E aí [Música] nós podemos dizer que o estudo de propriedades começou em 1633 quando Girolamo Cardano ele comer currículo chamado o livro dos jogos de azar nesse livro ele fornece um tratamento sistemático matemático na verdade das probabilidades para diversos tipos de jogos de azar Então esse é o primeiro formulação que a gente tem dentro das probabilidades e curioso que decidirão na verdade ele tem um capítulo sobre como trapacear e se dar bem no jogo então respondo primeiros livros que surgiu o tratamento matemático da probabilidade mas nós podemos dizer que na verdade a teoria das probabilidades
ela começou mesmo em 1654 em agosto de 1644 quando Pierre formado e praense Pascal eles trocaram cartas tentando resolver um problema de jogo de azar basicamente a questão era dado que dois jogadores estão jogando uma certa a partida e o jogo termina antes do final como as apostas devem ser divididas ou seja e como é que nós vamos dividir essa porta de uma maneira justa eles calcularam determinaram como fazer essa divisão e determinar o que essa divisão deverá ser proporcional a chance de Vitória de cada jogador estava Fluminense calcularam as probabilidades de Vitória de cada
jogador no certo tipo de jogo de azar e depois de beleza Pascal e pior firmar a teoria das provas tempo bastante de uma TV muito evolução principalmente no século 19 com markov com Aurora e os irmãos Bernoulli mas o século 20 também não sofreu uma grande avanço com qual o preço e ficha quando eles aplicaram a teoria das probabilidades e criaram métodos estatísticos Ou seja a estatística nasce a partir da teoria das probabilidades E com isso o uso de economizar se tornou cada vez mais popular e hoje mais ainda porque nós temos os computadores E
hoje nós podemos simular experimentos aleatórios utilizando diferentes tipos de software Então hoje por exemplo quando os bancos realizam análise de e quando pesquisadores verificam aquecimento global quando se calcula apresenta eficácia de um certo medicamento todos esses experimentos envolvem teoria das probabilidades envolve estatística então é fundamental entender bem e conceito de teoria das prioridades porque são aplicados nos mais diversos tipos de problemas e desse curso Entretanto a parte teórica da teoria das prioridades quanto a parte de simulação essa simulação é fundamental para que a gente possa entender intuitivamente os conceitos políticos então corrente resolvem matematicamente o
problema e depois a gente vai lá e simula esse problema do computador e a gente consegue verificar com o resultado realmente é válido isso nos ajuda a entender então os conceitos que estão por trás da teoria das provas assunto é fundamental realizar essas situações e vão ser curso envolve tanto a parte teórica quanto a parte prática de simulação antes de definirmos os conceitos de probabilidades é fundamental definir os conceitos de modelos determinísticos e modelos probit Once O que seria uma eu descobri Tamires porque os modelos básicos que a gente aprende em física então presépio modelos
de eletricidade de mecânica cinemática são dos modelos determinísticos são modelos em que dadas as condições iniciais podemos predizer a saída de um experimento com certeza então se eu tiver aqui por exemplo a posição inicial do pêndulo e sobre a força da gravidade nós podemos predizer a posição desse pêndulo em qualquer intervalo de tempo o mesmo ocorre com o modelos com bolinho de gravitação que nós temos aqui a equação da gravitação e nesse caso se eu souber apresenta as massas dos planetas e superar a distância entre eles eu consigo também determinar a posição de um certo
com medo ou mesma posição da lua ou mesmo quando a dor ocorrer um eclipse e o mesmo vale por causa de eletromagnetismo só que nós temos as equações de Maxwell temos aqui o campo magnético campo elétrico e da das condições iniciais nos conseguir conseguimos determinar por exemplo Qual que é a ação de e sobre o elétron sobre o sobre um certo objeto então com isso nós temos esses modelos esse modelo sua interessante porque dados como condições iniciais nós conseguimos predizer o futuro com certeza só que nós possamos Podemos fazer também o inverso dado futuro eu
consigo prender o passado Então nesse caso Aqui nós temos uma certeza associada a saída de cada experimento no caso de um experimento aleatório que a gente vai usar muito nesse curso o conceito é muito diferente então a cada experimento ele pode ser executado o número infinito de vezes sob as condições inalteradas então lançamento de um dado a gente assumi que depois de lançar esse dado quantas vezes eu quiser de maneira Idêntica lançamento de uma moeda a fabricação de um carro o a fabricação de uma Peça também o experimento aleatório o desenvolvimento de um certo medicamento
também o experimento aleatório então no experimento aleatório a gente assumi que a gente pode executar no finito de vezes sem alterado então é fundado que a gente vai ter vai ter uma sequência de números então por exemplo o seu livro Uma depois número 4 5 6 31 e assim sucessivamente dado essa sequência de saídas eu não consigo predizer com certeza Qual é a próxima saída eu posso dizer qual é a chance de cada saída mas eu não consigo para dizer com certeza então é essa é a principal característica de um experimento aleatório então não somos
capazes de dizer qual será o próximo valor mas podemos determinar a probabilidade de cada saída possível então volta aqui no experimento aleatório nós calculamos as probabilidades nós não determinamos com essa saída exata enquanto no primeiro administ qo eu sei exatamente qual é a posição de um objeto no experimento aleatório e vou saber qual é a chance do objeto estar naquela posição então Ó tem essa diferença é fundamental então que só para começarmos a praticar um pouco a circulação e Python Então temos um código aqui um exemplo e a simulação de uma moeda então que a
gente vai fazer então inicialmente a gente vai importância a biblioteca do meu pai a tecla numérica Vamos definir qual é a chance de sair cara e poder ir com você no 0,3 n sim é um número simulações ou seja Quantas vezes eu vou Nossa essa moeda vou começar com o número de cada ser igual a zero e essa saída é uma lista que vai simplesmente armazenar a saída do experimento onde um vai ser cara fizeram vai ser coroa Então feito isso eu vou fazer um for e se for vai ser de 0 até o número
de situações vou sortear um número entre 0 e 1 de forma aleatória tô que eu vou fazer vou fazer o seguinte vou sortear um valor entre 0 e 1 ainda não precisamos saber como essa sorteio é feito depois de aprender quanto que isso aqui é importante parece que a modelo reforma e aprender nesse curso se esse valor que eu tirei para ele ser menor do que pergunta porque tem um valor pequeno então a chance de se valor que eu tirei cair entre RP é muito baixa por outro lado se esse foi o valor bom então
chance de que esse número que eu tirei se melhor do que p é alta Então dessa forma consigo simular o fato de eu ser grande ou pessoa pequeno então se o valor que o seu time for menor do que P então eu vou falar que saiu o cara então eu vou somar mais uma cara e vou guardar saída como sendo um caso contrário ou seja um anel se eu vou aguardar o valor zero e aí simplesmente Imprima saída e Imprima frequência Então daqui a saída desse experimento dessa situação é que está frequência de usar, seis
É claro se vocês rodar em de novo se código Provavelmente o valor você diferente de 0,6 mas é importante depois que vocês troquem esse valor 0,7 0,8 um E em momento nenhum no próximo ações para verificar como que essas saídas mudam então importante executar novamente porque esse é o primeiro código gente tá vendo que vai simular o lançamento de uma moeda Quantas vezes a gente quer ou seja é um exemplo de um experimento aleatório feito no computador nós podemos agora definir então o que que é o modelo probabilístico então eu probabilístico a saída de casa
experimento parecem e imprevisíveis mas quando se analisam grande número de experimentos um padrão emergem Que Queres Que que isso quer dizer fazer o seguinte se nós observamos a saída de um dado então saiu por exemplo 1152 11645 e assim sucessivamente a gente não consegue para dizer qual é a próxima saída mas se nós calculamos a frequência de saída de cada valor e nós plantamos no gráfico então por exemplo 12 até seis nos vamos verificar que todos os valores se aproximam de Um cesto porque a chance de sair o valor nesse data e um sexto então
a gente Verifica a emergência de um certo padrão no caso o lançamento de uma moeda a gente vai aprender nesse curso que o modelo probabilístico que descreve esse experimento é o modelo binomial nesse caso nós vamos determinar essa equação e essa equação permite calcular Qual é a chance de eu ter caras em lançamento cidade aprender calcular e a gente vai verificar que esse modelo ele vai dar uma curva e essa curva vai ser Então a nossa distribuição de probabilidade então não modelo probabilístico ele vai escrever o que ele vai escrever as probabilidades de saída de
um experimento Então qual é a chance de cada saída então no modelo probabilístico eu não sei qual é a próxima saída mas eu sei qual é a probabilidade essa probabilidade ela é descrita por uma equação matemática Então é isso que a gente vai ver daqui para frente nessa aula e nas próximas aulas como que a gente dedos esses modelos e como que a gente simula também esses modelos na prática antes definimos o conceito de probabilidade Vamos definir alguns conceitos fundamentais e dá um conceito mais fundamental é o conceito de espaço amostral representa p o ômega
o que que esse espaço amostral representa ele representa o conjunto de todas as saídas de um experimento Então se experimento foram lançamento de um dado Ômega seria os valores de 1 até 6 se for lançamento de uma moeda é o ômega representa Cara ou Coroa então espaço amostral representa todas as saídas possíveis outro conceito Fundamental e o conceito de evento o que que seria evento o evento é um elemento do espaço amostral então o lançamento de um dado pode ser por exemplo sair um número par de uma frente uma moeda pode ser sair de cada
Então até essa diferença Então a gente vai ter o espaço amostral a gente representa pelo diagrama de venn usando a teoria dos conjuntos Oi e um evento é um subconjunto desse espaço amostral e aí a gente pode definir também algumas relações entre eventos então o evento impossível que representa pelo conjunto vazio é o evento que nunca vai ocorrer que vende seria isso você de presente você é um número maior que 6 no lançamento de um dado então não tem como sair o evento certo a gente representa como ser um Ômega Porque ele é o espaço
amostral que que você o evento o certo sair um número entre 1 e 6 no lançamento de um dado elemento certo porque vai sair um número 36 sai caro coroa na seletiva moeda também o evento certo vai ocorrer com certeza a gente pode representar também algumas relações entre eventos então a união com B é o evento que ocorre se a a over ou ambos ocorrem então pelo diagrama de venn a gente teria que o efetuar o evento b e a união entre eles essa área em verde ou seja a união é o evento em que
a ocorre bem ocorre ou não e aqui essa região aqui em que eu tenho alimentos já ou de bebê então por exemplo se o a for o valor para o lançamento de um dado Então seria 2 4 e 6 esse be for um número um número três então ver seria 4 5 e 6 E quem seria a união com B são os elementos que estão em A ou B ou Em ambos então por exemplo no caso do aço e o valor 24 está em B5 está em B e C estão em ambos Então se correr
um desses valores ocorreu a união de a com b podemos definir ainda a intersecção que o evento que ocorre seis sua mente e ser a e b ocorrem os ou seja os dois ocorrem ao mesmo tempo que que seria isso seria nesse caso aqui seria a intersecção de a com b e quem que a intersecção são os alimentos que estão em e MB então que ocorre o mesmo tempo Então nesse caso aqui se o afro Vampire o formador maior que 3 no lançamento de um dado Então qual que ser intersecção seria os valores quatro e
seis porque pertence a e também pertencem a bebê Então se ocorreu o valor quatro ou ocorrer por favor seis então ocorreu a intersecção de a com b a complementar é o evento que ocorre se a não ocorre então gente representa assim também então esse a gente vai apresentar por a barra ou o acontecer Zinho aqui então seria o complementar de ar então evento que ocorre esse ah não ocorre então por exemplo se o ar é um valor para no lançamento de um dado o complementar de ar é um valor ímpar então é o seus elementos
que estão fora de ar eventos mutuamente exclusivos ou mutuamente excludentes são eventos que não ocorrem ao mesmo tempo ou seja a intersecção com b e é vazio então a intersecção comer é o evento impossível então a e b não correntes no tempo que seria um exemplo seria se o ar for grupar e mesmo número ímpar então não tem como sair um número ímpar ao mesmo tempo você vai te ajudado vamos agora fazer um evento Então sejam A e B dois eventos e o mesmo espaço amostral temos que ver na linguagem dos conjuntos pelo menos um
dos eventos ocorre ou seja se um deles ocorre pelo menos um então ocorre há oito ocorre B ou corre ambos Então esse caso que seria simplesmente a união de a com b então a ocorre ou B ocorre ou ambos ocorre que a intersecção entre eles o evento a ocorre mas b não ocorre o que seria isso e assim então a gente vai ter efetuar o evento B E aí quando a ocorre ocorre essa região aqui mas só que o bebê não ocorre então ocorre apenas essa região que eu estou marcando aqui Então na verdade a
gente pode escrever como sendo a menos a intersecção com B só desse esse menos não existe na linguagem do conjunto também vai ter que fazer a gente vai definir E aí Joaquim Rosa utilizando intersecção e união Então veja o seguinte ó essa região aqui é a região que está em a e também está Oi está em complementar de bebê porque para complementar de bebê essa região que eu vou marcar aqui com o amarelo Então essa região foi marquinha amarelo é o complementar de bebê eu vejo o que está em complementar de bebê estranhar essa região
então o eventual corre então o ar com certeza tem que correr e b não ocorre então eu vou remover essa região aqui que está em bebê do evento a Então seja a intersecção Kombi complementar nenhum deles ocorre que quiser isso aqui com essa seguinte que a gente vai ter então aqui os eventos A e B de novo se nenhum deles ocorre então quer dizer o que quer dizer que vai ocorrer essa região aqui de fora e quem que essa região de fora é simplesmente a complementar intersecção com de complementar então ou eu poder escrever também
outra maneira inscrever-se Oi gente o primeiro de alcunha com bebê então eu posso pegar dessas duas maneiras então se eu pegar o complementar de ar que essa região que está fora de ar complementar de região que está fora de b e pegar a parte a intersecção verdes ou seja o que ocorre fora de iPhone de bebê Então vai dar simplesmente essa área que tá marcado em verde então fazer um exemplo dançando dois lados a quebrados qual é a probabilidade de que a soma das faces seja igual a 7 vamos representar esse evento como sendo o
evento a e nesse diagrama nós temos todas as saídas possíveis no experimento Ou seja no eixo X nós representamos o valor do dado um no eixo Y o valor do dois e os pontos representam as saídas possíveis por exemplo é Posso ter o valor um dado um o valor outro lado dois eu posso ter o valor três mandando um e valor 4 usado 2 e assim sucessivamente então nosso caso o exercício está pedindo que a soma seja igual a 7 eu tô sentindo observar este diagrama a gente vai ver que é sou igual a 7
e quando sai o valor um lotado um ou valor seis no dado dois o o valor do ex-jogador e o valor cinco lutadores o valor três fundado em valor quatro mudando dois o valor quatro em lugar nenhum e o valor turismo W2 o valor se incomodado um e o valor dois no tdu2 e o valor sejam dado um e o valor um lado dois então o nosso espaço amostral ômega ele tem tamanho 36 porque nós temos 36 possibilidades então a probabilidade de ocorrência desse evento a é simplesmente o tamanho de ar ou seja o número
de possibilidades em favor de ar dividida pelo menos espaço amostral como nós temos seis possibilidades para Então seria 6 sobre 36 essa habilidade daria um sexto então a chance de que a soma seja igual a 7 é igual ao sexto no próximo item e pedido obter uma soma maior que cinco vou puxar mais evento direto B e novamente aqui o nosso diagrama quando que é só uma será maior que 5 quando sair o número um alongado um o valor cinco no W2 porque as rodas 61 alugado um excelente estado 221 dando quatro mudando 2 ou
5 ou 6 31 dado um e o valor três quatro cinco seis jogadores e assim sucessivamente notamos que ao total de 26 possibilidades então a probabilidade de ocorrer o evento B que seria a soma ser maior que 5 sem o número de elementos em favor de ver dividir pelo tamanho no espaço amostral então ser igual a 26 sobre 36 dizer igual a 13 sobre 18 Então qual é a chance de que a soma seja maior que 5/13 sobre 18 uma terceira definição de probabilidade é chamado definição frequentista Nesse caso a gente definir que a probabilidade
de um evento é igual a sua frequência de ocorrência e muitos experimentos ou se é a chance de ocorrência de um evento A é igual ao número de vezes que a ocorre / n quando esse n é muito grande desejo infinito Então essa é uma outra definição e mas é muito parecida com a definição clássica porque na verdade se eu tiver para ser por uma urna com algumas bolas azuis e mais bolas vermelhas a chance de eu tirar uma bola azul é diretamente proporcional ao número de bolas azuis que eu tenho naquela urna Então na
verdade ela tem uma certa relação mas essa é uma outra definição e ela leva em conta a repetição do experimento aleatório então só pra gente observar Então essa definição frequentista que a gente tem uma simulação e palito e do novamente a gente vai usar pelo teclado o pai quebrou tecla numérica a gente vai para chamar a matplotlib que a Biblioteca para eu mostrar esse tipo de gráfico em Python a chance de ser cara igual a 0,6 VP ela vai armazenar a frequência de ocorrência de casas ou seja por exemplo indo um experimento em dois e
três e quatro quando experimentamos precária eu vi sim o número de simulações que eu vou mudar o número máximo de simulações que vou te bater até mesmo ou seja por variar simulações de um até mil variando de 10 e 10 ou seja seria uma simulação 11 21 31 até mil e eu vou fazer o que eu vou começar a coluna de casa como sendo zero e vou fazer que nem fez anteriormente o bolso eu tinha um número aleatório entre 0 e 1 se esse número for menor do que P eu defino como saída de uma
cara caso contrário definir como sair de uma coroa Então você prometido armazenar que o número de cargas ou seja fração de caras que obtive e depois a sua mostrar usando essa planta matplotlib então a gente pode ver a saída do experimento e que nós voltamos quando eu aumento o número simulações Ou seja eu começo com uma simulação e chegou até mil nós não temos que a variação em torno dessa desse resultado que tracejado o que você que cerveja teórico porque eu defini p como sendo 0,6 então eu tô assumindo que a chance de sair cá
um exemplo vocês então se nós aumentamos o número simulações nós vemos que essa esse valor obtido ele acaba convergindo para o valor esperado ou seja cada convergindo para o valor 0,6 Então essa é uma demonstração de como funciona essa definição frequentista de probabilidade podemos definir ainda a probabilidade da união de eventos Ou seja é a prioridade que a ocorre ou B ocorre ou ambos ocorrem essa probabilidade Ele é igual a quanto é igual a prova de armas a probabilidade de bebê menos a probabilidade de a intersecção com.bo maneira visual de nós verificarmos esse problema é
da seguinte forma Então o que a gente vai ter o espaço amostral com a e b deve ser marcar por exemplo como laranja a ocorrência de ar dessa que seria a probabilidade de a seria o tamanho de ar dividido o tamanho do espaço amostral e sem marcar com verde a probabilidade de bebê que é o vídeo pedindo do espaço amostral então a gente nota aqui essa região aqui foi contada duas vezes então por conta disso eu pego a chance de ar mais a chance de bebê e eu removo essa intersecção porque essa intersecção de a
com B ela foi contada duas vezes é claro que essa não é uma diferença não é uma prova formal mas pelo menos é uma prova intuitiva Então dessa para mim que eu tive este ver que esse tema aqui ele é contado duas vezes prova definição um pouco mais formal nota que a gente pode escrever a união com B como sendo essa região aqui em laranja essas é o que que ela é é a intersecção comer complementar aí eu faço a união com essa região aqui em rosa que simplesmente a intersecção comer com a união com
essa parte aqui em verde que é simplesmente a complementar intersecção b então sobre agora a probabilidade Em ambos os lados notem que esses eventos aqui são todos desde junto e eles não têm intersecção Então a prova das da minha ouvir a soma das probabilidades então eu vou ter que pedir ar e eu com medo vai ser simplesmente a probabilidade já intersecção comer complementar mas a probabilidade já intersecção B é mas a probabilidade de a complementar intersecção B mas vou ter que esse termo aqui quem queria ele é simplesmente pedir a menos pedir a intersecção comer
que ser esse terminar anja mas o próximo ter vai pedir a intersecção com b e o último termo também seria quanto CDP de bebê menos pedir a intersecção com bebê Então se agora cortar um desses temos aqui eu posso cortar esse pedir a decepção com bacon pediatras é só com b então a gente tem que pedir a um em algum B é pedir armas PB - pedir a intersecção B E você tá fazer mais um exemplo em uma escola particular Entre todos os alunos que procuram ajuda 63 por cento precisam de ajuda em matemática 34
por cento preciso de ajuda em inglês e 27 por cento precisam de ajuda tanto em matemática quanto em inglês Qual é a porcentagem de alunos que precisam de ajuda em matemática ou em inglês ou em ambas disciplinas por esse caso como está pedindo o em matemática ou em inglês ou em ambas Então a gente vai calcular a união entre os eventos pelos definir os seguintes eventos e me seria precisar de ajuda em matemática e é precisam de ajuda em inglês então nós temos calcular simplesmente a probabilidade de m união com e que simplesmente TPM mais
pedir ou menos pdm intersecção e PM seriam apenas os alunos que precisam de ajuda em matemática que a gente viu que é igual a 63 por cento possui de 0,63 a pedir seriam os alunos que precisa de ajuda apenas em inglês são 34 por cento Oi e a intersecção seria os alunos que precisam de ajuda tanto inglês conta de matemática seria 27 por cento tô fazendo essas contas nos obtemos que setenta por cento dos alunos precisam de ajuda ou em matemática ou em inglês ou em ambas disciplinas podemos ainda demonstrar algumas propriedades da medida de
probabilidade Então você já fez o evento impossível e a e b dois eventos e o mesmo espaço amostral o ômega e seja ainda acerca igual a barra o comprimento adiar então gente o seguinte a probabilidade do evento é impossível é igual a zero a prova de é um menos pediatra entrar esse a pertence saber então pedir a é menor igual que eu pedi B pra demonstrar essa para cuidar de um fazer o seguinte a gente tem que a probabilidade Bom dia união com o evento é possível é quanto é pedir a mas a probabilidade do
evento é possível menos pedir a intersecção com o evento impossível mas a gente tem o seguinte a união com o evento é possível é o próprio evento a ou seja ocorre a ou ocorrer bem que possível como evento impossível não pode ocorrer vai ocorrer o próprio A então você quer simplesmente pedir a então gente vai ter que pedir ar é igual a pedir ar e mais a prova das bebidas impossível menos e a é impossível não ocorre ao mesmo tempo ou seja ocorre a ou não corre nada então se tem uma que zero Então você
vai ter que ir P do evento é possível é igual a zero aceito na faculdade a gente demonstra seguinte forma gente tem que a união com a complementar é o próprio Ômega porque se a gente tiver aqui no evento lá e eu comprei metade ar é todo mundo que tá fora de ar então seu une a com a complementar da própria Ômega então se eu clicar aqui a probabilidade ambos os lados a gente vai ter que pedir ar união com a cumprimentar é igual a pedir o ômega só que a união complementar ai a complementação
eventos mutuamente exclusivos Então aproveita avião vir a soma das probabilidades Então seria simplesmente pedir ar mais pedir a complementar e a prova de Ômega e a primeira de governo do evento certo que bom então aqui eu tiro que pedir a é um menos eu pedi a complementar para aquecer a propriedade a gente tem seguinte então a gente tem que a está dentro de bacon Quem inventou o ar ele está dentro do evento B no mesmo espaço amostral então eu posso beber da gente seguinte forma então B seria a a união com essa região que está
fora de ar mas está dentro de bebê ou seja seria a complementar intersecção comer então se aplicar novamente a probabilidade eu tenho que pedir ter é simplesmente a união com a complementar de bebê acaba sendo a soma das probabilidades porque esse evento a e o evento a complementar de segunda e terça começo né juntos câncer igual a pedir ar mas pedir a complementar intersecção com B esse termo aqui ele vai ser maior ou igual a zero então eu voltei o que eu vou ter que pedir ver ele é pedir ar mais um tempo maior que
zero então impedir B ele é maior que pedir a então pentear Vai ser menor igual eb1 o coração nós iniciamos o estudo de propriedades estudamos que que é um experimento determinístico e um experimento probabilístico estudamos várias definições de probabilidades estampa clássica axiomática ou mesmo a frequentes ista no caso da frequência nós mostramos Como que o valor simulado ele converge para o valor esperado usamos emoção e Python definimos propriedades importantes tais como os eventos espaço amostral que são conceitos fundamentais e quem tiver interesse pode dar uma olhada único no chão nós no livro do Méier o
número do postinho do Ney que está disponível na web nas próximas aulas continuaremos no estúdio probabilidades e particularmente na próxima aula Vamos estudar probabilidade condicional
