Fundamentos da Matemática Elementar - Equações de 1º e 2º graus (Parte II)

[Música] Olá sejam bem-vindos e bem-vindas à continuidade da da aula sobre estratégias de resolução de problemas de equações né de segundo grau Eh vamos começar aqui com mais um exemplo e possível né de de resolução dessa equação Vamos começar com a x 2x + 1 = 5 como a gente pode solucionar essa equação bom a ideia de fatorar ela é sempre boa ela é sempre uma boa ideia pra gente resolver uma equação e eu posso olhar e perceber que x qu + 2x + 1 ele é o quadrado de uma soma quadrado de x +

1 né então se eu fizer x + 1 qu eu tenho o primeiro quadado x mais duas vezes o primeiro pelo sego 2x mais o sego quadrado 1 então eu consigo estabelecer essa esse essa expressão que é uma expressão equivalente à primeira Por que que isso é legal bom porque eu consigo explorar melhor entender melhor o que tá acontecendo com essa equação quando ela tá nessa forma fatorada em forma de um produto de expressões né e agora vamos ver como é que a gente pode ajudar antes a gente estava comparando com zer né então x

+ 1 x x + 1 né x + 1 = 0 eu conseguia pensar aquilo Ah e se isso aqui fosse zero quando eu multiplicar por zero vai dar tudo zero Ah legal agora não tenho zero Agora eu tenho C Então vamos pensar lá atrás naquela nossa primeira opção que era aplicar a raiz quadrada aos dois lados da equação podemos fazer então vamos aplicar raiz quadrada no primeiro lado e raiz quadrada no segundo lado e nós vamos obter essa expressão bom a raiz quadrada de algo ao quadrado né a gente vai conseguir eliminar essa potência

E lembrando que eu tirei a raiz aqui onde estava a nossa Inc né então pensando naquela pergunta que número elevado ao quadrado dá tal coisa eu preciso pensar que eu tenho números positivos e negativos que respondem a essa pergunta por isso aqui vai aparecer mais ou menos o 5 e então vai ficar x + 1 = mais ou menos √5 mas me interessa ter só o x de um lado não x + 1 Então vamos fazer -1 Em ambos os lados fazendo isso chegamos a x = mais ou men 5 - 1 ou seja temos

duas duas respostas duas soluções para esse para essa nossa equação x = A5 - 1 e a outra a outra opção que é √5 - 1 resolvemos essa nossa equação e o conjunto verdade ou solução é é composto por esses dois valores o - √5 - 1 e o √5 - 1 agora a pergunta é será que eu não consigo um jeito de resolver uma estratégia que sempre resolva qualquer equação existe né E é isso que nós vamos começar a pensar agora como é que a gente pode obter uma estratégia que vai resolver qualquer equação

de segundo grau bom para isso nós vamos partir desse resultado aqui da última equação pensando nesse nosso raciocínio né Se eu conseguir algo ali ao quadrado né Igual a alguma coisa eu consigo essa solução né Mais ou menos a raiz daquele e menos ou mais eu ajusto essa equação A partir dessa desse meu quadrado que eu obtenho de um dos lados da da equação e é é essa ideia que nós vamos utilizar aqui então Vamos guardar aqui um pouquinho o resultado anterior só pra gente se lembrar do que foi feito eu quero uma uma estratégia

que resolva qualquer equação desse formato AX qu + BX + C iG 0 isso é a fórmula quadrática e aos poucos vocês quem não se lembra aos pouquinhos vai se lembrando do que é que eu tô falando aqui bom euia de obter de manipular essa minha expressão aqui que tá sendo colocada de uma maneira bastante geral né com a b e c sem um valor numérico para ela que chegasse em algo como x igual a tanto ou como nós já pensamos né x mais algo a quadrado igual alguma coisa eu quero eu quero manipular essa

minha expressão para chegar em algo que seja adequado a resolver essa equação então uma primeira ideia é a seguinte eu não quero a x qu eu gostaria que tivesse só o x x qu nesse caso então o que que eu posso fazer posso dividir por a uma boa ideia é dividir por a por que que eu posso dividir por a porque eu já disse que o a não pode ser zero né por isso que eu posso dividir por a com a consciência tranquila sem achar que eu tô cometendo nenhum pecado matemático Então pode dividir por

a numa boa então dividindo por a lado divide por a do outro lado AX qu sobre a a gente pode cancelar esses a vai ficar só x qu aí nós temos B so AX + C so a e parece que ficou mais feio né Mas vamos lá vai ficar mais feio ainda até começar a ficar bonito mas a gente vai passando por isso aí um por um gostaria também que só ficasse x de lado e não tivesse esse c sobre a Como eu posso fazer bom se eu tenho C sobre a se eu subtrair C

sobre a desse lado eu mato C sobre a mas tudo que eu faço de um lado Preciso fazer do outro então vou adicionar vou subtrair C sobre a de um lado da expressão subtrair do outro lado né e nós vamos obter essa expressão aqui lembrando que é tudo equivalente à nossa primeira lá o ax qu mais bx + C = 0 por quê Porque a gente não tá tudo que a gente divide para um lado estamos dividindo por outro tudo que a gente subtra de um lado estamos subtraindo do outro então nós estamos obtendo expressões

sempre equivalentes à primeira né nunca inventando nada de novo e agora é que a gente vai começar a pensar como é que eu de verdade torno isso em algo que me ajude a resolver essa equação que que a gente tem aqui no nosso rascunhou do que ficou do último do último exemplo x + 1 esse quadrado da soma quando eu se eu conseguir obter essa essa cara o quadrado de uma soma o quadrado de uma diferença eu resolvo o meu problema porque eu já vi que eu consigo sair daqui pro lado seguinte fazendo o quê

extraindo a raiz quadrada dos dois lados só que eu não tenho isso aqui ainda eu vou isso como é que eu produzo eu preciso somar alguém que seja alguém que muito adequado né Aos Meus interesses né Como qual como que eu vou pensar o que que é adequado para os Meus interesses Qual que é o quadrado da soma primeiro quadrado mais duas vezes primeiro pelo segundo mais o segundo ao quadrado tenho o quadrado aqui x qu gostaria que esse cara do Meio fosse duas vezes esse primeiro pelo segundo Hum como é que eu faço para

que ba seja duas vezes alguém bom se esse alguém fosse B so 2aa assim 2 x b so 2a2.com.br B so a que é a pessoa que eu quero que apareça aqui mas como eu tô pensando no quadrado de uma soma né o último termo ele é também o quadrado né de alguém então essa interrogação esse termo que eu tô procurando um termo que seja aqui interesseiramente adequado para mim ele pode ser o quadrado de B so 2 né então eu vou Substituir eu vou adicionar substituir essa minha interrogação aqui eu vou adicionar B so

2 a tudo isso ao quadrado de novo eu não posso somar nada de um lado se eu não somar do outro então somei B so 2 qu aqui vou somar do outro lado B so 2 qu lá não mudei nada né E aí a gente fala nossa mas tá ficando cada vez não tá me ajudando a resolver né está piorando a minha situação Mas vamos olhar com com calma né eu fiz essa manipulação toda para qu para poder fatorar e transformar no quadrado de uma soma então eu tenho aqui o primeiro x qu mais duas

vezes o primeiro pelo sego e o segundo quadrado eu posso fatorar esse primeiro termo nessa maneira aqui como o quadrado dessa soma Por que que isso é bom para mim porque Lembra do nosso exemplo anterior como é que eu posso tirar esse quadrado daqui aplicando a raiz quadrada dos dois lados então é o que eu vou fazer na sequência eu vou aplicar a raiz quadrada Em ambos os lados da minha equação então aplicando no primeiro lado eu vou ficar só como X + B so 2ae aplicando do outro lado Lembrando que não é só os

positivos que resolvem esse problema Que número que eu elevo ao quadrado que vai dar tal coisa O negativo também resolve Então mais ou menos o e todo lado da direito aqui da minha da minha equação bom para quem tá aí olhando identificando certos padrões começa já a aparecer com algo que que é bastante eh utilizado na escola mas vamos avançar mais um pouquinho eu queria x = alguma coisa então vamos somar e subtrair B so 2 A de ambos os lados assim eu acabo com esse B so 2 A do lado esquerdo bom fazendo isso

eu tenho x de um lado e - B so 2aa raizona que a gente tinha lá vamos manipular mais um pouquinho essas expressões olhando para dentro da raiz quadrada né a gente pode pensar o 4 a qu como um denominador comum dessa soma de frações 4 qu dividir por a vai dar 4aes o - c - 4ac bom pensar no na outra fração 4 qu divid por 4 qu vai dar 1 + B qu - 4ac + B qu tudo isso aí dentro da raiz o que tava do lado de fora a gente nesse momento

não tem muito que mexer deixa lá paradinho e olhando de novo para essa nossa raiz eu posso aplicar a raiz quadrada no denominador então √4 é 2 e √ a qu é a então aqui no meu denominador eu vou ficar com 2aa no meu numerador ra -4ac + B qu tá começando a dar aquela cara de algo que a gente já conhece tenho 2 A nessa fração 2 A como denominador nessa outra fração então a gente pode considerar isso como um denominador comum não é E chegamos a essa expressão então o valor do X Ele

é - b mais ou menos a raiz de B qu - 4ac tudo isso dividido por que nada mais é do que a tal da Fórmula quadrática que a gente veio falando e que é também chamado né popularmente conhecido aqui no Brasil principalmente com uma fórmula de báscara para resolver qualquer eh for qualquer equação de segundo grau né novamente Não é só a equação de é só a fórmula de báscara né a fórmula quadrática que resolve uma equação de segundo grau às vezes no na escola né na Educação Básica m vezes a gente fica Apareceu

alguma alguma equação de segundo grau aplica a báscara aplica a báscara e a gente já viu que tem várias outras estratégias para resolver uma equação mas essa daqui Talvez seja uma mais potente digamos assim no sentido que ela resolvo diretamente mas é sempre legal explorar outros caminhos que de repente você acha até um mais fácil e mais prático do que aplicar a fórmula de báscara e isso novamente é legal discutir com os estudantes né quando vocês estiverem atuando como professores na Educação Básica né então vamos ver como é que a gente aplica a a fórmula

quadrática né bom ela tem essa essa expressão - B mais ou menos ra B qu - 4ac so 2 A e eu preciso identificar o que que é a que que é b que que é C Então esse é o primeiro primeira etapa né primeiro passo para eu resolver essa equação eh pensando na formulação ali geral de uma equação de segundo grau Então o a é quem acompanha aqui o x qu Então o a aqui é 2 o b é quem acompanha x nesse caso é 3 c é quem está independente aqui da das variáveis

é o -4 lembrando sempre de pensar lembrar do sinal Ele carrega o sinal junto de si né então o c é -4 e agora substituindo esses valores na fórmula então - B se eu tinha B como 3 - B vai ficar -3 mais ou menos nunca esquecer do mais ou menos ra de 3 qu né B qu - 4 X O a que é 2 e o c que é -4 e no meu denominador 2 a o a é 2 2 x 2 né Vai dar 4 aqu pensando no que está aqui dentro da raiz

né 3 qu é 9 4 x 4 vai ser e 16 x 2 né juntando todo mundo nós temos aí 41 Então qual vai ser o valor de X então eu tenho duas opções de novo vai ser o -3 + √41 so 4 ou -3 - √41 sobre 4 e a gente pode sempre dividir aqui em 2is k né que a gente pode chamar aqui de X1 e X2 para organizar a nossa a nossa resolução né então os dois casos um deles é com o √41 o outro é com √41 nesse caso nós não vamos

conseguir obter uma raiz aqui para 41 e não tem problema a gente pode manter e escrito dessa maneira a expressão então nosso conjunto verdade seria -3 Men √41 so 4 e outra solução seria -3 + √41 so 4 e esse esse valor né esse termo que aparece dentro da raiz quadrada o b qu - 4ac ele é chamado de discriminante a gente costuma representá-lo pela letra grega maiúscula Delta então o delta é o b qu - 4ac e é legal pensar o delta porque ele é ajuda a gente a pensar nas possíveis soluções nas possíveis

raízes dessa equação Então se o delta for zero eu vou obter uma única solução real um único número real que vai solucionar essa equação isso a gente pode verificar assim imediatamente se se o delta é zer ou seja tudo isso que tá aqui dentro da raiz é z0 raiz Quad 0 é 0 então eu vou ter o quê - B + 0 so 2aa solução - B - 0 so 2ao essas duas soluções quando eu somar com zero né eu vou chegar em duas soluções são iguais então vou ter uma solução real quando o meu

Delta né o meu discriminante Delta for zero quando é um número positivo nós vamos obter a exemplo do nosso exemplo do do caso anterior duas soluções reais distintas né uma ocorre com quando a gente tem o mais raiz do Delta e outra quando a gente tem menos raiz do Delta e por fim esse Delta ele pode ser um número negativo se ele for um número negativo o que que acontece eu vou ter que calcular raiz de algo negativo E isso não cai dentro dos reais né Isso significa que se o meu Delta por um acaso

for menor que zero que não há solução dentro dos números reais não há solução real para essa equação bom E com isso nós encerramos esse essa nossa aula sobre resolução de equações de segundo grau Espero que tenham gostado e até a próxima [Música] [Música] k [Música]