vamos resolver uma questão de matemática olímpica essa questão é nível de olimpíada de matemática onde eu vi a questão dizia que era uma questão da china mas eu fui atrás para confirmar se eu encontrava aqui esse exercício nas olimpíadas de matemática da china mas não encontrei ok mas com certeza é uma questão olímpica uma questão bem interessante onde nós vamos trabalhar aqui vários conceitos algébricos nós temos o seguinte raiz quadrada de 5 menos 1 sobre 2 tudo isso elevado a 9 como nós vamos resolver isso aqui eu vou utilizar o conceito de substituição eu vou
dizer o seguinte que essa expressão aqui dentro dos parênteses é igual a uma letra eu vou chamar de “y” ok então eu vou dizer aqui o seguinte que a raiz 5 menos 1 sobre 2 é igual a “y” ok agora olha o que que eu vou fazer aqui eu vou manipular essa igualdade esse 2 que está dividindo essa subtração no numerador eu vou passar para o segundo membro multiplicando o “y” e nós teremos isso raiz quadrada de 5 menos 1 é igual a 2y ok qual é o próximo passo aqui o próximo passo é o
seguinte eu vou passar para o segundo membro esse menos 1 tá trocando o sinal olha como vai ficar já posso escrever assim 2y mais 1 igual a raiz quadrada de 5 mas professor você não iria passar para o segundo membro porque apareceu no primeiro na verdade eu faço isso aqui só que essa expressão é igual a essa correto posso trocar aqui de posição tranquilo ou seja se “a” é igual a “b” “b” igual a “a” ok já pulei o uma etapa mas eu mostro por que para você não ficar perdido o próximo passo agora é
o seguinte eu vou eliminar essa raiz quadrada tá para eliminar essa raiz quadrada eu elevo os dois lados ao quadrado então vai ficar 2y mais 1 quadrado tem que ser igual a raiz 5 ao quadrado observe agora que no primeiro membro nós temos o quadrado da soma de dois termos isso aqui é um produto notável muito conhecido desenvolvendo fica assim quadrado do primeiro termo mais duas vezes o primeiro termo vezes o segundo mais o quadrado do segundo no segundo membro raiz quadrada a quadrado o índice igual a expoente você simplifica vai sobrar aqui o 5
ok bom agora o que que nós vamos fazer aqui nós vamos desenvolver essa expressão essa igualdade esse 2 será expoente desse 2 expoente do “y” então vai ficar 2 quadrado 4 “y” quadrado “y” quadrado mais 2 vezes 2 vezes 1 4 vezes “y” 4y mais 1 quadrado 1 e isso tem que ser igual a 5 ajeitando aqui vai ficar assim 4y quadrado mais 4y mais 1 menos 5 igual a 0 então eu tenho agora 4y 4y fazendo essa operação fica menos 4 isso é igual a 0 observe que todo mundo aqui é múltiplo de 4
então eu posso dividir toda a minha equação por 4 fazendo isso olha como vai ficar “y” quadrado mais “y” menos 1 igual a 0 correto agora preste atenção eu preciso fazer aparecer um expoente 9 aqui não é isso eu tenho esse expoente 9 nós vamos fazer isso por etapa mas o que eu quero que você observe é o seguinte o próximo passo aqui agora é isolar “y” ao quadrado ok “y” quadrado será igual passando os dois termos aqui pro segundo membro vai ficar 1 menos “y” e essa igualdade aqui é importante ok nós vamos usar
ela no decorrer do exercício eu tenho portanto que “y” quadrado é 1 menos “y” agora o que que eu vou fazer eu vou separar aqui fazer essa marcação aqui para ficar organizado agora eu vou fazer o seguinte eu vou partir dessa igualdade “y” quadrado igual a 1 menos “y” essa é a igualdade que eu vou trabalhar agora e aí o que que eu faço olha que legal eu vou elevar os dois lados da igualdade ao quadrado fazendo isso nós teremos o seguinte agora aqui eu tenho potência de potência mantém a base multiplica os expoentes vai
ficar “y” elevado a 4 tranquilo acredito que você essa altura já está entendendo o raciocínio agora vai aparecer aqui um “y” a quarta nós vamos fazer isso até chegar no expoente 9 então veja isso aqui tem que ser igual eu tenho quadrado da diferença agora então fica quadrado do primeiro menos duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo desenvolvi isso aqui agora tá então olha só vai ficar “y” ao quadrado sendo igual a quem 1 quadrado é 1 menos 2 vezes 1 vezes “y” 2y mais “y” quadrado agora observe comigo “y”
quadrado é 1 menos “y” então vou fazer essa substituição olha o que nós teremos aqui “y” ao quadrado sendo igual a 1 menos 2y mais “y” quadrado é 1 menos “y” correto bom agora a gente manipula isso aqui “y” quadrado sendo igual a 1 menos 2y como aqui eu tenho um sinal de adição esses dois termos saem dos parênteses mantendo o sinal mais 1 menos “y” arrumando ainda a expressão “y” ao quadrado será igual a 1 mais 1 2 menos 2y menos “y” menos 3 “y” correto nós temos agora aqui uma outra relação importante tá
que é essa aqui porém aliás acho que nós nem vamos usar pensando aqui agora acho que eu nem vou utilizar isso mais eu vou partir dela correto vou marcar de novo aqui vou partir dela mas nós vamos utilizar essa aqui novamente vamos lá então agora eu vou fazer o seguinte aqui vou separar novamente e vou começar agora aqui de baixo “y” ao quadrado igual a 2 menos 3y ok e agora o que que eu faço eu vou elevar os dois lados da igualdade ao quadrado novamente então vai ficar assim “y” ao quadrado igual a 2
menos 3y quadrado vou desenvolver de novo correto aliás vou ter que vir aqui para baixo porque não vai caber então aqui mantém a base multiplica os expoentes vai ficar “y” elevado a 8 isso tem que ser igual olha aqui quadrado da diferença novamente então vai ficar quadrado do primeiro menos duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do sego desenvolvendo isso aqui nós teremos o seguinte 2 quadrado 4 menos 2 vezes 2 vezes 3 12 vezes o “y” é 12y mais aqui esse 2 será expoente do 3 e do “y” 3 quadrado 9
“y” quadrado vai ficar “y” quadrado mesmo tá certo bom vamos lá o que que nós vamos fazer aqui vamos trabalhar com substituição novamente 4 menos 12y mais 9 vezes “y” quadrado “y” quadrado é 1 menos “y” ok então é que eu vou colocar aqui 1 menos “y” desenvolvendo a expressão nós teremos o seguinte 4 menos 12y vou fazer a distributiva 9 vezes 1 9 9 vezes menos “y” menos 9y então “y” elevado a 8 será aqui eu tenho o seguinte mais 9 13 e aqui eu tenho menos 12y menos 9 “y” isso aqui é menos
21 aliás faltou o 1 menos 21 “y” tranquilo então nós temos aqui outra relação não vamos usar mais essa também mas ela é importante por que porque agora nós vamos partir dela para encontrar o expoente 9 tá só deixa eu voltar lá no início do exercício porque veja nós dissemos que tudo isso aqui vale “y” ok então no lugar disso aqui eu posso colocar o “y” então ficaria assim “y” elevado a tá então é esse cara que eu quero encontrar correto bom partindo agora veja só partindo agora disso aqui eu consigo fazer aparecer “y” elevado
a 9 por quê basta que eu multiplique os dois lados da igualdade por “y” tá certo já que aqui tenho “y” elevado 8 eu faço assim “y” elevado a 8 vezes “y” isso tem que ser igual a 13 menos 21y vezes “y” esse expoente é 1 ok aplicando aqui a propriedade multiplicação de potências de mesma base mantém a base e somos expoentes 8 mais 1 9 isso tem que ser igual agora aqui eu faço a distributiva 13 vezes “y” 13y e aqui é o seguinte menos 21 “y” vezes “y” 21y qu ok só que eu
ainda consigo mexer nessa expressão “y” elevado a 9 é 13y menos 21 “y” quanto é você lembra é 1 menos “y” correto é isso mesmo 1 menos “y” então “y” elevado a 9 será 13y menos 21 agora eu faço a distributiva 21 vezes 1 né vai ficar menos 21 e menos 21 vezes menos “y” vai ficar mais 21 “y” correto bom aqui vai ficar assim “y” elevado a 9 igual a posso fazer 13y mais 21y isso aqui e será igual a 34 34y menos 21 legal vamos lá com calma tá deixa eu fazer o seguinte
aqui agora eu vou pegar essa informação aqui tá vou pegar essa informação e vou trazer ela aqui para baixo ok bom aqui vamos deixar ela aqui vamos com calma para nós não nos perdermos tá então veja eu chamei tudo isso aqui de “y” tá certo então eu quero encontrar aqui o valor de “y” elevado a 9 “y” elevado 9 está aqui é essa igualdade ctrl “v” “y” elevado a 9 é essa igualdade aqui o que é que eu vou fazer eu vou fazer uma substituição por quem veja que eu tenho aqui 34 vezes “y” só
que “y” vale quanto vale raiz quadrada de 5 menos 1 sobre 2 então quem será o “y” elevado a 9 “y” elevado a 9 será 34 vezes “y” que é isso aqui raiz de 5 menos 1 sobre 2 ok menos 21 correto então calculando isso aqui eu encontro o valor dessa expressão elevado a 9 tá certo então vamos lá “y” elevado a 9 será igual como eu tenho aqui uma multiplicação aqui que esse número está multiplicando esses parênteses eu posso simplificar 34 dividido por 2 para você enxergar eu posso fazer assim 17 vezes 2 vezes
raiz quadrada de 5 menos 1 sobre 2 menos 21 olha só esse 2 eu simplifico com esse então “y” elevado a 9 será 17 vezes 5 menos 1 menos o 21 agora para finalizar eu faço a distributiva 175 ok vai ficar 17 raiz quadrada de 5 177 vezes menos 1 menos 1 7 menos esse 21 portanto para finalizar agora “y” elevado a 9 será 17 raiz quadrada de 5 fazendo essa operação aqui eu tenho menos 38 então está aqui o valor da nossa expressão inicial raiz quadrada de 5 menos 1 sobre 2 elevado a 9
tem esse resultado aqui beleza
