Allora vedete quindi Qui ci sono delle implicazioni sulla conservazione dell'energia meccanica che rendono non consentite delle distanze dicevamo della massa che subisce la forza gravitazionale da quella che l'esercita c'è un'altra cosa rilevante nella seguente che se prendiamo l' soluzione dell'energia potenziale gravitazionale e facciamo questa Questo ragionamento immaginiamo la terra Sapete che la terra diciamo assimilarla anche se non lo è ad una volume sferico la massa non è distribuita in maniera omogenea all'interno della terra però facciamo molte ipotesi se la massa la materia fosse distribuita in maniera omogenea all'interno della terra ai fini gravitazionali l'effetto esercitato
dalla superficie da tutta quanta la massa della terra che assegniamo una sfera in cui la materia è distribuita in maniera omogenea potrebbe essere sostituita ai fini dell'interazione con un unico punto concentrato al centro della sfera che ha tutta la massa concentrata della sfera al suo interno allora Ripeto c'è una un motivo che poi spiegheremo nel secondo corso perché questo questa forza gravitazionale ha la specialità di essere esattamente della stessa struttura della forza colombiana con cui si attirano o respingono delle cariche multiformi per cui questa cosa la rincontreremo nel secondo semestre e dimostreremo che l'effetto prodotto
da una distribuzione sferica di massa omogenea è uguale all'effetto che si avrebbe concentrando tutta la massa della sfera in un unico punto che si trova al centro della sfera per cui ai fini dell'interazione gravitazionale grosso modo possiamo imare che la massa della terra sia concentrata tutta al centro della terra però sappiamo che la Terra ha un raggio medio di 6370 km circa 372 non so E allora questo è il raggio terrestre e ipotizziamo di essere una massa M piccolo che si trova a una quota h rispetto alla superficie terrestre che non è come il disegno
immaginiamo quindi che h sia molto minore del raggio terrestre Allora cosa succede succede che ai fini dell'iterazione gravitazionale c'è la massa M che è la massa dello studente che cade dall'ottavo piano oppure che è attaccato alla alla fune dell'esercizio numero un del secondo della seconda parte di corso queste due masse la massa puntiforme della terra Cioè la massa della terra tutta quanta schiacciata in un punto al centro della terra e la massa M interagiscono gravitazionalmente la massa M risente di una forza che è la forza gravitazionale che abbiamo descritto no diretta verso il centro della
terra Ora se la massa si trova a una quota h rispetto alla superficie terrestre questa quantità sotto è la distanza della massa dal Polo quindi la possiamo esprimere come il raggio terrestre più H H è la quota della massa rispetto alla superficie terrestre a questo punto possiamo con un V pu banalissimo moltiplicare e dividere per RT - h e a denominatore è un prodotto notevole otteniamo al denominatore otteniamo RT qu - h qu che Moltiplica su rt1 h siccome r h era molto più piccolo rispetto ad RT il quadrato di H sarà trascurabile rispetto RT
quadrato qui ci mettiamo comunque un circa uguale ma non stiamo facendo un errore tanto grande e e possiamo sostanzialmente applicare Sviluppare e viene fuori - g m n frat RT più G M pic m che Moltiplica h RT qu Scusate multip h Secondo voi allora questo termine è costante una costante che è irrilevante Siccome a noi cosa interessa a noi interessa che la derivata dell'energia potenziale gravitazionale rispetto alla distanza della massa M pic Polo Che coincide con la posizione di m rappresenta la parte scalare della forza quindi dovrebbe essere m pic m div R qu
Questa è la parte dipendente dalla distanza dal Polo della forza gravitazionale no E allora in sostanza che succede succede che questa è una costante quindi in essenziale Se chiamo questa parte costante G per la massa terrestre diviso il raggio terrestre questa quantità G per la massa terr per il raggio terrestre la chiamo G piccolo ottengo che questa energia potenziale gravitazionale se mi trovo una quota h rispetto alla superficie terrestre piccola rispetto al raggio della Terra diventa mgh ve la ricordate questa cosa questa è l'energia potenziale legata alla forza peso Allora la forza peso rappresenta l'espressione
semplificata della la forza gravitazionale con la quale la terra attrae ogni Massa nel suo nel suo intorno no la massa terrestre se uno va a fare il conto perché noi conosciamo G che è 9,8 conosciamo G grande che vale 667 per 10 al 11 conosciamo il RTI che dell'ordine di 6000 400 km possiamo trovare Quant'è la massa terrestre troviamo un numero dell'ordine di 10 all 24 kg no Potrebbe spiegare in breve tutti i passaggi di questo sì sì Qua abbiamo preso l'energia potenziale gravitazionale e AB ci siamo messi in un punto che si trova a
una distanza dalla superficie terrestre h molto piccola rispetto al Radio terrestre abbiamo detto che ai fini dell'interazione tra la massa M e la Terra di massa MT è come se possiamo potessimo pensare di concentrare tutta la massa essere in un punto al centro della terra Allora la forza gravitazionale sarà una forza che attrae grosso modo la massa verso il centro della terra Ci siamo domandati Cosa succede a questa energia potenziale gravitazionale se ci troviamo a una quota rispetto alla superficie terrestre piccola trascurabile rispetto al raggio della Terra Allora abbiamo preso la espressione dell'energia potenziale R
la distanza tra i due poli sarebbe h + RT abbiamo molti diviso per RT abbiamo sfruttato il fatto che h al quadrato è trascurabile rispetto a RT abbiamo visto che questa energia potenziale diventa la somma di due termini uno costante che è irrilevante perché quello che fa testo sono le differenze di energia potenziale le parti costanti dell'energia potenziale non ci interessano e allora abbiamo ottenuto un altro termine il quale dipende dalla quota rispetto alla superficie h e dipende dalla massa che subisce la forza attrattiva tutto quello che ciè a moltiplicare Mh È una costante che
sarebbe la costante di gravitazione universale per la massa terrestre fratto il raggio della Terra questa costante è proprio l'accelerazione di gravità dimensionalmente numericamente però nel secondo membro non dovrebbe essere al quadrato il raggio e basta E allora cosa succede succede che se prendiamo l'estrapolazione di questa per R molto vicino Molto vicino a raggio Questa è la massa terrestre concentrata al centro questa sarebbe l'andamento dell'energia potenziale questo sarebbe il raggio terrestre e ci avrei un andamento dell'energia potenziale lineare vedete energia potenziale se io ho la forza peso che abbiamo detto dall'inizio della forza peso che era
M * G dove G era l'accelerazione di gravità che puntava grosso modo verso il centro della terra no a questa forza conservativa è associata un'energia potenziale che se puntiamo l'asse Y verso l'alto e quindi inv versore J è verso l'alto e questa forza la esprimiamo come MG J col segno meno e l'energia potenziale associata sarà ngg y no allora abbiamo visto che questa ngy Da dove viene fuori No la forza peso non è altro se non un'espressione della forza gravitazionale con la quale interagiscono due masse quando una delle due masse è la massa terrestre e
quando la seconda massa si trova una distanza della massa terrestre trascurabile rispetto al Rago terrestre forza gravitazionale il caso generale la forza peso è una forma particolarmente semplice assurta da questa forza poi possiamo dire delle altre cose che possono essere simpatiche Avete visto che ci sono benissi second vi siete interessati alla velocità con la quale si muovono lissimi person nuovissima generazione purtroppo sono servono a uccidere le persone se non fosse questo sarebbe affascinante però la la tecnologia che c'è dietro questi oggetti ma lasciamo andare invece torniamo al discorso che facevamo prima immaginiamo che una massa
sia soggetta solamente alla alla forza gravitazionale esercitata dalla terra e allora la sua energia meccanica totale si conserva perché la forza gravitazionale è conservativa e questa è l'energia meccanica totale Allora possiamo immaginare che se la massa M piccolo perché la massa M grande qui è la massa del estere No la massa n piccola è la massa che subisce l'azione di forza possiamo immaginare di conferire a questa Massa che inizialmente è in prossimità della superficie terrestre un'energia iniziale talmente elevata da farla sfuggire questa Massa all'attrazione gravitazionale terrestre cioè la lanciamo conferendo un'energia iniziale così elevata da
farla sfuggire dall'attrazione gravitazionale terrestre perché tu lanci una cosa verso l'alto cade verso il basso No se vuoi che la cosa non ricada più la Devi lanciare Conf ferendola un energia inziale talmente elevata da non farla ricadere più da farla sfuggire da questa attrazione mostruosa che la terra esercita nei suoi confronti allora possiamo immaginare che in questa situazione in cui la massa è sfuggita dall'attrazione gravitazionale terrestre si annulla l'energia potenziale gravitazionale perché è chiaro Se non risente della forza gravita azionale sarà nulla l'energia potenziale gravitazionale possiamo immaginare che sia così distante arrivata questa Massa che
si annulla pure la sua energia cinetica è una massa libera TR Allora possiamo dire che la velocità minima che dobbiamo conferire a una massa per farla sfuggire dalla dal gioco dell'attrazione terrestre è quella che rende l'energia meccanica totale nulla no questa sarebbe l'energia meccanica crebbe la massa libera dalla lontana e libera dal pianeta Terra sfuggita alla gioco della posizione gravitazionale terrestre Allora vediamo che per fare questo bisogna conferire alla massa un'energia cinetica uguale a g 2 piccolo 2e Divo R E allora a questo punto dove R Diciamo che il grosso modo se partiamo dal centro
dalla superficie terrestre questo R lo possiamo come il raggio terrestre Allora NM si semplificano e Questa rappresenta la velocità minima si chiama velocità di fuga la velocità che dobbiamo conferire a un oggetto di massa M vedete che questa velocità è indipendente dalla massa dell'oggetto per farlo sfuggire dalla trazione gravitazionale teresse lo dobbiamo lanciare con una velocità iniziale verso l'alto dell'ordine di 11,2 km/s un razzo un razzo 11,2 km/s secondo velocità di fuga Se parti con questa velocità non ti recuperiamo più te ne vai e non ritorni e non ricar più verso e poi andando sempre
verso le leggi di cero facciamo un'altra cosa anche sappiamo un certo numero di cose no E abbiamo la superficie terrestre La Terra ha una massa per i fini gravitazionali possiamo immaginare che sia concentrata al suo centro no abbiamo una massa M soggetta all'accelerazione soggetta alla alla forza gravitazionale che la massa terrestre esercita nei suoi confronti Supponiamo che ci sia solamente questa forza che soggetta la massa no sappiamo che cosa sappiamo che il momento angolare della massa rispetto a questo Polo è zero che se il risultante delle forze applicate la massa coincide con la forza gravitazionale
valgono per il moto della massa le cose che avevamo detto prima no d'accordo cosa succede Secondo voi a questa Massa se la lasciamo libera Cosa succede se lasciamo libero una massa e cade no Oppure cosa può succedere che tipi di moto può realizzare può cadere la caduta libera l'abbiamo visto ma tutto Questo dipende dall energia che uno conferisce a questa Massa Dipende tutto questo dall'energia meccanica che uno conferisce alla massa L'energia meccanica è la somma dell'energia cinetica più l'energia potenziale che in questo caso è quella gravitazionale no allora il modo della caduta libera lo conosciamo
No lasciamo andare che può essere parabolica perché non è quello che ci interessa in questo momento essendo soggetta a una forza Unica che è una forza centrale sappiamo che questa massa si può muovere solo con una traiettoria contenuta in un piano d'accordo si può muovere con una traiettoria contenuta in un piano il moto è un moto in un piano e questo moto deve essere tale che il raggi vettore che congiunge il polo alla posizione della massa spazzolare uguale in tempi uguali Abbiamo visto No il momento angolare della massa calcolato rispetto al Polo che sarebbe il
centro della terra è costante che traiettorie può descrivere delle traiettorie in questo piano la massa no Quindi abbiamo detto no e immaginando che ci sia solo questa forza diretta verso il polo che sia questo il risultante delle forze applicate che altro tipo di moto vi immaginate che possa capitare Qual è quel moto nel quale c'è solamente una forza applicata diretta verso un punto Com'è la traiettoria se l'unica e allora in questo caso capite che se se non c'è la caduta libera e la forza risultante è sempre diretta verso il centro l'unica forma di accelerazione che
ha la massa sarà centripeta e se una massa ha solo accelerazione centripeta Come si muove in moto circolare circolare Dipende se è costante o meno se è uniforme in moto no Allora l'altra possibilità Indipendenza dall'energia meccanica totale una possibilità è che precipiti verso il basso una possibilità è che gli abbiamo conferito un'energia meccanica totale iniziale Come si fa quando si mandano in orbita i satelliti tale che invece di ricadere giù questa Massa inizia a muoversi descrivendo un'orbita contenuta in un piano e quest' orbita potrebbe essere un orbita di tipo circolare intorno al pianeta terrestre questo
va bene No allora in questa ipotesi noto circolare la forza gravitazionale funge da forza centripeta no secondo questo modo è circolare uniforme o no Se ad essere proprio in questa situazione la forza centipeda è uguale alla forza gravitazionale in modulo No la forza gravitazionale in modulo vale M pic m per G fratto fratto r al quadrato che sarebbe la distanza dal della massa puntiforme m dal centro della terra No è chiaro così Secondo voi questa nella traiettoria della massa questa forza ha un modulo costante o varia nel tempo varia se la TR circolare è costante
Allora il moto è stavolta possiamo dirlo che è circolare uniforme no E allora Siccome sappiamo che la forza centripeta è m volte il quadrato della velocità [Musica] lineare diciamo tangenziale diviso Eh il raggio dell'orbita no e Oppure possiamo esprimerla come m volte il quadrato della velocità angolare per il raggio d'accordo e allora da questa relazione che cosa Che cosa otteniamo otteniamo che nel caso di questo satellite lanciato con una certa energia cinetica iniziale tale che la sua energia meccanica totale sia opportunamente elevata da farlo rimanere in orbita piuttosto che farlo ricadere possiamo ipotizzare che l'unica
forza qui soggetto il pianeta sia l'attrazione gravitazionale che si comporta da forza centripeta costante di modulo in questo caso il moto del satellite sarà un moto circolare uniforme e questo il moto circolare uniforme sappiamo che è un moto periodico no E allora qui abbiamo il legame tra la frequenza cioè due volte il reciproco del periodo del moto e il raggio dell'orbita se sistemiamo queste cose nn vanno via e viene m che sarebbe la massa terrestre per G div R cu ugu ad Omega quad Omega quad è 2 pi div T qu e qui troviamo una
delle leggi di cheero la terza legge di cheero nella realtà il moto dei pianet intorno al sole non descrive una traiettoria circolare ma è una traiettoria venuto in un piano di tipo Ellittico dimostrare che la traiettoria ellittica significa conoscere l'equazione dell'ellisse in coordinate polari la conoscete non abbiamo il tempo sapete Cosè Uniss abbastanza Vag E allora dicevo semplicemente che questa legge dice che nel moto di un pianeta intorno al sole il fulo della distanza media del pianeta dal sole proporzionale al quadrato del periodo di rotazione allora nel moto Ellittico che non è circolare perché la
circonferenza è un caso particolare diis No con disegnassi uguali nel Noto di un pianeta intorno al sole la traiettoria è una traiettoria ellittica Questa è la prima legge di Keplero poi c'è la seconda o la terza non mi ricordo mai l'ordine che dice che in questa traiettoria ellittica in questa ellisse di cui il sole rappresenta uno dei fuochi il esiste una proporzionalità tra il cubo del raggio medio della distanza il pianeta dal sole e il quadrato del periodo di rotazione intorno al sole prima legge di Keplero orbite dei pianetti intorno al sole sono iitti che
il sole occupa rappresenta il fuoco uno dei due fuochi di queste ellisse la secondo terza legge di Keplero dice che il rapporto tra il tubo del del raggio medio della distanza media del pianeta dal sole e il quadrato del periodo di rotazione sono È una costante quindi R cubo rogio al cubo proporzionale a t quad lo si vede in questo caso che corita circolare l'altra è la velocità reale costante quindi in effetti Queste sono le tre leggi Dio d'accordo Non dimostriamo che la traiettoria ellittica Ci limitiamo il caso di traiettoria circolare e ma non è
finita Non è finita perché allora l'or del pianeta è un olio il sole occupa uno di questi dei fuochi di questie Supponiamo che il moto sia antiorario che questa sia la massa del pianeta attratto dal sole Questo è il vettore posizione istantanea e le cose che sappiamo quindi è che la traiettoria già c'è in un piano il risultante delle forze Applicate a questa massa è la forza gravitazionale con cui la massa è attirata dal sole cos' altro sappiamo sappiamo che la il raggio vettore che congiunge il polo della forza centrale che è la posizione del
sole alla posizione istantanea della massa spazzolare uguale Inti uguali no allora Secondo voi quest'area se quest'area è spazzolata nel tempo Delta T lo stesso la stessa quantità di tempo dobbiamo impiegare a spazzolare l'area quando siamo in questa fase no allora velocità reale costante significa are spazzolate dal raggio vettore uguali in tempi uguali Allora lasciando andare che ci sono afelio e perielio Dipende da quando è più vicino quando è più lontano il pianeta dal sole Secondo voi visto che la velocità con la quale questo raggi vettore spazzola la traiettoria diciamo la l'area di questa Lisse il
pianeta corre più quando è lontano O quando è vicino al sole quando è vicino Perché corre più quando è vicino spazzare uguali spazzare un'area uguale quindi perché qui siamo più lontani e qui per spazzare la stessa area dobbiamo fare più percorso d'accordo Dove corre più quando è più vicino Allora il tempo che impiega a fare un giro lo chiamiamo periodo no E dove corre di più lont ma non era questo quello che vi volevo dire invece quello che vi volevo dire Era un cos Qual era la risposta era uno studio energetico del problema nel quale
ci concentriamo cioè ridisegniamo questa orbita ellittica Allora questa è la posizione del sole Questo è il versore guerra chiaramente non è scalato Questa è la posizione istantanea della massa l'energia meccanica della massa si conserva ed è 1/2 MV qu - g m m div R ed è una costante del moto no allora quando abbiamo studiato prima l'andamento dell'energia potenziale rispetto ad Erre ci siamo occupati semplicemente della della possibilità che la massa M si avvicinasse o si allontanasse rispetto alla posizione del polo no allora il moto di una massa soggetta alla forza alla forza gravitazionale può
essere un moto rettilineo l'abbiamo visto il moto di caduta di un grave lanciato con velocità iniziale nulla è è proprio il classico esempio no È un moto nel quale in caduta Cosa fa si avvicina sempre più al Polo tende verso il centro della terra no moto rettilineo allora nel moto rettilineo mi basta guardare questo grafico che contiene una serie di informazioni per esempio avevamo visto che se l'energia meccanica totale che dipende dall'energia che conferiamo noi alla alla massa in questione Dipende da quanto rapidamente la lancio abbiamo detto che se questa Massa la lancio con una
velocità di circa 11,2 K al secondo addirittura sfugge no c'è la velocità minima alla quale Devo lanciare la massa per farla entrare in orbita intorno alla Terra no ci sono queste cose le i tipi di orbite sono i tipi di traiettorie sono lineari che sarebbe la caduta libera oppure sono delle traiettorie che giaccio in un piano e le traiettorie sono per esempio delle traiettorie ellittiche possono essere delle traiettorie circolari Ma c'è di più In questa cosa contenuto nell'analisi di grafico analogo a questo E allora la velocità cos'è è il quadrato del della posizione istantanea rispetto
al tempo no allora Seguitemi un momento perché qui la cosa è Allora il vettore posizione istantanea se io immagino che la posizione del del polos coincida con la posizione di una Terna cartesiana in maniera tale da chiamare vettore posizione la congiungente Polo n punto istantaneamente occupato il vettore rdt ha una parte scalare e un carattere vettoriale che gli è conferito da questo versore la derivata di un versore rispetto di un vettore rispetto al tempo è fatta di un pezzo parallelo al vettore iniziale più un pezzo ortogonale al vettore iniziale Siccome la derivata di un versore
quindi questo sarebbe r t che moltiplica la derivata di Ur R rispetto al tempo Voi sapete dovreste sapere che la derivata di un versore ha come modulo la velocità angolare ed è direzione verso ortogonale al versore di partenza allora quando io faccio la derivata di questo versore no ottengo un vettore che ha modulo la velocità angolare con cui questo versore ruota allora Secondo voi questo versore come ruota e questo è il versore che segue l'orbita della massa no ruota così no d'accordo e allora la velocità con la quale angolare con la quale ruota Vale Omega
il versore udn è il versore che tira la punta del versore Ur che sta variando nel tempo per farlo ruotare quindi il versore udn fatto così se la rotazione è antioraria ci siete Allora la velocità che compare in questa formula qui nel nostro mot piano sarà conterrà un termine che che chiamo velocità con cui varia la distanza del pianeta dal sole Allora questa quantità è la rapidità con cui va la distanza R del pianeta dal Polo cioè dal sole se stiamo considerando l'attrazione solare d'accordo questo termine la velocità radiale stiamo scomponendo Il vettore velocità tangenziale
istantaneo in due componenti un componente radiale che è questo più un componente invece perpendicolare alla direzione radiale che sarebbe questo qui no allora la velocità e questa questa parte della velocità la chiamo velocità radiale perché è la velocità con la quale il pianeta sia lontana o sia avvicina al sole nel corsto dita qui moltiplico per v r e più una velocità che Omega * R per un un è questo versore qui ottogonale al versore di partenza Allora a questo punto il quadrato della velocità è la velocità scalare se stessa no E sarebbe il di questo
binomio ora per definizione e dimostrazione Ur scalare fa 0 quando farò il quadrato di questo binomio facendo il doppio prodotto otterrò 0 perché 2 SC 0 Allora v scalar v che è il quadrato della velocità sarà uguale a al quadrato della velocità radiale + omeg R allora che è una costante Delo sarà 1/2 m per il quadrato della velocità radiale più 1/2 m per Omega qu R qu - g m m r Guardate ho in questo modo questo moto non è un moto rettilineo vedete È un moto curvilineo nel piano no allora ho detto che
l'energia etica che 1/2 NB qu ha due contributi non non ho capito il il quadrato della velocità sarebbe il quadrato di questo binomio sarebbe il quadrato del primo che ho VR al quadrato il quadrato del secondo eh ma c'è sia VR che Omega * R per un eh Un al quad ha detto che fa z0 No un a qu sarebbe un scalare un che che fa 1 Ah ok e quello cos'è Ah Ur Ur il doppio prodotto fa Zer Ah Ur per un Eh sì scusa Ah ok ok no non avevo capito ok Scusa allora
abbiamo scomposto l'energia cinetica in una parte che descrive il moto radiale un'energia cinetica traslazionale e un'energia cinetica rotazionale Guardate com'è bella questa energia questa espressione dell'energia cinetica se il moto fosse radiale Omega sarebbe Zer e questo contributo dell'energia cinetica non esisterebbe Se invece il moto comporta una traslazione ma anche una rotazione l'energia cinetica si scinde in due contributi un contributo traslazionale e un contributo rotazionale Guardate com'è fatto vi ricordate che cos'era m * r qu era il momento d'inerzia rotto della massa per il quadrato della distanza dall'asse di rotazione no allora le questa parte questa
energia cinetica rotazionale è rotazionale perché se Omega fosse 0 non ci sarebbe Quindi è chiaro che è rotazionale Vale 1/2 i per Omega qu Allora l'energia cinetica di tipo invece lineare traslazionale diciamo tras Vale 1/2 al solito MV qu questa V è una V traslazionale Guardate che questa è l'espressione traslazionale Questa è l'espressione rotazionale sostituiamo alla massa il momento di inerzia sostituiamo alla velocità traslazionale la velocità angolare abbiamo e andiamo nel mondo delle rotazioni che è un mondo difficile eh Perché ruota un po' tutto d'accordo ma allora a questo punto Ancora non sono arrivata al
mio risultato Perché Qual è il momento angolare della Massa rispetto al polono e in questo caso a che cosa è uguale È uguale al vettore RT che Moltiplica vettorialmente m volte la velocità del pianeta Ma la velocità è questa e quindi sarebbe RT che Moltiplica m per la velocità radiale per Ur RD T più abbiamo detto Omega R * un in questo prodotto vettoriale Qual è la parte della velocità che non ci interessa perché d un prodotto vettoriale Nullo vedete questa parte della velocità che rappresenta quanto il pianeta si allontana o si avvicina al polo
nel corso del moto la parte traslazionale questa parte traslazionale non ci interessa perché è moltiplicata per mdt il prodotto tra questi due vettori paralleli mi fa zero e per cui qua mi interessa solamente sostanzialmente questo termine un ed rdt sono perpendicolari però vedete Allora il modulo del momento angolare calcolato rispetto al Polo che è la posizione del pianeta che attrae sarà uguale a m per R qu * Omega ed è una costante Perché nel caso di massa soggetta solo a forza centrale il momento fatto rispetto al Polo è una costante Allora io posso esprimere la
velocità angolare come il rapporto tra l0 ed m * r qu guardate in questa espressione l o è costante ma R varia perché la traiettoria non è circolare è ellittica R non è costante in questo modo No la distanza del pianeta dal sole Siccome la traiettoria non è circolare varia quindi significa che varia anche Omega ma il loro prodotto è costante Allora io posso esprimere la velocità angolare che varia in funzione del rapporto lo FR m per R qu posso sostituire a questa velocità angolare questa espressione e ottenere l'energia potenziale Scusate ottenere l'energia meccanica totale
in questo modo l'energia cinetica trasl Ale che mi mi dice quanto rapidamente nel corso del moto la massa del pianeta si allontana e si avvicina rispetto il sole è la parte traslazionale dell'energia cinetica poi sostituisco ad Omega questa espressione quindi l'energia cinetica rotazionale mi viene 1/2 m Omega quadrato sarà il quadrato del momento angolare fatto rispetto al polo per m qu per R qu per R qu semplifico semplifico semplifico semplifico e la energia potenziale me la scrivo come al solito d'accordo Mamma mia Che brutta sta cosa chiamo energia potenziale efficace chiamo energia potenziale efficace la
somma dell'energia cinetica traslazionale però espressa in funzione di r e dell'energia potenziale Quindi sarà UG 1/2 il quadrato del momento angolare fatto rispetto al Polo frat m * r qu - g m m r Allora posso dire che l'energia meccanica del pianeta che si muove descrivendo un'orbita ellittica è la somma dell'energia cinetica come l'abbiamo chiamata e traslazionale che rappresenta l'energia cinetica con la quale il pianeta si allontana o si avvicina al pianeta che l'attira più l'energia che ho chiamato energia potenziale efficace ho messo un pezzo dell'energia cinetica la parte rotazionale dell'energia cinetica dentro insieme all'energia
potenziale ma non possiamo sostituire m per R qu con il momento di inerzia della massa direttamente mettiamo la i sì Potremmo però in questo momento non è la cosa interessa di che ci interessa di più è che la cosa che ci interessa di più è andare a rappresentare questa funzione in funzione di R quando andiamo a rappresentare questa energia potenziale efficace in funzione di R Allora ragazzi questa cosa Intanto non la trovate quasi da nessuna parte sui libri e e chiaramente chi dice questa cosa si candida per un voto alto perché un poch Però io
ve la butto così Insomma vedete poi voi se Allora questa è la posizione del del pianeta che attrae Qui si trova Fissa la massa M grande questa energia potenziale efficace è la somma di un termine positivo proporzionale ad 1 su R quad e di un termine negativo proporzionale a men-1 su R secondo voi se mi trovo molto vicino al Polo quale termine dei due più importante per R molto piccolo è più grande 1 su R qu o 1 su R per R min di 1 è più grande Us secondo e no se r è min
di 1 immaginiamo che sia 10 al-1 0,1 Qui abbiamo 1 / 0,1 fa 10 Qui abbiamo 1 / 100 no scusatemi al contrario Qui abbiamo mi sono Inc Allora se r è 10 al- 1 1 su R qu sarà 1 su 10-2 1 su R sarà 1 su 10-1 chi è più grande del 2 10-2 se lo passo sopra fa 10 ^ second 10 ^ - 1 se lo passo sopra fa 10 basta Chi è il più grande per RM questo questo d'accordo Chi arriva prima a zero R che tende infinito allora chi è l'infinito
di ordine superiore l' infinito di ordine superiore per R che tende a 0 diventa infinito prima questo di quest'altro lo vedete no E allora significa che per R picer di questi due termini sarà positiva perché è più importante questo termine per R Sarà negativa Allora se facciamo la somma dei due e studiamo la funzione Si vede che un diagramma di questo tipo che si si trova spesso in fisic diamma di questo tipo va Questa è la parte di energia che bisogna sommare all'energia cinetica traslazionale per ottenere l'energia meccanica totale Allora questo era solo per dirvi
che l'energia meccanica totale è la somma di questa funzione che dipende dalla distanza dalla massa che subisce l'interazione con questa Massa fissa nell'origine e l'energia cinetica traslazionale allora dico affermo che se l'energia meccanica totale del pianeta è questa se conferiamo al Pianeta in qualche maniera un'energia iniziale tale che la sua energia meccanica totale sia questa quale moto sarà consentito al Pianeta sono consentite tutte quelle distanze dalla dal dal Polo che sarebbe il pianeta che attrae che rendono l'energia meccanica maggiore del resto perché questa energia cinetica traslazionale deve essere maggiore di zero no Quindi l'energia meccanica
deve essere sempre più alta dell'energia potenziale efficace Allora se L'energia meccanica è positiva Guardate che succede che sono consentite tutte quelle posizioni maggiori di questo allora Proietto su quest'asse questa la chiamo Ro il pianeta si può solamente allontanare dalla massa che lo attia in questo caso la traiettoria una traiettoria aperta di tipo parabolico e è così si dimostra che la traiettoria in questo caso una traiettoria Qui abbiamo un asintoto no allora Diciamo che l'energia meccanica invece conferita inizialmente alla massa sia minore di minore di zero immaginiamo di essere in questa situazione no E allora io
ho che chiamo R1 Anzi chiamo Ra ed RB questi punti e so che il moto è possibile solamente a quelle distanze dal Polo che sarebbe la posizione della massa che attrae che rendono l'energia meccanica Maggiore dell'energia potenziale efficace Allora L'energia meccanica è maggiore dell'energia potenziale solamente per R compreso tra R ed RB il pianeta si può muovere solamente in questo ambito di distanze allora in questo caso la traiettoria sarà ellittica e gli assi dell'ellisse saranno Ra ed RB l'ultimo caso è il caso in cui l'energia meccanica del pianeta sia tale da coincidere con il minimo
dell'energia potenziale efficace Allora qui c'è una sola posizione consentita che è questa la traiettoria in questo caso sarà circolare intorno al Pianeta di i tre casi traiettoria circolare traiettoria ellittica traiettoria aperta fuga sono questi qui sostanzialmente d'accordo e si tirano fuori dalle caratteristiche del moto che è un moto un moto nel piano Ok andiamo Certo io ho postato su un file con tutte queste cose se Scegliete di non farle qual che cosa spero che mi diciate su tutta questa parte
