CÁLCULO DIFERENCIAL I

Olá sou o professor Marcelo de Melo Hoje iremos tratar aqui do cálculo diferencial uma matéria com 8 aulas né estaremos aqui conversando um pouquinho sobre ele né então continuando aqui temos aqui a pauta da aula né são oito unidades funções e limites definição de limite matemático e demonstrações cálculo de limites leis básicas e limites abordagem numérica e gráfica de limites de investigação gráfica e limites laterais limite continuidade de funções complexas cálculo diferencial derivadas definição e derivadas de funções trigonométricas estão aqui para nossa amizade um vamos falar um pouquinho de funções e limites né então você

tem uma definição na verdade funções tem várias definições tá e alguns autores cada um tem uma forma de dizer o que é função Então pegamos aqui o Gomes né e define uma função f uma relação que associa cada elemento xion conjunto chamado de que é de domínio a gente chama de conjunto domínio um único elemento FX ou Y no conjunto C denominado contra domínio Então você tem o conjunto A onde você vai ter aqui a gente chama de X né os valores de x e você vai ter um conjunto B chamado contra domínio são os

valores de Y ou seja para cada valor de X você aplica a função né E você vai ter um valor que é chamado Y Ok então o que você tem o conjunto A com os adolescente 50 200 300 400 gramas e aqui você vai ter o valor de preço né vamos dizer assim o preço dessas gramas Então o que é função do que é mais importante da função é isso só todos os valores de x a para cada um eu preciso ter um valor aqui correspondente aqui a y ou seja cada valor do domínio é

necessariamente tem que ter um valor aqui no contra domínio tudo bem todos eles têm que ter não pode sobrar nenhuma aqui tá bom a gente vai ver aqui alguns exemplos muito bem então aqui você tem note aqui ó que você tem o domínio onde você tem aqui quatro valores e todos eles ó todos não pode faltar nenhum tem um valor aqui em Y tá é claro que você tem dois valores de x aqui que tem o mesmo contra domínio isso não tem problema tá então você tem aqui e outra coisa o que não pode ao

contrário né uma função Não pode ter um X com dois valores em Y isso não pode tá ou seja para todos os valores de x existem um único elemento aqui em Y que pode ser o mesmo no caso aqui do três tá Você nota que cada valor de X só tem uma saída aqui tá vendo uma correspondência isso é importante E aí eu tenho a tal da função sobrejetora que que é uma função sobrejetora quando o conjunto imagem for igual ao contra domínio Ou seja todos os valores do conta domínios tem que ter x correspondente

né não pode sobrar nenhum aqui Apesar de que poderia acontecer de sobrar um valor de y tá o que não pode assombrar em x mas e y pode sobrar Então se todos eles forem utilizados no contra domínio eu chamo de função sobrejetora agora uma função injetora que que é uma função injetora quando elementos distintos do domínio ou seja do X Você tem uma imagem diferente também lembra do anterior aqui ó que eu tinha dois valores de x com o mesmo Y na injetora Isso não pode acontecer tá todos os valores de x Na verdade tem

que ter função tem que ter um único Y diferente de um outro X então para cada x 1 Y diferente isso é injetora Note que sobrou aqui o valor dois tá ou seja não há nenhum x que corresponde ao valor dois no caso aqui injetora mas não sobrejetora lembra porque para sobrejetora todos os valores do condomínio deveriam ser usados e o dois aqui está sobrando tá então ele é uma injetora porque cada X tem um único y e são todos diferentes agora tem uma bijetora vegetou é a junção das Duas né olha todos os valores

do conta do Minas estão sendo utilizados e todos uma única vez ou seja não tem nenhum x ou não tem nenhum 2x não dizer assim né que tem o mesmo Y então é uma injetora porque para cada X tem um Y diferente tudo bem E todos os Y nós estão sendo usados então é uma função injetora agora eu vou falar um pouquinho de continuidade e limite Você tem uma função aí como exemplo de X elevado a 2 né uma função quadrática a gente chama de função quadrática ela é contínua ou seja qualquer valor que você

dê para x imagine o valor qualquer né você vai ter um Y tá vendo aqui ó Então ela é bem contínua mesmo né pode pegar qualquer valor aqui no valor de x é claro que você tem uma parte do gráfico Mas você vai imaginar que todos os valores de x né você vai conseguir ligar aqui com o valor de y tudo bem porque qualquer número ao quadrado existe perfeito uma função contínua e aqui eu tenho uma função descontínua a contínua também ela diz assim ó você vê que não existe nenhuma quebra no gráfico se você

for seguir o gráfico aqui ó ele não quebra né você pode pensar assim também tá agora isso não acontece nesse tá vendo ó e para x até um né ou seja x menor do que um Eu tenho um Y que é o número um tá vendo aqui agora tá até valor acima do um né ou para x maior do que um O resultado é o valor três né o Y ou 3 ou seja você tem uma quebra do gráfico aqui no número 1 né então eu posso dizer aqui que ela é descontínua no x igual

continuando funções de limites né continuidade aí eu tenho aqui uma representação gráfica de limite agora para dizer o que que seria o limite né Então imagina que você tem aqui Um Valor de XP ok Não e você tem aí valores de x vindo para aprender próximos ao p tanto do lado esquerdo quanto do lado direito tá bom então se você olhar para este lado no x aqui e olhar os resultados do Y tá vendo aqui ó também né no x igual a p você vai ter um Y né substituindo o valor de p aqui que

é o f de p o x se aproxima de p pela esquerda e se aproxima de p pela direita e o f de x também se aproxima do F de p aqui no caso de cima para baixo e o f de x e podia ser X1 e X2 com números diferentes valores diferentes vamos chamar de X1 aqui que X2 né então f de x se aproxima do F de p de cima para baixo e o f de X1 se aproxima do fdp de baixo para cima Então você tem um limite tá quando isso acontece beleza

você tem um exemplo aqui ó Então imagina que você tem uma função x + 4 ela está representada em azul aqui tá bom tem vários pontos aqui desta função então para X1 aqui lógico com mais quatro dá cinco você tem aqui o X3 por exemplo né e três mais quatro dá sete que vai acontecendo Qual que é a função quando o X tende a 2 chama-se qual será o limite no ponto x = 2 você vê que acontece o seguinte ó pensa no três aqui que vai para FD X7 né fdx fica igual a 7

é 23 né você vai se aproximando aqui ó o três até chegar no 2 e lá também ó o sete vai se aproximando até chegar no seis tá vendo do outro lado se você tiver x igual a 1 que é 5 né o F1 Quando você vai aumentando aqui chegando próximo de dois O resultado vai se aproximando também dos seis tá vendo Então tanto para direita quanto para a esquerda o x variando da direita para a esquerda né e da esquerda para direita ou seja se aproximando de dois você tem a função se aproximando de

seis então eu posso dizer que o limite né desta função x + 4 para x se aproximando atendendo a dois é igual a seis que tanto de um lado quanto o outro vai para o mesmo valor então isso é limite tá bom aí eu tenho algumas propriedades importante notar que a gente tá fazendo um resumo aqui da unidade tá a gente tem aqui uma hora para comentar as oito unidades e você vê que a unidade ela é um pouco né ela tem algumas páginas né então a gente fez uma criação resumo né das principais né

propriedade das principais informações né e a unidade um dos fornece Tá bom então aqui numa dessas informações tem as propriedades dos limites da soma né [Música] estendendo assim imagina o gráfico né chegando próximo de cima tem um valor de y como é que eu posso calcular isso eu posso separar essa soma tá vendo em dois limites limite de 3x para x assim mas o limite de 7 x 5 importante notar aqui por exemplo aqui ó quando x = 5 aqui o y sempre é 7 Então esse limite aqui não importa qual o valor difícil sempre

vai ser 7 e esse daqui vai ser substitui né o x aqui no 3 né X então o limite de 3x vai ser 15 né Tá bom então 15 + 7 dá 22 aqui é só um resultado né final mas o importante é quer saber que a soma pode ser separada em várias no caso aqui só tem uma soma separei em dois termos aqui o limite a probabilidade da diferença se você tem uma subtração aqui tá vendo você pode separar em dois também beleza no caso 4x - 1 pode ser o limite de 4x coloca

o dois aqui substituído o limite da constante aqui tá vendo não importa o valor de X sempre ela tem 8 menos um que é sete se você tiver uma multiplicação também nos limites né sem problema algum tá você também pode multiplicação por constante então três vezes qualquer função três vezes uma função 4x + 7 posso separar esse vezes aqui em dois né então limite tá vendo fica três vezes o limite tá vendo Então aqui eu separo aqui o limite fica três vezes o limite e depois você calcula o limite aqui dentro que você pode separar

também se você quiser ou pode fazer de uma vez no caso aqui foi feito de uma vez tá vendo substituiu aqui na função deu 27 a esse três aqui que tava aqui dentro passou lá para fora então fica três vezes o 27 que é 81 é claro que se você substituísse aqui direto também ó 5 aqui no lugar de X estaria 27 3 27/81 seria o limite da Constante 81 que daria 81 da mesma forma tá então ou você tira o número que tá multiplicando aqui multiplicando o limite lá fora ou calcula Aí dependendo aí

do que você achar mais rápido para você mais nada impede de você fazer isso isso é a propriedade Ok e a propriedade do produto Agora sim né se você tiver duas funções multiplicadas né Tem uma função multiplicando uma outra função eu posso separar esses limites ele multiplicando os dois limites então é o que tá acontecendo aqui limite de x³ [Música] propriedades de limites mais três propriedades do quociente ou da divisão né vamos dizer assim ó tem duas funções dividindo tá bom É claro que aqui não pode ser zero aqui embaixo tá mas o x aqui

é 3 Tranquilo então o que você faz separa em dois limites então o limite do quociente ou da divisão é a divisão dos limites Ok substituindo novamente vai dar 24 por 6 que é igual a 4 a da potência lá quando você tem um número impotência né Tem uma função elevada a uma potência você pode fazer o quê o limite inteiro elevado a essa potência no limite de 3x - 2 ao quadrado para X tendendo quatro nada mais é do que o limite de 3x - 1 - 4 tudo isso elevado a 2 tá dizendo

que o exercício e propriedade da Constante já fizemos até exercícios mas essa propriedade o limite de uma constante não importa propriedade dos limites mais uma propriedade aqui limite de X para x tendendo aqui colocou um pino então não importa quem seja o número né sempre vai ser o número então limite de X para x qualquer coisa vai dar certo qualquer coisa limite de x por exemplo aqui elevado a 2 né você pode também substituir o valor aqui ó 6 ao quadrado né E fica 36 você podia fazer também o limite de x6 né ao quadrado

ou você voltaria nessa forma o limite de qualquer número né de cheio de qualquer número qualquer número elevado ao quadrado é 36 e da raiz enésima de uma função então também você tem uma raiz aqui dentro você pode fazer essa raiz fora do limite tudo bem aqui no caso raiz cúbica de 4x podia ser o limite de da raiz de 4x ele a raiz cúbica desse limite você tinha só a raiz cúbica aqui dentro aqui ó Só que essa rede pode sair fora então algumas propriedades aí são 10 no caso agora a definição de limite

a gente já tinha falado um pouquinho lá mas é isso tá eu vou chamar agora uma função de l ou seja o f de x vai ser um lzão que tá aqui tá bom você tem um X x qualquer aqui tá E aí você tem o f de x que é o l tudo bem que que seria isso olha você encontrar um Delta Então você Delta que seria aqui no x tá bom não então Imagine que x menos x Vamos pensar aqui mais ou menos isso aqui então Imagine que você tenha um X que que

seria esse x menos x zero aqui né seria uma distância Imagine que seja uma distância tá você vai ter um Delta que é maior do que essa distância e a distância sempre módulo lógico distância e se você pegar aqui ó um x menor do que o x0 isso aqui daria negativo não é mas eu tô pensando é de distância então a distância sempre é positivo o importante é assim ó que esse Delta seja maior do que essa distância tanto do lado esquerdo quanto do lado direito então se você tiver um Delta positivo por isso que

ele tá entre zero e delta tá vendo tem que ser um Delta positivo onde essa distância é menor do que ele distância de qualquer valor de X a x0 tem que ser menor do que esse Delta tá bom E aí você vai ter aqui em cima - o l também vai ter que ser menor do que um Epson Então vai ter que ter um Delta que seja maior que a distância de x e x 0 e você vai ter que ter um Epson que seja maior do que a distância do f de x e o

l então se você pegar um X aqui próximo de x 0 você vai ter um f de x quando você subtrai com ele ou a distância de n vai ter que ser menor do que o Edson você precisa ter um Epson em Y que é maior que a distância das funções dos FS desse x também onde a distância tem que ser menor do que o delta Então essa seria uma definição né que a gente quando diga até que é um pouquinho complexa tá o que é bom para gente aqui A gente não vai precisar provar

nenhuma função usando essa essa definição né tá bom que ela é bem complexa mas dá para entender é o que eu disse lá logo no comecinho né então você tem um X próximo de x 0 tanto do lado esquerdo ou direito né tá bom vai existir sempre um Delta que é maior do que essa distância isso também vai acontecer lá vai sempre existir um Epson também que é maior do que a distância entre os éfes desses que você escolhe aqui próximo do X principal beleza Então essa é a definição de limite matemático E aí eu

vou pegar um exemplo como é que você provaria o limite usando essa definição agora que nós como eu falo para vocês tá nem todos os limites vão ser definidos através desta desta conta aqui tá bom se não é muita conta e não é necessário tá você vai ver depois você consegue resolver o limite mas simples por exemplo substituindo dois aqui né substitui aqui ó 3 x 2 vai dar 6 - 1 é 5 tá perfeito só que eu vou mostrar usando a definição então a definição é isso aqui ó tem que existir aqui um Delta

maior que zero lembra quer dizer o delta tem que ser maior do que a distância entre x - x 0 Vamos tentar achar esse Delta aqui tá se eu conseguir achar um Delta positivo tá bom não usando aqui que o f de x menos L também tem que ser menor do que uma distância Epson lá no Y eu provando isso eu posso dizer que esse limite está correto o que eu vou fazer mais ou menos é isso aqui ó vou utilizar essa conta aqui ó que é o Então existe um Delta maior que zero Tá

ok né f de x menos ela em módulo seja menor do que o Epson Então vamos dizer aqui que é módulo né e o f de x quem é o f de x aqui 3x - 1 então módulo de beleza menos o l que que é o l aqui eu tô dizendo que o l É o 5 né então menos se esse módulo ele é menor do que o Edson tudo bem é um Edson não é positivo também então aqui eu estou no Y né é um Epson maior que zero calculando aqui dentro eu vou

ter 3x - 6 não é isso em modo menor do que o Edson coloco 3 e evidência pode colocar aqui ó 3 x menos 2 menor do que eu existo esse três e módulo pode sair fora do módulo aqui né seria três vezes o módulo fazer essa passagem Três vezes o módulo né de x - 2 menor do que esse três aqui eu posso dividir né então módulo de x menos 2 é menor que Epson sobre 3 sobre 3 né então desta função aqui ó desta propriedade aqui f de x menos L modo do menor

que Y eu consigo chegar em x - 2 < Y sobre 3 que nada mais é aqui ó desse daqui que eu preciso tá vendo x - 2 Tá certo porque eles fizeram dois aqui ó eu precisava fosse dois mesmo então eu posso dizer que eu cheguei nisso 2 não é módulo de x-me2 menor do que Epson sobre 3 quem que seria o Epson sobre 3 seria outra né esse Delta aqui seria igual a Epson e Epson é positivo o terço de Epson também é positivo então eu chego no Delta aqui certo que é positivo

tá bom E é claro né se ele é positivo né esse módulo sempre tá entre zero né esse módulo é positivo tá então 0 sempre é menor do que um número positivo e Este número é menor do que um Delta que eu precisava achar então se fosse fazer no gráfico é isso né Você tem o x aqui né é dois eu tenho Delta aqui que né imagina que o delta né aqui aqui né tanto faz tá bom onde esse a distância entre X é menor essa distância E aí esse é esse x vai ter um

f de x eu chamo de L né e cada um desses um menor ou maior do que o X2 você vai ter um f de x né que é menor do que o Edson beleza que quer é maior né do que essa distância entre eles então é o que eu acabei mostrando aqui tá que você tem um Epson e esse aqui vai ser o terço do Edson então a definição é mostrada dessa forma tá bom É claro que a gente vai fazer funções agora limites sem usar essa definição mais fácil assim Então vou pegar aqui

por exemplo no gráfico você tem esse gráfico aqui eu quero calcular alguns limites E aí vamos pensar aqui no limite de -2 para x - 2 o limite sempre é o valor do Y perfeito Então qual é o valor de y né qual é o valor de y né para x substituído na função dada então eu tenho aqui uma função qualquer que já tá aqui no gráfico imagine quer ser o gráfico da função para menos dois o que que seria menos dois x igual a menos 2 que que é esse menos dois elevado aqui é

para o lado esquerdo tá então se você pensar que no x do lado esquerdo não tem função nenhuma que né a função ela começa aqui no menos dois anos e vai para a direita então para esquerda não tem nada que não tem função nenhuma então eu diria que não existe tá bom posso colocar o símbolo aqui ó não tem nenhum Y né porque não tem função para cá agora para o lado positivo ó tá vendo você tem então para o lado positivo ou do lado direito indo para -2 Quanto que vale o y o y

vale zero né esse tem um pontinho fechado aqui então nessa função o y vale zero então aqui é o limite para dois lado menos dois do lado direito dá zero aí a pergunta é Qual que é o limite para x = -2 não só do lado direito mas também do lado esquerdo ou seja como não tem elevado aqui nada é dos dois lados né então o limite dos dois lados não vai existir porque só existe de um lado só vai existir limite se os dois lados foram o mesmo valor beleza Então como você não tem

valor aqui para lado esquerdo Então esse também não existe ok esse limite para menos dois não existe agora tenho menos um Olá -1 do lado esquerdo menos um do lado esquerdo tem que pegar essa função aqui tá vendo a função que tá do lado esquerdo ele menos um é essa E aí quando você pega aqui o valor você vai ter o valor número 1 então o x tendendo a -1 do lado esquerdo tende a um aqui do Y ok o menos um do lado direito do lado direito a função tem de a um Positivo né

então do lado direito o resultado aqui é um aqui no caso é menos um certo então para o lado esquerdo é -1 e para o lado direito é um Então qual que é o limite da função para X = -1 para x -1 você também não vai ter porque são valores diferentes tá vendo existe a quebra no gráfico né o gráfico tinha que ser contido aqui é uma função descontínua né em menos um então o limite não existe eles deveriam ser o mesmo então aqui você vai colocar aqui não existe também apesar de existir os

laterais Você não tem o cheio né vamos dizer no caso do 1 do lado esquerdo Você tem o valor que é Y igual a 1 tá vendo a função aqui do lado esquerdo vai chegando no um Y do lado direito mesma coisa do lado direito um X chegando do lado direito também vai ter o valor um Tá vendo você lembra ali da da definição né lá você tem aqui x se aproximando do lado direito esquerdo posso tomar aqui um Delta essa distância é menor do que um Delta qualquer você vai ter também o f de

x né Tanto do lado direito quanto do lado esquerdo se aproximando de um que é o menor do que um Epson a distância desses fis é melhor do que um Epson qualquer Beleza então você tem limite aqui no caso nesse caso os dois lados se aproxima E o Zé também se aproxima de um valor que é um então o f de o limite do fdx = 1 Aí sim os dois lados tendem aqui vai ter valor tudo bem adiantar um pouquinho né Por causa do tempo já tô na unidade 3 agora aqui você vai ter

na unidade 3 algumas as leis básicas limites né e alguns cálculos usando esses essas leis básicas tá bom nesse caso aqui qual lei que eu posso usar eu posso usar essa aqui ó da terceira aqui ó f de x vezes x eu podia colocar aqui ó no lugar do x ao quadrado x vezes x ficaria limite né de X vezes x beleza aqui né então aqui não vou fazer tudo mas a ideia é essa aplicar o limite de X para três vezes limite de X para 3 o limite da de X para qualquer valor de

x é sempre ele mesmo né o limite de X para x tendendo alguma coisa sempre vai ser aquela coisa né então o limite de x p três É três então ficaria três vezes o limite de X para entender três Então nesse caso aqui seria resultado igual a 9 tudo bem seria três vezes três Apesar que lembra você pode substituir direto aqui ó 3 ao quadrado também dá 9 mas aqui a gente só tá aplicando as leis tudo bem as propriedades nesse caso aqui ó da subtração você pode substituir em três limites Tá bom mais aqui

podia ser mais ou menos tá que também tem pode ser mais aí seria limite de várias soma de limites e aqui pode ser menos seria várias subtrações limitantes então poderia usar aquele limite de quatro ter ao cubo para se estender a menos 1 menos limite de ter para ter te entendendo menos um menos limite de cinco para até a menos um você teria o resultado tá ou você substitui tudo também menos um aqui ficaria menos um Ao Cubo que é menos um vezes quatro dá menos um menos se o ter menos um limite de ter

para ter menos um é menos um então ficaria menos menos um então aqui eu teria menos quatro mais um né mais um menos o limite de cinco para qualquer T vai dar 5 aí menos 5 esse resultado daria menos 8 beleza e aqui também você podia substituir em dois limites dividir limite de texto [Música] dividido pelo limite de 3t essa ideia beleza aí substituindo aqui o número 2 2 + 5 / 3 x 2 6 Então seria 7/6 Apesar que também pode fazer direto essa aqui vai ser a nossa intenção depois ao invés de você

usar aqui as propriedades você pode ir direto substituindo mas estamos aqui alguns limites continuando então na terceira ela trabalha com essas propriedades tá bom na quarta já abordagem numérica tá bom elementos laterais vamos dizer aquilo por exemplo você tem uma função módulo de X por x ela é um XX for maior que zero lógico qualquer valor de zero aqui ó se você colocar né positivo aqui vai dar positivo dividido pelo positivo vai dar um ó se o x for negativo substituindo aqui vai dar até positivo mas embaixo é negativo né então o positivo com negativo

daria menos um tudo bem Tá tá dizendo aqui e aqui é uma propriedade você tem que lembrar disso aqui sempre E no caso aqui do tendendo é zero aqui eu tenho tendência para o lado positivo então o limite do modo de x sobre na zero do lado positivo é um eu já vou olhar isso daqui perfeito agora do lado negativo é menos um esse limite tá entendendo é zero do lado negativo E é claro que o limite se estender na zero não existe tá se eu fosse perguntar porque que não existe porque de um lado

é um outro lado menos um outro limite que é o limite que tem dentro a zero positivo novamente para um sobre x então fizemos aqui o gráfico de um sobre x um sobre um número positivo chegando muito próximo de zero tá vendo que a do zero do lado positivo chegando próximo de zero Imagine que você tem aqui Um sobre 0,0001 e a Dark por exemplo um sobre mil não é isso nesse caso aqui um sobre 10.000 ia ficar um sobre um sobre 10 mil quando você inverte isso daqui né um sobre 10 mil ficar um

vezes 10 mil sobre um que vai dar 10 mil né essa conta aqui dá 10.000 então ou seja quanto mais próximo de zero né mais esse número tende ao infinito Porque quanto mais mais número zero você colocar aqui quando você faz essa inversão vai dar um número muito grande né do lado direito o limite de um sobre x para x tendendo a 0 vai ser mais infinito Olá quanto mais próximo de zero maior vai ser o número e para o lado negativo também menos 0001 né que você faz a inversão vai dar um número infinito

grande infinito vamos dizer assim né mas negativo né então menos um milhão por exemplo aqui quanto mais próximos do zero à esquerda Então ela quer outro limite que o importante é você saber tá limite de um sobre x para estender a 0 positivo é mais infinito para estender na zero negativo né do lado esquerdo menos infinito aqui também o que eu tenho aqui é a gente chama de assim outra né Aí você não tem só um sobre x lá um sobre x assim toda nossa seria zero tá aqui no caso é isso aqui que acontece

o limite da função de um lado da Positivo do outro da infinito então para se estender no infinito vamos dizer aqui por exemplo essa função aqui para x tender no infinito Olá x indo muito para o Infinito você vai ter um valor aqui que é dois tá vendo olhando o gráfico né quando você pega essa função aqui para se estender a menos infinito ela de lado esquerdo aqui também tem de a2 tá vendo Então as duas funções quando tende ao infinito tanto para o lado direito ou para o lado esquerdo sempre chega no valor então

esse valor aqui a gente chama de assim tocar horizontal tá e aqui pegou um exemplo né 2x + 1 / x ela tem um acento em dois porque olha lá você pode fazer aqui dois x sobre x mais um sobre x separa que podia até separar mas pode calcular aqui mesmo né Chega aqui simplifica com x vai ficar limite de dois para infinito mas limite de um sobre x ao infinito esse limite de um sobre infinito nós já fizemos né que dá quanto limite de um sobre x para infinito quanto maior for o valor aqui

embaixo Mas é próximo de zero não é isso não um sobre o número muito grande tende a zero imagina que é 1 sobre o número muito grande né imagine um sobre 100 só dá 007 é um resultado de limite tá um sobre 100 dá 0,01 tá bom que tá próximo de zero não tá agora imagine um muito maior que isso um sobre 10 mil né olha lá então quanto maior for o número aqui embaixo né mais próximo de zero ele é né então 0,00 [Música] maior quanto maior for o número aqui embaixo que é infinita

mas isso daqui é próximo de zero esse aqui ficou zero né o limite de dois para qualquer valor de x é 2 então quando aparecer uma função desse tipo né infinito a solução vai ser assim horizontal que é igual a dois no caso aqui tá bom um outro tipo de limite você tem aqui por exemplo o gráfico de x ao cubo imagine aqui quando o X tende ao mais infinito Olá quanto maior for o x muito mais infinito ele vai né então x tendendo a mais infinito nesse caso vai dar mais infinito e o x

tendendo a menos infinito lá que que acontece quanto maior mais o Y ou x for negativo aqui ó mais o gráfico vai descendo aqui para o Infinito então ficaria menos infinito nesse caso aqui é bom você substituir né Você pode substituir algo mais infinito ao cubo da mais infinito e menos infinito Ao Cubo dá menos infinito Então pode substituir aqui que daria certo tudo bem Então você tem algumas funções que você pode analisar em algumas coisas do gráfico tá bom é o que tá fazendo a unidade 4 aqui então agora limites laterais novamente olha lá

um sobre x menos dois aqui tem outro tipo de gráfico tá bom nesse caso aqui eu vou ter uma sintonia já a gente chama de sempre tá vertical tá bom essa aqui que seria o dois que é o seguinte ó imagina que você tenha a função da X2 do lado Então essa é a função 1 sobre x menos 2 o 2 do lado esquerdo essa função tende para Quanto quanto mais próximo desses dois do lado esquerdo mais o infinito negativo ele vai tá vendo por isso que esse resultado dá menos infinito Então esse lateral para

o lado esquerdo vai entender a menos infinito e esse limite lateral do lado direito do dois ele vai entender a mais infinito Ok então esse é outro tipo de gráfico Onde você consegue calcular os limites já tem um aqui que é um sobre x ao quadrado então gráfico de um sobre x ao quadrado Qual que é o limite para o lado esquerdo não importa né zero aqui tá vendo a x tendendo do lado esquerdo vai entender mais infinito que é um sobre x quadrado né e para o lado direito também como tá o quadrado né

vai dar positivo né E quanto mais próximo aqui do dois do zero né Maior vai ser o número então é mais infinito dos dois lados tanto do lado esquerdo quanto do lado direito e agora quando você tem aqui a gente chama de indeterminação né se você substitui o x aqui ó tanto em cima quanto em baixo vai dar zero sobre zero OK tá bem explicadinho aí no texto depois né mas é isso como é que você faz para tirar esse zero sobre zero na verdade a gente chama de interdeterminação que se fosse pai imagina que

você vai calcular zero dividido por zero né zero dividido por 0 Podia colocar um aqui não podia porque uma vez de zero a zero mas eu podia colocar dois né dois vezes zero é zero ou qualquer outro número né qualquer número vezes zero é zero então zero sobre zero eu podia dizer que existe um valor né mas que valor é esse a gente chama de valor indeterminado só vou conseguir achar se eu fizer algumas mudanças algébricas aqui ó e aqui eu vou fazer Tá vendo como X tende a três a ideia fazer x menos três

embaixo porque o que faz ficar zero É exatamente esse 3x aqui né você pega x menos 3 a 10 que eu vou ter que fazer em cima vou ter que mexer alguma coisa para chegar em x - 3 e tirar esse zero de baixo que que eu faço nesse caso aqui aquele x menos 3 ao quadrado né X - 3 ao quadrado é a mesma coisa que x quadrado menos 6x + 9 ou seja você tem x menos 3 duas vezes é como se você tivesse x - 3x - 3 né E você simplifica com

o de baixo vai ficar um só um né um x menos 3X - 3 sempre fica com o de baixo que é o que dava zero sobre zero tá vendo aí você sempre ficou esse zero sobre zero sobre o x - 3 substituindo três agora vai dar zero ou seja zero sobre zero neste caso era zero mesmo aqui embaixo novamente você substitui o valor aqui ele vai dar colocar menos quatro vai dar 0 sobre 0 então como é que eu faço para tirar esse 0 sobre 0 né x - 4 então começa com x +

4 embaixo x + 4 em baixo para chegar nesse aqui a x ao quadrado + x - 2 que que precisa fazer tem que dar x - 3 Tá bom então x + 4 x - 3 vai chegar nesse resultado aqui né vocês viram isso aqui em matemática básica né Você pode também pegar esse polinômio e dividir por x + 4 você vai ter x menos 3 como resposta x ao quadrado + x - 2 dividido por x + 4 dá x - 3 e lá em cima eu só coloquei o dois e evidência porque

ficou x + 4 aqui ó simplifiquei onde que dava zero sobre zero eliminei o zero sobre zero sobrou dois sobre x menos 3 aí você vai substituir o menos quatro aqui vai dar menos dois sete então aqui ó O resultado é o menos dois sétimos também que vezes zero também dá zero tudo bem acabou o culto esse valor vamos para cinco pouquinho já vai trabalhar um pouquinho com posições complexas mas não tem muita diferença não tá que é o a + Bi né então o que você vai fazer aqui nesse caso aqui substitui o 2i

no X então vai ficar 2i ao quadrado 2i ao quadrado + 3 x z e que é o z aqui tem na verdade a da função complexa no lugar do X vai ter o z tá vendo que é um número complexo então o z vai entender um número qualquer aqui substitui o Z no limite que é o que eu tô fazendo aqui ó mais três vezes Z os dependendo a dois e faz essa conta 2 e aqui mais 6 z só que eu ia quadrado não é menos um fica duas vezes menos um duas vezes

menos um vai dar menos dois aqui é dois ao quadrado também ó dois ao quadrado então fica dois ao quadrado fica quatro né Quatro perdão aqui ela fica quatro e ao quadrado né é o 2i ao quadrado + 6i é melhor assim só que o io ao quadrado é -1 então fica menos 4 então o resultado final vai ficar o quê - 4 + 6i - 4 + 6 perfeito e aqui tem as propriedades são as mesmas propriedades do limite de uma função Não seja complexa então limite da função complexa as propriedades são as mesmas

são idênticas tudo bem temos aqui agora um exemplo aqui tá para o x aqui tem dentro aqui ao INSS 5 dividido por 3 e ao quadrado + 3 ora para poder resolver esse limite o que que foi feito aqui tá foi feito a inversão né invertia que ficou sobre 3 ao quadrado + 3 1 sobre Z né um sobre a função né então Imagine que a função aqui seja essa né isso daqui então sobre o f de Z vai ser inverter tudo isso aqui fica 3X ao quadrado né mas sim mais três né dividido por

5 é 1 sobre a função E aí quando você faz um sobre a função para x tendendo aí ó o que vai acontecer aqui ó limite de né Se eu colocar aqui embaixo no lugar do X aqui o do Z colocar aí vai ficar três e ao quadrado não é três e ao quadrado + 3 ora o i ao quadrado é -1 aqui vai ficar zero né quando substituir fica zero dividido por 5 né zero dividido por 5 é zero não é aí quando eu volto novamente lá na minha identidade né Quanto que é que

para limite de um sobre zero né na verdade é isso né que aqui vai ficar um sobre zero agora que eu vou voltar aqui né eu voltando aqui para este vai ficar um sobre 0 1 sobre 0 lembra né que é infinito quer dizer quanto mais próximo de zero né mais infinito é o resultado então isso aqui na verdade essa função aqui do jeito que tava cinco sobre zero tratado esquisito aqui né mas é porque na verdade quando você fez a inversão e calculou o limite né usando I um sobre zero né isso aqui tem

já é o infinito limites no infinito é que você é um pouquinho de atender não é infinito Olha que seria isso aqui entendeu infinito hora fez aqui uma parte algébrica colocou usei evidência vai ficar três né porque fica três vezes mais quatro dividido por zero quatro / 04 Então tá tudo certo aqui né embaixo a mesma coisa evidência vai ficar dois mais um sobre Z um sobre gênero alteração só usou uma álgebra aqui né tranquilo e aí agora o que que eu tenho Z sobre Z simplifica não vai precisar mais ficar um sobrou isso daqui

só que vendo aqui quatro tendendo a um número muito grande vai ficar Zero Não é isso e um número muito grande vai ficar zero também então tem de tudo isso daqui é zero O resultado vai ficar só três meses é uma forma de você resolver limites no infinito aqui ó de uma função complexa desta forma sempre você vai chegar no resultado tá bom para que normalmente mais um exemplo que é o mesmo esquema Tá bom coloca o z em evidência aí ficou quatro sobre esse é o cubo é que você colocou em evidência ficou um

mais 30 sobre Z esses dois aqui o que sobrou aqui vai dar x ao quadrado aqui Zerou né já fizeram isso aqui Zero Não então o que sobrou foi limite de x², né no caso de dizer né dizer ao quadrado para Z tendendo ao infinito positivo dependendo ao infinito hora só substituir limite de ao quadrado fazer atender no infinito é infinito ao quadrado só que infinito ao quadrado é infinito OK tá uma forma também de resolver limites infinitos não infinito isso aqui já tá o infinito e o resultado Deu infinito tudo bem agora aqui a

definição de uma derivada então dar uma função qualquer que quer o que seria derivada derivada ela é o limite de f de x é como se eu tivesse aqui um gráfico é que tá lá no texto você tem tá você tem um X né Qualquer Você tem o f de Justiça você tem X é que você tem aqui você tem um x mais H imagina que você é um HQ aqui ficou x mais legal você vai ter aqui um appx + hora a ideia é você pegar esse h e entender a zero quando sh atende

a zero né tudo bom essa diferença aqui ó f de x mais H menos f de x não seria isso daqui tá bom Então você pega este valor aqui divide por esse valor aqui ó tá bom É triste isso aqui é o f de x mas H menos f de x e aqui é o h entende isso aqui tá bom beleza as suas mata gente aqui né Pega esse valor aqui divide por esse valor aqui tá bom para cá atender no zero E aí você vai chegar como se você chegar no x aqui novamente né

Tá bom então traga atender na zero desta [Música] nessa divisão aqui ó neste consciente aqui que é o f de x mais H menos f de x dividido por h para htd na Zero Isso a gente chama de derivada tá essa seria a concepção da derivada Então agora eu vou fazer a derivada utilizando a definição só que novamente tá nem sempre a definição é melhor você pode fazer de uma forma mais rápida a derivada isso daqui tem algumas regras mais rápidas mas eu vou fazer uma vez pela definição para você ver como é então se

você pega aqui por exemplo f de x + h Então se o f de x e x ao quadrado o f de x + h f de x + h é o X mais legal ao quadrado x mais legal que é quanto x ao quadrado mais dois xh mais legal quadrado Tá bom já vou aproveitar fazer essa álgebra toda aqui ó é tudo isso ó tá vendo esse aqui é o f de x + h beleza H menos o f de x que que é o f de x o f de x é x ao

quadrado Olha se você fizer isso daqui já cancela aqui né fazendo toda essa parte aqui tem que dividir se você colocar o h e evidência aqui em cima vamos lá vai ficar limite né colocar o x o H em evidência e que vai sobrar aqui 2x mas dividido por h para estender na zero Olha aqui eu vou simplificar porque ficaria zero sobre zero assim cancela fizeram sobre zero e substitua o zero aqui agora porque ficou uma função simples né quando você substitui zero aqui a gente vai dar quatro Olhe então pela definição a derivada de

x ao quadrado é 2x ok estamos aqui agora na unidade 7 já estamos quase terminando aqui né então o que temos agora na unidade 7 a gente vai falar um pouquinho lá das propriedades das como que a gente pode utilizar né não seria aplicação aí das derivadas tudo bem uma dessas aplicações é calcular a equação da reta tangente é um gráfico qualquer Então você tem o gráfico x ao quadrado aqui tá bom em x = 5 como que é demográfico imagina x ao quadrado e no x = 5x 5 aqui né quanto que seria que

o f de cinco aqui seria 25 certo Então você vai ter tudo bem bonitinho né uma parábola bem bonitinha aqui né você vai ter uma reta tangente que é esse valor essa reta tangente aqui beleza tô tentando usar aqui o lápis aqui do aplicativo Mas é bem complicado Tá bom mas a ideia é essa Depois você vai ver no outro slide até passar para o outro lado depois eu volto aqui ó tá vendo essa é a função que eu tô tentando ela no 5 aqui tem o x ao quadrado aqui você tem o f de

cinco que é 25 tudo bem Como que eu calculo essa reta aqui ó a equação desta reta aqui acho que a gente vai fazer usando derivada A ideia é calcular aqui pelo limite tá a propriedade diminuir Qual que é o f linha de cinco então o f de x menos f de 5 dividido por x menos 5 aquela propriedade você pode calcular como que seria que é derivada de um ponto tá a derivada de um ponto é dado por esse limite aqui beleza então substituindo todos os dados para cinco o f de x e x

ao quadrado menos o f de cinco que é 25 dividido por x menos a O s5 fazendo aqui as álgebra porque isso aqui daria zero sub zero x - 5 vai simplificar você vai ter x + 5 fazendo a conta vai dar 10 vai ser importante aí na equação da reta então para calcular esse 10 você usa essa ideia aqui deste limite tá bom Apesar que depois você vai ver mais na frente que você consegue por exemplo fazer a derivada de f de x de x ao quadrado lembra que a gente acabou de fazer que

é derivada de x ao quadrado é 2x Então você podia fazer assim também né de 2x só que o X5 o f linha de 5 que é que eu tô calculando aqui né substitui vai dar 10 também que é duas vezes cinco tá vendo Então pela definição e pela regra então F linha de 5 é 10 a equação é uma reta é dado por essa forma nem aqui ó y - y0 é igual a f linha de x 0 que a gente acabou de calcular vezes o x menos x 0 Qual que é o ponto

tá bem o ponto na verdade aqui é cheia é 5:25 né 25 eu calculei o f linha de x 0 a uf linha de 5 que é igual a 10 Acabei de calcular lá então como é que eu faço aqui para calcular a equação da reta o ponto não é 525 e o f linha de 5 não é 10 substitui aqui na equação ky^- 25 né Y - 25 é igual F linha que é 10 10 que multiplica x menos o 5 eu quero a eu quero a equação da reta no X5 calculando essa conta

e pelo menos 25 é igual a 10x - 50 é isso pelo menos 25 vai ser isso E aí x menos 50 mais 25 dá menos 25 Então essa é a equação da reta para ser cinco no x ao quadrado x - 25 perfeito vamos lá o tempo passa na 8 ele vai falar de derivada das funções trigonométricas ele vai explicar algumas tá usando toda aquela definição de limites da derivada né Qualquer a derivada na função usando limite e vai chegar em todas essas regras aqui ó ou seja derivada do seno cosseno do Cosseno a

menos seno na tangente a secante ao quadrado da secante de X vezes então você consegue demonstrar aqui através dos limites que é derivada dessas funções são exatamente esses resultados aqui porque eu fiz por causa do tempo todo eu peguei uma delas tá bom Aqui ó como que eu calculo a derivada da tangente tá derivada da tangente [Música] x né a derivada em relação a China quer dizer aqui ó a derivada em relação ao x ou f linha de x é filinha de X Ele só passou aqui a tangente aqui para ser sobre você vou escrever

tudo porque a ideia que é só se entender né O que ele fez né aí aqui ficou o quê lembra derivada de UV derivada da divisão né que é o linha V - ovelhinha menos ovelhinha Essa é derivada né agora só vou acompanhar aqui pelo que foi feito tá bom que ele está lá já no contexto então aqui a derivada de seno já vou direto para cá é a derivada de seno vezes o cosseno derivada do seno cosseno vezes o cosseno que é o v né menos ou que é o seno de x vezes a

derivada do Cosseno a derivada do Cosseno foi só que ele fez essa regra beleza chegou nesse resultado aqui Ah tá e depois dividido por B quadrado Então tá tudo ok menos seno vezes menos seno ao quadrado cosseno quadrado mais sen² é 1 né é uma regrinha da funções trigonométricas então fica um sobre cosseno ao quadrado 1 sobre cosseno ao quadrado é a secante ao quadrado hora eu posso dizer então que o f linha da tangente ou tangente de X linha certo é igual a secante ao quadrado de X secante ao quadrado de x é isso

tudo bem é uma das regras que você vai vir aqui ao lado da tangente é a secante ao quadrado de x e aqui algumas também das funções inversas né trigonométricas inversas né É claro que é o aquecendo então Setembro Dá Um Valor a função inversa é o seno de qual valor que dá o ângulo Então aí tá aqui né qual que seria derivadas aqui sendo menos um de X né ou o ar que C antes de seno né o ar que seno de x então a derivada do ar que seno de x é 1 sobre

1 a raiz de 1 - x² x lembra que o X é um ângulo tá bom que pode ser dado em radianos por exemplo nesse x aqui em radianos né poderia ser Então esse é a derivada da função arquecendo já tem a derivada de todas as outras áreas aqui tá bom Ai que secante tudo bem Então esse é o resumo do 8 que o limite que se aproxima do amor tende sempre ao infinito eu mesmo sou Então é isso espero que possa te ajudar aí nas aulas é claro que você tem as outras ferramentas sempre

tá utilizando as outras ferramentas Tá bom você tem várias lá ler o texto por exemplo a dica do professor e mais essas aulas aqui essa aula que eu acabei de passar para você então usando todas essas ferramentas você vai ter um êxito muito maior aí na disciplina tá bom eu também sou o seu mentor qualquer dúvida você pode colocar lá para gente tá bom que eu vou estar lá te explicando então um abraço e até a próxima