Olá vamos para mais um encontro retomando dos exercícios que ficaram no encontro anterior é o primeiro deles era mostrar que o número ABC é múltiplo de três se a soma dos seus algarismos também é múltiplo de três quando eu escrevo um número nessa forma e isso a gente viu quando discutiu o valor posicional dos algarismos a quantidade que eu tô representando aqui é a x 10 qu que é 100 + b x 10 + C bom o 100 pode ser decomposto como 99 + 1 o 10 pode ser decomposto como nó mais 1 E aí
aplicando a distribuía eu fico com 99 a + a + 9B + b + c vou dar uma arrumada no que tá aí só troquei parcelas de posição que que acontece o meu número ABC representa esta quantidade aqui só que esse pedaço aqui da minha expressão é nitidamente um múltiplo de TR então como isso representa essa quantidade e se esse ped aqui já é necessariamente um múltiplo de TR porque é múltiplo de 9 para que isso tudo aqui seja um múltiplo de TR é necessário que essa soma aqui que corresponde à soma dos algarismos seja
um múltiplo de 3 ou seja se a soma dos algarismos for um múltiplo de três de fato o ABC é múltiplo de 3 né a gente fez aqui na verdade uma demonstração do critério divisibilidade por 3 para números que tem apenas três algarismos para fazer isso para estender isso para qualquer quantidade de algarismos o que a gente vai precisar além do que a gente fez aqui é perceber que qualquer potência de 10 né Por exemplo 10 elevado a k que qualquer potência de 10 ao ser dividido por 3 deixa resto um a justificativa disso é
que quando eu multiplico os números os restos também são multiplicados quando eu divido o 10 por 3 ele deixa resto 1 Então essa multiplicação aqui vai deixar resto 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Então esse número 10 elevado a k também deixa resto 1 na divisão por 3 né então é isso que você vai usar para estender racio aí para qualquer quantidade de algarismos né demonstração do critério de divisibilidade por TR já que a gente tá falando de múltiplos vamos continuar aqui criando agora escrevendo a listinha dos múltiplos por exemplo de se
nós vimos em encontro anterior que para criar a lista de múltiplos por exemplo múltiplos de seis eu vou pegar os elementos do conjunto dos naturais e vou multiplicando cada um deles por seis então 6 x 0 0 6 x 1 6 depois 6 x 2 12 6 x 3 18 24 nota que de um pro outro eu vou somando SE 36 42 48 e assim por diante Vamos Construir uma outra lista de múltiplos vamos fazer a lista de múltiplos de quatro essa listinha da mesma forma vou fazer 4 x 0 4 x 1 4 x
2 4 x 3 e aí eu vou obter 0 4 8 12 16 20 24 sempre somando qu e assim por diante ambas as listas são infinitas por elas se baseiam no conjuntos naturais que também é infinito mas nota que alguns elementos do primeiro conjunto aparecem no segundo conjunto o primeiro deles e que sempre vai aparecer em todos os conjuntos é o zero o segundo que aparece nos dois conjuntos é o 12 depois o 24 depois o 36 e assim por diante se eu pegar só esses que eu marquei eles formam um conjunto que eu
vou batizar de múltiplos comuns múltiplos comuns de quem de quatro e se Então esse conjunto dos múltiplos comuns é formado pelo zero pelo 12 pelo 24 36 e assim por diante bom Então aqui estão os múltiplos comuns de 4 e 6 né primeira coisa interessante de se perceber é que não faz nenhum sentido eu perguntar para você qual é o maior múltiplo comum isso não existe porque essa lista não tem fim essa não tem fim essa aqui também é uma lista infinita então não faz sentido perguntar qual é o maior múltiplo comum só faz sentido
perguntar qual é o menor múltiplo comum que a Rigor sempre será o zero só que admitir que o zero é o menor múltiplo comum não vai ter serventia prática alguma então na prática o menor múltiplo comum vai ser o primeiro elemento desse conjunto né o menor de todos excluindo zero excetuando se zero Então o que a gente acaba de enxergar aqui é quem é o mmc de 4 e 6 que é o 12 aliás esse conjunto aqui dos múltiplos comuns de 4 e 6 também é o conjunto dos múltiplos de 12 porque esses múltiplos comuns
também são construídos em cima do MMC o que você vai ver aqui é o MMC x 0 MMC x 1 MMC x 2 MMC x 3 e assim por diante esse número aqui tem uma utilidade prática por exemplo eu tô num ponto de ônibus e existe uma certa linha de ônibus que eu vou chamar de linha número um nessa linha os ônibus passam de 4 em 4 minutos nesse mesmo ponto de ônibus passa uma linha número dois e os ônibus dessa linha número do param nesse ponto onde eu estou de se em 6 minutos e
aí a minha pergunta é se nesse momento pararam simultaneamente ônibus da linha um e da linha do agora daqui a quantos minutos esse essa simultaneidade esse evento vai volta a acontecer daqui quantos minutos eu terei um ônibus da linha um e um ônibus da linha dois parando ao mesmo tempo nesse ponto onde eu estou Esse é um problema de mmc porque o primeiro o primeiro ônibus o ônibus da linha um parou agora tempo zero vai parar daqui a 4 daqui a 8 minutos daqui a 12 daqui a 16 e assim por diante já o ônibus
da linha número dois parou agora tempo zero e vai parar daqui a 6 depois daqui a 12 18 e assim por diante percebam que eles voltam a se encontrar daqui a 12 minutos Então essa é uma utilidade prática do MMC essa é uma maneira de se o MMC você fazer a lista dos múltiplos e verificar né na base da lista Qual é a lista de múltiplos comuns E aí imediatamente você identifica quem é o MMC né Há uma outra maneira de se fazer isso por decomposição em números primos a gente volta a falar isso quando
a gente discutir números primos para encerrar o enconto de hoje tá faltando resolver o segundo problema que era eh calcular quantos múltiplos de 5 nós temos nós encontramos entre 27 e 213 a partir do 27 o primeiro múltiplo de 5 que nós encontramos é o 30 depois vem o 35 40 45 e assim por diante até que o último múltiplo de 5 que a gente encontra antes de chegar a é o 210 nota que o 30 é o múlti de 5 que a gente obtém fazendo 5 x 6 então eu vou tomar a liberdade de
escrever aqui 6 o que eu tô querendo representar aqui dizer para você é que esse aqui na listinha dos múltiplos de 5 Esse é o múltiplo que vem lá do 6 5 x 6 e aqui de forma análoga o 210 é obtido quando eu faço 5 ve 42 bom o que eu vou fazer aqui agora é o seguinte nota que aqui no meio logo depois vai aparecer o 35 vai aparecer o 40 e vai ter um um monte de múltiplos de C aqui até chegar a 210 que é o último dos nossos múltiplos aqui seguindo
a nossa maneira de representar o 35 seria o múltiplo que eu vou chamar de 7 e aqui o 8 5 x 6 30 5 x 7 35 5 x 8 40 e assim por diante observa que numa listinha que pulava de C em C que é minha listinha dos múltiplos de cinco eu acabei adaptando e transformando no uma listinha que pula de um em um agora se eu quiser contar quantos múltiplos eu tenho aqui em cima basta eu contar quantos números eu tenho aqui embaixo quantidade que eu tiver aqui embaixo de números naturais vai corresponder
à quantidade de múltiplos de cinco que eu tenho aqui em cima e a gente aprendeu a fazer isso né quantos números eu tenho do 6 ao 42 incluindo ambos os números Basta fazer 42 - 6 + 1 42 - 6 36 + 1 resposta é 37 Ou seja eu tenho 37 números aqui portanto eu tenho 37 múltiplos de 5 entre o 27 e o 213 até a próxima
