bonjour dans cette vidéo on se propose d'étudier l'exercice d'algèbre linéaire suivant dans l'espace vectoriel réel des applications de r vers r menu des lois usuel loi interne plus loi externe point on considère la famille de fonction B égal ensemble F1 F2 F3 F4 donc FP pour P entre 1 et 4 défini pour chaque P par FP de X é= exponentiel px et on se propose de montrer que la famille B est libre alors pour cela nous allons montrer que si on prend 4 scalaires alpha 1 alpha 2 Alpha 3 alpha 4 appartenant à r tel
que tel que Alpha 1 F1 + alpha 2 F2 + Alpha 3 F3 + alpha 4 F4 ég fonction nulle élément neutre pour l'addition dans l'espace F nous allons noter thêta alors on peut en déduire que les coefficients alpha 1 alpha 2 Alpha 3 alpha 4 sont nuls cette relation signifie que l'on a quel que soit x appartenant à r alpha 1 F1 de X exponentielle 1 x x + alpha 2 F2 de X ou exponentiel 2x plus Alpha 3 exponenti 3x + alpha 4 exponenti 4x é= thêta x fonction nul é= 0 nous avons
ainsi une équation vrai quel que soit x notre but est de montrer que tous les Alpha I sont nuls alors on remarque là on a des exponentiels et que si l'on met exponentiel 4x en facteur cette expression devient exponentiel 4x facteur 2 alpha 1 exponentielle x - 4x ou 3x + alpha 2 exponentielle 2x - 4x Mo 2x + Alpha 3 exponenti x + alpha 4 = 0 il est clair que ce terme est différent de 0 puisque le produit est nul c'est donc ce terme là qui est nul et on se ramène donc à
quel que soit x appartenant à r alpha 1 exponenti 3x + alpha 2 exponentiel 2x + Alpha 3 exponenti x + alpha 4 = 0 cette relation est en vrai quel que soit X en faisant tendre x vers plus l'infini ce terme est donc celui-là tend vers 0 ce terme tend vers 0 ce terme tend vers 0 et on obtient alpha 4 = 0 il nous reste donc la relation suivante quel que soit x appartenant à r alpha 1 exponenti x + alpha 2 exponenti 2x + Alpha 3 exponenti 3x alors ALP 4 est nul
donc ég 0 on va procéder de la même manière on va mettre exponentielle 3x en facteur facteur donc de Alpha 1 exponentiel x - 3x ou 2x + alpha 2 exponentielle 2x 2x - 3x ou x + Alpha 3 é= 0 de la même manière on remarque que là ce terme est différent de 0 et puisque le produit est nul c'est donc ce terme qui est nul alors ce terme étant nul nous avons donc quel que soit x appartenant à r alpha 1 exponenti - 2x + alpha 2 exponen - x + Alpha 3 =
0 quel que soit X en faisant tendre x vers l'infini ce terme et celui-là tendre vers 0 et on obtient Alpha 3 = 0 et de même il ne reste maintenant quel que soit x appartenant à r alpha 1 exponentiel x + alpha 2 exponentiel 2x = 0 en mettant exponentiel 2x en facteur on va avoir exponentiel 2x facteur de Alpha 1 exponentiel x + alpha 2 = 0 encore une fois ce terme n'est pas nul c'est donc celui-là qui est nul si dans ce terme on fait tendre x vers l'infini nous avons cette quantité
nulle il nous reste alpha 2 = 0 et on se retrouve avec la relation quel que soit x appartenant à r alpha 1 exponentiel x ég 0 et comme ce terme est différent de 0 ce terme là est différent de 0 c'est donc alpha 1 qui est nul et par conséquent la famille B est libre la famille B est bien libre
