Transformada de Fourier de Tempo Discreto: introdução, módulo e fase | Sinais e Sistemas

Oi Oi gente tudo bem Meu nome é Ester vê lá se sejam bem-vindos ao canal até má Teca eu fiz de hoje a gente vai continuar no curso de sinais e sistemas e a gente vai começar a falar um pouco sobre a parte de matemática e da transformada tipo que tá bom então eles de com a mensagem é curte embaixo se inscreve no canal e vamos lá e [Música] Oi gente então como a gente viu lá na aula anterior a transformada de fourier vai ser uma operação matemática que vai fazer a gente sair do domínio

de tempo discreto que o domínio n e vai fazer a gente parar no domínio da frequência que é o ômega Então a gente vai sair nesse tempo aqui vai conseguir representar o nosso sinal XD n no domínio da frequência vai conseguir representar ele de acordo com os componentes de frequência que compõem esse sinal então lá na aula passada a gente viu esse exemplo aqui que era o sinal 0,9 elevado a n o higiene então aqui do lado esquerdo a gente tem ele no domínio do tempo discreto tá no domínio ele aqui e a gente tem

as 50 primeiras amostras aqui nesse caso quando a gente faz a transformada de fourier esse sinal a gente representa ele no domínio da frequência da em radianos por segundo então aqui tá os componentes de frequência a 0,9 elevado a n o higiene certo gente aqui no caso a gente está representando de menos pi radianos por segundo até mais pi radianos por segundo porque como a gente viu lá na aula anterior a transformada de fourier periódica com período 2pi Então a gente vai buscar representar ela em um período de dois pinos caso aqui de menos pe

até pe mas também poderia ser de 0 até 2 pide 2 pt4 e enfim mas gente o que é exatamente a transformada de fourier então aqui no caso a gente tem que dado uma sequência xdn então nosso sinal a transformada de fourier de sinal vai ser dado por essa expressão aqui então xdj Ômega que a gente também pode chamar de X the other ^ j o amiga dela a mesma tá bom vai cidade é por essa equação Zinho aqui que a somatória de igual menos infinito até mais infinito do xdn X o elevado a menos

de alta ou amiga ele se você for parar para pensar isso que parece muito a nossa transformada Z não é da transformada separa transformada de fourier só muda esse termo aqui na transformada Z era Z elevador - n e aqui é olha ^ - J Ômega n o que muda é que na transformada Z a gente não se importava com o módulo do nosso número complexo z era um número complexo genérico com determinado módulo determinada fase já que na transformada de fourier o módulo do nosso número complexo e 101 então o Warner ^ - DJ

Omega n o módulo dele é sempre um que é o que está multiplicando other a gente sabe que o módulo de uma exponencial complexa é o número que está multiplicando as exponencial né então no caso a transformada de fourier a gente pode falar que é a transformada Z para sistemas estáveis então a gente só trabalha com sistemas estáveis a frase tá bom gente porque aí a gente garante que a nossa matéria vai convergir então enquanto na transformadas e a gente tinha toda aquela coisa finalizar região de convergência e tudo mais aqui no caso a gente

vai se preocupar mais com a estabilidade do nosso sinal em si beleza bom então essa primeira equação é a nossa transformada de fui a gente sai do domínio n e vai para o domínio de Ômega agora se a gente quiser fazer o caminho inverso sair do domínio de Ômega e ir para o domínio n a gente vai usar essa segunda equação aqui que a gente pode chamar de transformada inversa de fourier ela é dada por um sobre 2p vezes a integral em um intervalo de dois p do XJ o ômega que esse que a gente

encontra aqui vezes olha ^ j ou me dá e me isso que eu que a gente chama de equação de síntese gente essa equação sinta-se é muito importante também porque através dela que a gente está representando o xdn como a combinação linear de é mais complexas então Ó aqui a gente tem a exponencial complexa né e cada exponencial complexo de cada frequência o ômega aqui vai ter uma amplitude xdj Omega de Ômega sobre 2peace o que eu quero dizer aqui é que essa equação de síntese ela tá fazendo definitivamente e o que é transformada de

fourier fala para gente por definição ela tá escrevendo nosso sinal de higiene como a combinação linear de exponenciais complexas que vão ter essa amplitude Gente o que significa Exatamente isso de escrever como combinação linear de exponenciar as complexas como que vai funcionar isso quando a gente tem um sinal XD n que é um sinal periódico ou seja o sinal que vai se repetindo com um determinado período as frequências da transformada de fourier vão se relacionar de forma harmônica tão lembra lá na aula anterior que a gente viu um exemplo de um sinal periódico se desfez

a transformada de fourier dele a gente tinha só os impulsos em determinadas frequências é isso que acontece quando a gente tem o sinal periódico gente a gente vai tem algumas frequências Elias representações dos componentes só que aquilo ali não vai ser uma coisa continua sabe essas frequências onde a gente tem componentes vão se relacionar de forma harmônica que na transformada de fourier de tempo discreto e portanto a gente fala que quando o sinal é periódico no tempo ele vai ser discreto na frequência então lembro que é discreto discreta quando está definido apenas para alguns valores

igual o sinal discreto sinal discreto só tem ali a representação para alguns valores de ele não tem tipo N = 1,5 1,7 No caso quando a gente tem um sinal periódico no domínio n ele vai ser discreto na frequência vai ser representado apenas em alguns componentes de frequência já quando a gente tem um sinal a periódico que é o que a gente vai trabalhar agora né é séria A gente vai trabalhar com frequências infinitesimalmente próximas Então não vai se aquela coisa discreta na frequência que só tem alguns componentes vai ser uma coisa continuar igual a

gente viu que nesse exemplo então para toda a frequência que a gente tem uma representação ou seja as frequências aqui na transformada de fourier de um sinal aperiódico são infinitas normalmente próximas a gente tem por exemplo homem igual pi sobre 3 Aí também tem um amigo igual pi sobre 3 mais 0,00001 infinitesimalmente próximo a gente uma é muito próxima da outra e é por isso que a gente tem essa representação assim contínua diferente do sinal periódico que a gente tem representações em alguns componentes apenas beleza isso é muito importante por isso que eu tô tendo

tanta intensos e mais para frente a gente vai ver melhor sobre sinais periódicos outra coisa que é importante a gente saber que eu comentei na aula passada e eu isso aqui de novo mas eu vou dar mais uma ênfase é que o x DJ uma amiga nossa transformada de fourier vai ser periódica então para um sinal de tempo discreto a transformada de fourier dele sempre periódica com período do espírito e é por isso que aqui na equação de síntese essa integral é sempre feita em um período de 2 kg intervalo do Espírito então você pode

fazer integral por exemplo de menos pe até ou você pode fazer integral de 0 até 2 PIS não importa qual período que você escolhe com intervalo que você vai fazer o que importa é que daqui para cá sempre tem que ter dois pe Tá bom se você não alisar integral no período maior ou menor que esse Pode ser que de erro ali na sua conta tá bom então beleza gente aqui A gente tem a equação de análise e que a equação que vai dar o nosso espectro de frequência esquece imagem da direita né e aqui

a equação de síntese que é o que tá mostrando pra gente que o x e pode ser representado como uma combinação linear despondency Ice complexas sendo que esse Ômega em cada exponencial vai ser infinitesimalmente próximo um do outro beleza e um sinal periódico no caso agora a gente como a gente sabe se vai existir a transformada de fourier de um sinal a gente tem que seguir esse requisito que gente nosso sinal XD n ele tem que ser absolutamente somável tá bom que é o que a gente viu lá na parte de estabilidade de um sinal

gente outra coisa que é mega importante a gente saber para os futuros conceitos que a gente vai vir aqui em for vier é que é o seguinte a gente sabe que a transformada de fourier ela é periódica com período do Spin né A cada dois pi radianos por segundo vai repetir a mesma coisa que a gente tinha antes desse dois filhos então gente a gente vai falar o seguinte que quando a gente tem uma frequência 02 p4pe 6pe qualquer múltiplo par de bebê então pra e também menos 50 pique também a multiplicar para qualquer múltiplo

tarde pin Ômega a gente vai ter o mesmo sinal a gente pode ver isso aqui atrás a gente tem a transformada de fourier de 0,9 elevado a n aqui a gente estava indo de menos E até ter Mas se a gente continuar vai repetir a mesma coisa vai vir para esse pico dessa de novo aqui mesma coisa que vai para o pico desce de novo então a cada dois pe vai repetir a mesma coisa aqui tá em zero aqui em 2p 14 que vai ter de novo aqui em - 2p então todo múltiplo tarde pe

vai repetir o mesmo sinal por causa desse período de dois p Tá mas o que importa aqui é que a gente fala que quando a gente tem a representação e frequência de um sinal e aí essa representação em frequência tem muitos componentes nessas frequências Paris nos múltiplos pares de Peace a gente fala que esses sinais são considerados sinais de baixa frequência então quando tem O componente miséria do Spin da Sprint 20 P aqui no caso é mesma coisa por causa do período o nosso sinal vai ser um sinal de baixa frequência Beleza então esse sinal

aqui de trás por exemplo ele pode ser considerado um sinal de baixa frequência porque ele tem muitos componentes em 01 do espírito e enfim ele claramente tem mais componentes aqui do que aqui por exemplo a atitude dele e 012 e etc é maior do que nos outros componentes então o sinal 0,9 elevado a n é um sinal de baixa frequência tá bom e a gente consegue ver isso através da sua transformada de fourier agora a gente se a gente tiver os múltiplos ímpares DP então pi3p Cap para qualquer ímpar então por exemplo 5pi 11pin a

gente fala que também vai gerar o mesmo sinal né a gente pode vir aqui atrás que o que a gente tem aqui é o mesmo que a gente vai ter aqui que é o mesmo que a gente vai ter lá para direita E aí quando a gente tem muitas componentes nessas frequências que são os múltiplos ímpares DP a gente fala que o nosso sinal é um sinal de alta frequência Então se ao invés de nosso sinal você desse tipo aqui com muitos componentes nos pares se ele fosse assim ó ele tivesse o pico maior visão

próximo de pe ao invés de próximo de zero de dois pisos a gente falaria que esse sinal é um sinal de alta freqüência Beleza a gente vai ver um exemplo daqui a pouco mas é importante a gente saber isso tá bom gente quando a gente tem muitos componentes nessas frequências baixa frequência e se for perto dos múltiplos interesses de Pi é um sinal de alta frequência então aqui por exemplo a gente tem essas duas representações em frequência de dois sinais diferentes e aí como a gente consegue saber qual desses sinais é um sinal de baixa

frequência e qual é um sinal de alta freqüência a gente é só a gente vê onde a gente tem mais componentes nesse primeiro sinal que da esquerda a gente tem muitos componentes ou menos dois py2pe nos múltiplos pares de pe então seguindo que a gente viu aqui atrás a gente pode falar que o sinal que tem essa representação em frequência vai ser um sinal de baixa frequência já que ele tem mais componentes nos múltiplos participe já e sinal aqui ele tem muito mais componente sempre em três pia que - 3P nos múltiplos ímpares de pe

então seguindo que a gente viu aqui atrás o sinal que tem essa é a representação e frequência é um sinal de alta freqüência observando que o eixo horizontal né onde ele tem mais componentes aqui no caso ele não tem componentes que nos múltiplos pares e tem muitos componentes nos múltiplos ímpares gente então vamos fazer esse exercício que dado esse sinal vamos encontrar a transformada de fugir dele e aqui no caso a gente também vai botar o gráfico do módulo e da fase de nós a gente foi e Tá bom então vamos ver passo a passo

como que a gente faz esse tipo de exercício a primeira coisa é que a gente já tem um X Gene e a gente quer encontrar o x DJ Ômega Então a gente vai usar a equação de análise que a gente viu aqui atrás tá bom que aquela que parece a equação da transformada Z Então vamos lá a gente tem que o x DJ o ômega vai ser a somatória de n igual menos infinito até mais infinito de xgn vezes vai ler ^ - J é uma amiga ele então a primeira coisa é colocar aqui no

lugar dos xgn o sinal que a gente tem então vai ficar a somatória de igual menos infinito até mais infinito de meio elevado a n o Diene vezes olha ^ - J ômega ele certo eu conheci o Diene aqui a gente pode limitar nossas somatória para ir de 0 até infinito né porque para tudo é menor que zero isso que vale zero E aí galera tudo então a gente só se entorta aqui no caso com valores de n maiores do quiseram que não vão usar nos somatória então vai ficar somatória de n = 0 até

mais infinito de meio elevado a n o higiene nesse intervalo de valores ele vale um então vezes um vezes olha elevado a menos já tem uma amiga n a gente pode juntar esses dois termos já que os dois têm um elevado a n e escrever assim ó vai ler ^ - J Ômega sobre dois e tudo isso elevado a n então agora a gente tem uma série geométrica e a gente consegue usar aquela fórmula do 1 sobre 1 menos a razão né gente só para lembrar a gente só pode usar essa fórmula Zinha quando a

gente tem o módulo e não menor do que um então no caso aqui tá válido certo a nossa razão é o próprio 1 sobre 2 que é o módulo que na então a gente consegue usar essa fórmula Sim a gente tem uma garantia de convergência que então a gente pode falar que o x DJ Ômega Vai ser 1 sobre 1 menos a razão que é um menos 1 sobre 2x vai ler elevado a menos de até o ômega Então esse aqui é o x DJ Ômega de sinal a gente pode ver que ele não é

real certo ele tem um componente complexo então na área de botar o gráfico disso aqui a gente vai esboçar o gráfico do módulo e da fase do xdj-aero Mega beleza gente como a gente pode fazer para encontrar o módulo disso que e esboçar o gráfico a gente vai fazer o seguinte a gente vai colocar xdj Ômega ao quadrado Isso aqui vai ser a multiplicação do próprio bom então amiga com conjugado dele ou seja esse sinalzinho aqui trocado Então a gente vai ter nosso próprio sinal um menos 1 sobre 2x ó elevador menos de Hotel Ômega

e a gente se Multiplica pelo conjugado tem 1 sobre 1 menos 1 sobre 2x Oi ler ^ j o ômega Então vamos lá como a gente tem uma multiplicação de frações a gente multiplica numerador com numerador e denominador com denominador numerador fica um vezes um que dá um aí no denominador a gente vai ter ela tem que fazer distributiva né então fica um vezes um que dá 11 vezes menos meio vezes vai levar a janta Ômega que fica menos meio vezes olha ^ J Ômega aí aqui menos meio vezes other ^ - J Ômega vezes

um vai dar ele mesmo né menos meio vezes ó elevado a menos Ah e por fim menos meio vezes Oi elevado a menos de até Ômega vezes menos meio vezes a ^ j Ômega a vão fazer essa continha aqui separadamente a gente tem menos meio vezes menos meio então menos meio vezes menos meio e também Warner elevado a menos já estão Ômega com o líder ^ J Ômega gente esses dois vão se cancelar porque quando a gente tem uma multiplicação de potências na mesma base a gente somos expoentes e semanas expoentes aqui a gente vai

ter olha ^ J Ômega menos já ter Ômega que fica ao elevado a zero que dá um então vai ficar um vezes menos meio vezes menos meio então isso que vai dar um quarto Beleza agora vamos dar uma olhada nesses dois termos aqui do meio isso aqui é a mesma coisa que menos vai ler ^ j o ou menos other elevado a menos de Hotel Ômega sobre dois ou foi mais aqui certo gente a gente colocou menos em evidência aqui gente isso aqui dentro do parênteses é a mesma coisa que o cosseno de Ômega se

você desenvolver aqui usando a fórmula de Euler o seno do primeiro termo cancela.com sendo do segundo termo e o dois cosseno de ômega o dois cancelou de cima com esse de baixo então esses termos do Meio quando ele se juntam Ele eles formam - cosseno de Ômega então aqui a gente tem 1 sobre 1 menos cosseno de Ômega mais um quarto a gente pode juntar esse um quarto com esse um aqui né fica um quarto mais um que a mesma coisa que um quarto mas 4 quartos que dá 5 quartos então esse aqui é o

módulo da nossa transformada de fourier e é ele que a gente vai pilotar no gráfico Tá bom mas que e vai botar o gráfico disso aqui como que a gente sabe como que vai ser esse gráfico a gente vai ter que usar as técnicas que a gente viu lá em calculon tá bom gente lembra quando a gente viu como fotográfico que tinha que derivar para achar os pontos críticos aqui no caso a gente não precisa seguir todos aqueles passos que a gente fazia só que é importante pelo menos a gente encontrar os pontos críticos para

saber onde a gente vai ter máximo e mínimo certo ou para facilitar nossa vida aqui a gente pode multiplicar em cima embaixo por quatro aí fica quatro sobre 5 - 4 cosseno de Ômega tá bom é a mesma coisa só que todo x 4 bom então vamos lá vamos derivar o nosso módulo para a gente encontrar Quais são os pontos críticos ele no nosso gráfico Tá bom então gente para derivar o XJ Ômega a gente vai ter que usar a regra do quociente aqui a regra do quociente fala que a derivada vai ser a derivada

do de cima a derivada de 4 a 0 né às vezes os baixo normal talvez 5 - 4 cosseno de Ômega menos o de cima normal menos quatro vezes a derivado de baixo a derivada de gesso Kids 5 - quadro cosseno de Ômega é zero mais quatro cena de Ômega certo e tudo isso sobre o debaixo ao quadrado então 5 - 4 cosseno de Ômega ao quadrado Então nossa derivada é essa aqui e através dela a gente consegue encontrar os pontos críticos Quais são os pontos críticos da nossa função são os pontos onde Nossa derivadas

era a única forma de essa derivada quiser a essa o nosso numerador for zero né não adianta a gente analisar o denominador aqui a única coisa que importa no caso é quando o numerador tá zerando Então a gente vai ver quando que - 16x sendo de Ômega é igual a zero bom esse vai ser igual a zero quando o próprio se for igual a zero Quando que o seno de um argumento no caso o ômega vai ser zero gente quando o ômega for igual a zero P2P para qualquer múltiplo de pe isso que vai dar

zero ou seja em todos os múltiplos de pino nosso gráfico a gente vai ter um máximo ou mínimo aí você fala nossa eu vou ter que fazer o teste da primeira derivada da segunda derivada igual a gente fazia lá em calculo1 você pode fazer gente faz no caso não tem necessidade Porque como como a gente sabe aqui que nossa função é periódica com o período do espírito do mais a gente consegue fazer uma análise muito mais rápida de como que vai ser o nosso gráfico porque olha só a gente sabe que o valor nessa função

0 vai ser o mesmo valor em2p aqui vai ser o mesmo quatro pe assim como o valor vai ser o mesmo que entrei experiencing cumprido então a gente pode usar isso a nosso favor tá bom o que importa é que a gente já sabe que nesses valores aqui nos músculos de Pi e a gente vai ter o máximo ou mínimo da função o que a gente vai fazer o seguinte a gente vai ver quanto que vale o nosso XJ Omega no caso o módulo dele né quando a gente tem homem igual a zero que vai

ser mais o valor por estares e também vamos ver quanto que vale para omega igual up o que foram maior vai ser aquela parte que vai representar o máximo da nossa função e o que for menor Vai representar um mínimo certo bom então quando o homem é igual a zero o nosso módulo vai valer um sobre cinco quartos menos cosseno de 0 o cosseno de 0 é um né então fica um sobre cinco quartos - 4 quartos que é um então um sobre cinco quartos - 4 quartos dá um quarto e só que vai dar

quatro então para homem que é igual a zero e também para do Espírita quatro que enfim o nosso módulo e vamos ver quanto que vale para o mega Iguape para homem Iguape a gente tem um sobre cinco quartos menos cosseno de Pi o cosseno de Pi é menos um então fica um sobre cinco quartos menos - 125 quartos mais um um sobre 54 mais 4 quartos 1 sobre 94 e portanto da quatro nomes de um valor menor do que quando a gente tem os múltiplos pares de pin né então a gente vai ter os pontos

de máximos múltiplos pares e os pontos de mínimo nos múltiplos interesses de pe então aqui 10 vai valer quatro aqui em dois piso ali quatro em quatro piso L4 AC - 2 fitas mas vale quatro e nos outros mas a ler quatro nonos então em 24 anos três quatro nonos - pivari quatro nonos menos três pe também e quem sabe qual vai ser o comportamento dessa função para desenhar gente não tem outra com certeza vai ser desce sobe desce sobe porque nossa função é periódica não é igual quando a gente se dava lá em calculo1

que podia ser o comportamento imprevisível sabe aqui vai ser esse pronto acabou sabe não tem como descer mais do que isso aqui senão a gente teria Outro ponto crítico lá embaixo e também não tem como subir mais do que isso aqui senão a gente teria outro outro ponto crítico que para cima então como é periódica o que acontecer que vai acontecer o resto da nossa função então nosso comportamento vai ser assim ó mais ou menos nesse estilo aqui e aí vai repetindo tudo é obra que vai repetindo igual aqui no desenho não tá muito igual

só que gente então a gente encontrou o comportamento aqui do nosso módulo da transformada de foguetes então primeiro passo foi encontrar transformada de fourier propriamente dita a gente calculou o módulo dela e usando aquelas técnicas de derivar a gente encontrou os. a coisa conseguimos vocês aqui o gráfico do módulo aí você fala tá e a fase vamos lá plantar a fase também da ser transformada de fourier beleza gente quando a gente tem uma transformada de fugir representada Nesse estilo assim a fase do X DJ Ômega vai ser a fase do numerador - a fase do

denominador a fase do numerador aqui no caso é a fase de uma constante e a fase de uma constante é zero então Só nos resta menos a fase do denominador tá bom é isso que a gente vai usar para calcular a expressão da fase tá bom a fase de nossa transformada de fourier vai ser menos a fase do denominador mas como a gente encontra a fase do denominador aqui nesse caso gente vamos escrever esse XJ Ômega de outra forma vamos expandir esse exponencial usando a fórmula de óleo Pode ser então a gente tem que x

de jotão o brilhante é um é sobre um menos meio e a expandir nesse exponencial a gente tem cosseno de Ômega - J x seno de Ômega certo e aí distribuindo um sobre dois a gente vai ter xdj o ômega = 1 sobre 1 menos 1 sobre 2 x cosseno de Ômega mas 1 sobre 2x JC no de Ômega então gente a gente separou nosso denominador na parte real e na parte imaginária que onde está multiplicando j e aí a gente vai usar isso para encontrar a fase do denominador tá bom lembra que lá na

primeira aula do curso a gente viu que a fase de um número complexo vai ser o arco tangente da parte imaginária sobre a parte real é isso que a gente usa para calcular a fase do denominador então a nossa transformada de fourier vai ser menos o arco tangente da parte imaginária que é seno de Ômega sobre dois dividido pela parte real que é um menos meio cosseno de Ômega certo aí você pode multiplicar por dois em cima embaixo e aí você encontra que a fase da transformada de fourier vai ser menos arco-tangente descendo de Ômega

/ 2 - cosseno de Ômega e essa que é expressão da fase da nossa transformada de fui e a gente então esboçando o módulo EA fase desse sinal XD n aqui a gente tem um módulo que em vermelho e a fase aqui em preto certo gente uma coisa que é importante a gente perceber aqui é que o módulo da nossa transformada de fourier tem muito mais componentes em frequências de múltiplos pares de tanque E aí depois vai ter lá em 2 - 2 fios enquanto nos componentes ímpares pouquinho Pinho - p a gente tem bem

menos componentes certo então a gente pode falar que esse sinal XD n ele é o sinal de baixa frequência gente aqui no caso o módulo da nossa transformada de fourier ao quadrado e a fase dela vão ter esse formato sempre que a gente tiver um X e n = elevado a n o Diene e esse a ele for maior que 0 e menor do que um Tá bom então sempre vai ter esse formado você vai mudar os valores aqui nos eixos Agora se a gente tiver xgn igual menos meio elevado a n o higiene que

é esse sinal aqui que fica oscilando infinitamente como que fica a transformada de fourier graficamente falando gente o quadrado do módulo vai ter o mesmo formato só que diz bom então ó e vais a gente ter o pico aqui a gente tem o Pico aqui é os lados Enquanto isso a fase foi meio que espelhado se você reparar antes a gente tava para cima na esquerda e para baixo na direita agora que a gente tá para cima na direita e para baixo na esquerda Lembrando que a fase também se repete com perigo do espírito é

bom Gente o que a gente pode notar aqui é que quando a gente tem a menor que zero maior que menos um aí a nossa transformada de fugir e tem mais componentes de frequência em múltiplos interesses de pe então aqui no eixo eles vão tá gente tem radianos por segundo né e nos músculos inferiores e radianos por segundo os ímpares de pino caso a gente tem muito mais componentes do que nos múltiplos pares de p e significa que nesse caso que esse sinal pode ser considerado um sinal de alta freqüência beleza de acordo com que

a gente viu lá no começo da aula bom gente então foi isso no vídeo de hoje o que vocês tenham gostado não esquece de curtir se inscreve no canal compartilhe com seus amigos e sai do canal até vai ter que ir lá no Instagram para ficar por dentro de tudo Tá bom então a gente se vê no próximo vídeo gente beijos