Cálculo IV - Aula 1 - Sequências Numéricas I - Parte 1 de 4

p [Música] meu e-mail tá aí já à disposição de vocês sintam-se à vontade para escrever o que vocês quiserem quando precisarem bom então vamos começar eh esse nosso estudo o tema central que vai nos ocupar nas próximas aulas é o tema de sequências e séries bem mais para frente nós vamos estudar um pouquinho de equações diferenciais são duas partes mas durante um mês e meio dois nós vamos ficar falando de sequências e Setes essa parte do cálculo ela tá lá no no início do cálculo eu vou dar alguns exemplos cálculo foi criado acho que vocês

ten um pouco noção disso é é uma teoria do século X passagem pro 18i Newton um dos grandes nomes e o leines que fizeram de forma independente Newton tinha um olhar mais quase que físico tava muito preocupado com mecânica Lib tinha um olhar mais geométrico tava mais preocupado com a estudo de geometria o cálculo vem num contexto mais geométrico e na parte de sequências de séries um nome importantíssimo é o nome do eiler que é um pouquinho posterior aí é século XV mesmo e eles trabalharam de forma muito livre com sequências e séries eu vou

dar alguns exemplos do que que eles faziam e Houve um momento em que se criou quase que uma crise de falta de Rigor e isso levou no século X a um movimento de depurar o cálculo e deixá-lo rigoroso como vocês estudam o cálculo um com a noção de limite com a noção de função com todo aquele Rigor ele é posterior ao que foi no no início Logo no início do cálculo havia uma identidade se escrevia de forma Quase que como sinônimo a ideia de uma função e a ideia da sua representação por sede que que

é a representação por série Vocês já viram nos cálculos anteriores a ideia de polinômio de Taylor então vocês não ficam surpresos quando nós escrevemos que via as técnicas do cálculo um a gente escreve o polinômio de Taylor de uma função por exemplo a função exponencial é aproximadamente igual a um polinômio Esse é o polinômio de Taylor de ordem n da função exponencial você obtém fazendo derivações sucessivas tem toda uma teoria né que permite dizer com que grau de precisão este polinômio aproxima essa função é possível medir o erro quando você quer calcular com a exponencial

e você calcula com o polinômio Qual é o tamanho do erro que tá sendo cometido a diferença entre o valor exato e O Valor estimado tudo isso funciona direitinho série não é o polinômio o polinômio de Taylor ele permite que eu fale a seguinte frase abre aspas o polinômio de Taylor é aproximadamente igual à função ele dá um valor aproximado da função fecha aspas a série A ideia é escrever um igual no lugar do aproximado Mas para ser igual bom a exponencial não é polinômio para ser um igual é preciso fazer uma alguma coisa adicional

e essa coisa adicional é fazer a somatória que tá aqui na frente ficar uma somatória infinita então quando a gente escreve a série de Taylor isso nós vamos estudar mais PR frente adiantando Como que começou né com essa teoria a série de Taylor A ideia é escrever que a função exponencial é exatamente igual esta [Aplausos] soma ências é uma soma infinita E aí ficou igual então o nosso primeiro passo vai ser conceitual que que é essa soma infinita que vai ter vai entrar uma ideia aqui que é uma ideia importantíssima com a qual vocês já

trabalharam ideia de limite a soma finita é uma soma de uma quantidade finita de Passos você soma soma soma e uma hora você para de somar porque é uma quantidade finita de somos terminou a soma a soma infinita você ex Infinit operações de Adi a soma infinita é uma Ide de limite que vocês já estudaram a gente vai introduzir para esse contexto que isso é que vale a pena pensar em sée ao invés de pensar em polinmio de tor obsa o seguinte você conhece aquela fórmula de soma de srie PG no você p aprendeu no

colegial que 1 + x + x qu + X3 etc + x a n Isso é uma PG infinita em que o primeiro termo é a1 e que a razão é x e portanto tem uma fórmula que diz que isso é igual lembram dessa dessa forma a 1 sobre 1 menos a razão portanto para esse nosso exemplo ficaria 1 sobre 1 - x a razão aqui é x E isso converge se módulo de x é menor do que 1 lembram disso acontece que se você começar a escrever fórmulas deste tipo vou escrever mais uma 1

- x + X2 - X3 + X4 Men pela nossa fórmula de PG isso dá quanto 1 so 1 + x concorda então a ideia de estudar séries é poder escrever essas igualdades desenvolver uma teoria que me diga o que que é válido e o que que não é válido nessa nesse contexto e pergunta Será que se eu tenho essa igualdade Será que eu posso dos dois lados Será que eu posso integrar dos dois lados quando você tem uma igualdade entre duas coisas você pode derivar dos dois lados você pode integrar dos dois lados e

qualquer coisa que eu não posso fazer se eu tenho só um aproximado quando eu tô num contexto de uma coisa que não é igual é um pouco estranho eu querer integrar dos dois lados mas quando eu tenho um igual é o mesmo objeto então integro dos dois lados quando eu integro dos dois lados eu obtenho 1 Men x qu so 2 + x 3 so 3 - x 4 so 4 claro né integração de um polinômio é muito simples de fazer igual primitiva de 1 sobre 1+ x LN 1 x Poxa uma brincadeira em 5

minutos falando de uma motivação da aula acabei de escrever uma igualdade para logaritmo Será que tá certo será que eu Essas são as perguntas que nós vamos responder nas próximas aulas é uma operação legítima daquela primeira igualdade eu posso ter certeza que a segunda igualdade tá verdadeira em que condições que eu posso fazer isso escrever a igualdade que eu sei que é verdadeira por causa da série de potências por causa da série geométrica e passar paraas igualdade entre as primitivas isso sempre é verdade eu posso fazer tranquilamente vai dar certo sempre fala como é que

é Ah sim sim sim obrigado eh você também queria falar alguma coisa era a mesma coisa né sim sim sim tem engano aqui vamos corrigir Ainda bem que vocês estão atentos x Na verdade tem também uma outra coisa que vocês poderiam reclamar que tá faltando uma constante né quando a gente primitiva a priori tem uma constante que é a constante de integração mas se você colocar x = 0 você vai ver que dá zero em todos os termos aqui dá LN de 1 que é zero então então a constante é zero então fazendo x =

0 segue que a constante nesse caso também é Zero Certo bom e isso agora é é um ganho importante porque agora eu tenho uma fórmula para aproximar logaritmo que eu não tinha antes outro exemplo série geométrica isso dá aqui na razão já é - x qu né então aqui é 1 + x qu certo integrando dos dois lados aqui é uma fórmula primitiva de 1 sobre é X2 arente arcotangente mais uma constante a constante é zero quanto que dá arqu tangente 1 45 Se eu tiver trabalhando em graus mas quando a gente faz cálculo a

gente só trabalha em radianes é pi sobre 4 bom fazendo x = 1 eu obtenho uma fórmula para pi de novo as mesmas perguntas é lícito fazer isso ten uma igualdade que vem da série geométrica que eu tenho certeza que está certa eu faço um processo de integração que na verdade é uma pergunta é para isso que nós vamos desenvolver uma teoria ao longo dessas aulas nós vamos desenvolver uma teoria para responder se este igual de fato está correto e depois responder à pergunta se esse igual também está correto se de fato isso é uma

fórmula para achar pi resposta sim tá tudo correto isso aqui dá uma aproximação quer calcular pi você pode calcular assim bom quando começou o cálculo new eiler eles jogavam com isso o tempo inteiro isso para eles era o que era mais natural de fazer só que eu vou mostrar para vocês um ou dois exemplos de crises de caos de de coisas erradas E aí é para isso que a gente vai fazer a Teoria para saber quando é que a gente pode e quando é que a gente não pode fazer certas coisas por exemplo Houve um

momento eh no desenvolvimento do do cálcul que alguns matemáticos ficavam dúvida sobre o que fazer com isso aqui olha 1 - 1 + 1 - 1 quanto que vale já que nós vamos fazer somas infinitas Estamos fazendo somas infinitas estamos obtendo soma para pi Quanto que vale aquilo número de termos é infinito nem nem ímpar é uma soma infinita boa resposta então a soma o número de termos não é nem par nem ímpar porque ele não é finito se fosse finito não era série não tinha nenhuma dúvida você executava a soma com a quantidade de

termos que tem ali e terminou e é acabou Mas acontece que a soma não é finita resposta houve quem dissesse que era zero Porque você coloca de do em do se você colocar os [Música] parênteses isso dá zer cada par se cancela dentro de cada parênteses tem o zero a soma final é zer bom E se eu colocar parênteses assim Se eu colocar os parênteses desta forma deixa o primeiro um de fora Põe parênteses nos outros dois parênteses nos outros dois nos outros dois quanto é que dá soma aí parece que tá dando um porque

todos os parênteses se cancelam todos os parênteses somam zero e sobrou aquele primeiro um que eu deixei de fora que eu não coloquei dentro de nenhum parênteses então parece que a soma está dando um você brincou falando meio houve quem dissesse como de um jeito dá zero de outro jeito dá um vamos assumir que é meio aquela f e por causa dessa fórmula se você coloca nessa fórmula x = 1 bem observado coloca aqui x = 1 essa fórmula fornece me que que eu tô mostrando com esse exemplo que a ideia Inicial era muito bonitinha

de que a gente faz umas igualdades a partir de séries geométricas nós temos certeza que tá certo e a gente começa a integra de um lado integra do outro e começa a obter fórmulas Muito bonitinhas obtivemos uma fórmula interessante para pi sobre 4 fazendo o quê colocando x = a 1 na fórmula que a gente obteve mas eu não posso colocar x = 1 aqui nessa deu certo nessa deu esquisito porque deu meio para isso que a gente vai desenvolver uma teoria para saber quais operações quais passagens que são lícitas que não levam a erros

e quais que levam não há registro de que eiler Newton leibes tenham cometidos muitos erros manipulando essas fórmulas os seus discípulos sim eh foi o que veio a posteridade que começou a perceber que se sem uma teoria que diss claramente Onde é que estão os teoremas Onde é que estão as coisas válidas e as não válidas ficava difícil de manusear os criadores da teoria sabiam o que estavam fazendo tem um outro exemplo interessante e aí eu vou fazer só mais esse exemplo e daí a gente passa PR parte do um outro exemplo vem também de

série geométrica que é o seguinte você pega essa série aqui 1 + x+ X2 isso a gente sabe que dá 1 so 1 - x certo também é bem conhecido agora eu vou pegar a série geométrica ao invés de começar Opa soma infinita ao invés de começar com 1 e razão x eu vou pegar uma outra eu vou pegar que começa com 1 sobre x e razão também 1 sobre X é outra sée geométrica é outra PG começou com outro A1 tem outra razão o A1 agora é 1 so x e a razão também é

1 sobre x quanto que nós obtemos aqui 1 so x sobre 1 - 1 so x porque o primeiro termo a1 é 1 sobre X e a razão 1 sobre x também concordaram com a minha operação isso aqui eu consigo simplificar 1 sobre x somando as frações no denominador X no denominador X por 1 por 1 dá x -1 cancela esse x com esse x 1 sobre x - 1 certo estamos estão me acompanhando tá todo mundo me acompanhando ótimo Olha que bonitinho soma as duas Então a primeira e agora com a segunda 1 so

x 1 sobre X2 é a soma de 1 sobre 1 - x + 1 so x - 1 e vocês perceberam que o lado direito tá dando zero 1 e 1 1 - x e x - 1 São opostos então este termo e esse termo um é o oposto do outro cancelam-se zero é claro que isso tem um tem um paradoxo aí eu tenho uma soma infinita não tem nenhum sinal de menos naquela soma tem nada cancelando com nada tem uma soma infinita dando zero é claro a pergunta que surge é bom se eu colocar

um valor lá no lugar do X vai dar zero é claro que não vai dar zero Então tem alguma operação nessas passagens que eu fiz tem alguma operação ilícita alguma coisa que não pode ser feita E é disso que a gente vai discutir daqui paraa frente vocês perceberam onde é que tem o meu qual foi o erro que eu cometi nessa brincadeira alguém enxergou o erro não é não é assim não é uma uma coisa super difícil de ver mas também não é tão Óbvio tanto que vocês estão precisando pensar um pouquinho mais não veio

de vocês estão tendo que refletir por problema da Razão vendo ISO claro que vocês iam chegar na resposta o problema tá na razão a primeira igualdade Vale quando a razão é menor do que 1 a razão é x Então eu preciso que módulo de X seja menor do que 1 a segunda fórmula Vale quando o módulo da razão é menor do que 1 Só que o módulo da razão é 1 sobre X para que 1 sobre x seja menor do que 1 x tem que ser maior do que 1 então uma fórmula Vale num domínio

outra fórmula Vale num domínio disjunto elas não podem ser colocadas juntas porque o domínio de validade a intersecção dos domínios de validade é vazia não tem nenhum domínio em comum simples a explicação ótimo mas vocês estão percebendo a importância de começar a organizar as ideias e organizar o que nós estamos fazendo porque se eu não organizar direitinho essas ideias daqui a pouco eu começo a cometer erros desse tipo sem perceber então então foi isso que ocorreu num segundo momento no desenvolvimento do cálculo primeiro quando começou na cabeça do nton função e a série era a

mesma coisa não tinha distinção foi no momento posterior que a gente introduziu o conceito de função o conceito de série e coloca a pergunta quando é que você pode escrever o igual Quais as operações que podem ser feitas etc e é isso que nós vamos tratar na primeira metade dessa disciplina são bonitos esses exemplos né então antes de começar a falar em Série A gente agora então precisamos organizar espero tê-los convencido de que a gente precisa ter um certo Cuidado um certo Rigor nesse tratamento qual é a forma como a gente vai organizar tudo isso

a gente vai ter um primeiro conceito que é o conceito de sequência para depois ter o conceito de S eh como se a gente fosse falar ol nós vamos estudar Primeiro as PGS para depois fazer a soma das PGS antes de entender direito o que que é uma a soma da pg vamos entender direito o que que é a PG a gente vai fazer isso em geral sequências quaisquer não necessariamente PGS para depois fazer a soma dos termos de uma sequência l