Aula 10 Lógica Proposicional A 1

Olá muito bem então retomando sobre os conteúdos de matemática do edital a gente fala agora sobre lógica proposicional Então a gente vai revisar definição de proposição as operações os conectivos as equivalências tudo de mais importante dentro deste conteúdo estamos na página 127 do material para falar então sobre lógica proposicional ponto de partida é a definição de proposição uma proposição tem que ser uma frase declarativa com sentido completo e que possa ser julgada como verdadeira ou falsa então para ser uma proposição fazer um desenho uma proposição precisa ser uma frase declarativa uma frase que tenha verbo

e que possa ser julgada como verdadeira ou falsa então somente frases declarativas com sentido completo e que possam ser julgadas como verdadeiras ou falsas são consideradas proposições isso em algumas vezes conforme a banca conforme o caso já pode ser um tipo de anunciado identificar o que que é proposição e o que que não é proposição por exemplo o Canadá fica na Europa você é verdadeiro ou falso Isso é outro 500 outra história mas é uma frase declarativa que pode ser julgada como verdadeira ou falsa então é uma proposição Osório não é a capital do Rio

Grande do Sul frase declarativa com sentido completo que pode ser julgada como verdadeira ou falsa é proposição 2 + 3 = 6 também a gente tem ali uma declaração pode ser julgada como verdadeira ou falsa é uma proposição como eu falei que frases declarativas são proposições Então somente frases declarativas são proposições qualquer outro tipo de frase não é proposição frase interrogativa exclamativa imperativa optativa não é proposição Então somente frase declarativa é proposição Quando será a prova uma frase interrogativa não é proposição imperativa vá para casa e estude faça mais questões revise os conteúdos frases imperativas

não são proposições exclamativas exprimem sentimento Sensações percepções que dia lindo hoje eu poderia dizer que dia frio em Porto Alegre muito frio em Porto Alegre Então que dia frio uma frase exclamativa não é opição optativas exprimem desejos por exemplo Tomara que você seja aprovado que você seja aprovada e nomeada nesse concurso optativa Então não é proposição somente declarativa é proposição qualquer outro tipo de frase não é proposição também não é proposição paradoxo que que é um paradoxo é uma ideia contraditória por exemplo eu sou mentirosa vamos vamos pensar o que acontece eu sou mentirosa eu

falo que eu falo é mentira se é verdade o que eu tô dizendo ó pensa que isso aqui é verdade eu sou mentirosa eu Dani Sou mentirosa se for verdade que eu sou mentirosa eu estou mentindo ao dizer que sou mentirosa então eu não tô eu não minto Eu não minto só que se eu não sou mentirosa eu cheguei numa contradição n Eu sou mentirosa Se isso for verdade eu estou mentindo porque eu não sou mentirosa essa frase é falsa então são paradoxos e paradoxos também não são proposições classificação das proposições abertas e fechadas simples

e compostas uma proposição é lógica ou fechada quando é possível determinar o valor lógico daquela sentença observa que ser possível determinar é diferente de saber determinar uma proposição é fechada ou lógica quando é possível determinar se ela é verdadeira ou falsa talvez a gente não saiba dizer se ela é verdadeira ou falsa talvez não seja possível dizer mas é possível que a gente diga Então ela é fechada faça sua observação sobre o possível porque às vez pode ser um assunto que você nunca ouviu falar Então não interessa se você sabe julgar ou não importa é

que é possível dizer se é verdadeiro ou falso tá então cinco é um número primo se você lembrar o que é número primo você consegue dizer se isso é verdadeiro ou falso Mumbai é um país da África Não importa se você sabe se Mumbai é cidade se é país se fica na África se fica na Ásia Não interessa se você sabe importa que eu ten al o nome da cidade e onde é que ela fica então é possível dizer se isso é verdadeiro ou falso portanto uma sentença fechada uma sentença lógica Fernando Henrique Cardoso é

o atual presidente do Brasil Então são sentenças fechadas é possível dizer se é verdadeiro ou falso Então se diz proposição lógica ou fechada proposição aberta ou melhor chama de sentença aberta é aquela que a gente não consegue julgar como verdadeira ou falsa porque a gente vai ter ali um elemento desconhecido por exemplo se eu disser que X é um número ímpar Bom depende de quem é o x o 1 é ímpar o 3 é ímpar o 5 é ímpar o sete é ímpar Então se o x for 1 3 5 7 é ímpar verdade mas

se o x for 2 4 16 22 ele não é isso pode ser verdadeiro ou falso conforme o valor do X Ele é um ator famoso ele quem ele quem aquele país fica na África Sabe aquele país fica na África verdadeiro ou falso Isso não sei aquele qual do que tu tá falando né a cidade X é a capital do Chile depende tá falando de que cidade Quem é aquele X hoje no rádio quando eu tava vindo para cá hoje tocou aquela música Sabe aquela música Aquela então x ele aquele a gente não sabe quem

é o elemento não tem como dizer se é verdadeiro ou falso em razão disso então são sentenças abertas não dá para atribuir o valor lógico nessa sentença Então são sentenças abertas a outra possível classificação é como simples ou composta uma proposição simples também chamada de atômica é aquela que é uma única declaração não tem outra fazendo parte dela mesma então uma única declaração por exemplo dizer que o Carlos é solteiro dizer que três é um número par dizer que Osório é a capital do Rio Grande do Sul então uma única declaração uma proposição s ou

atômica proposição composta também chamada de molecular aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições Simples então quando a gente combina duas ou mais proposições a gente tem as proposições compostas que também são chamadas de fórmulas proposicionais por exemplo Carlos é solteiro ou Pedro é estudante nesse caso o Carlos solteiro é uma Pedro é estudante é outra e está aqui ligada pela disjunção podia ser um e podia ser um C Então nesse caso eu coloquei ali uma disjunção tá só um exemplo que importa aqui a gente tem duas proposições ligadas por um conectivo por um

operador lógico Então isso é uma proposição composta valor lógico de uma proposição é dizer se ela é verdadeira ou falsa e a respeito disso existem três princípios importantes primeiro o princípio da identidade que toda proposição vai ser Idêntica à ela mesma então a proposição P ela é igual à proposição p a ela mesma os dois mais importantes são esses aqui princípio da não contradição e o princípio do terceiro excluído princípio da não contradição diz que uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo e o princípio do terceiro excluído diz que não tem

uma terceira classificação não tem uma outra opção Então o que esses dois princípios afirmam é que uma proposição vai assumir um e somente um dos valores lógicos ou seja ou é verdadeira ou é falsa então o valor lógico de uma proposição quando falar valor lógico isso significa dizer se é verdadeiro ou falso melhor do que isso dizer ou é verdadeiro ou é falso não pode ser simultaneamente verdadeiro e falso também não existe uma classificação diferente dessas ou é verdadeira ou é falsa vou colocar aqui o seguinte três é um número primo verdadeiro ou falso Porto

Alegre é a capital do Paraná se Porto Alegre é a capital do Paraná capital do Paraná então três é Primo vamos pensar juntos sobre esses exemplos três é um número primo lembrando da definição de números primos a gente sabe julgar se essa sentença é verdadeira ou falsa que que são os números primos mesmo aqueles que T exatamente dois divisores positivos quando só dá para dividir por um e pelo próprio número a gente diz que o número é primo o 2 o TR o 5 o 7 o 11 são números primos então números primos são aqueles

T exatamente dois divisores positivos o TRS é primo Então isso é uma sentena verdadeira Porto Alegre é a capital do Paraná falso conhecimentos gerais se você sabe as capitais aí do Brasil das dos estados do Brasil você vai saber então que Porto Alegre é a capital do Rio Grande do Sul e não do Paraná Curitiba é a capital do Paraná então falsa essa afirmação que que eu quero mostrar com isso que as proposições simples a gente julga de acordo com o nosso conhecimento sobre aquele assunto bom falou em números primos se eu lembrar que é

número primo eu consigo dizer se aquilo ali é verdadeiro ou falso falou na capital do Paraná se eu souber qual é a capital do Paraná eu sei se aquilo ali é verdadeiro ou falso ainda que eu não soubesse todas as capitais do Brasil Então Porto Alegre capital do Paraná é falso Porto Alegre é a capital do Rio Grande do Sul falso abacaxxi é uma fruta sim abacaxi é uma fruta Eu conheço a fruta abacaxi então verdadeiro consigo julgar o mês de maio tem 31 dias Janeiro tem 31 fevereiro tem 28 ou 29 Março tem 31

Maio também tem 31 verdade Maio tem 31 dias é uma afirmação verdadeira tem valor lógico verdadeiro Então as proposições simples a gente julga de acordo com o nosso conhecimento sobre aquele assunto agora quando a gente tem as proposições compostas além de valorar as proposições de atribuir valor às proposições a gente precisa compreender as operações lógicas pergun aqui o seguinte Porto Alegre capital do Paraná isto aqui é falso TRS é o número primo isso aqui é verdadeiro vai lá e olha a operação coloquei aqui um centão C então é uma condicional esse c então a operação

é uma condicional a gente vai relembrar isso depois tá tô Só adiantando aqui entendendo a ideia de valor lógico a motivação disso pergunto eu neste momento se você já sabe responder essa proposição composta se Porto Alegre é capital do Paraná então TR é um número primo eu quero saber se é verdadeira ou falsa essa da proposição verdadeiro ou falso verdadeiro verdadeiro aqui eu tenho uma proposição que é falsa a outra é verdadeira daí a gente vai lá e olha a operação como a gente tem aqui uma condicional essa condicional vai ter valor lógico verdadeiro se

você não sabe disso ainda tudo bem é uma das coisas que a gente vai aprender e vai revisar juntos aqui que uma condicional só é falsa quando cedente for verdadeiro e o consequente for falso então a condicional só vai ser falsa se acontece VF nessa ordem qualquer coisa diferente disso na condicional é verdadeiro Quer dizer então que depende da operação é como na matemática se a gente pega o do e o 3 e soma dá 5 pega o mesmo do e o mesmo 3 e multiplica 2 x 3 6 se eu pegar o 2 e

elevar a 3 2 x 2 xes 2 dá 8 Então as mesmas proposições conforme a operação que a gente usa entre elas conjunção disjunção condicional o valor lógico pode ser verdadeiro ou pode ser falso Então depende do valor lógico das proposições e depende também da operação utilizada exemplos dessas dessa parte Inicial Em lógica proposicional em importante verificar quando temos de fato uma proposição pois através das proposições podemos usar os argumentos lógicos e tabelas verdade para estudar as variáveis lógicas e interpretar os resultados das alternativas abaixo a única que não pode ser considerada uma proposição Artur

não dirige proposição Carlos não come salada proposição Argentina fica na América do Sul proposição o número dois é maior que o número C proposição letra D não temos café letra D uma frase interrogativa não é proposição Então somente frases declarativas com sentido completo são proposições aqui a gente tem uma frase interrogativa não é proposição exemplo dois assinale a alternativa que não é uma proposição simples chuva é água que caiu do céu eu quero uma que não é proposição Roberto tem 1,80 de altura o sofá da sala é cinza o quadro negro da escola é verde

vá escrever todo o seu nome no quadro frase imperativa não é proposição Então somente frases declarativas com o sentido completo são proposições então na letra e vá escrever seu quadro seu nome no quadro é uma frase imperativa e portanto não é uma proposição exemplo três Considere as seguintes sentenças para dizer quais são abertas um ela foi a melhor aluna da turma em 2022 ela foi a melhor aluna da turma em 2022 ela Quem ela quem aberta não sei quem é ela se dissesse o nome e de que turma de que Colégio poderia saber dois Mário

foi o diretor do Colégio Liceu em 2020 diz o nome do colégio diz o ano dá para saber se o Mário foi ou não o diretor dessa escola desse Colégio Então isso é uma sentença fechada é possível determinar o valor lógico x + y di 2 é um número par Depende de é o x Depende de quem é o y porque por exemplo Vamos botar assim se o x for 3 e o y for 7 3 + 7 dá 10 dividido por 2 dá 5 c é ímpar agora se o x for 3 e o

y for 5 3 + 5 8 8 por 2 dá 4 que é par então conforme o valor do X e do Y Aquela aquele valor ali aquela expressão pode resultar num número parou no número ímpar na verdade pode até resultar numa fração né pode ser uma fração 3/5 1/8 enfim por exemplo se o x for 1 e o y for 2 1 + 2 dá 3 dividido por 2 dá 3/2 3/2 tá então aquele x + y dividido por 2 pode ser um número par pode ser um número ímpar pode ser um uma fração

então uma sentença aberta porque depende dos valores ali do x e do Y então é verdade que a um e a do são abertas um a um e a três um e a três são abertas apenas as sentenças um e trê são abertas letra c de casa é a correta aí nessa questão Um e três abertas Considere as seguintes frases ele foi o melhor jogador do mundo em 2005 ele quem aberta não sei quem é ele se dissesse o nome mesmo que eu não soubesse julgar ser é verdadeiro ou falso se dissesse o nome da

pessoa seria possível dizer ser é verdadeiro ou falso e daí ela seria falsa seria fechada tá agora ele quem ele quem não sei ele não tem como Depende de quem é ele x + y so 5 é um número inteiro por exemplo se o x for 3 e o y for 7 3 + 7 dá 10 div por 5 dá 2 inteiro se o x for 1 e o y for 2 1 + 2 dá 3 divido por 5 não é inteiro isso pode ser inteiro ou não depende do valor do X e do Y

Isso é uma sentença então aberta Depende de quem é o x e de quem é o y terceira afirmação João da Silva foi o secretário da Fazenda do Estado de São Paulo Paulo em 2000 Não interessa se você sabe se você é verdadeiro ou não como é que eu vou saber em 2000 Quem foi o secretário da Fazenda do Estado de São Paulo não interessa mas a tem ali o nome tem o lugar tem o ano então é possível dizer se é verdadeiro ou falso portanto essa sentença é fechada então são abertas apenas a um

e a dois apenas um e dois são abertas letra a e se você observar o enunciado três que a gente acabou de fazer e o enunciado quatro Eles são muito parecidos e são de bancas diferentes em momentos diferentes muitos anos depois bancas diferentes concursos diferentes período de tempo muito diferente e ela tem a mesma construção se a gente sabe fazer uma a gente sabe fazer a outra então sentenças abertas são aquelas que a gente não pode atribuir valor lógico verdadeiro ou falso porque a gente tem ali um elemento desconhecido quando a gente tem ele x

aquele que não é possível então dizer se é verdadeira ou falsa a afirmação exemplo cinco ela não sabe nadar ela quem aberta Carlos André de Souza é professor de cálculo um da Universidade Federal de Plan altas tem o nome a universidade qual disciplina é possível dizer se é verdadeiro ou falso mesmo que eu não saiba a informação está completa então é possível dizer se é verdadeiro ou falso então A2 é fechada é uma proposição lógica e a terceira diz que x- Y div por 2 é inteiro Depende de quem é o x Depende de quem

é o y por exemplo se eu colocar um x = 10 e um y = 6 fica 10 - 6 4 4 di 2 É 2 que é inteiro Se eu colocar 1 x = 5 e 1 Y = 3 Ah igual 2 Vou botar aqui Y = 2 vai ficar 5 - 2 3 3 dividido por 2 não é inteiro isso pode ser verdadeiro ou falso conforme os valores do X e do Y portanto essa três é aberta a pergunta era quais são abertas quais sentenças são abertas então aberta a 1 e a TR

1 e TR alternativa e é a correta aqui nessa questão Um e três são sentenças abertas conectivos lógicos também chamados de operadores lógicos e a gente vai já começar a memorizar aqui aprender os símbolos que representam essas operações e esses conectivos então o que que é um conectivo lógico conectivo pode ser símbolo e pode ser palavra que vai ser usado para formar novas proposições a gente combina duas ou mais proposições usando esses conectivos para formar Então as proposições compostas negação conjunção disjunção condicional e bicondicional para a negação a gente utiliza o ti também pode ser

tipo uma cantoneira tipo um l maiúsculo virado que indica negação que pode ser lido como não não é verdade que é falso que não tal coisa para a conjunção tipo um assento circunflexo um chapeuzinho para baixo a conjunção mais usada é o e mas é importante que você saiba que outras conjunções podem aparecer aí na lógica proposicional mas porém embora entretanto todavia tem a mesma função de conjunção por exemplo a Dani trabalha e estuda a Dani trabalha entretanto estuda a Dani trabalha porém estuda Então mas porém entretanto embora tem a função de conjunção disjunção inclusiva

que é o ou disjunção exclusiva que é o ou ou ou Isto ou Aquilo condicional que é o c então e bicondicional que é o c somente C então neste momento começar a memorizar nome da operação o símbolo e Como se lê então esses símbolos aqui a gente precisa gravar fixar se você não não conhece ou não conhecia Algum deles ainda então negação conjunção disjunção disjunção exclusiva condicional e bicondicional guardar esses símbolos aí com amor e carinho na memória e no coração coloquei aqui então num quadro o conectivo símbolo e maneiras para Como se lê

esse símbolo então experimentando a leitura dos símbolos pra gente se familiarizar então em traduzir da linguagem corrente para linguagem de símbolos e vice-versa da linguagem de símbolos também pra linguagem corrente sejam as proposições simples P Ana é al e que Caio é médico traduz em linguagem simbólica as seguintes proposições estou chamando de p Ana é alta estou chamando de q Caio é médico então aqui onde diz Ana é alta isso para mim é p cai é médico isso para mim é q vai lá e olha qual é a operação este ou é uma disjunção inclusiva

disjunção importante saber o nome da operação disjunção inclusiva E qual é o símbolo da disjunção tipo um acento circunflexo só que virado de perna para cima Então fica assim ó P ou q então a letra A traduzida em linguagem de símbolos fica assim P ou q letra B Ana é alta isso é p Caio não é médico se Caio é médico é q o não que significa Caio não é médico do enunciado O que significa que o Caio é médico se eu quero escrever que o Caio Não é médico Eu vou colocar então não que

vai lá e olha a operação esse Mas é uma conjunção Então fica assim ó p e não que o provável é que a gente tenha parênteses ali só para não emendar um símbolo no outro tá então p an é alta e da conjunção Caio não é médico p e não que então esse mas conjunção conjunção mesma função do e na letra C Caio é médico Isso aqui é o q Ana é alta isso aqui é o p vai lá e olha operação se isto então aquilo se então é uma condicional reconheça esse c como condicional

se caso quando como são condicionais de te falar sobre isso novamente tá mas c da ideia de condicional se P então q o conectivo é uma setinha Então fica assim ó q implica P na letra D Caio não é médico c e somente c c e somente c é a bicondicional setinha pros dois lados então c e somente C seta PR os dois lados Caio não é médico Isso é não qu Ana é alta P então não que c e somente c p ou Caio é médico ou Ana não é alta Caio é médico é

o qu Ana não é alta não p porque do enunciado ó do enunciado Ana é alta isso é o p Então quer dizer que não p significa Ana é alta então aqui na letra e eu queria escrever ou Caio é médico ou Ana não é alta disjunção exclusiva disjunção exclusiva ou ou ou Caio é médico ou Ana não é alta fica assim