wir kommen nun zum zweiten Video zur elektrischen Spannung und bei der elektrischen Stromstärke hatten wir eine wichtige Gesetzmäßigkeit kennengelernt das war das kontinuitätsgesetz und daraus hatten wir das erste kirschhofsche Gesetz abgeleitet den sogenannten knotensatz und wir werden jetzt bei der elektrischen Spannung also eine zweite Gesetzmäßigkeit kennenlernen das ist der sogenannte maschensatz okay dafür müssen wir erst einmal klären was ist denn eine Masche ja eine Masche ist ein geschlossener Umlauf in einem elektrischen Netzwerk also ein geschlossener Umlauf in einem Netzwerk okay das sieht jetzt oder das hört sich jetzt vielleicht erstmal ein bisschen abstrakt an deswegen
schauen wir uns das jetzt an einem Beispiel an also folgendes Netzwerk sei gegeben wir haben ein Netzwerk mit verschiedeneen Zweigen hier ein Widerstand die Knoten des Netzwerks zeichnen wir mal als kleinen schwarzen Kreis dann ja vertikal ein zwe mit einer Spannungsquelle und einem Widerstand in Reihe dazu die Spannungsquelle liefert die quellspannung uq2 und zwischen diesen beiden Bauelementen definiere ich mir noch noch ein Knoten den zeichnen wir sonst nicht mit weil es kein stromabzweig gibt aber ich in diesem Beispiel werde ich ihn der Vollständigkeit halber mal mit benennen dann haben wir hier einen zweit mit einer
Spannungsquelle die liefert die quellspannung uq1 und links noch vertikal ein Zweig mit einem Widerstand in der Form so und an diesen Ecken gehen jetzt Zweige zu weiterführenden schidungsteilen ab die Knoten numeriere ich jetzt durch ich benenne die Knoten jetzt mit A B so diesen Knoten benenne ich C deswegen habe ich ihn auch eingeführt den Knoten D und diesen Knoten nenne ich e und meine Masche ist jetzt der geschlossene Umlauf in diesem Teil des Netzwerkes und ich wähle eine umlaufrichtung die gebe ich mir jetzt willkürlich vor im Uhrzeiger sind das ist meine Masche die nen ich
m ja die die Wahl dieses umlaufsinst der Masche ist also willkürlich jetzt gewählt das ist ähnlich wie ein zählpfeil dessen Richtung kann ich ja auch willkürlich erst einmal festlegen okay jetzt platziere ich edanklich eine Ladung im Punkt A und diese Ladung besitzt in diesem Punkt A im Knoten a eine gewisse potentielle Energie und diese Ladung bewegt sich jetzt durch diesen durch dieses Netzwerk auf dem Weg der der Masche also von A nach B nach C nach D nach E wieder zurück nach a dabei wird sich die potentielle Energie der Ladung in jedem Punkt zunächst ändern
aber aber da die Ladung wieder im Ausgangspunkt a kommt wird die potentielle Energie der Ladung wenn sie am Punkt A angekommen ist wieder dieselbe sein das ergibt sich aus dem energiererhaltungssatz und das wird das eben Gesagte nicht vergessen dafür schreiben wir das noch mal auf also eine Ladung Q bewegt sich auf dem Weg so jetzt geben wir den Weg mal an also von A nach B nach C nach D nach E wieder nach a durch die Masche ja und wie bereits gesagt im Start und Zielpunkt a hat die Ladung jeweils die gleiche potentielle Energie also
im Start und Zielpunkt die gleiche Energie na das ergibt sich aus dem energiererhaltungssatz okay und das ganze schreiben wir jetzt einmal mathematisch auf das heißt die Energieänderung und eine Änderung bezeichnen wir immer mit einem großen Delta die Energieänderung auf diesem Umlauf Delta B die muss ja null sein so und bevor wir schreiben ist gleich 0 schreiben wir die Energieänderung noch mal als Differenz zwischen den Energien in den einzelnen Punkten auf das heißt die Energieänderung auf dem Umlauf ist ja die Energie im Punkt a US die Energie im Punkt B das ist die Energieänderung auf dem
Weg von A nach B plus die Energieänderung auf dem Weg von B nach C ist ja WB - WC und die Energieänderung auf dem Weg von C nach D ist WC - WD und so geht das jetzt immer weiter + WD - We und letztlich bewegt die Ladung sich von von dem Punkt e zum Punkt A als die Energieänderung von E nach A ist we - wa und das muss 0 sein ja jetzt schauen wir uns das mal an das hier erstmal ist diese ist diese Gleichung erfüllt ja jeder jede Energie kommt einmal positiv und
einmal negativ vor wir haben ja wa und ganz hinten - va wir haben hier - VB + WB und so ist tatsächlich diese Summe hier 0 diese Differenz wa - WB das ist ja meine Energie oben hatte ich die wa B benannt ne und WB - WC ist WBC und so weiter das heißt ich kann auch schreiben die Gleichung noch mal Delta W ist also WAB + WBC + WCD + wde + vea = 0 und jetzt dividiere ich beide Seiten durch die Ladungsmenge Q das kann ich ja machen ohne die Gleichung zu verändern ich
dividiere beide Seiten durch Q und dann erhalte ich ja jeweils Spannungen die linke Seite lasse ich mal ganz kurz noch unberührt das schreibe ich gleich nach hin jetzt steht ja WAB durch Q und wir hatten oben gelernt die für diesen äh für diese ladungsbewegung umgesetzte Energiedifferenz WAB geteilt durch die Ladung selbst ist die Spannung zwischen den Punkten A und B das heißt das wäre eine Spannung U ab plus WBC durch Q ist die Spannung uubc und so geht das jetzt weiter + UCD + ud + ua ist g 0 ja und diese Energieänderung Delta B
durch Q die nenne ich jetzt u ja Gesamtspannung einer umlaufspannung also dafür lässt sich jetzt kein so richtig griffiger Begriff finden und diese Spannungen die ich jetzt hier jeweils aufgeschrieben habe die kann ich oben in meinem Ausgang Netzwerk mal eintragen also UAB ist der Spannungsabfall vom Knoten a zum Knoten B UBC entsprechend die Spannung vom Knoten B zum Knoten C und so weiter UCD ja und die Richtung dieser spannungspfeile ist entsprechend durch diese beiden Bezeichner vorgegeben das heißt ud ist die Spannung von D nach E und uea von E nach a ja und die vorzeichenrtige
Summe dieser Spannungen ist entsprechend ull wir können nach der Vollständigkeit halber jetzt mal noch schauen auf diese unabhängigen Quellen in unserem Netzwerk wir sehen hier UBC ist gleich der quellspannung uq2 das schreibe ich hier mal noch drunter das ist uq2 und die Spannung ud ja die Spannung uq1 fällt auch zwischen den Knoten E und D ab aber genau mit entgegengesetzten Vorzeichen das heißt die Spannung Ude ist gerade uq1 weil uq1 genau die entgegengesetzte Richtung zwischen E und D definiert ist so und jetzt können wir das was wir jetzt hier an dem Beispiel in diesem Netzwerk
uns angeschaut habe verallgemeiner allgemein können wir also für eine Masche für so einen geschlossenen Umlauf folgendes aufschreiben dass die Summe oder die vorzeichenrichtige Summe aller Spannungen UK in einem geschlossenen UML auf null ist und das ist der sogenannte maschensatz bzw das zweite kirschhoffische Gesetz und das habe ich Ihnen jetzt zur Erläuterung noch mal auf einer Folie zusammengefasst also auch hier noch mal in einer übersichtsartigen Form nehmen wir hier dieses etwas kleinere Netzwerk ein umlaufsinder Masche ist jetzt hier willkürlich definiert im urrzeigersin die entsprechenden zählpfeile für die Spannungen über den einzelnen Zweigen sind schon angegeben das
heißt hier die Spannung U1 die Spannung U2 und die qu Spannung uq die sind also alle gegeben und wenn ich mich jetzt im Umlaufsinn durch die Masche bewege werden alle Spannungen positiv gezählt die in die gleiche Richtung wieder Umlauf sind definiert sind das wäre in unserem Fall also die Spannung U2 und alle Spannungen werden negativ gezählt mit einem negativen Vorzeichen versehen wenn die definitionsrichtung entgegen des umlaufsinns unserer Masche definiert ist das betrifft die Spannung U1 und uq deswegen sind die ja auch negativ in dieser bilanzgleichung einfließend na und der maschensatz steht jetzt hier noch mal
also beim Umlauf in einer Masche ist die Summe aller Spannungen ull und wie gerade eben erläutert werden Spannungen positiv gezählt wenn sie im Umlaufsinn der Masche definiert sind und negativ wenn sie entgegen des umlaufsinns der Masche definiert sind ähnlich wie wir also eineer Konvention beim knotensatz gewählt hatten da hatten wir gesagt ström die in den Knoten hinein gerichtet sind zählen wir positiv Ströme die aus dem Knoten herausgerichtet sind zählen wir negativ das entspricht dieser Konvention ja und damit haben wir jetzt also eine ein zweites Gesetz was wir zur Analyse von Netzwerken nutzen können und ich
kann Ihnen schon so viel verraten mit diesen zwei kirschafchen Gleichungen können Sie jetzt eigentlich in einem gegebenen Netzwerk schon ja praktisch alle Ströme und Spannungen bestimmen also das sind die be beiden mit Abstand wichtigsten Gesetze und zur Anwendung des maschensatzes zeige ich Ihnen jetzt noch ein ganz einfaches Beispiel also folgendes Beispiel wir geben eine Schaltung auf der linken Seite hier eine Spannungsquelle mit der wellspannung uq1 dann ein Widerstand über dem definieren wir den Spannungsabfall UR1 dann folgt eine Diode den Spannungsabfall über der Diode nennen wir ud1 hier ein Knoten im querzweig auch noch einmal eine
Diode und hier definieren wir den Spannungsabfall in Sperrrichtung mit ud2 so noch ein Widerstand über dem Widerstand seit die Spannung UR2 und dann halten wir hier auf der rechten Seite noch eine Spannungsquelle mit der quellspannung uq2 okay ein ein Hinweis zu dieser scheitung noch mal der maschensatz wie wir ihn jetzt gerade kennengelernt hatten ist allgemeingültig das heißt er gilt quasi auch für Bestandteile des Netzwerkes wie ich jetzt hier die Diode wenn wir das eigentliche mathematisch physikalische Verhalten dieser netzwerkelemente nach gar nicht genau kennen wir hatten bei der Anwendung des knotensatzes hatte ich ihn ein Beispiel
mit einem Transistor gezeigt und auch das die mathematische Beschreibung des Transistors kennen wir noch nicht im Detail ähm trotzdem konnten wir den knotensatz oder die schnittmengengleichung für diese Scheidung trotzdem aufstellen hier gilt jetzt das gleiche die Diode mag Ihnen vielleicht bekannt sein wir werden in den nächsten Vorlesungen dazu ein paar Worte noch verlieren aber die genauen mathematisch physikalischen Zusammenhänge an der Diode die sind uns erstmal noch unbekannt trotzdem gilt der maschensatz hier das heißt wir können trotzdem mit den Spannungen über der Diode hier arbeiten wir definieren uns jetzt mal verschiedene Maschen die wir hier sehen
wir sehen h z.B auf der linken Seite eine Masche ich nenne die mal 1 ich zeichne diesen Umlaufsinn jetzt hier ein dass ich jetzt hier wieder den Uhrzeigersinn wähle ist absolut willkürlich auf der rechten Seite dieses kleine Fenster das könnte eine Masche 2 sein auch hier wähle ich den Umlaufsinn im Uhrzeigersinn und dann gibt es hier noch eine dritte Masche die zeichne ich auch ein die ist auf Anhieb vielleicht nicht erkennbar das ist quasi hier diese äußere Masche ohne diesen querzweig auch dort lässt sich ein geschlossener Umlauf realisieren das ist die Masche ich nenne sie
3 und für alle drei Maschen schreibe ich jetzt die Maschen gleich auf also für die Masche 1 lautet die maschengleichung ich befinde mich jetzt hier also in diesem linken Teilfenster der Schaltung die quellspannung uq1 ist entgegen des umlaufsins der Masche definiert das heißt wir hätten hier -uq1 die Spannung UR1 ist im umlaufzinder masasche definiert deswegen positiv + UR1 es gilt für die diodenspannung ud1 und das gilt auch für die diodenspannung ud2 so und dann ist die sind alle Spannungen im Umlauf sinind der Masche erfasst das heißt die vorzeichenrtige Summe all dieser Spannungen ist 0 für
meine Masche 2 lautet der maschensatz so ich beginne bei der Diode hier im querzweig die Spannung ud2 ist jetzt der um dem Umlauf sinind der Masche 2 entgegengerichtet deswegen hier - ud2 + UR2 und - uq2 = 0 so und jetzt addiere ich mal diese zwei Gleichungen sie werden auch gleich sehen warum ich das tue so ich zeichne h meinen Strich drunter und addiere die beiden Gleichungen dann erhalte ich folgendes - uq1 aus der oberen Gleichung dann habe ich in der oberen Gleichung + ud2 in der zweiten Gleichung - ud2 das wird also gerade 0
+ UR1 + ud1 + UR2 und - uq2 ist= 0 okay warum habe ich das gemacht na ja wer jetzt genau hinschaut erkennt das ist gerade der maschensatz für die dritte Gleichung für die dritte Masche verifizieren wir das noch einmal wir beginnen hier auf der linken Seite also wir wählen jetzt diesen äußeren Umlauf der Masche 3 da hten wir hier auf der linken Seite -uq1 dann + UR1 + ud1 + UR2 und die quellspannung uq2 ist entgegengerichtet also - uq2 und dann ist der Umlauf geschlossen ist g= 0 das heißt die Masche 3 ergibt sich
hier also als Linearkombination aus der Masche 1 in der Masche Z und ganz generell werden wir sowas dann am Ende dieses Semesters noch mal näher untersuchen hier halten wir einmal fest es gibt hier also zwei linear unabhängige Maschen und die dritte Masche ergibt sich also als Linearkombination aus der aus den anderen beiden Maschen okay damit sind wir am Ende des Kapitels 1.3 zur elektrischen Spannung angekommen und im nächsten Kapitel werden wird dann also noch zwei neue Größen einführen nämlich Energie und Leistung
