Olá essas aulas são sobre o método de Contagem e probabilidade a apostila do professor César professor Paulo César Pinto Carvalho do programa de iniciação científica da Obmep e eu vou começar ensinando para vocês o alguns métodos de Contagem e o princípio mais básico é o que a gente conhece como o princípio aditivo e eu vou começar com um problema bastante simples que ilustra Esse princípio então Suponha que uma vila tem duas saídas ao norte e duas saídas ao sul apenas Então as únicas duas maneiras de você sair desta Vila São por por essas H por
essas duas eh saídas ao norte e essas duas saídas ao sul H E aí a minha pergunta é de quantas maneiras é possível sair da Vila Bom a resposta para esse problema é bastante simples por ah então para sairmos da Vila devemos Escolher uma das duas saídas ao norte ou uma das duas saídas ao sul logo Existem duas mais duas ou seja quatro saídas dessa Vila Então isso é um exemplo bem simples do que a gente conhece como o princípio aditivo que eu vou enunciar para vocês agora então o princípio Aditivo é o seguinte suponha
aqui um evento x possa ocorrer de x maneiras possíveis e um evento distinto isso é importante Y possa ocorrer de Y maneiras possíveis então o evento x ou Y pode ocorrer de xinho mais yin maneiras diferentes Então nesse problema que a gente acabou de tratar ali eu tinha um evento x maiúsculo que era sair pela cidade ao norte e que pode ocorrer de duas maneiras diferentes e um evento Y queia caso então sair pelo sul que pode acontecer de duas maneiras diferentes também então qual seria nesse caso o evento x ou Y seria sair pela
cidade ao sul ou sair ao norte mas como essa cidade só tem essas quatro saídas eh seria sair pela cidade o que pode ocorrer de eh duas mais duas maneiras diferentes então Aquele é uma aplicação aquela é uma aplicação bem simples desse princípio aditivo que a gente tem aqui eh mais para frente a gente vai ver alguns exemplos um pouquinho mais instrutivos sobre o uso do princípio aditivo e a gente vai ver que ele é bastante útil para várias situações bom então Eh esse essa versão do princípio aditivo que tá escrito aqui não é a
versão mais formal matematicamente que a gente pode escrever deixa eu tentar fazer uma coisa um pouquinho mais formal do que o que tá escrito aqui vamos voltar por exemplo ao caso da Vila que tem duas saídas ao norte e duas saídas ao sul eu vou denotar por N1 n2 o conjunto das saídas ao norte e por S1 e S2 o conjunto das saídas ao sul então conjunto de todas as saídas dessa cidade é o conjunto N1 n2 S1 S2 e você pode verificar que esse conjunto aqui é simplesmente a união dos dois conjuntos Então o
que o princípio aditivo de fato tá nos dizendo é o seguinte aqui eu vou colocar uma nova versão Então se x e y são dois conjuntos finitos e disjuntos então o que eu quero dizer por disjuntos é que nenhum elemento do conjunto X é um elemento do conjunto y e vice-versa então a quantidade de elementos de X união com y é igual a quantidade de elementos de x somada com a quantidade de elementos de y Então agora eu queria dar um exemplo do uso do princípio aditivo em outra situação então Eh Vamos considerar o seguinte
problema [Música] quantos são os números inteiros entre 1 e 16 que são múltiplos de TR ou de S então bom a solução para esse problema também é bastante simples O que que a gente pode fazer é primeiro contar Quais são os múltiplos de três então então eles são 3 6 9 12 e 15 logo nós temos um total de C múltiplos de 3 e os de sete são somente o s e o 14 logo são dois agora repara que nenhum múltiplo de três nesse intervalo é um múltiplo de sete e nenhum múltiplo de sete nesse
intervalo é um múltiplo de TR então os múltiplos de três ou de S são 2 + 5 7 no total bom Vamos considerar agora o seguinte problema eu vou mudar um pouquinho o problema anterior e vou perguntar quantos são os múltiplos de três ou de cinco entre um e 16 então agora ao invés de considerar os múltiplos de 3 e de 7 Eu Tô considerando os múltiplos de 3 e de 5 e aqui repara que eu posso contar os múltiplos de TR novamente como no exercício anterior eu tenho o 3 o 6 o 9 o
12 e o 15 e os múltiplos de C que aqui no caso vão ser o 5 o 10 e o 15 então eu tenho 3 múltiplos de 3 5 múltiplos de 5 e eu poderia achar que os múltiplos de TR ou de 5 São no total o8 que é 3 + 5 mas nesse caso eu não posso usar o princípio aditivo por quê Porque o evento ser múltiplo de c e o ser múltiplo de três eles não são distintos naquela linguagem ou seja o conjunto dos múltiplos de três e o conjunto de múltiplos de cinco
não são disjuntos então de fato aqui eu tenho um total de sete múltiplos de três ou de cinco ah e não oito que seria o que Eu obteria somando esses dois números aqui
