nessa primeira questão pra seletiva pro primeiro semestre de 2023 o ITA falou a respeito dos ladrilhos de penrose ou mosaico de penrose que se refere a um recobrimento do plano com figuras que não se sobrepõem compondo um padrão não periódico que tem muitas propriedades matemáticas nessa figura em particular você tem apenas dois tipos de figuras dois losangos um deles que aparece sempre pintado de cinza e o outro de branco e a respeito dessa desse ladrilho desse mosaico o examinador nos pede a afirmação falsa como a gente vai ver provavelmente foi um descuido ele deveria ter
pedido afirmação verdadeira que é uma só mas a gente vai analisar todas as cinco afirmações aqui uma ampliação da figura eu resolvi começar com a afirmação Delta porque me parece a mais simples de obter informações geométricas ele fala a respeito do losango Cinza o menor ângulo interno comparado com o ângulo interno do pentágono regular estrelado provavelmente ele tá falando a respeito desse Pentágono regular né que tem essas pontas o ângulo interno é por exemplo essa medida teta que como se trata de um losango tem ângulos opostos iguais também pode ser considerado esse ângulo a volta
inteira é 360 a quinta parte da 72 e eu já aproveito e calculo o suplemento do ângulo teta que eu indiquei como F que é 108º para comparar com ângulo teta a gente vai ter que analisar o menor ângulo do losango cinza para isso eu pego por exemplo essa parte da geometria a gente tem aqui dois ângulos obtusos do losango branco mais um ângulo agudo do losango branco que junto com 2 Egas dá 360 E com isso é fácil obter que o ômega Vale 36º Aproveito e já calculo também o ângulo PS que é o
suplemento de Omega que estaria por exemplo aqui né enquanto que o ômega tá aqui certo pronto o PS Vale 44º daí comparando o ega que é o menor ângulo interno do losango cinza que vale 36 com o teta que vale 72 a gente já vê que eles são diferentes então na prova talvez eu já tivesse assinalado Delta porque afinal ele pediu a afirmação incorreta Mas vamos analisar as demais vamos agora falar a respeito de todos os ângulos que a gente obteve para ver se eles estão Numa progressão aritmética em ordem crescente o ôa Vale 36
o teta Vale 36 mais 36º o fi Vale 72 + 36º e o psi Vale 108 + 36º portanto a razão é constante igual a 36º então de Fato né os ângulos internos estão em progressão aritmética e como a gente vai ver é a única afirmação verdadeira agora a gente vai falar a respeito da Alternativa Eco pro losango Cinzento o maior ângulo interno portanto esse aqui né PSI Ele é igual ao ângulo interno de um pentágono regular não estrelado Ou seja a gente imagina um pentágono regular comum né Aqui tem um exemplo o ângulo interno
por exemplo dado por Então como a gente sabe a soma dos ângulos internos de um polígono convexo ou não é n - 2 x 180 portanto nesse caso eu tenho cinco lados n = 5 e portanto o ângulo interno por causa da regularidade do polígono é a quinta parte fazendo essa conta bem simples A gente fica com 108º que comparado com 144 Eles são diferentes portanto Eco também é falsa em relação à primeira informação ele fala a respeito do losango cinza e ele compara a menor diagonal com o lado do losango então a menor diagonal
é essa daqui que a gente vai chamar de D portanto eu quero comparar e verificar se é a razão Áurea a razão Áurea é ra5 + 1 so 2 eu quero saber se é o quociente de D para L claro que aqui eu tenho um ângulo reto porque as diagonais do losangos são sempre perpendiculares e elas também bisect os respectivos ângulos portanto esse ângulo aqui é o ôa sobre 2 portanto a relação entre o lado oposto e a hipotenusa se dá através do Seno do ar com metade de ega portanto eu percebi que isso aquii
pode ser expresso como duas vezes metade de D sobre o l e metade de D sobre o l é o seno de OM div 2 portanto Na verdade ele tá nos perguntando se √5 + 1 so 2 iG 2 xes o seno de 18º e o examinador nos deu um auxílio o seno de 18º é √5 - 1 so 4 portanto multiplicando isso por 2 eu fico com √5 - 1 so 2 que não é igual a √5 + 1 so 2 né então alternativa a também é falsa aqui é uma curiosidade né a razão
Áurea Na verdade ele é o dobro do seno de 54º portanto se ele tivesse nos perguntado se a razão Áurea é o dobro do Seno do triplo da metade de Omega isso seria verdadeiro porque o triplo da metade de Omega seria 54º e o dobro do seno de 54º é de Fato né a razão Áurea agora vamos finalmente pra alternativa c ele quer comparar a área do losango cinza pra área do losango Branco bom áreas de losangos São classicamente metade do produto das diagonais daí eu resolvi calcular inicialmente a área do losango cinza portanto eu
vou usar o Omega a gente já calculou que D sobre L é duas vezes o seno da metade de Omega então eu escrevi isso como sendo metade de D sobre L desão sobre L aí eu compensei com o l qu coloi o l qu à frente L qu sobre 2 o a menor diagonal sobre o lado a gente já viu que dá duas vezes o seno da metade de ega e a maior diagonal sobre o lado pelo mesmo racional a gente considera a metade da maior diagonal e comparado com o lado cosseno para cateto adjacente
sobre hipotenusa Então a gente vai ficar com duas vezes o cosseno da metade de Omega isso pro losango cinza pro losango branco é exatamente os mesmos elementos porque os lados têm mesmos tamanhos só que agora usando ângulo teta a gente vai ficar com l qu sobre 2 duas vezes o seno de teta sobre 2 vezes duas vezes o cosseno de teta sobre 2 portanto colocando a razão de ambos o l qu sobre 2 cancela esse do também esse dois também e a gente fica com esse seno cosseno dividido por seno cosseno multiplicando em cima e
embaixo por dois eu uso a fórmula do Seno do arco duplo vou ficar com o seno de Omega sobre o seno de teta Só que nesse caso por causa dessa geometria o teta é o dobro do ega então trocando teta pelo dobro do ega e usando 2 seno ega cosseno de ega eu cancelo o seno de Omega eu fico com 1 sobre 2 cosseno de ega E aproveitando essa informação eu consigo descobrir na verdade que a gente vai obter a razão áula invertida portanto não dá a razão Áurea mas dá um sobre a razão Áurea
de qualquer forma a alternativa c é falsa ela seria verdadeira se ele pedisse a razão da área do losango branco pra área do losango cinza e não exatamente o que ele falou que é o inverso disso resumo a única alternativa verdadeira é bravo mas como ele pediu alternativa falsa tem quatro alternativas falsas e é por isso que o gabarito oficial que foi oferecido no site do Ita é mostra a anulação por múltiplas respostas Y
