Física Moderna - Aula 07: Teoria Cinética dos Gases

[Música] bom a última vez Nós aprendemos um pouco sobre a Constituição atômica da matéria como que nasceu a ideia de que a natureza pode ser construída através desses pequenos blocos a química contribuiu muito aprendemos a determinar o número de advogado que de alguma maneira dá uma escala entre o mundo macroscópio que o mundo microscópico né E hoje nós vamos ver uma das áreas da física da ciência que realmente comprovam os átomos a existência dos átomos a constituição atomística da matéria e ainda traz prazer para gente um conceito novo que é uma interpretação da temperatura das

coisas que nós temos Então hoje nós vamos falar um pouquinho sobre a teoria cinética dos gases e o que que a gente vai ver na verdade é como que nós podemos criar um modelo baseado na existência do átomo uma vez que eu aceito o que eu posso compor um gás por exemplo por átomos que são partículas de massa Como que eu posso construir as leis que eu observo para os gases Isso faz parte de uma área que chama as teorias cinética dos gases é reproduzir as propriedades macroscópicas e um gás a partir do seu movimento

a partir do fato de que um gás nada mais é do que partículas massivas em movimento tendo energia cinética né constituindo a sua energia interna muito bem então para falar disso eu tenho que voltar um pouco no tempo e aí eu vou voltar lá em 1811 onde o francês chamado do Noé falado bem no português né ele fez um experimento interessante o que o do Noé fez foi pegar um tubo Tá certo ele pegou um tubo tubo de vidro colocou no tubo de vidro sódio metálico aqui no fundo então ele pegou um tubo de vidro

e colocou sódio metálico colocou no interior do tubo algumas aletas né como se fosse pim Rolex e colocou aqui uma placa de vidro selou isso aqui fez vácuo e aqueceu colocou calor aqui no sódio a gente sabe que o solo é um elemento que é fácil de ser vaporizado né Ele é sólido a temperatura ambiente Mas você chegando acima de 120 graus 130 graus ele já é líquido né E aí então ele aqueceu isso aqui a gente sabe que o vidro é um mau condutor de calor portanto aquecendo aquecendo essa parte e aquece somente esse

bloco metálico de sódio e aí Produza um vapor de sódio isso era conhecido aqueles aquecendo metal produzia vapor e ele produziu então aqueceu produziu o vapor e ficou observando o que que acontecia aqui nessa parte de vidro aqui e eu vou desenhar essa parte de vidro Tá certo então ele pegou aqui está a parte de vidro e ele observou que mentalizava somente o centro da parte de vidro certo então ele via metalização de alguma maneira metalização a metalização que advém dos átomos de sódio ou do vapor criado aqui então ele percebeu que vaporizando o que

estava acontecendo é que estava sendo ejetadas partículas E essas partículas algumas delas eram bloqueadas aqui né no anteparo outras passavam e ele pode verificar que aquelas que passavam é que chegavam até o final mentalizando aqui Muitas delas paravam por aqui vinham do Metal paravam por aqui ou por ali aquelas que cuja trajetória percorria todo o sistema e atingia o vidro final metalizavam o vidro Então fez um experimento mentalização produzir o vapor e viu que o vapor que se criava aqui embora nessa parte do vidro aqui tudo era metalizado mas as partículas sobreviviam e o metalizar

lá a parte final com isso o donoiê foi capaz de dizer que o gás o vapor era constituído de partículas do material em movimento balístico então do noivo observou que quando eu crio um gás quando eu crio um gás eu realmente é produz o partículas que estão se deslocando que estão animadas de velocidade e que estão em movimento balístico Tá certo isso de alguma maneira dá uma uma uma forma da gente visualizar o que tá acontecendo no interior das partículas isso cria pra gente um subsídio importante que é um modelo de gás um modelo eu

faço um modelo onde eu imagino o gás constituído de partículas em movimento que partículas são essa átomos e moléculas eu vou chamar de átomos de uma forma geral né mas a gente sabe que muitos gases não são atômicos são moleculares mas não importa o experimento do Noé cria para gente os subsídios para a gente fazer um modelo de gás esse modelo baseado no fato de que átomos num gás estão são partículas em movimento constante em movimento balístico como é o caso do vapor de sódio que o do Noé fez e que veio metalizar lá longe

a superfície Tá certo então esse experimento do donoiê de alguma maneira comprova esse modelo que nós vamos criar que é um modelo de gás baseado em partículas de massa em movimento e isso vai constituir o nosso modelo cinético dos gases então agora baseado nesse experimento do Noé eu acredito que o gás Pode sim ser representado por partículas em movimento qual o tamanho dessas partículas muito pequeno porque como nós vimos nas aulas anteriores o tamanho do átomo é da ordem de 10 a menos 8 cm Esses são os tamanhos das só que ele tem massa a

massa do gás está concentrada nesses pequenos carocinhos que eu não sei sobre estrutura interna não sei nada e para fazer esse modelo eu nem preciso e adiante com a estrutura interna eu posso simplesmente me basear no fato de que são pontos de massa e se são pontos de massa em movimento a mecânica nos ensina algo importante então agora eu vou fazer um modelo aqui o meu modelo de gás e o meu modelo de gás serão partículas de massa em movimento essas partículas de massa em movimento devem ser capazes de reproduzir aquilo que eu observo de

um gás um gás é capaz de manter uma bexiga cheia Será que partículas de massa são capazes de fazer isso um gás quando pressionado ele diminui seu volume assim Poliana tudo isso eu tenho que ser capaz agora de reproduzir com o modelo então o modelo que nós vamos construir o modelo de gás é um modelo que eu tenho partículas massivas pequenas cuja dimensão não me importa e que estão num constante em movimento no interior do recipiente que as contém esse é o nosso modelo de gás Esse é o modelo que nós vamos construir a massa

está nas partículas que eu vou chamar de m então m a massa das partículas E aí isso implica numa coisa importante que eu conheço as leis da mecânica e sem dizer que se eu olhar uma parede do recipiente uma porção da parede do recipiente toda vez que uma partícula colidir um desses átomos vier colidir com a partícula ele vai sofrer uma colisão que eu vou em primeira primeira em primeira aproximação considerar uma colisão elástica e vai transferir momento a uma transferência de momento para parede e essa transferência de momento para parede é o que é

o importante para a gente poder construir a pressão que um gás faz sobre as paredes e ver como que essa pressão o próprio volume ocupado pelo gás não é como tudo isso está relacionado e também a temperatura Então vou imaginar um gás que tem uma temperatura primeiro tem um número n de partículas aqui dentro Está ocupando um volume V está uma temperatura T e isso faz com que o gás Exerça sobre as paredes uma pressão P aqui estão todas as variáveis que eu chamo de variáveis macroscópicas do gás e eu tenho que com o meu

modelo microscópico ser capaz de reproduzir é a relação da entre essas grandezas que nós sabemos da teoria dos gases que PV é igual a nkt essa teoria dos gases que eu sei que também às vezes é escrito como o número de molas RT é a mesma coisa né o número multiplicado pelo número de advogado multiplicado dividido o r acaba dando cai e aqui dá o n nós vamos usar trabalhar com o número de partículas porque é uma lei Expressa de uma forma mais facilmente eu não tenho que trabalhar com molas de substância eu tenho aqui

apenas trabalhar com o número de partículas no meu gás que é um modelo físico mais fácil de ser feito aqui é constante de bolso mano certo então eu tenho que ser capaz de criar isso baseado no fato que o modelo de gás baseado no experimento de duro é constituído de partículas de massa M em constante movimento muito bem então agora eu vou fazer um modelo primeiro modelo que eu tenho que fazer é o seguinte tá bom se as partículas do meu gás estão animadas de movimento e tem lá uma velocidade média que eu não sei

quem é mas eu vou dizer que tem uma velocidade média essas partículas porque eu não tenho nenhuma informação Além disso então se elas têm lá uma velocidade média Como que eu posso calcular a pressão então vou ter que pegar um elemento de parede porque todo mundo sabe que pressão é a força feita por unidade diária então vou ter que pegar um pedaço dessa parede e calcular a força feita sobre ela antes de fazer isso porém as partículas obviamente nesse meu modelo meu gás é tridimensional e as partículas estão no movimento tridimensional e o modelo tridimensional

faz com que as partículas colidam aqui em diferentes ângulos de colisão existem tudo tem partícula que tá colidindo razão tem partícula que tá andando paralela que não tá colidindo mas para transferir momento eu sei que o que é importante é saber qual é o momento na direção da parede que eu vou chamar de se a partícula tem velocidade V qualquer a componente Z é que é importante para a transmissão de momento na parede porque a outra se vem para cá essa é que a parede ela exerce uma força sobre a parede exerce uma força sobre

ela invertendo a velocidade e assim que a partícula colide na parede e continua no gás então o que que é importante para mim essa componente então eu vou trabalhar com uma componente Tá certo e olhar numa porção de parede desse recipiente de volume V vou pegar uma porção do aparelho e vou lá verificar qual é o momento transferido Quanto tempo demora para ver se eu consigo saber quanto de força as partículas fazem na parede que é exatamente o quanto a parede faz nas partículas que é o que eu chamo de pressão do gás muito bem

então agora nós vamos pegar apenas uma já criamos um modelo do gás já entendemos como que a gente vai proceder eu vou imaginar agora uma porção da parede do gás Então tá aqui uma porção da parede eu vou desenhar vou projetar obviamente que eu vou considerar uma área dessa parede uma área a dessa parede então aqui eu tô olhando Uma área a da parede tá certo mas estou olhando só uma projeção E aí eu tenho um monte de partícula vindo para cá lembre-se que eu falei para vocês que é a componente que anda perpendicular a

parede que vai contribuir com a pressão então aqui eu tenho muitas partículas vindo para cá tendo componente nessa direção eu só estou considerando agora chamei essa direção de direção Z vou considerar as partículas andando nessa direção e vou dizer que elas têm uma velocidade certo e vou fazer o seguinte vamos ver quem vai colidir aqui eu tenho que escolher um tempo aquele colisão então Delta até o tempo que eu vou acumular momento transferido nessa parede o que vai acontecer que aqui também né eu tenho partículas que colidiram então voltando já transferir o momento para parede

então voltado então olhando essa área a eu vou formular na minha mente um cilindro Tá certo que tem como aresta essa velocidade vz vezes delta t Essa é aresta do cilindro e tem como área de Base a e quem vai colidir aqui em δt todas as partículas que estão aqui dentro desse livro A última que tá aqui ó ela vai demorar delta t para colidir porque ela vai andar com vz e as outras aqui vão colidir de zero a delta t Tá certo cada molécula que colírio com a parede transfere momento para parede então eu

vou calcular cada molécula cada molécula ou átomo né eu vou chamar de cada partícula para não ser parcial cada partícula que colide com a parede transfere que momento para parede transfere Delta P igual a velocidade inicial velocidade final é oposta então transfere menos dois M vezes ele momento esse é o momento transferido por cada partícula que está aqui que colite em delta t Quem são as partículas que vão colidir Todas aquelas que estão dentro desse cilindro e caminhando nessa direção eu vou imaginar aqui como o gás anda para os dois lados né as partículas do

gás anda para os dois lados senão a gente estaria aqui de repente todo o gás vai lá para o outro canto da sala eu morro asfixiado eu sei que isso não acontece porque eu tenho partículas indo e vindo então de todas as partículas que estão aqui Caminhando com componente vz metade delas tá andando na direção correta as outras estão andando ao contrário Então metade vezes a densidade quem que é a densidade é o número total de partículas dividido pelo volume essa aqui é a densidade então metade da densidade vezes o volume desse cilindro que é

a área a vezes a aresta que é vz delta t esse é o número de partículas que colide com a parede em delta t e portanto transfere momento menos dois mvz Qual é o momento Total transferido para a parede aliás esse aqui é o momento transferido da parede para molécula se você quiser saber o momento transferido da molécula para o aparelho que é o que nós estamos interessado é o inverso muda o sinal Então nós vamos pôr mais aqui portanto em delta t o momento Total transferido que eu vou chamar de Delta p total é

igual ao momento transferido por cada molécula que é 2 mvz vezes o número de moléculas que colidem que é meio de n sobre V que a densidade lembra que a gente começou com gás que tinha n partícula num volume V vezes a vezes Z vezes delta t certo esse é o momento Total transferido se eu dividir por delta t que é o tempo no qual esse momento foi transferido Eu tenho a força feita sobre a parede a área a pelo gás sobre aparelho agora né não é da parede sobre o gás que são Opostas então

Daqui eu posso calcular posso escrever que a força feita sobre a parede que é igual ao delta p total dividido pelo delta t pela lei de Newton né a força é sempre o momento transferido pelo tempo gasto é igual a quem é igual a isso aqui ó e o dois cancela o Mc mantém aqui vai aparecer um vz então ele é igual a m sobre V vezes a área que eu tô considerando vezes mvz quadrado vz quadrado estou considerando uma componente da velocidade nessa direção porque eu já expliquei lá atrás que essa componente perpendicular é

a componente que importa para a pressão Essa é a força feita se eu dividir pela área agora eu tenho quem a pressão portanto a pressão feita sobre a parede pelo gás é igual a p que é igual a força sobre a área que é igual a densidade vezes MV quadrado Essa é a pressão bom então calculei uma pressão já fui capaz de calcular a pressão baseado em que baseado apenas no fato de que as partículas têm movimento tem esse vz porque se perdeu vezes e a pressão vai a zero Tá certo Mas isso é dizer

né normalmente nós estamos interessados num ver Mas se você tiver um gás andando aqui ele tem três velocidades o gás é 3D para o gás ele tem componentes vx vy e vz de velocidade de tal maneira que a soma do quadrado dessas da velocidade total ao quadrado só que um gás não tem razão nenhuma no mundo para ter vxvi em média diferente todas as direções são igualmente prováveis e igualmente igual do ponto de vista físico Então esse deve ser igual a esse deve ser igual a esse então aqui eu tenho na verdade três vezes Z

quadrado deve ser igual ao V Total portanto a componente vz ao quadrado é um terço da componente total do gás da velocidade Total das partículas que estão lá certo então agora usando isso eu vou pegar aqui o meu a minha pressão que eu calculei vou passar o volume multiplicando eu quero PV Isso vai ser igual ao número de partículas esse mvz quadrado vai virar um terço Então vou botar um terço de m v quadrado e o MV quadrado na verdade eu não gosto do MV quadrado eu gosto de meio de MV quadrado que a energia

cinética Então vou escrever novamente essa expressão dizendo que P vezes V tem que ser igual a um terço não é aí eu vou botar um dois aqui vou multiplicar e dividir por dois então vou multiplicar e dividir por dois que é para isso aqui sem energia cinética então ele é na verdade dois terços do número de partículas vezes a energia cinética média que normalmente a gente chama desse k maiúsculo das partículas quem é a energia cinética média a energia cinética média das partículas é meio que M vezes a velocidade média das partículas Então agora eu

tenho uma expressão que é interessante porque ela relaciona o número de partículas a pressão o volume é uma grandeza microscópica que é a energia cinética média das partículas mas eu também sou capaz de medir a lei dos gases Tá certo dado que eu tenho um gás colidindo com a parede dentro do meu modelo então eu vou apagar aqui agora para criar com você o que eu tenho de fato o que eu tenho de fato é que eu tenho um gás que ocupa um volume V tem uma pressão P está uma temperatura T E tem um

número de partículas n Aqui tá o gás aqui dentro e eu fui capaz de provar o seguinte para esse gás eu fui capaz de provar que o produto da pressão pelo volume é igual a dois terços de n vezes a energia cinética média das partículas então provei baseado no modelo mecânico modelo onde as partículas estão animadas são massas animadas de movimento animados de energia cinética Então mostrei que na verdade PV é uma medida dois terços na energia Total contida no sistema porque se k é energia de cada molécula n vezes k é a energia total

do meu sistema Mas eu também sei das medidas experimentais que PV é igual a n k t então não resta dúvida cadê que a temperatura que é uma grandeza que foi criada no passado para medir o quente o frio e assim por diante está associada a nível microscópico com que com a energia cinética contida em cada partícula então eu posso escrever que dois terços da energia cinética da partícula que eu sei que é meio de MV quadrado é igual a porque eu não tinha até agora uma Interpretação microscópica para a temperatura agora eu tenho eu

tenho uma interpretação que diz olha a energia cinética média das partículas que estão lá no gás ela sim são essa grandeza chamada velocidade e Vale três meios de KT Essa é a grande interpretação sinética da temperatura que é temperatura de um gás essa interpretação da temperatura é algo muito importante porque ela agora nos quando a gente tem algo que tem temperatura nós sabemos o que está no mundo microscópico no mundo microscópico tem energia cinética acumulada lá Tá certo e você vê que é interessante porque na verdade essa velocidade aqui tem três graus de liberdade se

você lembrar esse três vem lá do vxvyz e cada um deles ganhou meio de energia na verdade se eu escrever que essa aqui é a interpretação cinética para a temperatura temperatura para gente vai ser a partir de agora né alocação de energia a nível microscópico Tá certo para o nosso gás em questão para o nosso gás em questão nós temos uma energia Total lá dentro que é realmente meio de m vx quadrado mais vy² + Z quadrado que são três graus de liberdade quadrático na energia capaz de 3 graus de liberdade quadrado capaz de ter

energia capaz de ter energia cinética esses três que aparecem lá esse número que aparece aqui esse três e na verdade eu posso generalizar esse resultado dizendo que para um sistema físico qualquer para cada grau para cada grau de liberdade quadrático da energia pode estar associado um meio de então se eu tenho uma molécula qualquer coisa que eu tenho para cada grau de liberdade capaz de acomodar energia eu tenho KT meio KT Esse é chamado princípio da equipartição de energia ele disse para mim como que a energia pode ser dividida nos graus liberdade e microscópico de

um sistema físico no caso do nosso gás o único grau de liberdade que eu tenho é cinético por isso que é um modelo cinético toda a energia interna do sistema está nesses graus liberdade de movimento portanto toda a temperatura que é uma grandeza macroscópica que mede como que está acomodada a energia do sistema Então ela só tem três graus de liberdade portanto a energia do sistema seria três meios de KT para cada grau de liberdade um meio de Catete Esse é o princípio de que partição de energia ele é geral ele é um princípio que

pode ser depois deduzido com base na mecânica que está pisca né que é uma parte da mecânica que lida com esse sistemas que tem muitas partículas cada uma podendo ter um pouquinho de energia assim por diante mas isso Esse princípio só como parentes aqui né primeiro que daqui para diante você não pode olhar a temperatura como algo que o termômetro mede nós temos que olhar a temperatura Como a energia que está acomodada no sistema a energia capaz está alocada ao sistema o nosso modelo de gás é fácil porque tudo tá na forma de movimento né

tudo tá na forma de energia cinética do ponto de massa mas às vezes eu posso ter outros graus liberdade e a energia do sistema pode se acomodar de outras formas então o sentido da medida de temperatura quando eu meço uma temperatura ela não é só a energia cinética das moléculas é como que a energia pode estar alocada lá dentro e eu vou dar alguns exemplos para vocês disso só para você ver os exemplos desse princípio de partição de energia quando eu tenho um gás gás de pontos de massa se eu tenho um sistema constituído de

pontos de massa Como é o modelo que Nós criamos como que a energia desse sistema pode estar só pode estar na forma de movimento do seno de massa Então eu tenho três vezes que são três graus vezes meio de KT essa energia interna do sistema por partícula é claro se eu multiplicar pelo número de partículas eu tenho energia total de um sistema de n partículas se eu multiplicar pelo número de advogado eu tenho a energia interna formol do sistema que para um gás é três meios de N zero cadê Tá certo que a energia Total

contida num gás normal que eu botei em zero se eu botar n é para um sistema qualquer mas imagine que eu tenho por exemplo moléculas diatômicas tem um moléculas de atômicas são duas massas agora conectada por uma por uma molinha né que elas podem vibrar aqui eu tenho muito muitos outros graus Liberdade quando tem uma molécula diatômica ela é muito diferente da molécula monotômica porque agora a energia pode estar na translação como é o caso aqui mas pode entrar na vibração e pode estar na rotação na verdade se eu escrever a energia de uma molécula

diatômica como vamos escrever energia da molécula dia atômica se eu escrever a energia de uma molécula diatômica então agora estou falando de moléculas diatômicas um gás constituído de moléculas diatômicas como que a energia pode ser bom a energia tem primeiro existe a energia distribuída no centro de massa e ela pode transladar com três componentes de velocidade né Poderia converter isso em momento também mas não é só então ela tem aqui isso aqui mas ela pode vibrar quando ela vibra ela tem dois graus de liberdade que ela pode colocar desculpa aqui não é a massa reduzida

mas a massa total da molécula aí aqui ela pode vibrar quando ela vibra ela pode ter energia na velocidade das massas relativas e pode ter energia na mola Então ela tem mais dois graus de vibração e para por aí não para por aí porque ela pode ter meio do LX quadrado dividido pelo momento inércia mas o l y quadrado dividido pelo momento de inércia mas o LG quadrado dividido pelo momento de inércia quer dizer essa molécula pode virar em várias direções então eu tenho aqui a translação você vê Quais são os graus de liberdade que

essa molécula é capaz de levar massa na translação do seno de massa quantos graus de liberdade tem aqui três ela é capaz de levar na vibração quantos graus liberdade tem aqui dois e ela é capaz de levar na rotação a rotação tem que ser cuidadoso que como a molécula é diatômica né existe um dos momentos um dos graus liberdade que não faz diferença Se você pegar uma molécula diatômica vamos desenhar aqui se pegar uma molécula diatômica que faz sentido ela rodar assim né ou assim rodar assim não faz sentido então se eu chamar isso aqui

dizer rodar no z não é capaz de acumular energia porque a massa são pontos de massa então isso aqui desaparece Então na verdade para uma molécula diatômica Você tem dois graus de liberdade porque um eixo se fosse uma molécula triatômica isso já não seria verdade porque aí todas as rotações são capazes de acumular energia como ela é diatômica o eixo que passa pelos núcleos na verdade dá uma Um Momento Angular nulo praticamente Então porque a massa é pontual né aquela rotação não vai contribuir Então você tira esse cara daqui Então na verdade se eu pegar

uma molécula de atômica energia interna dela do 247 São sete vezes meio KT de energia por molécula então a quantidade de energia formol de um gás de atômico ou de um gás mono atômico varia e a temperatura é uma medida de como toda essa energia está acumulada lá Tá certo muito bem então de uma forma bastante simples o que que nós vimos hoje nós vimos que olhando um gás como sendo pontos de massa em movimento nós somos capazes de obter a lei dos gases Isso é uma comprovação né eu fiz um modelo e provei que

aquilo que eu meço que a lei dos gases PV igual a nkt eu consigo reproduzir aquilo e mais do que isso então para mim a interpretação de que o gás é constituído de pontos de massa ela é verdadeira mais do que isso nós mostramos que o que a gente chama de temperatura é na verdade uma medida da energia distribuída nessas partículas de massa como nós fizemos um modelo que é basicamente partículas pontos de massa Toda energia tá na forma translacional e nós somos capazes de fazer uma interpretação toda vez que eu meço uma temperatura na

verdade eu estou medindo quanto de energia está locada nessa translação daqueles pontos de massa e aí o generalizei dizendo que isso na verdade essa Esse princípio de que partição de energia é um princípio mais geral que mostra que energia pode se acomodar em diferentes graus de liberdade de um sistema microscópico e portanto a temperatura é uma medida da distribuição dessas da energia nesses vários graus de liberdade com isso nós temos agora condições de ir adiante com o modelo com o modelo microscópico como modelo de energia nos pontos de massa e elaborar ainda mais porque agora

nós estamos preocupados com o seguinte todas as partículas tem a mesma energia será ou você foi capaz de fazendo a média obter o PV igual a nkt mas na verdade todas elas têm a mesma a mesma velocidade como que é isso como que é a distribuição nessa população de partículas que eu tenho no meu gás com relação à energia isso nós vamos ver na próxima aula [Música]