Em 1985, foi uma época de inflação alta, o governo precisava decidir eh fazer uma correção, um reajuste no salário mínimo no Brasil. E aí tinham duas opções em vigor. A primeira era pegar e fazer a média aritmética dos últimos da taxa de inflação nos últimos 3 meses e aplicar esse resultado para ser a correção no salário mínimo do brasileiro.
A outra opção era pegar a média geométrica do salário mínimo nos últimos 3 meses. Faz essa conta, pega essa taxa e aplica para ser o reajuste no salário. o diretor do IBGE na época, ele insistiu muito para que a conta fosse feita usando a média aritmética.
Ele até se demitiu porque não aceitaram a ideia dele e utilizaram um caminho da média geométrica. E que que isso tem a ver com você? Isso faz alguma diferença?
Faz. Eh, mais uma vez o governo meio que fazendo o que ele quase sempre faz, mas aí você precisa entender esse passeio e essa conversa que a gente vai ter aqui hoje. Vou te explicar a diferença entre a média aritmética, a média geométrica, eh o que que cada uma delas calcula e que diferença faz calcular a média geométrica ou a média aritmética eh eh das taxas de inflação nos últimos meses para poder aplicar e fazer o reajuste no salário de trabalhadores.
Se liga só, se você não me conhece de antemão, muito prazer, meu nome é Felipe Guisório. Se você é raiz, cara, já deixa seu like. Se você ainda não é, faça só o seguinte, se inscreve para acompanhar um pouco mais do que a gente faz, que eu acho que você vai se surpreender.
Cara, conversa é o seguinte, como é que surge o conceito de média aritmética? Você vai ver que é bem parecido o conceito de média aritmética e o de média geométrica. Uma delas usa passos aditivos e a outra usa passos multiplicativos.
Então, por exemplo, vamos lá. O que que seria a média entre o número 1 e 10? é a gente tentar localizar qual que é o número que tá exatamente no meio do caminho, mas no meio do caminho no sentido aditivo.
Como assim? Então eu vou chamar esse número aqui de ma, beleza? Média aritmédia.
Como assim no sentido aditivo? Ele tá a igual distâncias, distância no sentido aditivo dos extremos. Ou seja, se eu somo, se daqui para cá eu tenho que andar, sei lá, x passos, beleza?
Daqui para cá eu tenho que andar, eu tenho que voltar, né, X passos também. Como o inverso, né, da soma é a subtração. Esse ponto, a média aritmética, é um ponto que se eu avançar x passo pra direita, eu venho parar aqui.
Se eu recuar x passo pra esquerda. Então, recuar, eu vou subtrair x. Se eu recuar esse espaço paraa esquerda, eu venho para aqui.
Nesse sentido, a gente diz que esse é um número que tá exatamente no meio do caminho. Beleza? E aí, se você fizer essa conta, você pode falar o seguinte, ó.
Quem que é o 10? O 10 é você pegar a média aritmética, beleza? A média aritmética ma e somar x unidades a ela.
O que que seria esse x? Bom, ainda não sei. Beleza, somei x unidades.
Então, se eu tô aqui e avanço x passos, eu venho parando 10. Mas ao mesmo tempo, se eu tô aqui e se eu recuo X passos, beleza? Então, se eu tô aqui, ó, opa, ma, beleza?
Ma, e se eu recuo x passos, eu venho para onde? No outro extremo, no um. Se você agora somar essas duas equações, beleza?
Então, princípio aqui, beleza? Aditivo, eu vou + x com - xí cancela, eu vou ter que duas vezes o ma a média. aritmética é igual a 1 + 10.
Essa soma 1 + 10. E, portanto, minha média de aritmética é eu somar os dois números e dividir por dois, que é o resultado que você meio que conhecia, beleza? Então, a média aritmética entre dois números é você pegar, somar o primeiro com o segundo e dividir por dois.
Beleza? Deixa eu deixar esse resultado aqui, ó, destacado. Pode ser a + b/ 2.
1 + 10/ 2. Você já conhece esse conceito, tá de boa. Mas o que que essa média então calcula, né?
de algum jeito. Eh, qual que é o ponto no meio do caminho mais importante, no meio do caminho, no sentido aditivo. No meio do caminho, no sentido de que eu vou adicionar alguns passos até chegar aqui.
Depois eu vou dar os mesmos passos até chegar ali. Vou de passo em passo. E o ponto tá no meio do caminho.
É que é o que é equidistante dos extremos no sentido aditivo. Equidistante no sentido de que eu vou adicionando o passo a passo, tá? Mas e se fosse no sentido multiplicativo?
Como assim? Suponha que eu queira achar quem que é aqui a média desses dois números. Ou seja, o ponto que está é que distante dos dois, mas agora eu tô caminhando distâncias em termos multiplicativos e não aditivos.
Ou seja, basicamente eu quero achar um ponto e eu vou desenhar ele mais para cá, você vai ver que ele vai estar mais para cá. Eu quero achar um ponto, vou chamar então de mg, média geométrica. Eu quero achar um ponto que ele tá no meio do caminho, tá?
Mas no sentido multiplicativo. Como assim? Se eu pegar esse ponto e multiplicar ele por um certo número.
Se eu multiplicar ele por um certo número, então colocar aqui, ó, vezes não vou chamar esse número de x não, porque aqui já pra gente não confundir com sinal de multiplicação. Vou multiplicar ele por, ah, caramba, sei lá, por um número P. Pode ser P, pode ser P.
Então, multiplico ele por P. Então, essa média geométrica, ela tá no meio do caminho no sentido de que se eu multiplico ela por um número, eu venho para aqui. Mas se eu quem que ao invés da multiplicação é a divisão.
Se eu divido ela por esse mesmo número, eu venho parar aqui. Então você concorda que o raciocínio aqui ele é quase o mesmo, né? Então aqui é qual que é o número que se eu somar uma certa quantidade eu venho parar aqui?
E se eu subtrair essa mesma quantidade, eu venho parar aqui. Nesse sentido, a gente diz que ele tá no meio. Aqui é um raciocínio bem parecido, né?
Qual que é o número que se eu multiplicar por uma certa quantidade, eu venho para aqui. Mas se eu dividir, que é ao invés da multiplicação, dividir por essa mesma quantidade, eu venho para aqui. Então, em alguma medida, ele também tá no meio do caminho, mas no meio no sentido multiplicativo e não no sentido aditivo.
Sacou a diferença? Pô, faz sentido, então, né? É bem análoga essa construção.
Então, beleza, vamos descobrir quem que é esse número. Então, eh, eu sei que se eu pegar minha média geométrica e multiplicar por P, eu tenho que cair no 10. Então, se eu pegar minha média geométrica, eu não sei, não sei quem é, né?
Eu vou achar quem é. Se eu multiplicar por P, isso aqui tem que dar 10. E se eu pegar minha média geométrica, que eu também não sei quem é, mas se eu dividir por P, isso tem que dar um.
Se eu dividir por P, beleza? Isso tem que dar um. Pode ser?
Beleza? Então agora eu junto essas duas equações e dou um jeito de achar quem que é a média geométrica, tá? Como que eu posso fazer isso?
Por exemplo, a partir dessa equação aqui, ó, eu posso jogar o P para lá. Então eu vou achar que a média geométrica, a média geométrica é igual a 1, beleza? 1 x P.
1 x P é P mesmo, mas eu vou carregar esse número um só para ficar mais claro o que a gente vai fazer. Ou seja, aqui onde aparece média geométrica, eu posso colocar o quê? 1 x P.
Então essa equação vai ficar o seguinte. Eh, ou então se você preferir, né, na verdade aonde aparece P, eu posso colocar a média geométrica. Beleza?
Vou fazer assim. Então eu vou ter aqui a média geométrica vezes P. P é o quê?
É a média geométrica dividido por um, se você preferir. Então, ó, vou pegar esse um e vou passar ele dividindo, OK? Então, o P ele vai ser simplesmente isso.
Pô, mas por que que você tá passando um dividindo e tal, né? O um é dividir por um, multiplicar por um a mesma coisa. Sim, mas é porque eu quero carregar isso aqui só para você entender.
Então, no lugar do P, deixa, deixa eu tirar isso aqui, ó. Beleza? No lugar desse fator P aqui, beleza?
A gente vai colocar quem? MG dividido por 1, beleza? Média geométrica, Minas Gerais, média geométrica dividido por 1.
Isso tem que ser igual a 10. Então, daqui, cara, eu vou tirar que a média geométrica ao quadrado, a média geométrica ao quadrado, ela é igual a 1 x 10. E se eu extrair a raiz quadrada, então eu vou tirar que a média geométrica ela vai ser o quê?
A raiz quadrada de A B. Por isso que eu carreguei esse um. Só para você entender, né?
O um é o número que tá no extremo e o 10 é o número que tá no outro extremo. Então a média geométrica de dois números é você pegar e extrair a raiz quadrada do produto desses dois números. Nesse caso aqui, essa média geométrica, vamos extrair, colocar aqui, ó, essa média geométrica, ela vai dar, então, √ qu, beleza?
De 1 x 10, que é √ qu 10. E a√ quada 10, ela é mais ou menos 3,16, tá? 3,16.
Ou seja, é um número que não tá bem no meio do caminho no sentido aditivo. Ele tá aqui, tá um pouquinho mais perto do um, né? 3,16.
Aí você fala: "Pô, mas então ele não tá no meio do caminho". É porque esse negócio do meio do caminho é meio subjetivo. Você concorda?
Porque você fala: "Não, não é não, pô". Se eu tô num lugar aqui, se eu dou 10 passos para um lado, 10 passos pro outro, isso é o meio do caminho. Depende do contexto que você tá trabalhando.
É o que eu vou te mostrar aqui já. Mas antes, só para você sacar, construímos então média aritmética, soma os 2 dividido por 2. Média geométrica, multiplico os dois, tiro a raiz quadrada.
Beleza? Se fosse para três números, eu tiraria a raiz cúbica do produto dos três. Se fosse para cinco números, eu tiraria a raiz de índice 5 do produto 5 e por aí vai.
Beleza? OK. Então, só para ficar claro aqui, né?
Vamos lá. Vamos pegar dois números aqui que inclusive tem raiz quadrada exata só para para ficar fácil a conta. Vamos pegar 4 e 9.
Beleza? Então, se eu fosse pegar aqui, ó, entre 4 e 9, quem que seria a média aritmética? Iser de cabeça, vai.
é o cara que tá no meio do caminho no sentido aditivo. 9 + 4 13 div por 2, 6,5. Tá aqui então a nossa média.
Bum, 6 e5. Beleza? Já se eu fosse fazer a média geométrica, 4 x 9 36√ qu 6.
Ah, então a minha média geométrica tá um pouquinho mais para cá, sacou? Então aqui, ó, vamos colocar aqui, ó. Aqui seria 6 média geométrica aqui seria 6,5 6,5.
Então aqui, ó, G de média geométrica, a de média aritmétrica, ela fica um pouquinho mais para cá, concorda? Em geral, essa é uma coisa importante. Então, a média geométrica ficou menor, né, do que a média aritmétrica.
Será que isso foi uma coincidência? A gente vai ver que não. Mas vamos lá.
Deixa eu te fazer a seguinte pergunta. Então, vamos lá. Ó, você tem aqui um e 1 milhão.
Que que é isso? Suponho que isso aqui é distância, tá? Posição 1 m, posição 1 milhão de m.
Aonde que é o meio do caminho entre 1 e 1 milhão? Você fala, cara, é 500. 000.
Na lá de 500. 000 é alguma coisinha, né? 1 milhão mais 1 di 2.
Então é 500. 000,5. Mas beleza, mais ou menos aqui, ó.
500. 000 arredondando aqui pra gente tirar esse esse 0,5 aí. Eh, por quê?
Porque é o ponto que está equidistante dos dois extremos, mas tá pensando no sentido aditivo. Se eu te fizer a seguinte pergunta, cara, qual que é o meio do caminho se você tá acumulando dinheiro, poupando, investindo para poder eh acumular capital? Qual que é o meio do caminho entre hoje que você começou a investir?
Você botou R$ 1, irmão. Você tá liso, duro. Acabou de botar R$ 1 na conta e seu objetivo é chegar em R 1 milhãoa.
Aí eu te pergunto, qual que é o meio do caminho entre 1 e 1 milhão? Talvez você fale 500. 000 ou 500.
000,5, né? Eh, mas não é, sacou? Por que não é?
Porque o o efeito do acúmulo de capital, o juro composto, ele é multiplicativo, ele é uma taxa multiplicativa que incide em cima do capital que você tem acumulado. Ou seja, suponha aí a gente poderia fazer essa conta num outro momento, mas vamos supor que você tá ali todo mês, você guarda, sei lá, R$ 1. 000, beleza?
Aí vou inventar um número aqui que eu não fiz essa conta, não. Digamos que demoraria 30 anos para você acumular R 1 milhão deais fazendo esse investimento aí. Não sei se vai dar isso não, tá?
Teremos que fazer essa conta utilizando juros e tal, mas não é o tema da nossa conversa aqui hoje. Eh, o meio do caminho, ou seja, então você vai demorar 30 anos para você chegar em 1 milhão. Olha que doido.
Talvez se você tiver pensando em termos aditivos, você vai pensar: "Beleza, se vai demorar então eh eh 30 anos, daqui 15 anos eu vou ter 500. 000, né? E depois nos próximos 15 eu junto mais 500".
Não, daqui 15 anos você vai ter bem mais. Eh, você vai ter 200 e poucos mil próximos 15 você chega no 1 milhão. Ou seja, o meio do caminho em termos multiplicativos, ele é mais para cá, né?
O meio do caminho entre 1 e 1 milhão vai dar mais ou menos aqui. Aí não vai ser só você fazer essa conta. Você fizer essa conta vai dar errado.
1 milhão x 1√ qu. Vou te explicar porquê. Mas vai dar mais ou menos aqui, ó, uns 200k, 200 alguma coisa e tal.
Eu fiz essa conta antes. Posso fazer um vídeo explicando essa conta aqui. Beleza?
Como assim? no meio do caminho é 200. 000.
Então esse é o grande lance, porque a conta de juros ela não é aditiva, ela é multiplicativa. O efeito dos juros é um fator que vai multiplicando em cima do seu capital investido. Ele não é aditivo de passo em passo.
Sacou a ideia? Então, se vai demorar 30 anos para você juntar o seu primeiro milhão deais, cara, e nos primeiros 15 você junta 200. 000.
Ou seja, o meio do caminho no tempo é 200. 000. Só que aí que que acontece?
Nos próximos 15 você consegue juntar muito mais esse capital. Por quê? Porque como o efeito é acumulativo, o juro composto incide em cima do seu capital.
Nesse trecho, tanto você continua poupando como você tem um juros incidindo em cima de um capital maior, que faz com que na mesma taxa, no mesmo período, você consiga acumular mais capital. Entendeu a ideia? Então você poderia se perguntar, para onde que eu uso média geométrica, aritmétrica?
Tudo depende do contexto. Se você tá falando de coisas em que os passos são aditivos, é a média aritmética. Agora, se os passos forem multiplicativos, você vai utilizar a média geométrica.
E aí, por mais contrainttuitivo que pareça, o meio do caminho entre 1 e 1 milhão não é 500. 000 nesse caso, é uns 200. 000.
Na metade do tempo você juntou 200. 000, na outra metade você junta os outros 800. É o efeito de juros compostos, como diria Einstein, a oitava maravilha do mundo.
Aqui essa conta é um pouquinho mais complicada, tá? Porque na verdade, só um adendo aqui, né, parênteses, aqui você tem um efeito tanto aditivo quanto multiplicativo. Aí esse cálculo não é tão trivial.
Por quê? Porque tanto você tá nesse meu exemplo a eu guardo R$ 1. 000 todos os meses.
Então é um efeito aditivo. O mesmo mês eu guardo 1000 mais 1000 mais 1000 mais 1000. Então você tem um pouquinho disso aqui, né?
Mas a incidência dos juros é multiplicativa. Então você tem um fenômeno, entendeu? Não é tão trivial.
Não é só você fazer essa essa média geométrica entre R 1 milhão e R$ 1. e eh R 1 milhãoais e R$ 1, né? você fizer só essa conta aqui de multiplicar os dois, tirar a raiz quadrada, você não vai chegar exatamente nesse número porque você tem os dois efeitos acontecendo.
Então esse problema em si, ele é um pouquinho mais complicado. Ele é uma mistura dos dois, ele não é um problema puramente de média geométrica, mas é só para você sacar o contexto, né? Em que de novo a média geométrica, ela fica mais deslocada próximo desse cara aqui.
Ah, porque aqui você tá mais ou menos no meio do caminho em termos multiplicativos. Entendeu a ideia? Sacou?
Pô, bonita, hein, cara? Então, a média geométrica ela serve para isso daí. Eh, aí tá aí, vamos voltar no governo.
1985, eh, qual que é o lance? Já te falei, né? Os caras escolheram a reajustar o salário com base na média geométrica na parte de inflação e não na média aritmétrica.
Por que que eles fizeram isso? Talvez já desconfie com alguns exemplos que a gente fez, mas vamos lá. Para ficar absolutamente claro, eu vou trazer um argumento geométrico aqui, ó.
Tem uma circunferência, esse aqui é o diâmetro. Eh, tem um um conceito simples, razoavelmente simples na geometria, que diz que sempre que você inscrever um triângulo numa semicircunferência, em metade de uma circunferência, esse triângulo vai ser retângulo, tá? Então, por exemplo, qualquer ponto que você escolher aqui, ó, escolhe o ponto que você quiser.
Ah, pode ser esse ponto aqui, beleza? O ponto que você quiser. E se você fechar esse triângulo de tal maneira que é um dos lados seja o diâmetro, né?
Então ele vai est inscrito numa semicircunferência. Esse triângulo, ele vai ser necessariamente um triângulo retângulo. Ele vai ter 90º aqui.
Então ó, esse aqui é o meu triângulo, ó. Tá? E aqui.
OK? Então a geometria me garante que esse ângulo ele é de 90º. Perfeito.
OK. Então tá aqui os vértices do do nosso triângulo. Que que eu vou fazer agora?
Vou fazer o seguinte. Vou pegar e vou traçar essa altura aqui, ó. Vou pegar e traçar essa altura.
Vou chamar essa altura de H. Perfeito. Tá aqui, ó, altura.
E essa altura, ela determina aqui, então, ó, dois pedaços, beleza? Nesse meu diâmetro, esse pedaço aqui, que eu vou chamar, sei lá, de Y, pode ser. E esse pedacinho aqui que eu vou chamar de X.
Que que você sabe? O seu raio, beleza? Ele é a média aritmédia desses caras.
Se eu pegar x + y é o diâmetro dividido por 2 é o meu raio. Então vou escrever isso aqui, ó, no cantinho, ó. O nosso raio ele é a média aritmética desses caras.
X + Y dividido por 2. Beleza? Tranquilo, tá de boa, né?
Então raio esse pedaço, metade disso existe também, não é algo muito difícil não. Você consegue fazer isso usando semelhança de triângulos aqui, tá? Você consegue provar o seguinte, eu vou até construir para não ficar muito muito chutado aqui, né?
Já que a gente tá fazendo um negócio aqui bem bem bonitinho. Vamos lá. Olha que interessante.
Vou pegar esse ângulozinho aqui, ó, colorido de laranja, destacar ele aqui. Aqui é um ângulo de 90º. 90.
Ângulo colorido de laranja, vou chamar de alfa, beleza? E ângulozinho de vermelho, vou chamar de gama. Alfa e gama são complementares.
Por quê? Porque no triângulo grande aqui eu tenho 90, esses dois tem que somar 90. Então α + gama tem que ser 90.
Aa + gama tem que ser 90º. Beleza? Agora quando eu olho para esse triangulozinho pequeno aqui, eu tenho 90 e gama.
Quem que falta para dar os outros 90? É o alfa. Ah, tá.
Então aqui em cima é o ângulozinho alfa. Vou botar aqui pequeno. Aqui agora mesmo triângulo retângulo, 90 e alfa.
Quem que falta no alfa para dar 90? É o gama. Então aqui é um ângulozinho gama.
Conclusão, esse triângulo tem os mesmos ângulos que esse. Então eles são triângulos semelhantes, beleza? Os três ângulos são iguais.
Ô, beleza? Então vamos fazer essa semelhança aí. Vou pegar o ângulo oposto ao alfa no triangulinho da direita, que é o quê?
H. Divido pelo ângulo oposto ao alfa, um triangulinho pequeno. X.
Beleza? Vou pegar agora o ângulo oposto ao gama no triângulo da direita, que é o Y. Beleza?
ângulo oposto ao gama no triângulo pequeno que é o h. Opa, h. Multiplico cruzado.
H x h quadrado. Então acabei de chegar que h² é igual a X x Y. Ora, pois.
Então quem que é esse H? Esse H ele é a média geométrica, né, de X x Y. Concorda?
Ra quadrada de X x Y. Então essa alturinha ela é a média geométrica. Já o meu raio é a média aritmética.
E olha que interessante, o raio seria isso aqui, ó. Esse aqui seria um raio. Concordo, não?
Isso aqui seria um raio. Que que eu tô vendo claramente? O raio é maior do que a altura.
É ou não é? Ele é maior do que a altura. Então, deixa eu traçar essa conclusão nossa aqui, ó.
O raio, vou colocar assim, ó. Ele é maior ou igual à altura. Por que maior ou igual?
Porque nesse ponto aqui que eu escolhi para ser o vértice do triângulo, eu poderia ter escolhido esse ponto em qualquer outra região da minha semicircunferência. Se em particular eu escolhisse esse ponto aqui, meu triângulo ia tá aqui e essa altura ia ser igual ao raio, entendeu? Qualquer outro ponto que eu escolhesse, a minha altura, quando eu traçasse, ela ia ficar o quê?
Menor do que o raio. Beleza? Por coloquei maior ou igual.
Então o raio claramente aqui nesse meu desenho ele é maior, só que se eu escolhesse esse ponto azul para tá aqui, ele seria igual. Então o raio é maior ou igual do que a altura, só que o raio é a média aritmética, beleza? O raio é a média aritmética, beleza?
De x e y, enquanto a altura é a média geométrica. Ah, cara, então o que que eu acabei de te provar, utilizando geometria, né, cara? Que doideira.
Utilizando geometria, eu acabei de provar que a média aritmética sempre vai ser maior ou igual a média geométrica. Ah, cara, a média aritmética sempre é maior ou igual a média geométrica, o que apareceu nos nossos exemplos. A média aritmética aqui, ó, era 6,5.
É maior do que a média geométrica, que era 6. Que mais? Aqui também, ó, nesse caso, média aritmética dava quanto?
10 + 1, 11 di por 2, 6,5. Média aritmétrica é 6,5. Média geométrica, nesse caso, deu três.
Então a média geométrica ela é sempre menor. Menor ou igual? Quando que ela seria igual?
Quando os números forem iguais, tá? Porque olha só que louco, se eu escolher esse ponto azul bem aqui em cima, que seria o caso em que a altura seria igual ao raio, significa o quê? Se esse ponto azul tá aqui, significa que x é igual a Y.
Ah, tá. Quando os números forem iguais, aí vai rolar uma igualdade. Faz a conta para você ver.
Suponha que x = y. A que vai ficar x + x, 2x dividido por 2 vai dar simplesmente o quê? X.
Aí aqui, x, x² vai x² deu x. Então o lado esquerdo ficou igual ao lado direito. Então a média aritmética, ela só é igual à média geométrica quando os números são todos iguais.
Se eles forem diferentes, a média aritmética é sempre maior. Aí agora a gente consegue entender a a toda a matemática e o conceito para sacar como é que de mais uma forma o nosso digníssimo e excelentíssimo governo brasileiro quis meter para dentro da população, que era o quê? Na hora de fazer a correção do salário mínimo, a gente tinha as taxas de inflação dos últimos, acho que eram três meses que ia ser utilizado, né?
Se eu não me engano, eh, a gente podia fazer a média aritmética desses três meses de taxa de inflação e colocar isso para ser o ajuste de salários ou a média geométrica. Ô bicho, se você escolhe a média aritmética, você vai fazer um ajuste no salário o quê? Maior, né?
Então vamos sapecar a média geométrica. Senhoras e senhores, se você gostou dessa conversa, tem um curso nosso que se chama Desvendando a matemática. lá a gente estuda a matemática inteira desse jeito, compreendendo como que cada ideia é conectada.
E ao que tudo indica, entender matemática é dever do cidadão para pelo menos ensacar, né, todas as sacanagens que o governo tá fazendo com você. Você curtiu essa conversa? Me conta aí embaixo, por gentileza.
E até a próxima. Yeah.
