 né é o 150 O Bacana faço é vão pensar em outro ângulo agora e vão pensar no ângulo agora de 75° e o gente sumiu ângulo é de 75 quem que eu complemento dele que que você faz 90 - 75 tá 15 né a vaca e quem que é um suplemento dele que que você faz 180 - 75 da 105 a beleza com números é

de boa né só que na hora do exercício muitas vezes a gente não vai saber o ângulo Então a gente vai chamar o ângulo de x E aí eu te pergunto quem que eu compro elemento do X a gente quando eu fiz com números eu queria te treinar o seguinte para você achar o complemento de um ângulo é só pegar 90 - um ângulo então complemento de um ângulo que você chama de fiz vai ser 90 - x é bacana e um suplemento o suplemento de um ângulo que você chamou de X vai ser 180

o meu X Ah beleza então não esqueça disso na hora dos exercícios nós vamos usar muito e seus aqui tá quê lá na hora da questão a gente não vai saber o ângulo vai chamar de x e aí você vai precisar do complemento e provavelmente também do suplemento tá bom beleza pessoal agora vamos ao conceito de ângulos opostos pelo vértice o famoso a PV é quando que a gente tem ângulos opostos pelo vértice Quando a gente tiver retas concorrentes retas que se cruzam Vou definir aqui para nós o canal quando a gente tem duas retas

concorrentes elas vão formar dois pares de ângulos opostos pelo vértice com desenhar para nós aqui bacana pessoal duas retas concorrentes são retas que se cruzam tá aí repara esse ângulo Que Eu Estou colorindo de azul Oi e esse outro angu e eu vou dizer que esse de carro é Alpha E que esse de cá e Beto a gente sempre que os ângulos forem opostos pelo vértice A medida deles vai ser igual eles vão ser congruentes ou seja o alfa é igual ao Beta tal a gente disse que eles são congruentes da mesma maneira esse aonde

que eu tô com o dedo é igual a esse disco tá bom aí eu quero chamar atenção de um detalhe quando a gente estuda a semelhança de triângulos é muito comum desenhos como esse daqui ó ó G1 E aí tem muito aluno que acha que esse ângulo É oposto pelo vértice nesse a gente não é não porque se vocês repararem aqui ó a gente tem três retos se cruzando Olha a uma aqui embaixo outro aqui e outra aí tô aqui no se formam ângulos opostos pelo vértice não para tem alguns opostos pelo vértice tem que

ser apenas duas retas duas retas concorrentes tá bom Aqui a gente tem mais de duas retas Então esse ângulo né oposto pelo vértice conheceram beleza toma cuidado bacana agora o conceito de bissetriz que que vai ser a bissetriz era uma semi-reta que vai dividir o ângulo em dois ângulos congruentes Então imagina que a gente tem um ângulo aqui aí a bissetriz é uma semi-reta o que dividir o ângulo em dois ângulos congruentes esse vai ser congruente desse ou seja eles têm a mesma medida Vou definir aí para nós então é uma semi-reta que dividir o

ângulo em dois ângulos congruentes em geometria quando a gente põe esse tracinho aqui ó quer dizer que os ângulos têm a mesma medida São congruentes tá bom essa retinho preto é a nossa bissetriz é O Bacana o pessoal e agora eu queria conversar com vocês um pouquinho sobre as unidades de medidas de ângulos que a gente mais usa que são o grau e o radiano Tá então vamos começar a falar um pouquinho do grau por gente o grau é representado como uma bolinha né Você sabe por exemplo a gente diz 90 graus a gente foi

um 90 com essa bolinha né E aí é interessante que você saiba as conversões porque a gente tem o grau tem um minuto e sem o segundo se você quiser transformar degrau para minuto você multiplica por 60 se você quiser transformar de minuto para segundo você multiplica por seu centro é o inverso ao invés de multiplicar você vai dividir diminuto para grau se divide por 60 bom e de segundo para minuto se divide por 60 e qual é a professora Quero passar direto de grau para segundo posso pode coxa aqui sendo multiplicou por 60 uma

vez e depois multiplicou por 60 de novo 60 vezes 60 da 3600 então você pode multiplicar direto por 3 mil e seiscentos e se você quiser passar de segundo para grau e você vai dividir por 3600 Carol beleza só frisando o símbolo de grau é uma bolinha o diminuto é um tracinho de segundo são dois tracinhos e agora eu vou te mostrar algumas operações que a gente faz com a unidade grau tá último mostrar soma subtração multiplicação e divisão então vamos começar aqui com a soma eu tenho que um ângulo ao 16° 38 minutos e

50 segundos e quero somar com esse outro 20° 40 minutos e 20 segundos põe o embaixo do outro a beleza o pessoal aí a gente vai fazer a soma como se fosse operação normal com números eu vou começar aqui da direita para a esquerda 50 com 20 vai dar 70 a 38 com 40 vai dar 78 a 16 convite vai dar 36 aí sempre que passar de 60 a gente vai jogar para casa do lado então tá vendo esse 70 segundos 70 segundos e é 60 segundos mais 10 segundos é só que 60 segundos é

um minuto então eu vou transformar os 60 que tá sobrando aqui para casa do lado então vai ficar sem uma 36° as se adicionam aqui vai ficar 79 minutos e 10 segundos a beleza agora nós vamos fazer a mesma coisa com os minutos esse 79 minutos são 60 minutos mais 19 minutos Porém esse 60 minutos equivale a um grau né então eu vou transformar aquele 61° jogar para casa do lado então vai ficar 37 graus aí vai sobrar aqui 19 minutos o e 10 segundos então repetindo e sempre que nos minutos e não segundos estiver

passando 60 nós vamos fazer conversão em jogar para casa do lado Beleza o gente agora uma subtração e olha só coloquei um número embaixo do outro e a gente começa aqui dos minutos só Que repara que a 40 - 45 não vai dar para a gente vai ter que pegar emprestado Então nós vamos pegar emprestado aqui ó 1° daqui aí ele vai chegar aqui como 60 minutos né bom então aqui ó quando eu tirar 1° daqui vão ficar 30 graus e ele vai entrar aqui como 60 minutos 1° 60 minutos né aí já tinha 40

com 60 vai ficar sem Oi e aí o de baixo é repete E aí agora você consegue subir trair sem menos 45 fica 55 i30 - 10 fica 20 o pai essa já é a nossa resposta a beleza pessoal letras e agora a gente tem uma multiplicação Eu tenho esse ângulo eu quero dobrar ele como é que a gente vai fazer isso você vai fazer a distributiva e esse dois a multiplicar o dela duas vezes 10° fica 20 graus as duas vezes 45 minutos 90 minutos duas vezes e 35 segundos 60 Segundos e agora você

lembra daquela ideia quando tiver passando de 60 a gente vai tirar e jogar para casa do lado né então vamos fazer de cabeça isso a gente tem 70 segundos tira 60 vão sobrar dessa é isso 60 que você tirou vem para casa do lado como um toque ficou 91 e aqui se repete a beleza agora vamos fazer com os minutos repete o segundos tira 60 Aqui quanto que vai sobrar 31 e esse 60 que você tirou vem para cá como não tinha 20 mais um ficou 21 Então tá aí 21° 31 minutos e 10 segundos

é bacana e agora a gente chega para fazer a divisão o gente olha a divisão que a gente tem que fazer 31° 33 minutos 45 segundos por três quando você tentar dividir o 31° por três não vai dar exato então quê que eu vou fazer eu vou tirar 1° daqui e já vou jogar para casa do lado então vai ficar assim ó tira 1° dali vai ficar 30 graus e as 1° quando ele vier para casa dos minutos se multiplique com ele por 60 então ele vai como 60 minutos já tinha 33 com mais 60

ficou 93 Oi e o 45 se repete O Bacana agora vai dar para dividir ó a 30 graus / 3 vai dar 10 graus o 93 minutos dividido por 3 vai dar 31 minutos há 45 segundos / 3 vai dar 15 segundos e fala um para encerrarmos eu gostaria de falar também um pouquinho sobre irradiando tá é o radiano ele é uma unidade de medida de ângulo muito utilizada na trigonometria aqui na geometria da maior parte das questões a gente vai trabalhar com grau tá então o mais importante para nós aqui é o lugar do

radiano nesse momento eu só quero que você saiba conversão para grau Então isso que parece quadrinho que é a conversão e quando você quiser transformar um ângulo que tá em graus para radiano você vai usar essa ideia aí ó 180 graus é pi radianos por exemplo mostra um pouco você tem um ângulo de 30° e você quer saber quanto que ele é em radianos e você pode simplesmente fazer uma regrinha de três você põe lá 180 graus é pi radianos 30° é x tá aí se a simplifica o 181 30 Dá para dividir por 30

né aqui vai ficar seis aqui vai ficar um aí quando você multiplicar cruzado ó o X6 6 x é um vezes pdapp aí você joga o seis dividindo o x vai dar pi sobre 6 radianos bom então acabo de fazer a conversão tá bom se quiser conferir a gente sabe que o Pia 180 não 180 dividido por 6 da 30 era o seu ângulo em graus Bacana Então de irradiando nesse momento aqui para geometria eu preciso só que você saiba converter de graus para radianos beleza pessoal então chegamos ao final dessa aula nós fizemos a

introdução à geometria e conversamos principalmente sobre ângulos eu recordei com vocês alguns conceitos importantes para que vocês tenham gostado se tiver gostado deixa para mim o like e se inscreva no canal não mais até a próxima aula tchau tchau