Geometria Diferencial - Prof. Fernando Codá Marques - Aula 07

a intrínseca e eu derivei as chamadas equações de Gauss codazzi Mainardi é só ficou faltando enunciar o teorema de boné resolve a pergunta que eu coloquei lá não deixa só fazer isso aqui o problema de boné e ele pode ser visto como O Teorema Fundamental da superfície a gente quiser analogia com O Teorema Fundamental das curvas planas e no espaço um teorema diz que a sejam um a g e j i o J funções de um aberto do R2 e R1 só diferenciáveis e com a propriedade aqui o RJ variou entre 1 e 2 e

e com propriedade que as matrizes são e simétricas o Netflix quem age positiva é definida é essa Essas eram as condições digamos imediatas né do fato de que a gente quer realizar G como primeira forma Fundamental e aplico uma segunda forma fundamental acho que não eram tão imediatas mas a gente deve vou na última aula são chamadas equações de compatibilidade são as equações degraus cuidados mais nada então daí é que cê e a a acrescentar elas aqui satisfazendo e as equações G1 os degraus quase e mais tarde e a gente viu na aula passada aqui

essas equações são necessários a gente quiser ter uma superfície de fato o critério uma fala que elas são suficientes bom então se você tem jeito peças fazendo as equações então dado qualquer ponto do domínio 1 O resultado é local Então vou dizer apenas que existe uma vizinhança a ver tô no. não é que eu queria que especificar também a Vamos colocar assim um dado um ponto do domínio o sistema vizinhança daquele ponto e uma parametrização e de alguma superfície é definida na vizinhança menor o que realiza então a joia p E aí o que realiza

o jipe como primeira Oi e a segunda forma fundamental das superfícies x de ver o respectivamente a E aí O que é bom então esse é o teorema eu quero ela também tem uma uma afirmação de unicidade Ele disse que se se essa vizinhança veia conexas e se você tem que x/é outra parametrização com a mesma propriedade né definida em V o x/é a parametrização e e com geipi e a cena primeira segunda fundamental então e existe o movimento rígido às vezes o movimento restrito o que preserva orientação o R3 Vou te mandar uma na

outra um toque x/M composta Koch certo Então significa que uma superfície se essa aqui é o XD de ver o x Barra de ver vai ter que ser é uma rotação seguida de uma translação superfícies José Ah tá certo e também então essa o teorema de boné a palavra chave aqui é Gauss codazzi Mainardi né que são as equações que precisam ser satisfeitas para que a superfície se existe alguma dúvida sobre o sobre anunciado a ah ah eu só vou dar uma ideia da prova acho que vocês podem ler a prova não apenas nos apêndices

livro de uma freddo a promoção da ideia aqui para porque parece com que a gente fez por causa de curvas né a ideia que você quer encontrar superfície se você parte da primeira e da segunda forma Fundamental e quer encontrar a parametrização então o que você faz é antes de encontrar parametrização você tenta encontrar o triedro o x 1 x 2 Ah é né então se você define é chamado de que ser estou usando a notação 12 né então Digamos que isso aqui seja as coordenadas sejam o um é o dois E aí é a

então definimos e o Max vai ser o triedro se ele só que vai ser um X1 devolver desculpe de 112 né x 2 de 12 e o n é de 12 claro que só faz sentido se a superfície já existe isso então A ideia é que se a superfície existe né então se a existe o x e com essas propriedades então e essa função que se aqui que é uma função e do aberto ver né Eu quero construir digamos a uma superfície um aberto ver piora deixa eu colocar o único que existe Então essa que

se tem uma função de uma função de u E aí R2 a nr-9 né porque cada vetor aqui é um vetor do R3 só toma valores estamos valores em renove satisfaz E aí é um sistema do seguinte tipo o sistema Oi gente derivou o sistema na aula passada né eu não vou repetir aqui eu com detalhes mas a ideia que a gente fez na aula passada foi calcular as derivadas primeiro de cada um desses três vetores aqui e reescrever isso como combinação linear do triedro X1 X2 in24 dia que você com relação à ue é

uma certa função uma certa expressão que vai depender das variáveis do domínio 12 porque afinal apareciam os símbolos de Cristóvão e a segunda forma fundamental que são Dados como funções das variáveis do domínio não é e não se envolver Christopher e a segunda forma fundamental são funções e um é o dois que são dadas O que é filho depende também do que você o que a gente reescrever em como uma combinação linear dos vetores do triedro certo aí aqui tá variando de um a dois é só que não é derivada tá E aí está portanto

fica uma função é a função diferenciável que vai do aberto o R2 lá vezes ar9 e retorna novamente um vetor do e Nokia o diferencial é o gato para igual uma igual 21 E aí tá aquele sisteminha que eu tenho escrito assim né que era XJ nia1 isso aqui era uma coisa assim não era o símbolo de Cristo coppio é mas segunda forma fundamental n e aqui também aparecer uma expressão em termos a segunda forma fundamental às vezes x cá mas só que envolvia g&p na hora isso aqui é um sistema desse tipo wi-fi é

só que essa função das variáveis viver e o x casa e os genes são são entradas do que circo Oi gata você é superfície existe aquela função que se tem que satisfazer um senhor desse tipo então a ideia fazer agora o contrário Você lembra que era assim que a gente fazia em curvas né a gente tem as equações de frehner é o seu primeiro resolver as equações de frente e depois recuperava curva Então você quer resolver esse sistema aqui agora o ponto de chamar essa aqui de estrela em conta que o sistema do tipo de

trigo nem sempre tem solução e 5 estrela e nem som e tem solução você nem sempre estão integráveis que é o tema que se uso a equação integral com ela sempre sempre possui solução e eu dei um exemplo aqui não tem um erro bem simples que era uma coisa assim desse de o igual a fndu por exemplo né para que isso tivesse solução a derivada da efe e com respeito a o J tem que ser igual a derivada da da FJ com respeito ao ir e Essas eram as equações de compatibilidade Ah pois nem sempre

que sou o sal Mas o que você precisa chegar para que essa solução existe são exatamente as equações de compatibilidade naturais que vem exatamente de você escrever que a derivada de que se com espeto ou e depois derivado com respeito ao J = derivada com respeitando J depois derivada com respeito a Wii Ou seja você vai obter então e a existência E aí a unicidade de colocar existência local G1 a unicidade é de soluções é só que é equivalente a você é checar o que o lado direito você já que Essas funções f e satisfazem

as equações é de compatibilidade e é que fazem e as equações é de compatibilidade o que vem é de você colocar e em J igual que se já tá aí é e aqui pode ser um bom exercício dia de ócio tá vocês tão fazendo de Rosa agora né ou já fizeram certo é a diferença que isso aqui não é uma ideia ó porque tem mais de uma variável né envolvida termo variável uma variável o dois mas se você restringe por exemplo um segmento horizontal aquilo ali viram melhor a mesma coisa que você restringe a um

segmento vertical por exemplo a derivada de psicoespiritual dois aquilo ali também vai ser o melhor que você pode tentar eu resolvi aquele sistema da seguinte forma Imagine que e eu dei uma condição inicial no zero E aí quero encontrar uma solução no aberto em torno do zero então que natural fazer uma primeiro encontro a solução aqui certo porque no eixo o único aquilo ali viro uma ideia e agora eu tenho uma condição Inicial aqui para poder resolver e na direção horizontal que novamente vou ter uma ideia então consigo uma função a ficar definida numa vizinhança

da origem né que vai satisfazer equação e na segunda variável sempre mas a princípio a primeira ela só satisfaz aqui então você para você chegar aqui de fato ela satisfaz a primeira em todo o segmento na horizontal Você vai precisar usar as equações viu compatibilidade certo essa no fundo é uma estadia de ócio disfarçado é porque Quais são as compatibilidades são essas né as equações com compatibilidade só podem envolver as ervas que é que se não existe ainda que você é a potencial solução. Para derivada equações compatibilidade que você faz é você olha para essa

essa equação aqui e reuso o sistema mesma coisa que a gente fez na aula passada sei o que sim a e j se você tiver uma solução né é isso aqui vai ser e a também banco O inspetor J né Você vai ser a derivada e da FBI com respeito ao J eu tô derivando aqui nos primeiros variáveis e E aí depois eu tenho que derivar nas últimas né É que eu tenho nove entradas na realidade Então você deriva que aparece a regra da cadeia só vai derrubar f Com esse peito e a Caesb na

entrada aqui ó e ele vai aparecer a derivada da Caesb na entrada com a respeito ou j é só que aqui você pode usar o sistema novamente a sexy e de fato solução Isso aqui vai ser igual a a caese uma entrada de FJ mas e colocar um 40 para indicar que se a componente o filme O doce bom então quando eu escrever isso aqui e a depois de usar o sistema de novo você fica com seguinte fazer equações de compatibilidade ficam assim a possibilidade você precisa checar elas ficam só em termos a zeros você

vai aparecer a derivada de f Com relação à o j h + cookies e o e mais a derivada Isso aqui é uma soma né E aí é só vem cá a derivada de f e ao suspeito que ficar o Diogo se vezes f i j k Bom dia que você e essa expressão aqui tem que ser igual derivado de FJ com respeito a ue Eo que se mais somatório em cá trocando e pelo J G1 o OK agora só isso aqui tá escrito só em termos de efe o que servir apenas uma variável Olá

tudo bem então aquele problema lá que eu deixei para vocês como exercício né no dia de hoje é mostrar aqui se essas equações são satisfeitas Então pelo menos numa Vizinhança do ponto onde você deu uma condição inicial vai ter uma solução e essa solução é única que você vai usar a unicidade de Deus e G1 E aí a ideia da do teorema é que a gente viu que nós na aula passada aqui no caso da teoria dos perfis essas equações aqui são exatamente as equações degraus Cláudia Mainardi você que são exatamente a equação de Gauss

com base em em homenagem a O que significa que você vai encontrar o XXI Ou seja você vai encontrar o triedro né E aí você prossegue que depois você vai ter que encontrar a parametrização mas deve se observa que você já sabe as derivadas dela que você monta um outro sistema resolve de novo e no final encontra X E aí o maior da história que não tem nada mais profunda do que a de Rosa aí nesse teorema 1 E aí é uma pergunta como eu falei vocês quiserem olhar mais detalhe vocês podem ver não um

apêndice do livro os quais o teorema do Banana é muito bem Oi e aí na aula passada a como consequência dessas equações a gente fez uma descoberta fundamental E aí O que é conhecido como teorema a igreja de gao su O que diz que a curvatura de Gauss é os degraus e cá é um invariante empreende você já invariante o horizonte preço e isometrias aqui de superfície e o que significa é que se você tem mais o mettre à efe entre duas superfícies SS/ bom então a curvatura da s/onde vemos a curvatura DS no ponto

P de Gauss tem que ser igual a curvatura da s bar no ponto f d p a Olá tudo bem graças à é a Então esse explica mas também na aula passada que o plano EA esfera não são localmente isométrico né porque as coberturas são diferentes isso também explica por que que a gente tinha aquela coincidência de que o o plano tem cobertura de gal0 e o cilindro reto o raio r e também tem cobertura de galera cobertura de galera O produto das coberturas principais no caso do cilindro a gera 13 é uma reta tem

corretoras bom então gente já viu anteriormente que o plano eo cilindro são localmente domésticos então isso tem que coberturas legal você tem que ser mesmo pelo terreno do prêmio igreja por outro lado vocês podem ver que no caso do plano curvatura média 0 mas no caso do cilindro se você escolhe normal para dentro por exemplo cobertura média é um sobre dois r e vai aparecer os verba gera 13:01 sobre R do circo a média aritmética é um meio de um sobre é só que encostar de positivo E aí a curvatura média não é invariante intrínseco

ela de fato detecta com a técnica mais digamos assim o tecto um ambiente como a superfície da colocada no espaço observação aqui é de PH não é a variante e a imprensa Chico mas só para esclarecer Mais um ponto aqui ela é assim variando ficou movimentos rígidos que o movimento riso ele não está agindo só na superfície É de fato uma sorveteria do espaço todo porém o H em Variant e por movimentos rígidos e em qualquer cobertura que se preza tem que ser é invariante com movimentos e Jesus Afinal uma superfície rodada é a mesma

superfície é ah tá claro essa diferença que entre os homens têm interesse caiu mais o metralhador do ambiente né em alguma pergunta então a gente prosseguir e a é muito bem então vamos prosseguir com a geometria intrínseca Oi Nalva passado mencionei que esse teorema greve do gás era o teorema que abre as portas para geometria em Mariana Oi e aí Vera era construir superfícies formados por geodésicos e e pode até voltar essa ideia mais tarde lá E aí então vamos primeiro ter que falar de geodésicas lá né é uma ideia que na verdade dá para

fazer uma coisa muito mais geral e depois vai e vai nos dar no sangue geodésica que observar que de fato a gente consegue fazer o cálculo em superfícies uma das aulas passadas Eu mencionei que dado um campo tangente a uma superfície era possível definir a divergência do campo e até escreveu uma uma expressão aqui né é o que tá com trás disso é a derivada covariante do campo que eu vou explicar agora bom então a situação é a seguinte a gente tem uma essa uma superfície regular do R3 a superfície regular há 23 horas e

a gente tem um aberto de Esso o Digamos que nesse aberto já tá definido um campo de vetores tangentes é a minha notação aqui eu chamei de w ou seja w G1 é um campo e a tangent i e aqui está implícito que ele vai ser diferenciável é um aberto e a tua um aberto bom então Campo w e em cada. P do do aberto eo o wdp um vetor tangente e esse é o que significa ser diferenciado eu peço que ele seja desculpe só que significa ser tangente ser diferencial e você pode sempre usar

coordenadas né Ele disse que no campo é diferenciável ser quando você escreve ele como combinação linear os diretores Condenados a função de 400 são diferenciados Essa é a definição e não ligamos que w seja um campo tem gente diferenciável num aberto o aí nesse aberto a gente escolhe um ponto P e uma direção ver e também tem gente bom então escolhemos a p pertencente à superfície ver tangente à superfície e aí eu quero que eu quero definir é a derivada do campo no ponto P na direção ver mas que eu gostaria de fazer e se

por acaso a minha superfície fosse um plano A gente sabe dele vai a derivada usual Oi gata pergunta como fazer isso Agora Numa superfície a paidéia seguintes é dada a direção tá gente ver e a gente pode considerar uma curva Alfa é contida na superfície O que passa por Peter vetor velocidade ver e a gente escolhe ao Phantom II a curva o Roberto o você já tá Desculpe Não é não aberto né eu tô Eu geralmente uso para e o domínio coordenado né e enfim eu espero que não queria confusão então Digamos que a gente

escolhe uma curva que contida nesse aberto ver diferenciar viu O que passa por p e com velocidade ver essa definição de Vetor tangente nessas vetores que são tangentes a uma curva contido na superfície e aí essa curvas eu pegar um sistema de coordenadas aqui em torno do ver né O entorno do pé desculpe eu posso escrever tudo em quadrados pó mas antes disso O que eu posso fazer o seguinte bom escolheu a minha curva e corresponde a um certo parâmetro ter aqui não é então posso olhar para o campo w só o longo da curva

posso fazer o seguinte a nós podemos definir e aqui eu vou abusar um pouco da notação vou chamar de Davi também e o wdtv vai ser o WD Alpha de tempo e onde é que tem um ligeiro é ou não ligeiro abuso de notação o w na verdade está defendendo na superfície né mas eu posso estar ajudar ver a curva E aí eu devo o w com respeito até E qual é o observação Oi gente tá querendo fazer geometria intensifica né então na geometria intensa que você não pode fazer referência aos Passos é pode até

usar o espaço para fazer a definição mas no final o espaço ambiente não pode aparecer bom então quando você teria um vetor mesmo lhe sendo tangente a derivada pode ter uma uma componente normal certo é exatamente o que acontece conhece um círculo por exemplo eu te aviso aqui se você se o vetor a por exemplo a tangente e a derivada da tangente é normal E se eu fico tiver raio né o acerto concederei um campo tangência pode ter um componente normal bom então você faz a esquece a componente normal tal definição e a derivada em

qual variante a DW né e a e em pé na direção ver G1 e é dada por o resto da nota sim É o derivado w com respeito a ver calculando no ponto P isso aqui é a derivada e o DW a deter no zero né e t = 0 que quando a culpa passa por lá aí eu pego a componente tangente é essa aqui passa a ser um vetor que a tangente à superfície no ponto pé Claro é a ideia caso a derivada usual e pega componente tá Gente esse é o privada qual variante

é porque eu preciso checar G1 e não depende do caminho né Depende da coruja há uma maneira simples de fazer isso é pegar um sistema de coordenadas mostrar que Qualquer que seja a curva O resultado é o mesmo o que você faz o seguinte você pega pega uma parametrização X E aí Ah tá pegam parametrizacao X é a que vai em alguma Vizinhança do ponto P E e pode estar contigo no anal né E aí da da parametrização você pode por exemplo escrever a curva Alpha de t e como sendo um X de Hud TVT

é e essa é a curva né e o campo w e eu posso escrever da seguinte forma né o w no Ponto X e o ver ele é uma combinação linear dos vetores coordenados Então escreva os coeficientes como sendo a de um ver X1 + B só de o ver José cria um Capitão gente ele tem que ser uma combinação linear dos vetores dos vetores coordenados Tá certo e novamente por abuso de notação posso pensar nisso como se eu quiser com o w como função de um veículo Oi e aí o que você precisa fazer

é você vai restringir o w a curva não se você vai olhar para o w de ter que vai ser então e a Judy te ver de ter X1 + B Oi Judite vídeo de um o XV batatas e G1 E aí e o X1 lembra que depende de Hud de hoje ver também né eu pude te ver de até que também onde ter vem Ester Oi e aí você deriva né quando você diria você fica então a nós vamos fazer isso aí notação é mais concisa vamos escrever isso daí no seguinte dia a notação

simples eu vou escrever então a minha curva Alpha como sendo um X1 de ter odor de terra ó e vou escrever o meu w é cheio de um ou dois como sendo uma conta uma soma de um ar e de um ver xz eu fui varia de 1 a 2 Ah tá Portanto wdt ele é então uma soma dos países aqui na Oliver né é um ou dois não a onde fica um Aide e o Woody até o doido quer o x onde x e também Depende de um de até e o dois de pé

a nossa Deriva o poder wdt e vai ser bom e você usa a regra da cadeia né só que vai aparecer a vai aparecer uma eu tenho que levar na primeira e na segunda né então aparece uma soma em J também aparece a derivada do aí com respeito ao J é calculado em 1 a 1 de 1 a dor de ter que eu tô explodindo tudo impossível né então vai ficar um pouco longo mas e aqui aparece a derivada da J a linha de terra eu vejo x e né e deixa eu não nós inscrever-se

aqui para não ficar Comprido demais né E aí depois eu dei vou isso daqui então fiquei com a sombra aí aí novamente eu vou ter que levar no olho dois né A minha parece um sonho J eu fico com aí e deu um ou dois e aí fica derivada do x e com respeito a j em 12 vezes a derivada da o J com respeito até eu concordo passar a eu acho que a gente está fazendo é a gente tá derivando uma fórmula para derivada covariante enquadrados em E então em coordenados e em coordenadas e

a derivada covariante fica escrita simples eu quero olhar para isso né mas foi definido como a componente tangente desse vetor que hora o x já são tangentes então eles ficam aqui é a primeira parte a soma e e&j é derivado do país é multiplicado pelos e o J linha e aí eu tô fazendo isso não é igual a zero né Às vezes o x z a e agora o segundo termo eu vou estar o vetor é o XJ só pergunta vocês quem é acompanha que tem gente do XJ o que aparece a gente faz isso

aula passada E aí eu esqueci o nome é só você sem fazer Cristal falar você quer a soma do gama e JK xk-1 O que são símbolos e Cristóvão que lembrem que só dependendo da primeira forma fundamental é só depende a minha foto fundamental tá esse que aparece aqui vai aparecer a soma e em JK E aí é de a vamos escrever sim Gama e JK a aí me disseram né e o J linha de zero não aí de 01 que eu tô fazendo sol aí né e o aí no ponto o J Nhá Chica

ca Ah tá a canção não esqueci nada essa aqui eu posso escrever no ar uma coisa só né porque fica assim se eu troco o seu na primeira troca o IP pelo carro para poder juntar os dois termos eu fico assim você vai ser uma soma Como eu como ele é um vetor tangente ele é um combinação linear 2x caso então o primeiro termo fica some em j e a derivada do aí e o joj0 e a cá isso Obrigado cara eu troquei o Ítalo katina Tá mas e aqui já tem fiscal não precisa trocar

nada a soma em j.de Gama e j tá aí é o j1 Tá certo bom então esse é o resultado né Agora se vocês olharem para esse daqui vocês vão ver aqui onde que a curva entra né e a curva Alpha era escrita em coordenadas como a curva um ou dois de terra e onde é que o um é o dois estão entrando aqui nesse pressão e ele só tá entrando na derivada 10 ou seja o que significa dizer que a a curva realmente não é o que importa o que importa é a direção tangente

a curva no zero que é o que é o vetor v a e a culpa Alpha tinha essa expressão aqui né Então conta calcular derivada em 10 o alfa linha de zero quero ver e fica sendo então um um linha de 0 X1 mais o uso dois linha de zero X2 você já esses números aqui são exatamente as componentes do vetor V na base condenado é só só nisso que isso aqui dependendo da o meu corpo a Oi ok a passo mostra aqui de fato está bem definido não não depende do álcool só depois vou

ver e os coelhos estão calculados isso aqui tá calculado em 12 né e você vai variar isso aqui no ponto né tosse aqui tá calculado em ah ah ah O que é p o para ser preciso tá a gente tá usando coordenadas né então no ponto que corresponde ao pen condenados um ponto aqui vamos quer o botão calculados em que né é mas só que tá calculado em que a o símbolo de Cristóvão também é calculado em que o aí também é calculado em que G1 é muito bem então quê que tá aparecendo aqui tá

aparecendo os coeficientes do vetor no. é o símbolo de Cristóvão no ponto só depende da superfície né o da primeira falta Fundamental e aparecem também e os coeficientes do campo do ponto E aí e Então qual é a população que pode tirar dessa forma Além do fato de que que fica bem definido o que mais é para concluir E aí G1 e do câmbio do vetor não depende da segunda fundamental só da primeira né só pessoa aparecer os induzir Cristóvão aqui ou seja a conclusão é que a derivada covariante é um conceito intenso que a

gente definiu sem fazer uso de coordenadas né a definição linpack geométrica não faz uso de coordenadas aí depois de feitas as contas em coordenadas em cheque aqui só aparece os coincidência primeira fundamental tá conclusão é que aquilo ali é intrínseco à e a observação a derivada o covariantes e e é uma noção intrínseca Tá certo é a maneira é a melhor maneira de olhar para para essa expressão é pensar assim que a derivada covariantes ela tem dois termos o primeiro termo é o é o que vem da derivada visual Isso é o que aconteceria se

a sua superfície fosse um plano dar isso daqui ó e como a superstição é um plano aparece uma correção mas essa correção só depende dos símbolos de Christopher o símbolo de Cristópolis são eles correspondem a correção que você precisa acrescentar a derivada usual para obter a derivada covariante certo e em particular se o símbolo de christophe são iguais a zero que é o caso da parametrização clássica do plano quando ele vale covariante a derivada usual Oi ok E aí é muito bem é uma pergunta bom então derivada covariante tá bem definida e eu pergunto agora

como é que a gente chega na geodésicas né que é que você tem a ver com geodésicos a noção intuitiva de geodésica diz que elas devem ser curvas que minimizam o comprimento deve ser o menor menor caminho entre dois pontos Numa superfície S bom nem sempre porque acho que já deu o exemplo aqui se a geodésica é longa demais e ela deixa de ser o melhor caminho né porque aí fica sendo por exemplo uma esfera mais econômico vem por aqui mas localmente ela deve ser o menor caminho entre dois pontos certo em particulares isso lembra

um pouco superfícies mínimas né a superfície mesmo aquela aquela superfície que tinha propriedade de que se você variar um pouquinho e Calculava a derivada da área sempre dava zero se você tem uma curva que minimiza o comprimento entre dois pontos da hora tem que ter essa propriedade também se ele se você faz uma variação da curva né é um pedacinho dela o e calcula a derivada do comprimento você vê que dá zero também se você fizer um gráfico do comprimento ao longo da variação né E vai ser assim É porque no zero a gente tem

um ponto de mínimo certo então essa seria uma maneira de definir geodésica geodésicas são as curvas Digamos que análoga superfície os mínimos né Vocês são curvas que tem essa propriedade que a primeira derivada do comprimento da Zero Qualquer que seja a maneira de variar Curvo desde que a variação não saia da superfície S Então vamos adotar esse esse ponto de vista e descobriu que curva são essas só o que tem que fazer aqui assim como a gente fez um tá superfície é derivá-lo vai ser vai ser mais rápido a fórmula o da primeira avaliação e

do comprimento a princípio vamos supor que a cuba tá no espaço depois a gente restrinja o caso de superfícies até imagina agora que ele tem essa situação até uma curva Alpha fixada e agora eu considero uma variação então tem uma variação e já Alpha agora ela vai depender de dois parâmetros não o parâmetro tem original e o parâmetro esta variação Oeste vai morar no intervalo em torno da origem G1 Oi e o teu parameter original que mora no intervalo aí Tá certo o alfa quando faço essa igual a zero Oi eu recupero digamos a minha

curva original ao fazer a e três então a função comprimento gente sabe calcular a função comprimento tinha para cada para cada essa né para cada curva na avaliação e a talvez eu vou trocar os papéis aqui tá a sttp que eu vou supor que a primeira curva está parametrizada pelo comprimento de arco e você pode não ser verdade para as coisas avaliação mas a primeira você sempre pode parametrizar para o comprimento de água tá é só se você olha agora o comprimento da curva quanto que dá isso aqui é mas só que vai ser integral

no intervalo aí né e vamos quem te valoriza seja OAB e a integral de a AB da Norma do vetor velocidade muita velocidade até ao fim de S e no ponto texto é eu concordo com essa forma aí E aí E aí então eu poderia ver isso daí no entanto a derivada when linha de trem vai ser mas pode derivar dentro da integral função diferenciável é só que nunca zero né que tá próximo do do um mas aqui é a raiz quadrada do produto escalar dele com ele mesmo O que é Norma né então derivada

vai dar a 1 sobre a norma bom e fica todos calados que derivando com respeito a ter a e isso Tá bom mas eu quero isso em t = 0 o item bol0 seca curva ao foi parametrizada pelo comprimento de arco Se tem uma coisa errada aqui o sinal negativo não não está certo está bom o Inter igual a zero com o Val foi parametrizada pelo comprimento de arco portanto aqui dá um não tem igual a zero fica assim Oi ok e eu pergunto o que que a gente pode fazer agora E aí e para

manipular essa expressão E aí E aí E aí e você pode pedir isso mas a princípio segurança poderia só por isso mas acho que não é necessário não quer E aí é como é a linearidade da integral e não que você quer um produto né só que não é só que linear em cada variável mas como um todo não é e assim você poderia responder mas não também não vai ajudar vai ajudar não tá bom essa curso a gente viu vários exemplos dessa técnica né uma técnica clássica geometria Toda vez que você encontra duas em

vasos você tenta Como tá a gente já viu isso várias vezes né então aqui não precisa aqui você pode comutar por que são derivados usuais na Alfa uma função do R2 R3 né então não tem problema como tá aqui tá certo aqui é igual ao de 2 Alpha o TRT bom então um aqui também de fato depende da sua convenção de como você escreve a última derivada né se você colocar por último seria assim né é mas enfim a ideia é essa deriva com respeito até troca as derivadas e depois tenta passar a derivada com

aspeto Oeste por outro lado que a curva ao fala ela tá assim né E vamos ver se ela alphazero e aqui e o objeto importante a considerar é a velocidade com que esse ponto se move que velocidade é essa é exatamente o de Alpha de ter se você gostaria de isolar-se de Alpha de tec tec E o Nelson de Théo é o campo chamado Campo variacional E aí e parece que você faz reescreve sua seguinte forma e para isolar o Delphi de ter você escreve isso como é bom esse a derivada com respeito a essa

desse produto está lá que ou menos aí eu tenho corrigir pela derivada que E aí E aí a Deus pois é o OK mulher que a gente pode usar o famoso a música o primeiro termo O Teorema Fundamental do Cálculo 1 Ah tá você pode usar O Teorema Fundamental do Cálculo no primeiro o primeiro termo e fica então que isso aqui é e não vai mas seu produto escalar de de Alpha de ter poder Alpha DS avaliado né o berço Trader avaliado em ar anotação clássica menos essa integral que aí o de Alpha de ter

tem significado geométrico porque ele é exatamente essa essa velocidade ver que o que eu vou escolher vou escolher a minha variação e aqui aparece um objeto associado a curva que essa segunda ele vale se alguém lembra o que que é isso aqui E aí O Alberto cobertura isso exatamente o se convertam curvatura da Cobal certo você vê que tem uma analogia muito forte com superfícies mínimas né derivada da área os professores Minas aparecer aqui a curvatura médio eu já até comentei aqui que ia aparecer a curvatura se você fizesse o mesmo para cura pois se

temos aqui você quer novamente o campo oracional você pode supor para se livrar desse tema aqui é que a variação é própria você acha que ela não e não mexe nos extremos estão se a variação é própria E aí E isto é o alfa de a t a é sempre igual a fazer odiar e o alfa de ter de é sempre igual a zero DB bom então você tem que é a velocidade a vaca zero aqui né o que pode manchar para cá também 10 nos extremos E aí o que vale então que a derivada

do comprimento e vai ser simplesmente menos a integral dear Abby do ver de 2 Alpha o ds2 é isso aqui nada mais é do que se convertam curvatura e essa fórmula bom Então pergunta vocês quando é que uma curva é um ponto crítico do cumprimento Qualquer que seja a variação próprio e e quando isso aqui por zero para todo ver né tudo ver que a 0 nos extenso mas só acontece esse vetor zero e corre e esse vetor só é zero se a curva foi o que é se você já que eu tenho um é

como uma linha reta isso se eu quiser que a derivada do cumprimento seja zero para toda a variação ver própria Oi aqui é equivalente E aí essa celebração se 01 se você já curvatura Zé mas a cobertura só pode ser zero se a curva uma reta tá é exatamente a geodésica de uma superfície nem sempre são são retos né então qual qual o problema dessa que eu preciso fazer para chegar na noção certa de geodésicas qual o que o resultado disso daqui me deu uma reta né o preço tratamento que é que eu fiz eu

tô perguntando Quais são as curvas que são pontos críticos Qualquer que seja a variação EA resposta são as retas mas eu agora tiver uma curva dentro de uma superfície e eu me restringi a variações dentro da superfície aí eu vou ter a geodésicas essa é a mesma forma né é só é só interpretar bom então a e se por acaso a minha avaliação eu cai dentro uma variação de curva todas elas contidos Numa superfície s em particular só que cai no R3 portanto a fórmula Vale Digamos que ela seja uma variação própria o Digamos que

a curva ao fazer a parametrizada o comprimento de arco a fórmula Vale é só que vai ser menos o integral de ab e do vetor da variação que o de Alpha de pelo de 2 Alpha e PS2 é um desenho seria cena superfície curva Alfa Oi e aí a variação agora o vetor V e como a variação acontece dentro da e da superfície a gente tem que o ver A vida é essa né que esse The alphabet e quando t0 isso aqui sempre é um vetor tangente acho que fiz se essa no ponto em questão

é e as velocidade está dentro das suas curvas aqui também estão dentro de essa então vetor velocidade e é tangente a essa agora posso perguntar Quais são as curvas quando o exame a superfície s e para as quais esse resultado da Zero Qualquer que seja o vetor V Campo ver né que é zero nos extremos e que é sempre tangente à superfície Ah tá E aí qual vai ser resposta E aí a derivada covariante dir e antes de falar de derivada covariante como só usar essa linguagem aqui né Vocês olham para isso daqui e esse

aqui é o campo ver né quando é que você vai dar zero Qualquer que seja o ver quando é que eu o Helinho de 0 a 0 para toda a variação o próprio p é de Alfa n&s essa diferença porque eu fiz lá que olhando só para variações em S Oi Taci vetores sempre tangente a essa né e não significa que a componente normal de se ver tô aqui não interessa e isso vai ser zero se somente se a componente tangente desse vetor 01 o saco eu concordo com isso eu posso como esse evento é

sempre tem gente pode colocar componente tem gente aqui Oi e aí agora sim como está um ver um vetor arbitrário tangente a essa isso aqui é zero vocês conhecer a prefeitura zero e essa aqui é a equação das do geodésicos ah ah eu só não vou pagar isso aqui não em alguma pergunta aí e como e por enquanto não tô preocupado que elas existem ou não tô só querendo chegar na definição né e a depois eu vou fazer depois eu vou fazer isso mas a princípio eu tô querendo só determinar o que que é uma

geodésica então a intuição é que ela deve ser uma coisa que é crítica para os cumprimentos comprimento quando eu uso a forma eu deduzo que é uma curva que satisfaz essa equação que tá certo a e agora o ponto aqui isso aqui pode ser visto como uma derivada covariante e porquê é uma mulher de novo aqui para derivada covariante eu tenho impressão que eu apaguei né o sapo e aqui temos aqui a definição ainda eu apaguei a expressão em coordenadas mas a gente ainda tem aqui a definição Ah tá observação que se faz aqui e

aqui pra definir a derivada covariante né e da forma como eu fiz foi o primeiro começava com Campo tangente à superfície essa na vizinhança do ponto P depois escolher um vetor em uma curva mas o campo inicialmente estava defendendo de uma vizinhança agora observação é que se você olha para porque a gente fez aqui e para a própria expressão em coordenadas é suficiente que o campo fica definido só ao longo da curva e não precisa estar definido no no aberto inteiro gente só usa o campo ao longo da ao longo de pelo menos uma curva

tá gente ao ao ver as esta observação é que e a nossa definição a derivada covariante a e faz sentido né não faz sentido G1 G1 ir para Campos e a tangente e ao longo é de curvas Esse é o que eu quero dizer com isso eu quero dizer que você baixa que você tenha uma curva Alfa oi oi filho não tem valoir viesse uma curva na superfície e um campo o w quer dizer que esse campo é o longo da curva significa dizer que o valor do campo do tempo T ele é tangente à

superfície s no ponto alto de tempo e o desenho ser assim né é que tá curva Alfa em cada. Alpha de teu tem um vetor dado de Tec a baixar só tem um campo diferenciável longo de uma curva eu posso fazer a derivada usual pego a componente tangente fico então com a derivada covariante Oi e aí é fácil checar que no caso em que esse campo aqui é a restrição de um campo uma vizinhança as duas definições conhecidas é porque foi exatamente assim que a gente definiu né é bem eu estou usando essa observação né

é isso aqui me dá uma noção de derivada covariante de Campos ao longo de curvas enquanto que isso aqui era uma noção de derivada covariante de Campos ao longo e numa determinada direção né e a gente conclui que isso aqui pode ser escrito como uma derivada covariante derivada covariante é essa é e aparece aqui E aí E aí bom então minha afirmação é que isso aqui E aí o primeiro passo com variante essa bom essa aqui é a derivada com respeito a essa do campo de Alpha de S E aí e eu posso escrever como

Alfa linda é essa se você quiser e a gente tem é uma situação que a gente tem uma curva Alfa em cada ponto da curva Alpha de essa ele tem o vetor velocidade Alpha linda essa Portanto o vetor velocidade é um vetor tangente ao longo da curva é essa aqui nada mais é do que e a derivada covariante do vetor velocidade com respeito lá a curva o chat on e faz a derivada usual vai me dar o alfa duas linhas é essa e pega a componente tangente tanto definição se você diz que é uma curva

e a madre Gama agora de irem essa os prefeitos do R3 é uma geodésica O Jessica se a derivada covariante do vetor velocidade 10 longo da curva Isto é se quiser interpretar este maneira mais concreta se o vetor aceleração e é o que é normal superfície desse procuração é perpendicular e ao plano tangente Oi para todo terra é isso aqui me disse que a parte tangente da aceleração é zero Então significa que só sobra a parte que é perpendicular só isso é uma geodésica Oi e o corolário da discussão anterior é que eu geodésicas são

exatamente aquelas curvas possuem essa propriedade que a derivada do comprimento a zero Qualquer que seja a variação própria dentro do superfícies e Tá certo é muito bem perguntas um ok O que acontece com o comprimento do vetor velocidade né bom é isso aí é fácil analisar porque se você pega e se Gama geodésica e se Gama uma geodésica de S bom então você faz a derivada o botão escalar de galinha programa Minha Só que vai ser duas vezes o gama duas linhas pela mania Marcela Rangel lésbica aceleração É normal a superfície do outro lado Gama

ali então gente acha que é zero para todo ter ou seja toda a geodésica DS Tá parametrizada proporcionalmente ao cumprimento de arco significa que essa velocidade que é uma constante em toda a geodésica percorrido com velocidade constante e parametrizada é proporcionalmente e ao comprimento de arco Tá certo é a Jéssica ela já vem com uma parametrização boa né Ah tá E aí e a bom alguns exemplos e se você tá a sua superfície é um plano bom geodésicas são as retas né nesse caso são as curvas de aceleração nula são genéricos do plano e se

a superfície é uma esfera E aí e tu não é muito difícil ver que as geodésicas vão ser os grandes círculos é aquele círculos centrado na origem né o México é um está contida num plano Então quando você calcula é percorre o círculo com velocidade constante a aceleração é normal ou seco naquele plano com aceleração é normal espero portanto essas coisas são geodésicas E assim a minha superfície foi um cilindro né é reto em que região o 10 que vocês conhecem Quina E aí e a reta né e toda vez que uma uma superfície no

R3 quando tiver uma reta a reta tem que ser uma geodésica vai ficar aceleração dela já é zero né então quanto mais é componente tem gente vai Isso aqui é uma geodésica que mais se e esse os Paralelos também são geodésicos né a aceleração vai ser normal a você lembra e as outras é é é em elipses não não Olá pessoal os pirais lá uma coisa assim não como é que a gente vê uma maneira de ver isso a usar o mestre com plano né isso não tinha observado aqui aqui o plano e o cilindro

reto são localmente isométricos tem uma aplicação do plano se enxerga mas o metrô local o conceito de geodésia é um conceito local que é dado por uma derivada não interessa comportamento na vizinhança de um ponto então qualquer reta aqui do plano quando mandada por x tem que ser mandado uma geodésica o que a gente já viu aqui que a derivada covariante um conceito intrínseco Ah tá tem que ser preservado por isometrias locais e se você analisa o que acontece com uma reta é inclinada né que o seu a reta horizontal vem nesse círculo vai percorrer

cinco várias vezes na vertical vai na gera 13 uma inclinada vai percorrer uma Oi naeli sei não mostraram chato parametrização era dado assina o cosseno de for raio um cosseno de usa no Rio ver isso então se você pega curva aqui ela é a reta a ter avistei por exemplo então a imagem dela tem que ser uma geodésica do cilindro essa curva que cosseno ter sendo ter a vezes ter tem que ser a geodésica se aqui exatamente uma ela se não certo ok então essas são as outras os outros geodésicos do Oi você lembrou reto

não E aí e sim o e como não não não há o bom e a gera triste né mas os Paralelos não por exemplo como é que eu posso dizer isso aqui a ideia é que esse é um bom exercício né se você tem uma superfícies que assim de mostrar as pessoas revolução assim presente E aí E aí e sempre essas superfícies de revolução E aí bom então a gera três é sempre uma geodésica né porque a curva aceleração dela tá eu apontando e é perpendicular à superfície é porque ela é normal a curva mas

também é normal a a direção aqui do direção que sai o paralelo é que hoje era três amar sempre mais geodésico mas os Paralelos que alguém tem alguma intuição aqui E aí quais são os Paralelos que devem ser geodésicas né e o filme que nem todos são quais são E aí e como e quando a senhora for mais fina ou contra for mais grossa também porque a geodésica São aquelas curvas em que a primeira derivada do comprimento das Ervas elas vão se você faz essa análise aqui vai dar exatamente para corresponder aos pontos da geratriz

onde a tangente e é vertical então que você tem uma geodésica e aqui você tem outra o que outra parte 1 é mas nas outras em geral não mas outra você vai a respirar lá também Ah tá certo é um bom exercício aí me dá um me falta uma frente que nos exemplos do livro Se não me engano ele ele ele determina uma uma propriedade que eu geodésica de superfície de revolução satisfaz o que é chamada a relação de declarou que a útil para você entender como é que ela é inspirada aqui então tá no

livro outras vezes que eu ia passar é esse de checar aqui só para vocês a ter em algum Rigor né que a carta de fato se f e é uma isometria há entre duas superfícies se Gama é uma geodésica de S bom então a f composta com Gama e é melhor 10Kg sbarco certo E cadê o ar reflete essa ideia de que a derivada covariante intrínseca certo o único. Aqui vocês tem que ir né tenho cuidadinho que a gente dele vou esse usando os símbolos de Cristóvão que envolviam coordenados né mas só uma questão de

que vocês escrevam em você e esse fato Tá certo é muito bem alguma outra pergunta E aí tá bom deixa eu terminar com uma definição tem tudo a ver com com geodésicas e oi haha que a definição de transporte paralelo é a ideia seguinte se você quer estender para superfícies e a noção de paralelismo no plano Então você tem uma é um vetor V assim vamos o ponto P dado um outro ponto quer você pode fazer um vetor digamos paralelo aquele no ponto pena só como tentar um conceito parecido para superfície então a ideia fazer

seguinte definição e se diz que seja Alpha é uma curva né o alfa de INSS um curva é diferenciável bom e seja w é um campo a escrever WD ter um campo tangente ao longo da curva a o gato então você diz que o campo é paralelo e o dizemos que w paralelo E aí em paralelo e se você quer qual definição uso natural e tem uma curva Alfa e em Campo aqui ao longo da curva eu quero dizer o que que significa esse Campos e paralelo Qual é a definição que faz sentido que a

derivada covariante a zero agora com a variante e até agora é e embora covariante ao longo da longo da coxa certo e essa é a definição Oi e aí você tem propriedades isso a parecidos né se eu já usando essa definição você conclui que Gama é uma geodésica E aí E se o campo Gama linha de terra né e é paralelo ao longo de Gama E aí e segue média mediatamente só definição a derivada covariante do gama linha com respeito a ter é zero você também tem outras propriedades se você tem dois Campos Paralelos digamos

w e W2 com Campos em paralelos e ao longo da in the Alpha você pode derivar e o produto de Carvalho W1 até a em pó W2 de terça que vai dar o que é em primeiro lugar faria assim né e ele varia cada um deles e eu com essa expressão a e agora quer que eu posso fazer E aí G1 100 porque ó E aí e isso e eu também porque os campos são a priori já são tangentes as superfícies são tangentes a E como eles são tangência posso esquecer a componente normal aqui você

já posso pegar acompanhe aqui tem gente que é exatamente a derivada covariante bom e como os Campos São paralelos quer saber Vale covariante da perna então produto escalar de dois Campos Paralelos é preservado ao longo de ter Oi e aí o que a gente vai fazer na tá na aula que vem no início da aula que vem e é mostrar que dado uma superfície S A e a dado uma curva Alpha que liga ficamos pé a idade um vetor e ligamos w0 em P nós vamos ver que existe um único Campo um WD te paralelo

ao longo da curva é que como é que entra igual a zero vale w0 e que vai até o quê o pai você define esse último vetor aqui como sendo transporte paralelo do primeiro ao longo de alça essa noção de transporte em paralelo que vai ser importante mais tarde no posto tá e em particular se a curva uma geodésica o transporte paralelo do vetor velocidade ele mesmo é o problema diferença com relação ao plana que o transporte paralelo a priori pode depender da de Que curva você usa e no plano não interessa né Vamos lá

no da mesma coisa mas as superfícies os perfis não eu tô na aula que vem a gente vai continuar o estudo de geodésicas em particular de vai ver quando é que elas existem né até onde é e como é que você pode ir e que propriedade a gente tem