Volume da Esfera - Aula 39

Olá sou professor Eduardo vamos falar hoje de esfera nós vimos na aula passada eh já trabalhamos com esfera vimos e os elementos da esfera mas não falamos sobre o volume da esfera então e trouxemos aqui eh sobre um plano um plano Alfa uma esfera e um cilindro equilátero mas esse cilindro equilátero cilindro equilátero de raio R Lembrando que se o cilindro é equilátero de raio r o su altura Vale 2R e temos também uma esfera sobre o mesmo plano Alfa com raio R mesma situação aqui esse raio é desse cilindro equilátero a partir do centro

do cilindro vamos tirar dois cones Como se eu tivesse tirando uma uleta essa figura formada por dois cones sobrepostos é chamado de clsid e o cilindro equilátero tirando os dois cones é chamado de anti clsid e desse lado temos a esfera nós tralhamos em aula anterior que dado um cilindro equilátero de raio r e tirando uma clsid ou seja tirando dois cones dentro do cilindro formando essa figura anticlepsidra nós já Vimos que o volume dessa figura desse sólido é igual a 4 PI R C sobre 3 Então temos o volume do sólido o que eu

quero aqui nessa figura é comparar através do princípio de Cavaliere se os dois sólidos têm volumes iguais se eu demonstrar para vocês que os dois sólidos TM volumes iguais então eu tô demonstrando para vocês que o volume da esfera pode ser dado pela mesma expressão 4 PI R C so 3 vamos lá e eles estão apoiados no mesmo plano Alfa a altura da figura é 2R já que nós temos Originalmente um cilindro equilátero é a altura da esfera vai ser o diâmetro da esfera que também é 2R na base da anticlepsidra eu tenho apenas o

contorno de uma circunferência tá não temos nenhuma figura plana porque eu tirei um cone de dentro Então a base a gente não calcula a área temos apenas um contor na base temos apenas o ponto de contato Então também não calculamos a área tem figura ali pra gente calcular aa se eu pegar um plano o plano Alfa passando pelos centros Chamar esse centro de o1 esse centro de O2 ou seja um plano está uma distância R do plano Alfa se eu pegar esse plano A figura que vai ficar determinada na anticlepsidra vai ser um círculo de

raio R pegar um plano passando pelo centro teri um círculo de raio R um plano passando pelo centro você tem um círculo máximo de raio R então a princípio pelo princípio de Cavalieri nos leva a crer que se secções transversais são equivalentes ou seja tem mesma área os volumes são iguais mas O interessante é que eu pegue um outro plano numa altura diferente de R numa distância diferente de R para comparar mes mesmo que figura que fica determinada na anticlepsidra que figura que fica determinada na Esfera vamos lá então pegando num plano paralelo A alfa

mas de tal forma que esse plano é tem uma distância D até o centro então vou comparar em relação aos centros das figuras nós teremos na clps uma figura com formato parecido com este aqui que eu tô estou tentando representar essa figura famosa né que você pegou um plano numa distância D do centro E lembramos que nós tiramos um cone de dentro Então não tenho mais um círculo Eu tenho um círculo vazado no meio então um círculo vazado no meio Você já viu em geometria plana que essa figura que aqui está determinada recebe o nome

de coroa circular a área da coroa circular é a área do círculo maior menos a área do círculo menor detalhe que nós temos aqui um centro vou chamar de ol linha de um círculo menor de raio rzinho o círculo maior tem raio rão que é o raio da base do cilindro o original vamos lá então a área da coroa circular vou representar como CC coroa circular é a área do círculo maior menos a área do círculo menor colocando o pi em evidência nós temos esta expressão tá interessante mas espera aí o plano que seccionou a

minha figura está uma distância D do centro então ele também está seccionando a esfera numa distância D dessa forma nós teremos mesma distância D aqui que que nós teremos é na Esfera teremos um círculo menor esse círculo menor nós sabemos calcular a área dele como círculo menor de centro ó duas linhas ele tem um raio que eu vou representar como sendo R1 tá para diferenciar do R que eu utilizei aqui a área desse círculo menor é igual a pi R1 a quadr opa pera aí eu posso expressar esse R1 em função da distância e do

raio da esfera nós podemos Como já viamos anteriormente trabalhar utilizando um triângulo retângulo aqui um Pitágoras distância do centro até a superfície é o raião é o mesmo raio e por Pitágoras temos que R1 a quadr é o raio ao quadrado menos distância ao quadrado ou seja a área do meu círculo pode ser escrito como sendo rão Quad menos distância a quadrado Se eu conseguir mostrar que as áreas são iguais o princípio de caval é válido então o volume da esfera é igual ao volume da anticlepsidra que é igual a 4p R3 4p R C

so 3 vamos lá só que aqui tem o seguinte esse cone Inicial que nós retiramos aqui embaixo é um cone que tem a seguinte propriedade como a altura do cilindro é 2R 2 rão a altura do con o cilindro é equilátero a altura do Cone também é rizão esse cone maior ele tem a seguinte propriedade a altura dele rão tem a mesma medida do raio Opa então qualquer cone semelhante a ele vai ter altura com a mesma medida do raio dessa forma esse cone que aparece quando seccion a anticlepsidra ele é semelhante ao cone de

baixo o cone maior então ele vai ter altura com a mesma medida do raio Então essa distância D vai ser igual a rzinho dessa forma a área da coroa circular também pode ser expressa como sendo rão qu menos D qu era o que eu queria a área da coroa circular é igual a área do círculo menor então pelo princípio de Cavalieri como secções planas né Paralelos ao plano Alfa são equivalentes tem mesma área posso afirmar então que o volume da esfera é igual ao volume da anticlepsidra Então finalizamos o que a gente queria comprovar que

o volume da esfera é dada pela expressão 4 p r cu sobre 3 até a próxima