Olá pessoal aqui é o professor greens e dando prosseguimento ao nosso curso para leigos Neste vídeo nós vamos apresentar a derivação através da regra da cadeia regra da cadeia é usado para derivar funções que são compostas ou seja uma função dentro de outra nós temos aqui Y = fu estou salientando com uma setinha aqui a f é a função externa e u está dentro a função que está no interior da F é a interna a derivada desta função chamei de y linha estão vendo ali a setinha é deriva a externa primeiro e deixa a interna
como está como u e depois multiplica pela derivada da função interna mas vamos ver isso na prática quando nós começarmos a derivar uma dessas cinco funções compostas vamos começar Então derivando a primeira a função mas antes de derivar Esta função eu vou reproduzir aqui uma derivada de uma função simples chamada x elevado a p derivada de uma função potência nós temos visto no vídeo anterior que a derivada desse tipo de função o p escorrega pra frente e fica X elevado a p - 1 isso é a derivada de uma função simples mas o que nós
temos lá não é um X apenas é uma função que está elevada a p portanto eu vou chamar essa função de u ou de outra letra qualquer Mas sabendo que esse U é uma função e não só uma variável portanto a derivada neste caso vai ser Y linha é claro esse linha caracteriza a derivada a derivada da função y o p escorrega pra frente exatamente como está sendo feito anteriormente o u continua u u no lugar do X e lá em cima P - 1 exatamente como nós fizemos anteriormente a diferença vem agora vezes a
derivada da função mais interna o linha vejam bem lá no nosso padrão que eu coloquei estou circulando que é a derivada F linha de u u continua igual depois Multiplica pelo u linha que é a nossa função interna e a derivada da função interna u é u linha mas Vamos então colocar em prática derivada da função f Dex como eu chamei de f a derivada tem que continuar com a mesma letra F né só que linha para caracterizar a derivada o p para nós é o 4 lá ó fazendo a comparação ele escorrega pra frente
fica 4 que multiplica 7x elev qu -3 que é o nosso u continua igual o quro então escorregou pra frente e lá em cima tem o que P - 1 é o que temos na nossa fulaz ou seja 4 - 1 que vai dar 3 então podemos colocar já diretamente o número TR vezes o linha lá ó derivada da função mais interna deixa eu escrever assim 7x elevado Quad - o 3 este linha que eu coloquei aqui é para dizer que eu ainda não derive tenho que derivar então reproduzindo f de X vai ser igual
4 que multiplica 7x elev qu - 3 elevado a 3 só copiei e derivando x qu passo 2 pra frente multiplica com o 7 vai dar 14 então teremos 14x - 0 que é a derivada do 3 derivada de constante é zer prosseguindo agora nós podemos mtip f o 4 com aquele 14 então fica 14 x 4 4 x 4 é 16 vai 1 4 x 1 4 + 1 56 então F linha de X vai ser igual 56 x x o x continua acompanhando né que multiplica 7x elev qu - 3 elevado ao cubo
E aí está Então a nossa derivada vamos passar então para a próxima derivada Ou seja a próxima função que nós temos que derivar bom a função que nós temos na nossa frente uma função raiz eu vou transformar esta raiz em potência e vou me enquadrar de novo na derivada de uma função potência para isso então eu vou colocar uma propriedade aqui que nós iremos usar que é raiz enésima de a elevado a p transformando em potência vai ficar a elevado a P sobre n ou seja quem está protegido na sombra que é o p passa
para o sol e quem está exposto ao sol que é o n passa para a sombra isso ajuda a memorizar então Aqui nós temos que o índice é do quando não tem nada na raiz transformando isso em potência nós ficaremos com g Dex ainda nem comecei a derivar só estou transformando em potência então vai ficar do x + 50 tudo isso elevado quem está na sombra é o 3 que passa para o sol e quem está exposto ao sol que é o dois passa para a sombra Ok transformado em potência novamente nos enquadramos naquele contexto
anterior ou seja y = u elevado a p e a derivada vai ficar Y linha igual a p tomba pra frente né que multiplica u elevado a p - 1 x u linha aplicando Então essa propriedade Lembrando que eu tenho que chamar de G linha porque eu chamei a função de G Então tem que chamar ela de G linha seguindo o padrão igual o p é o 3 so 2 que escorrega pra frente 3 so 2 que multiplica 2x + 50 tudo isso elevado a 3 so 2 - 1 como está ali ó estou salientando
3 so 2 - 1 que multiplica a derivada do u e o u está dando para ver perfeitamente quem é u é 2x + 50 então a derivada de 2x + 50 colocando o linha aqui em cima para caracterizar que eu ainda não derivi que eu tenho que derivar dando prosseguimento então G linha de x é igual iG 3 so 2 que multiplica 2x + 50 tudo isso elevado a 1/2 tudo isso multiplicado por 2 A derivada de 2x derivada de x é 1 então é 2 x 1 e derivada de 50 que a constante
é 0 resolvendo que está dentro dos parênteses 2 x 1 ali é 2 + 0 é 2 e 2 x 3 6 então teremos que ginha de x = 6 so 2 que multiplica 2x + 50 elevado a 1 so 2 melhorando a resposta ginha de X Dá para dividir o 6 por 2 vai dar 3 e novamente aquela historinha Quem tá na sombra passa para o sol e quem está na sombra é o 2 ó que vai passar para o sol 2x + 5 e quem está no sol que é o um vai passar
para a sombra e aí está então o resultado da nossa derivada vamos passar então para a função seguinte a função seguinte é uma função exponencial onde o x está no expoente Mas então colocando aqui uma função simples que chamada de e elevado a x e derivando essa função simples que será a nossa referência nós teremos que Y linha é o próprio e elevado a x uma variável X apenas agora vamos ver quando no lugar de X tem uma função e aí a gente coloca Y = e elevado a u agora é uma função que tem
lá em cima derivada disso então vai ser o próprio e elevado a u seguindo o mesmo modelo por enquanto que multiplica o linha ok lá no nosso padrão a gente pode ver esse o linha aqui é o que caracteriza a nossa regra da cadeia multiplicando pela derivada da função mais interna mas colocando em prática como eu chamei a função de H Dex Então eu tenho que continuar com H linha de x igual a derivada é só copiar e elevado 7x + 1 que multiplica a derivada do que tá lá dentro do que está lá em
cima 7x + 1 prosseguindo então a galinha de X vai ser e elev 7x + 1 que multiplica 7 x 1 derivada de x é 1 + derivada de 1 é 0 melhorando a resposta a galinha de x igual o 7 pode passar pra frente que multiplica e elevado a 7x + 1 e aí está então o resultado da nossa derivada essa foi fácil Vamos passar então para a função seguinte para começar a derivar essa função Vamos colocar ela no formato mais simples Y = seno de uma variável apenas o x derivada de seno de
x vai ser Y linha igual cosseno de x mas no nosso caso não é um X apenas é uma função então reescrevendo para o nosso caso eu vou colocar seno de uma função chamada u e não apenas uma variável a derivada disso continua sendo Y linha igual derivada de sen é cosseno ó eu derivo como está escrito ali ó a gente tem uma função f e lá F linha a gente deriva a função mais externa por isso que o seno virou cosseno só que o u continua igual e aí multiplica pela derivada da mais interna
u linha pronto é isso que nós temos que aplicar agora como eu tenho uma função chamada de F eu tenho que botar que a derivada é F linha de x derivada de seno é cosseno de 5x qu - 50 continua igual que multiplica a derivada do 5x elev qu - 50 e derivada é caracterizada por esse linha aqui prosseguindo então F linha de X vai ser igual cosseno de 5x elev qu - 50 que multiplica a derivada de 5x qu aquele 2 que tá lá em cima no expoente passa pra frente multiplicando 5 e 5
x 2 nós teremos 10x e novamente 2 - 1 no expoente vai dar 1 então resposta lá em cima no expoente é 1 menos derivada de 50 que é 0 F linha de X continuando Então vai ser cossen 5x qu - 50 x 10x é muito mais habitual colocar o 10x na frente para evitar a confusão de multiplicar o 10x pelo 5x qu que é muito comum o aluno se confundir e executar uma multiplicação então para ficar visualmente melhor eu coloco F linha de X o 10x na frente não que estivesse errado daquele jeito só
para melhorar o visual cosseno 5x elevado Quad - 50 e aí está então o resultado da nossa derivada bom pessoal eram essas as funções compostas que eu gostaria de derivar usando a regra da cadeia Relembrando que no site omatematico.com existe tabelas de derivadas disponível para vocês então visite-nos e sendo assim eu me despeço e espero aguardar vocês nos próximos vídeos dando prosseguimento a esse curso de div vadas para leios
